Моделирование является одним из самых важных инструментов в современной жизни, когда хотят предвидеть будущее. И это не удивительно, ведь точность такого способа весьма велика. Давайте же в рамках данной статьи рассмотрим, что собой представляет детерминированная модель.
Общая информация
Детерминированные модели систем имеют ту особенность, что могут исследоваться аналитически, если они являются достаточно простыми. В противоположном случае при использовании значительного числа уравнений и переменных для этой цели могут задействоваться электронно-вычислительные машины. Причем помощь ЭВМ, как правило, сводится исключительно к их решению и нахождению ответов. Из-за этого приходится менять системы уравнений и использовать другую дискретизацию. А это влёчет за собой повышенную опасность погрешности при расчетах. Все типы детерминированных моделей характеризуются тем, что знание параметров на определённом исследуемом интервале позволяет нам полностью определить динамику развития за границей известных показателей.
Особенности
Факторное моделирование
Отсылки к этому можно было увидеть на протяжении всей статьи, но что это такое, мы пока не обсуждали. Факторное моделирование подразумевает, что выделяются основные положения, для которых необходимо количественное сопоставление. Для выполнения поставленных целей исследованием производят преобразование формы.
Если жестко детерминированная модель имеет больше двух факторов, то она называется многофакторной. Ее анализ может осуществляться посредством различных приёмов. В качестве примера приведем В этом случае она рассматривает поставленные задачи с точки зрения заранее установленных и проработанных априорных моделей. Выбор среди них осуществляется по содержательному представлению.
Для качественного построения модели необходимо использовать теоретические и экспериментальные исследования сущности технологического процесса и его причинно-следственных связей. Именно в этом и заключается главное преимущество рассматриваемых нами субъектов. Модели детерминированного позволяют осуществлять точное прогнозирование во многих сферах нашей жизни. Благодаря их качественным параметрам и универсальности они и получили такое широкое распространение.
Кибернетические детерминированные модели
Они представляют для нас интерес благодаря основанным на анализе переходным процессам, которые возникают при любых, даже самых ничтожных изменениях агрессивных свойств внешней среды. Для простоты и быстроты расчетов существующее положение дел заменяется упрощенной моделью. Важным является то, чтобы она удовлетворяла всем основным запросам.
От единства всех необходимых параметров зависит работоспособность системы автоматического управления и эффективность принимаемых ею решений. При этом необходимо решить такую задачу: чем больше будет собрано информации, тем выше вероятность ошибки и значительнее срок обработки. Но если ограничить сбор своих данных, то можно рассчитывать на менее надёжный результат. Поэтому необходимо найти золотую середину, которая позволит получить информацию достаточной точности, и одновременно это не будет излишне усложнено лишними элементами.
Мультипликативная детерминированная модель
Она строится посредством разделения факторов на их множество. В качестве примера можно рассмотреть процесс формирования объема производимой продукции (ПП). Итак, для этого необходимо иметь рабочую силу (РС), материалы (М) и энергию (Э). В таком случае фактор ПП можно разбить на множество (РС;М;Э). Такой вариант отображает мультипликативный вид факторной системы и возможность её разделения. В этом случае можно использовать такие методы преобразования: расширение, формальное разложение и удлинение. Первый вариант нашел широкое применение в анализе. Он может использоваться для того, чтобы высчитать эффективность деятельности работника, и так далее.
При удлинении одно значение заменяется другими факторами. Но в конечном итоге должно получиться то же самое число. Пример удлинения был рассмотрен нами выше. Осталось только формальное разложение. Оно предусматривает использование удлинения знаменателя исходной факторной модели благодаря замене одного или нескольких параметров. Рассмотрим такой пример: мы рассчитываем рентабельность производства. Для этого сумма прибыли делится на размер затрат. При мультипликации вместо единого значения делим на просуммированные траты на материал, персонал, налоги и так далее.
Вероятности
О, если бы всё шло именно так, как задумано! Но такое бывает редко. Поэтому на практике часто вместе используются детерминированные и Что можно сказать про последние? Их особенность в том, что они учитывают ещё и различные вероятности. Возьмем, к примеру, следующее. Есть два государства. Отношения между ними очень плохи. Третья сторона решает, инвестировать ли в предприятия одной из стран. Ведь если разгорится война, то прибыль очень пострадает. Или можно привести в пример построение завода в зоне с высокой сейсмической активностью. Здесь ведь действуют природные факторы, которые точно учесть нельзя, можно это сделать только приблизительно.
