Пусть требуется
(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).
Здесь дано произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) и один множитель (2x – 1), – надо найти другой множитель. В данном примере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и другой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный множитель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у искомого множителя – нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д. Вспоминая, что старший член произведения всегда получается от умножения старшего члена одного множителя на старший член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2x 3 (старший член данного произведения) получится от умножения 2x (старший член данного множителя) на неизвестный старший член искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следовательно, разделить 2x 3 на 2x – получим x 2 . Это и есть старший член частного.
Вспомним затем, что при умножении многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Поэтому данное произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) представляет собою произведение делителя (2x – 1) на все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение делителя на первый (старший) член частного, т. е. (2x – 1) ∙ x 2 ; получим 2x 3 – x 2 . Зная произведение делителя на все члены частного (оно = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) и зная произведение делителя на 1-ый член частного (оно = 2x 3 – x 2), вычитанием мы можем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го, члены частного. Получим
(2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1.
Старший член (–6x 2) этого оставшегося произведения должен представлять собою произведение старшего члена делителя (2x) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного. Отсюда найдем старший член остального частного. Надо –6x 2 ÷ 2x, получим –3x. Это и есть второй член искомого частного. Мы можем опять найти произведение делителя (2x – 1) на второй, только что найденный, член частного, т. е. на –3x.
Получим (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. Из всего данного произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член частного и получили остаток –6x 2 + x + 1, представляющий собою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены частного. Вычитая из него только что найденное произведение –6x 2 + 3x, получим остаток, представляющий собою произведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены частного:
–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.
Разделив старший член этого оставшегося произведения (–2x) на старший член делителя (2x), получим старший член остального частного, или его третий член, (–2x) ÷ 2x = –1, – это и есть 3-й член частного.
Умножив на него делителя, получим
(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.
Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из всего оставшегося до сих пор произведения, т. е.
(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,
мы увидим, что в нашем примере произведение делится на остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного = 0, откуда заключаем, что у частного больше членов нет, т. е.
(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.
Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены делимого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо установить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким удобным порядком можно считать тот, который употребляется в арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие пояснения):
Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою знаков у членов вычитаемого, причем эти переменные знаки пишутся сверху.
Так, написано
Это значит: вычитаемое было 2x 3 – x 2 , а после перемены знаков получили –2x 3 + x 2 .
Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходящим степеням и благодаря тому, что степени буквы x в обоих многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: –7x 2 и +x 2), почему легко выполнить их приведение. Можно подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент вычисления. Напр., член +1 не нужен в тот момент, где был найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упростить.
Еще примеры:
1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).
Расположим по нисходящим степеням буквы a и делимое и делитель:
(Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с a 3 , в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не подобные члены –a 2 b 2 и –2a 3 b. Конечно, они не могут быть приведены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).
В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не подобные члены и 2) иногда (как, напр., в последнем примере, члены –4a n и –a n при первом вычитании) подобные члены выходят написанными не друг под другом.
Возможно выполнять деление многочленов в ином порядке, а именно: всякий раз разыскивать младший член или всего или остающегося частного. Удобно в этом случае располагать данные многочлены по восходящим степеням какой-либо буквы. Напр.:
Утверждение
остатком неполным частным .
Замечание
Для любых многочленов $A(x)$ и $B(x)$ (степень $B(x)$ больше 0) существуют единственные многочлены $Q(x)$ и $R(x)$ из условия утверждения.
- Остаток от деления многочлена $x^{4} + 3x^{3} +5$ на $x^{2} + 1$ равен $3x + 4$:$x^{4} + 3x^{3} +5 = (x^{2} + 3x +1)(x^{2} + 1) +3x + 4.$
- Остаток от деления многочлена $x^{4} + 3x^{3} +5$ на $x^{4} + 1$ равен $3x^{3} + 4$:$x^{4} + 3x^{3} +5 = 1 \cdot (x^{2} + 1) +3x^{3} + 4.$
- Остаток от деления многочлена $x^{4} + 3x^{3} +5$ на $x^{6} + 1$ равен $x^{4} + 3x^{3} +5$:$x^{4} + 3x^{3} +5 = 0 \cdot (x^{6} + 1) + x^{4} + 3x^{3} +5.$
Утверждение
Для любых двух многочленов $A(x)$ и $B(x)$ (где степень многочлена $B(x)$ ненулевая), существует представление в виде многочлена $A(x)$ в виде $A(x) = Q(x)B(x) + R(x)$, где $Q(x)$ и $R(x)$ - многочлены и степень $R(x)$ меньше степени $B(x).$
Доказательство
Будем доказывать утверждение индукцией по степени многочлена $A(x).$ Обозначим её $n$. Если $n = 0$, утверждение верно: $A(x)$ можно представить как $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Теперь, пусть утверждение доказано для многочленов степени $n \leq m$. Докажем утверждение для многочленов степени $k= n+1.$
Пусть степень многочлена $B(x)$ равна $m$. Рассмотрим три случая: $k < m$, $k = m$ и $k > m$и докажем утверждение для каждого из них.
