Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.
Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство. Диагонали прямоугольника равны.
Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.
Свойства:
1. Все углы квадрата прямые
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
В школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.
Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.
Вконтакте
Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака , по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:
- фигура является четырёхугольником, три угла которого равны 90°;
- представленный четырёхугольник - это параллелограмм с равными диагоналями;
- параллелограмм, который имеет по крайней мере один прямой угол.
Интересно знать: что такое выпуклый , его особенности и признаки.
Поскольку прямоугольник - это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.
Формулы для вычисления длины сторон
В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую - шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной - AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).
Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a - длина прямоугольника, b - его ширина, d - диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S - площадь фигуры, P - периметр, α — угол между диагональю и длиной, β — острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:
- С использованием диагонали и известной стороны: a = √(d ² — b ²), b = √(d ² — a ²).
- По площади фигуры и одной из её сторон: a = S / b, b = S / a.
- При помощи периметра и известной стороны: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
- Через диагональ и угол между ней и длиной: a = d sinα, b = d cosα.
- Через диагональ и угол β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.
Периметр и площадь
Периметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:
- Через обе стороны: P = 2 (a + b).
- Через площадь и одну из сторон: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.
Площадь - это пространство, ограниченное периметром . Три основных способа для расчёта площади:
- Через длины обеих сторон: S = a*b.
- При помощи периметра и какой-либо одной известной стороны: S = (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2 b ²) / 2.
- По диагонали и углу β: S = 0,5 d ² sinβ.
В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника . Перечислим основные из них:
- Диагонали равны друг другу и делятся на два равных отрезка в точке их пересечения.
- Диагональ определяется как корень суммы обеих сторон, возведённых в квадрат (следует из теоремы Пифагора).
- Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника с прямым углом.
- Точка пересечения совпадает с центром описанной окружности, а сами диагонали - с её диаметром.
Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:
- С использованием длины и ширины фигуры: d = √(a ² + b ²).
- С использованием радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника: d = 2 R.
Определение и свойства квадрата
Квадрат - это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат - это правильный четырёхугольник.
Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:
- Если это прямоугольник, у которого длина a и ширина b равны.
- Если это ромб с равными длинами диагоналей и с четырьмя прямыми углами.
К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:
- Диагонали перпендикулярны относительно друг друга (свойство ромба).
- Точка пересечения совпадает с центром вписанной окружности.
- Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре одинаковых прямоугольных и равнобедренных треугольника.
Приведём часто используемые формулы для вычисления периметра, площади и элементов квадрата:
- Диагональ d = a √2.
- Периметр P = 4 a.
- Площадь S = a ².
- Радиус описанной окружности вдвое меньше диагонали: R = 0,5 a √2.
- Радиус вписанной окружности определяется как половинная длина стороны: r = a / 2.
Примеры вопросов и задач
Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.
Задача 1 . Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?
Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон - S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.
Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами - это квадрат?
Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.
Задача 2 . Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника - 8. Рассчитать, чему равна диагональ.
Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.
Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?
Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие - это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.
Задача 3 . Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.
Решение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:
- Определим, чему равны основные элементы квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
- Подсчитаем, чему равен радиус описанной вокруг четырёхугольника окружности: R = 0,5 d = 8,5√2.
- Найдём радиус вписанной окружности: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.
С четырьмя углами и четырьмя сторонами. Четырёхугольник образуется замкнутой ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.
Обозначение четырёхугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: четырёхугольник ABCD :
В четырёхугольнике ABCD точки A , B , C и D - это вершины четырёхугольника , отрезки AB , BC , CD и DA - стороны .
Вершины, принадлежащие одной стороне, называются соседними , вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими :
В четырёхугольнике ABCD вершины A и B , B и C , C и D , D и A - соседние, а вершины A и C , B и D - противолежащие. Углы, лежащие при соседних вершинах, также называются соседними, а при противолежащих вершинах - противолежащими.
Стороны четырёхугольника также можно попарно разделить на соседние и противолежащие: стороны, имеющие общую вершину, называются соседними (или смежными ), стороны, не имеющие общих вершин - противолежащими :
Стороны AB и BC , BC и CD , CD и DA , DA и AB - смежные, а стороны AB и DC , AD и BC - противолежащие.
Если противолежащие вершины соединить отрезком, то такой отрезок будет называться диагональю четырёхугольника . Учитывая, что в четырёхугольнике есть всего две пары противолежащих вершин, то и диагоналей может быть всего две:
Отрезки AC и BD - диагонали.
Рассмотрим основные виды выпуклых четырёхугольников:
- Трапеция
- четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон, параллельны друг другу, а другая пара не параллельны.
- Равнобедренная трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны.
- Прямоугольная трапеция - трапеция, у которой один из углов прямой.
- Параллелограмм
- четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны друг другу.
- Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы равны.
- Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Квадрат - параллелограмм, у которого равны и стороны и углы. И прямоугольник и ромб могут быть квадратом.
Свойства углов выпуклых четырёхугольников
У всех выпуклых четырёхугольников углы обладают следующими двумя свойствами:
- Любой внутренний угол меньше 180°.
- Сумма внутренних углов равна 360°.
1 . Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.
2 . Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника
а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.
3 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.
4 . Стороны параллелограмма равны и . Тогда четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис углов параллелограмма, является прямоугольником, диагонали которого равны .
5 . Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
6 . На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и N так, что прямые МС и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD=d.
7 . Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
8 . Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями и проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .
9 . Трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным и , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен .
10 . Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки А, В, С и D лежат на одной окружности.
а) CAD=CBD = 90°.
б) точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и угол CAD равен углу CBD.
в) прямые АС и BD пересекаются в точке О и О А ОС=ОВ OD.
11 . Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону ВС.
12 . Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга на три равные части.
13 . Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Тогда между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.
14 . Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то отрезок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.
15 . Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.
16. Свойства вписанного четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Тогда
а) медиана треугольника АРВ перпендикулярна стороне CD;
б) ломаная АОС делит четырёхугольник ABCD на две равновеликие фигуры;
в) АВ 2 +CD 2 =4R 2 ;
г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 = 4R 2 и АВ 2 +ВС 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2 ;
д) расстояние от центра окружности до стороны четырёхугольника вдвое меньше противоположной стороны.
е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках Е и F, то BCFE - ромб;
ж) четырёхугольник, вершины которого - проекции точки Р на стороны четырёхугольника ABCD, - и вписанный, и описанный;
з) четырёхугольник, образованный касательными к описанной окружности четырёхугольника ABCD, проведёнными в его вершинах, можно вписать в окружность.
17 . Если a, b, c, d - последовательные стороны четырёхугольника, S - его площадь, то , причем равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
18
. Формула Брахмагупты.
Если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, с
и d,
то его площадь S
может быть вычислена по формуле ,
где - полупериметр четырехугольника.
19 . Если четырёхугольник со сторонами а , b, с, d можно вписать и около него можно описать окружность, то его площадь равна .
20 . Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причем угол PAB равен углу РВА и равен 15°. Тогда треугольник DPC - равносторонний.
21 . Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.
22 . Продолжения противоположных сторон АВ и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М, а сторон AD и ВС - в точке N. Тогда
а) биссектрисы углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны;
б) прямые МQ и NQ пересекают стороны четырёхугольника в вершинах ромба;
в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника ABCD.
23 . Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.
24 . Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.
25 . Теорема Монжа. Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
27 . Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, покрывают весь четырёхугольник.
29 . Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника - тупые. Тогда диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
30. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, сами образуют квадрат.