Заключение
Нами было рассмотрено, что собой представляют модели детерминированного анализа. Увы, но чтобы полноценно разобраться в них и уметь применять на практике, следует очень хорошо поучиться. Теоретические основы уже есть. Также в рамках статьи были представлены и отдельные простые примеры. Далее лучше идти по пути постепенного усложнения рабочего материала. Можно немного упростить себе задачу и начать изучение программного обеспечения, которое может проводить соответствующее моделирование. Но каким бы выбор ни был, понимать основы и уметь дать ответ на вопросы о том, что, как и почему, всё же необходимо. Следует научиться для начала подбирать правильные входные данные и выбирать нужные действия. Тогда программы смогут успешно выполнять свои задачи.
Модели систем, о которых мы говорили до сих пор, были детерминированными (определенными), т.е. задание входного воздействия определяло выход системы однозначно. Однако на практике так бывает редко: описанию реальных систем обычно присуща неопределенность. Например, для статической модели неопределенность можно учесть, записывая место (2.1) соотношение
где -погрешность, приведенная к выходу системы.
Причины неопределенности разнообразны:
– погрешности и помехи измерений входов и выходов системы (естественные погрешности);
– неточность самой модели системы, что заставляет искусственно вводить в модель погрешность;
– неполнота информации о параметрах системы и т.д.
Среди различных способов уточнения и формализации неопределенности наибольшее распространение получил хаотический (вероятностный) подход, при котором неопределенные величины считаются случайными. Развитый понятийный и вычислительный аппарат теории вероятностей и математической статистики позволяет дать конкретные рекомендации по выбору структуры системы и оценке ее параметров. Классификация стохастических моделей систем и методов их исследования представлена в табл. 1.4. Выводы и рекомендации основаны на эффекте усреднения: случайные отклонения результатов измерений некоторой величины от ее ожидаемого значения при суммировании взаимно уничтожаются, и среднее арифметическое большого числа измерений оказывается близким к ожидаемому значению. Математические формулировки этого эффекта даются законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел гласит, что если - случайные величины с математическим ожиданием (средним значением) и дисперсией , то
при достаточно больших N . Это говорит о принципиальной возможности сколь угодно точной оценки по измерениям. Центральная предельная теорема, уточняющая (2.32) утверждает, что
где - стандартная нормально распределенная случайная величина
Поскольку распределение величины хорошо извести и затабулировано (например, известно, что то соотношение (2.33) позволяет вычислять погрешность оценки. Пусть, например требуется найти, при каком числе измерений погрешность оценки их математического ожидания с вероятностью 0,95 окажется меньше, чем 0,01, если дисперсия каждого измерения равна 0,25. Из (2.33) получаем, что должно выполняться неравенство откуда N> 10000.
Разумеется, формулировкам (2.32), (2.33) можно придать более строгий вид, и это легко может быть сделано с помощью понятий вероятностной сходимости. Трудности возникают при попытке проверить условия этих строгих утверждений. Например, в законе больших чисел и централь ной предельной теореме требуется независимость отдельных измерений (реализаций) случайной величины и конечность ее дисперсии. Если эти условия нарушаются, то могут нарушаться и выводы. Например, если все измерения совпадают: то, хотя все остальные условия выполняются об усреднении не может быть и речи. Другой пример: закон больших чисел несправедлив, если случайные величины распределены по закону Коши (с плотностью распределения не обладающему конечными математическими ожиданием и дисперсией. А ведь такой закон встречается в жизни! Например, по Коши распределена интегральная освещенность точек прямолинейного берега равномерно вращающимся прожектором, находящимся в море (на корабле) и включающимся в случайные моменты времени.