- $k < m$
Многочлен $A(x)$ можно представить как$A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$
Утверждение выполнено.
- $k = m$
Пусть многочлены $A(x)$ и $B(x)$ имеют вид$A(x) = a_{n+1}x^{n+1} + a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}, \: \mbox{где} \: a_{n+1} \neq 0;$
$B(x) = b_{n+1}x^{n+1} + b_{n}x^{n} + \dots + b_{1}x + b_{0}, \: \mbox{где} \: b_{n+1} \neq 0.$
Представим $A(x)$ как
$A(x) = \dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}B(x) - \Big(\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}B(x) - A(x)\Big).$
Заметим, что степень многочлена $\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}B(x) - A(x)$ не больше $n+1$, тогда это представление искомое и утверждение выполнено.
- $k > m$
Представим многочлен $A(x)$ в виде$A(x) = x(a_{n+1}x^{n} + a_{n}x^{n-1} + \dots + a_{1}) + a_{0}, \: \mbox{где} \: a_{n+1} \neq 0.$
Рассмотрим многочлен $A"(x) = a_{n+1}x^{n} + a_{n}x^{n-1} + \dots + a_{1}.$ Для него индукционное предположение выполнено, поэтому его можно представить как $A"(x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, где степень многочлена $R"(x)$ меньше $m$, тогда представление для $A(x)$ можно переписать как
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_{0} = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_{0}.$
Заметим, что степень многочлена $xR"(x)$ меньше, чем $m+1$, т.е. меньше, чем $k$. Тогда для $xR"(x)$ выполнено индукционное предположение и его можно представить как $xR"(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, где степень многочлена $R""(x)$ меньше $m$. Перепишем представление для $A(x)$ как
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_{0} =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_{0}.$
Степень многочлена $R""(x) + a_{0}$ меньше $m$, поэтому утверждение выполнено.
Утверждение доказано.
При этом многочлен $R(x)$ называется остатком от деления $A(x)$ на $B(x)$, а $Q(x)$ - неполным частным.
Если остаток $R(x)$ - нулевой многочлен, то говорят, что $A(x)$ делится на $B(x)$.
Общий вид одночлена
f(x)=ax n , где:
-a - коэффициент, который может принадлежать любому из множеств N, Z, Q, R, C
-x - переменная
-n показатель степени, который принадлежит множеству N
Два одночлена подобны, если они имеют одну и ту же переменную и одинаковый показатель степени.
Примеры: 3x 2 и -5x 2 ; ½x 4 и 2√3x 4
Сумма одночленов, не подобных друг другу, называется многочленом (или полиномом). В этом случае одночлены являются слагаемыми полинома. Полином, содержащий два слагаемых, называется биномом (или двучленом).
Пример: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Полином, содержащий три слагаемых, называется трехчленом.
Общий вид многочлена с одной переменной
где:
- a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 - коэффициенты полинома. Они могут быть натуральными, целыми, рациональными, действительными или комплексными числами.
- a n - коэффициент при слагаемом с наибольшим показателем степени (ведущий коэффициент)
- a 0 - коэффициент при слагаемом с наименьшим показателем степени (свободный член, или константа)
- n - степень полинома
Пример 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1
- полином третьей степени с коэффициентами 5, -2, 7 и -1
- 5 - ведущий коэффициент
- -1 - свободный член
- x - переменная
Пример 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4
- полином четвертой степени с коэффициентами -2√3,½ и -4
- -2√3 - ведущий коэффициент
- -4 - свободный член
- x - переменная
Деление полиномов
p(x)
и q(x)
- два полинома:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1
+a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1
+a 0
Чтобы найти частное и остаток от деления p(x)
на q(x)
, нужно использовать следующий алгоритм:
- Степень p(x) должна быть больше либо равной степени q(x) .