Но еще большие трудности вызывает проверка обоснованности самого употребления термина «случайный». Что такое случайная величина, случайное событие и т.д. Часто говорят, что событие А случайно, если в результате эксперимента оно может наступить (с вероятностью р) или не наступить (с вероятностью 1-р). Все, однако, не так просто. Само понятие вероятности может быть связано с результатами экспериментов лишь через частоту его наступления в некотором ряде (серии) экспериментов: , где N A - число экспериментов, в которых событие наступило, N - общее число; экспериментов. Если числа при достаточно большом N приближаются к некоторому постоянному числу р А:
то событие А можно назвать случайным, а число р - его вероятностью. При этом частоты, наблюдавшиеся в различных сериях экспериментов, должны быть близки между собой (это свойство называется статистической устойчивостью или однородностью). Сказанное относится и к понятию случайной величины, поскольку величина является случайной, если случайными являются события {а<£<Ь} для любых чисел а , Ь. Частоты наступления таких событий в длинных сериях экспериментов должны группироваться около некоторых постоянных значений.
Итак, для применимости стохастического подхода должны выполняться следующие требования:
1) массовость проводимых экспериментов, т.е. достаточно большое число;
2) повторяемость условий экспериментов, оправдывающая сравнение результатов различных экспериментов;
3) статистическая устойчивость.
Стохастический подход заведомо нельзя применять к единичным экспериментам: бессмысленны выражения типа «вероятность того, что завтра будет дождь», «с вероятностью 0.8 «Зенит» выиграет кубок» и т.п. Но даже если массовость и повторяемость экспериментов имеются, статистической устойчивости может и не быть, а проверить это - непростое дело. Известные оценки допустимого отклонения частоты от вероятности основаны на центральной предельной теореме или неравенстве Чебышева и требуют дополнительных гипотез о независимости или слабой зависимости измерений. Опытная же проверка условия независимости еще сложнее, так как требует дополнительных экспериментов.
Более подробно методология и практические рецепты применения теории вероятностей изложены в поучительной книге В.Н. Тутубалина , представление о которой дают приводимые ниже цитаты:
«Чрезвычайно важно искоренить заблуждение, встречающееся иногда у недостаточно знакомых с теорией вероятностей инженеров и естествоиспытателей, что результат любого эксперимента можно рассматривать как случайную величину. В особо тяжелых случаях к этому присоединяется вера в нормальный закон распределения, а если уже сами случайные величины не нормальны, то верят, что их логарифмы нормальны».
«По современным представлениям область применения теоретико-вероятностных методов ограничена явлениями, которым присуща статистическая устойчивость. Однако проверка статистической устойчивости трудна и всегда неполна к тому же часто она дает отрицательный вывод. В результате в целых областях знания, например, в геологии, нормой стал такой подход, при котором статистическая устойчивость вовсе не проверяется, что неизбежно приводит к серьезным ошибкам. К тому же пропаганда кибернетики, предпринятая нашими ведущими учеными, дала (в некоторых случаях!) несколько неожиданный результат: теперь считается, что только машина (а не человек) способна получать объективные научные результаты.
В таких обстоятельствах долг каждого преподавателя - вновь и вновь пропагандировать ту старую истину, которую еще Петр I пытался (безуспешно) внушить русским купцам: что торговать надо честно, без обмана, так как в конечном счете это для самих же себя выгоднее».
Как же построить модель системы, если неопределенность в задаче есть, но стохастический подход неприменим? Ниже кратко излагается один из альтернативных подходов, основанный на теории нечетких множеств.
Напоминаем, что отношением (отношением между и) называется подмножество множества. т.е. некоторая совокупности пар R={(x , у )}, где,. Например, функциональная связь (зависимость) может быть представлена как отношение между множествами, включающее пары (х , у ), для которых.
В простейшем случае может быть, a R - отношение тождества, если.
Примеры 12-15 в табл. 1. 1 придуманы в 1988 г. учеником 86 класса 292 школы М. Коротеевым.
Математик здесь, конечно, заметит, что минимум в (1.4), строго говоря, может не достигаться и в формулировке (1.4) нужно заменить rnin на inf («инфимум» - точная нижняя грань множества). Однако ситуация от этого не изменится: формализация в данном случае не отражает существа задачи, т.е. проведена неверно. В дальнейшем, чтобы не«пугать» инженера, мы будем пользоваться обозначениями min, max; имея в виду, что при необходимости их следует заменить на более общие inf, sup.
Здесь термин «структура» используется в смысле, несколько более узком, нем в подразд. 1.1, и означает состав подсистем в системе и типы связей между ними.
Графом называется пара (G , R ), где G={g 1 ... g n }- конечное множество вершин, a - бинарное отношение на G. Если, тогда и только тогда, когда, то граф называется неориентированным, в противном случае - ориентированным. Пары называются дугами (ребрами), а элементы множества G - вершинами графа.
То есть алгебраические или трансцендентные.
Строго говоря, счетное множество представляет собой некоторую идеализацию, которую невозможно реализовать практически из-за конечности размеров технических систем и пределов человеческого восприятия. Такие идеализированные модели (например, множество натуральных чисел N ={1, 2,...}) имеет смысл вводить для множеств конечных, но с заранее не ограниченным (или неизвестным) числом элементов.
Формально понятие операции является частным случаем понятия отношения между элементами множеств. Например, операция сложения Двух чисел задает 3-местное (тернарное) отношение R: тройка чисел (х, у, z ) z ) принадлежит отношению R (пишем (х,у,z)), если z = х+у.
Комплексное число, аргумент полиномов А (), В ().
Это предположение часто выполняется на практике.
Если величина неизвестна, то следует заменить в (2.33) на оценку где При этом величина будет распределена уже не нормально, а по закону Стьюдента, который при практически неотличим от нормального.
Легко заметить, что (2.34) есть частный случай (2.32), когда берется, если событие А наступило в j- м эксперименте, в противном случае.При этом
А сегодня можно добавить «... и информатики» (прим. автора).
Любому
реальному процессу свойственны
случайные колебания, вызываемые
физической изменчивостью каких- либо
факторов
во времени. Кроме того, могут существовать
случайные внешние воздействия на
систему. Поэтому при равном среднем
значении входных в параметров
в различные моменты времени выходные
параметры будут неодинаковы. Следовательно,
если случайные воздействия на исследуемую
систему существенны, необходимо
разрабатывать вероятностную
(стохастическую)
модель объекта, учитывая статистические
законы распределения параметров системы
и выбирая соответствующий математический
аппарат.
При построении детерминированных моделей случайными факторами пренебрегают, учитывая лишь конкретные условия решаемой задачи, свойства и внутренние связи объекта (по этому принципу построены практически все разделы классической физики)
Идея детерминистических методов - в использовании собственной динамики модели при эволюции системы.
В
нашем курсе эти методы представляют:
метод
молекулярной динамики
,
преимуществами которого являться:
точность и определенность численного
алгоритма; недостатком - трудоемкость
из- за подсчета сил взаимодействия между
частицами (для системы N
частиц на каждом шаге нужно выполнить
операций подсчета этих сил).
При
детерминистическом
подходе
задаються, и интегрируются по времени
уравнения движения. Мы будем рассматривать
системы из многих частиц. Положение
частиц дают вклад потенциальной энергии
в полную энергию системы, а их скорости
определяют вклад кинетической энергии.
Система движется вдоль траектории с
постоянной энергией в фазовом пространстве
(далее будут пояснения). Для детерминированных
методов естественным является
микроканонический ансамбль, энергия
которого - это интеграл движения. Кроме
того, можно исследовать и системы, для
которых интегралом движения являться
температура и (или) давление. В этом
случае система незамкнута, и ее можно
представить в контакте с тепловым
резервуаром (канонический ансамбль).
Для ее моделирования можно использовать
подход, при котором мы ограничиваем ряд
степеней свободы системы (например,
задаем условие
).
Как мы уже отмечали, в случае, когда процессы в системе происходят непредсказуемо, такие события и связанные с ними величины называют случайными , а алгоритмы моделирования процессов в системе - вероятностными (стохастическими) . Греческое stoohastikos - означает буквально “тот, кто может угадать”.
Стохастические методы используют несколько иной подход, чем детерминистические: требуется насчитать лишь конфигурационную часть задачи. Уравнения для импульса системы всегда можно проинтегрировать. Проблема, которая затем встает - каким образом вести переходы от одной конфигурации к другой, которые в детерминистическом подходе определяться импульсом. Такие переходы в стохастических методах осуществляться при вероятностной эволюции в марковском процессе . Марковский процесс является вероятностным аналогом собственной динамики модели.