- Мы должны записать оба полинома в порядке понижения степени. Если в p(x) нет члена с какой-либо степенью, его надо дописать с коэффициентом 0.
- Ведущий член p(x) делится на ведущий член q(x) , и результат записывается под разделительной линией (в знаменателе).
- Умножаем полученный результат на все члены q(x) и записываем результат с противоположными знаками под членами p(x) с соответствующими степенями.
- Складываем почленно слагаемые с одинаковыми степенями.
- К результату приписываем оставшиеся члены p(x) .
- Делим ведущий член полученного полинома на первый член полинома q(x) и повторяем шаги 3-6.
- Эта процедура повторяется до тех пор, пока вновь полученный полином не будет иметь меньшую степень, чем q(x) . Этот полином будет являться остатком от деления.
- Полином, записанный под разделительной линией, является результатом деления (частным).
Пример 1
Шаг 1 и 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$
3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5
7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5
2x 4 -2x 3 +2x 2
/ -x 3 +9x 2 -3x+5
8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5
2x 4 -2x 3 +2x 2
/ -x 3 +9x 2 -3x+5
/ 6x-3 СТОП
x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Частное
Ответ: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3
Пример 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x
X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8
/ 3x 3 +3x 2 +2x-8
/ 38x-8 r(x) СТОП
x 2 +3x+12 --> C(x) Частное
Ответ: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8
Деление на полином первой степени
Это деление можно выполнить с использованием вышеупомянутого алгоритма или даже более быстрым образом, если воспользоваться методом Горнера.
Если f(x)=a n x n +a n-1 x n-1
+...+a 1 x+a 0
, полином можно переписать в виде f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))
q(x)
- полином первой степени ⇒ q(x)=mx+n
Тогда полином в частном будет иметь степень n-1
.
По методу Горнера, $x_0=-\frac{n}{m}$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
где b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0
- частное.
Остатком будет полином нулевой степени, поскольку степень полинома в остатке должна быть меньше, чем степень делителя.
Деление с остатком ⇒
p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r
если $x_0=-\frac{n}{m}$
Отметим, что p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r
Пример 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3
b 3 =5
b 2 =3.5-2=13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362
Пример 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))
b 4 =-2
b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14
r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125
Пример 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac{1}{2}$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$
Вывод
Если мы делим на полином степени выше, чем один, для нахождения частного и остатка нужно воспользоваться алгоритмом 1-9
.
Если мы делим на полином первой степени
mx+n
, то для нахождения частного и остатка нужно использовать метод Горнера с $x_0=-\frac{n}{m}$.
Если нас интересует только остаток от деления, достаточно найти p(x 0)
.
Пример 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5
Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.
Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^{14}$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^{14}+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.
Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство
\begin{equation} P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end{equation}
причём $k < m$.
Словосочетание "разделить многочлен $P_n(x)$ на многочлен $G_m(x)$" означает "представить многочлен $P_n(x)$ в форме (1)". Будем называть многочлен $P_n(x)$ - делимым, многочлен $G_m(x)$ - делителем, многочлен $Q_p(x)$ - частным от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$, а многочлен $R_k(x)$ - остачей от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например, для многочленов $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+2$ можно получить такое равенство:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Здесь многочлен $P_6(x)$ является делимым, многочлен $G_4(x)$ - делителем, многочлен $Q_2(x)=4x^2+x$ - частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$, а многочлен $R_3(x)=2x^3+1$ - остатком от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства соблюдено.
Если $R_k(x)\equiv 0$, то говорят, что многочлен $P_n(x)$ делится на многочлен $G_m(x)$ без остатка. Например, многочлен $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ делится на многочлен $3x^4+15$ без остатка, так как выполнено равенство:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Здесь многочлен $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ является делимым; многочлен $G_4(x)=3x^4+15$ - делителем; а многочлен $Q_2(x)=7x^2+2x$ - частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Остаток равен нулю.
Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление "столбиком" или, как его ещё называют, "уголком". Реализацию этого метода разберём на примерах.
Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым , и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена $P_n(x)$ выражение $a_{0}x^{n}$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старшим элементом будет $4x^{14}$.