Этот подход имеет то преимущество, что позволяет моделировать системы, не имеющие какой - бы то ни было собственной динамики.
В отличие от детерминистических, стохастические методы на ПК реализуют проще, быстрее, однако для получения близких к истинным величин необходима хорошая статистика, что требует моделирования большого ансамбля частиц.
Примером полностью стохастического метода является метод Монте-Карло . Стохастические методы используют важную концепцию марковского процесса (марковской цепи). Марковский процесс является вероятностным аналогом процесса в классической механике. Марковская цепь характеризуется отсутствием памяти, т. е. статистические характеристики ближайшего будущего определяться только настоящим, без учета прошлого.
Практичне заняття 2.
Модель случайного блуждания
Пример (формальный)
Предположим, что в узлах двумерной решетки в произвольных позициях размещены частицы. На каждом временном шаге частица “прыгает” в одну из блажащих позиций. Значит, частица имеет возможность выбора направления прыжка в любое из четырех ближайших мест. После прыжка частица "не помнит", откуда она прыгнула. Этот случай соответствует случайному блужданию и является марковской цепью. Результатом на каждом шаге является новое состояние системы частиц. Переход из одного состояния в другое зависит только от предыдущего состояния, т. е. вероятность нахождения системы в состоянии i зависит только от состояния i-1.
Какие же физические процессы в твердом теле напоминают нам (подобие) описанной формальной модели случайного блуждания?
Конечно же, диффузионные, т. е. самые, процессы, механизмы которых мы рассматривали курсе тепло - массопереноса (3 курс). В качестве примера вспомним обычную классическую самодиффузию в кристалле, когда, не меняя своих видимых свойств атомы периодически меняют места временной оседлости и блуждают по решетке, с помощью так называемого “вакансионного” механизма. Он же - один из важнейших механизмов диффузии в сплавах. Явление миграции атомов в твердых телах играют решающую роль во многих традиционных и нетрадиционных технологиях - металлургии, металлообработке, создании полупроводников и сверхпроводников, защитных покрытий и тонких пленок.
Его открыл Роберт Аустен в 1896 году, наблюдая диффузию золота и свинца. Диффузия - процесс перераспределения концентраций атомов в пространстве путем хаотической (тепловой) миграции. Причины , с точки зрения термодинамики, могут быть две: энтропийная (всегда) и энергетическая (иногда). Энтропийная причина - это увеличение хаоса при перемешивании атомов резного сорта. Энергетическая - способствует образованию сплава, когда выгоднее быть рядом атомом разного сорта, и способствует диффузионному распаду, когда энергетический выиграш, обеспечивается размещением вместе атомов одного сорта.
Наиболее распространенными механизмами диффузии являются:
вакансионный
межузловой
механизм вытеснения
Для реализации вакансионного механизма необходима хотя бы одна вакансия. Миграция вакансий осуществляется путем перехода в незанятый узел одного из соседних атомов. Атом же может осуществить диффузионный скачок, если рядом с ним оказалась вакансия. Вакансия см, с периодом тепловых колебаний атома в узле решеткис, при температуре Т=1330 К (на 6 К < точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.
Природе понадобилось. чтобы вакансия в течении 1с раз изменила место оседлости, прошла по ломаной 3м, а сместилась по прямой всего лишь на 10 мкм. Атомы ведут себя спокойнее вакансий. Но и они миллион раз в секунду меняют место оседлости и движутся со скоростью примерно 1м/час.
Так. что достаточно одной вакансии на несколько тысяч атомов, чтобы при температуре, близкой к плавлению, перемещать атомы на микро уровне.
Сформируем теперь модель случайного блуждания для явления диффузии в кристалле. Процесс блуждания атома - хаотический и непредсказуемый. Однако для ансамбля блуждающих атомов должны проявляться статистические закономерности. Мы рассмотрим некоррелированные скачки.
Это
значит, что если
и
-
перемещение атомов приi
и j-м
скачках, то после усреднения по ансамблю
блуждающих атомов:
(среднее
произведение= произведению средних.
Если блуждания полностью случайны, все
направления равноправны и
=0.)