Пример №1
Разделить $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, используя деление "столбиком".
Итак, мы имеем два многочлена, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степень первого равна $5$, а степень второго равна $2$. Многочлен $P_5(x)$ - делимое, а многочлен $G_2(x)$ - делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:
Первый шаг
Разделим старший элемент многочлена $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на старший элемент многочлена $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{10x^5}{5x^2}=2x^{5-2}=2x^3. $$
Полученное выражение $2x^3$ - это первый элемент частного:
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $2x^3$, получив при этом:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $10x^5-2x^4+4x^3$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$
На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$
Так как степень многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.
Второй шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $5x^4$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{5x^4}{5x^2}=x^{4-2}=x^2. $$
Полученное выражение $x^2$ - это второй элемент частного. Прибавим к частному $x^2$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $x^2$, получив при этом:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $5x^4-x^3+2x^2$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Так как степень многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.
Третий шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $-15x^3$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{-15x^3}{5x^2}=-3x^{2-1}=-3x^1=-3x. $$
Полученное выражение $(-3x)$ - это третий элемент частного. Допишем к частному $-3x$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $(-3x)$, получив при этом:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ многочлен $-15x^3+3x^2-6x$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x+5 $$
Так как степень многочлена $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) равна степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.
Четвёртый шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $20x^2$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{20x^2}{5x^2}=4x^{2-2}=4x^0=4. $$
Полученное число $4$ - это четвёртый элемент частного. Допишем к частному $4$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $4$, получив при этом:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $20x^2+4x+5$ многочлен $20x^2-4x+8$.
Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.
СодержаниеТеорема
Пусть P k (x)
,
Q n (x)
- многочлены от переменной x
степеней k
и n
,
соответственно, причем k ≥ n
.
Тогда многочлен P k (x)
можно представить единственным способом в следующем виде:
(1)
P k (x)
= S k-n (x)
Q n (x)
+ U n-1
(x)
,
где S k-n (x)
- многочлен степени k-n
,
U n-1
(x)
- многочлен степени не выше n-1
,
или нуль.
Доказательство
По определению многочлена:
;
;
;
,
где p i , q i
- известные коэффициенты, s i , u i
- неизвестные коэффициенты.
Введем обозначение:
.
Подставим в (1)
:
;
(2)
.
Первый член в правой части - это многочлен степени k
.
Сумма второго и третьего членов - это многочлен степени не выше k - 1
.
Приравняем коэффициенты при x k
:
p k = s k-n q n
.
Отсюда s k-n = p k / q n
.
Преобразуем уравнение (2)
:
.
Введем обозначение: .
Поскольку s k-n = p k / q n
,
то коэффициент при x k
равен нулю. Поэтому - это многочлен степени не выше k - 1
,
. Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3)
.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1)
, только значение k
стало на 1
меньше. Повторяя эту процедуру k-n
раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U n-1
(x)
.
Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s i , u l . Причем s k-n ≠ 0 . Лемма доказана.
Деление многочленов
Разделив обе части уравнения (1)
на Q n (x)
,
получим:
(4)
.
По аналогии с десятичными числами, S k-n (x)
называется целой частью дроби или частным, U n-1
(x)
- остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.
Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.
По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10
.
Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10
.
Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.
Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.
Пример деления многочленов уголком
.
Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе - многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):
Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.
1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .
1.2
Умножаем 2
x 2
на x 2 - 3
x + 5
:
. Результат записываем в левый столбик:
1.3
Берем разность многочленов в левом столбике:
.
Итак, мы получили промежуточный результат:
.
Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3
) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2
). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1
Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;
2.2
Умножаем на знаменатель: ;
2.3
И вычитаем из последней строки левого столбика: ;
Промежуточный результат:
.
Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1
;
3.2
;
3.3
;
Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2
.
Поэтому дробь - правильная.
;
2
x 2 - 4
x + 1
- это целая часть;
x - 8
- остаток от деления.
Пример 2
Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.
Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:
Здесь остаток от деления равен нулю:
.
Умножение многочленов столбиком
Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.
Пример умножения многочленов столбиком
Найти произведение многочленов:
.
1
2.1
.
2.2
.
2.3
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
3
;
;
;
.
Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x
можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:
Пример 2
Найти произведение многочленов столбиком:
.
При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.
В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1
Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.
2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.
2.3
Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
2.3
Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
3
После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x
:
.