пусть каждая частица ансамбля совершает N элементарных скачков. Тогда ее полное перемещение равно:
;
а средний квадрат перемещения
Так как корреляции нет, то второе слагаемое =0.
Пусть каждый скачок имеет одинаковую длину h и случайное направление, а среднее число скачков в единицу времени- v. Тогда
Очевидно,
что
Назовем
величину
-
коэффициентом диффузии блуждающих
атомов.
Тогда
;
Для
трехмерного случая -
.
Мы получили параболический закон диффузии - средний квадрат смещения пропорционален времени блужданий.
Именно эту задачу нам предстоит решить на следующей лабораторной работе - моделирование случайных одномерных блужданий.
Численная модель.
Мы задаем ансамбль из М частиц, каждая из которых совершает N шагов, независимо друг от друга, вправо или влево с одинаковой вероятностью. Длина шага = h.
Для
каждой частицы вычисляем квадрат
смещения
заN
шагов. Затем проводим усреднение по
ансамблю -
.
Величина
,
если
,
т. е. Средний квадрат смещения пропорционален
времени случайных блужданий
-
среднее время одного шага) - параболический
закон диффузии.
Математические модели в экономике и программировании
1. Детерминированные и вероятностные математические модели в экономике. Преимущества и недостатки
Методы исследования экономических процессов базируются на использовании математических - детерминированных и вероятностных - моделей, представляющих изучаемый процесс, систему или вид деятельности. Такие модели дают количественную характеристику проблемы и служат основой для принятия управленческого решения при поисках оптимального варианта. Насколько обоснованы эти решения, являются ли они лучшими из возможных, учтены ли и взвешены все факторы, определяющие оптимальное решение, каков критерий, позволяющий определить, что данное решение действительно наилучшее, - таков круг вопросов, имеющих большое значение для руководителей производства, и ответ на которые можно найти с помощью методов исследования операций [Чесноков С. В. Детерминационный анализ социально-экономических данных. - М.: Наука, 1982, стр. 45].
Одним из принципов формирования системы управления является метод кибернетических (математических) моделей. Математическое моделирование занимает промежуточное положение между экспериментом и теорией: нет необходимости строить реальную физическую модель системы, ее заменит математическая модель. Особенность формирования системы управления заключается в вероятностном, статистическом подходе к процессам управления. В кибернетике принято, что любой процесс управления подвержен случайным, возмущающим воздействиям. Так, на производственный процесс оказывают влияния большое количество факторов, учесть которые детерминированным образом невозможно. Поэтому считается, что на производственный процесс воздействуют случайные сигналы. В силу этого планирование работы предприятия может быть только вероятностным.
По этим причинам часто, говоря о математическом моделировании экономических процессов, имеют в виду именно вероятностные модели.
Опишем каждый из типов математических моделей.
Детерминированные математические модели характеризуются тем, что описывают связь некоторых факторов с результативным показателем как функциональную зависимость, т. е. в детерминированных моделях результативный показатель модели представлен в виде произведения, частного, алгебраической суммы факторов, или в виде любой другой функции. Данный вид математических моделей наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простыми в применении (по сравнению вероятностными моделями), позволяет осознать логику действия основных факторов развития экономического процесса, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.
Вероятностные математические модели принципиально отличаются от детерминированных тем, что в вероятностных моделях взаимосвязь между факторами и результирующим признаком вероятностная (стохастическая): при функциональной зависимости (детерминированные модели) одному и тому же состоянию факторов соответствует единственное состояние результирующего признака, тогда как в вероятностных моделях одному и тому же состоянию факторов соответствует целое множество состояний результирующего признака [Толстова Ю. Н. Логика математического анализа экономических процессов. - М.: Наука, 2001, с. 32-33].
Преимущество детерминированных моделей в простоте их применения. Основной недостаток - низкая адекватность реальной действительности, т. к., как было отмечено выше, большинство экономических процессов носит вероятностный характер.
Достоинством вероятностных моделей является то, что они, как правило, больше соответствуют реальной действительности (более адекватны), чем детерминированные. Однако, недостатком вероятностных моделей является сложность и трудоемкость их применения, так что во многих ситуациях достаточно бывает ограничиться детерминированными моделями.
2. Постановка задачи линейного программирования на примере задачи о пищевом рационе
Впервые постановка задачи линейного программирования в виде предложения по составлению оптимального плана перевозок; позволяющего минимизировать суммарной километраж, была дана в работе советского экономиста А. Н. Толстого в 1930 году.
Систематические исследования задач линейного программирования и разработка общих методов их решения получили дальнейшее развитие в работах российских математиков Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова и других математиков и экономистов. Также методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных и, прежде всего, американских ученых.
Задача линейного программирования состоит в максимизации (минимизации) линейной функции.
при ограничениях
причем все
Замечание. Неравенства могут быть и противоположного смысла. Умножением соответствующих неравенств на (-1) можно всегда получить систему вида (*).
Если число переменных системы ограничений и целевой функции в математической модели задачи равно 2, то её можно решить графически.
Итак, надо максимизировать функцию к удовлетворяющей системе ограничений.
Обратимся к одному из неравенств системы ограничений.
С геометрической точки зрения все точки, удовлетворяющие этому неравенству, должны либо лежать на прямой , либо принадлежать одной из полуплоскостей, на которые разбивается плоскость этой прямой. Для того чтобы выяснить это, надо проверить какая из них содержит точку ().
Замечание 2. Если , то проще взять точку (0;0).
Условия неотрицательности также определяют полуплоскости соответственно с пограничными прямыми . Будем считать, что система неравенств совместна, тогда полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты которых являются решением данной системы - это множество допустимых решений. Совокупность этих точек (решений) называется многоугольником решений. Он может быть точкой, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью. Таким образом, задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху (снизу). При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим прямую (где h - некоторая постоянная). Чаще всего берется прямая . Остается выяснить направление движения данной прямой. Это направление определяется градиентом (антиградиентом) целевой функции.
Вектор в каждой точке перпендикулярен прямой , поэтому значение f будет возрастать при перемещении прямой в направлении градиента (убывать в направлении антиградиента). Для этого параллельно прямой проводим прямые, смещаясь в направлении градиента (антиградиента).
Эти построения будем продолжать до тех пор, пока прямая не пройдет через последнюю вершину многоугольника решений. Эта точка определяет оптимальное значение.
Итак, нахождение решения задачи линейного программирования геометрическим методом включает следующие этапы:
Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Находят многоугольник решений.
Строят вектор .
Строят прямую .
Строят параллельные прямые в направлении градиента или антиградиента, в результате чего находят точку, в которой функция принимает максимальное или минимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху (снизу) функции на допустимом множестве.
Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе)
Постановка задачи
Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П1, П2, П3, П4; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С1, С2, С3, С4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков - не менее b1 единиц; углеводов - не менее b2 единиц; жиров - не менее b3 единиц. Для продуктов П1, П2, П3, П4 содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где aij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) - какие-то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй - номер элемента (белки, углеводы, жиры).
Вероятностно-детерминированные математические прогнозирующие модели графиков энергетических нагрузок являются комбинацией статистических и детерминированных моделей. Именно эти модели позволяют обеспечить наилучшую точность прогнозирования, адаптивность к изменяющемуся процессу электропотребления .
Они базируются на концепции стандартизованного моделирования
нагрузки , т.е. аддитивной декомпозиции фактической нагрузки на стандартизованный график (базовой составляющей, детерминированного тренда) 
и остаточную составляющую 
:
где t – время внутри суток; d – номер суток, например, в году.
В стандартной составляющей 
при моделировании также осуществляют аддитивное выделение отдельных составляющих, учитывающих : изменение средней сезонной нагрузки 
; недельную цикличность изменения электропотребления 
; трендовую составляющую, моделирующую дополнительные эффекты, связанные с изменением времени восхода и захода солнца от сезона к сезону 
; составляющую, учитывающую зависимость электропотребления от метеофакторов 
, в частности температуры и т.п.
Рассмотрим подробнее подходы моделирования отдельных составляющих на основе упомянутых выше детерминированных и статистических моделей .
Моделирование средней сезонной нагрузки
зачастую осуществляют с использованием простого скользящего усреднения :
где N – число обычных регулярных (рабочих дней), содержащихся в n прошедших неделях. 
, так как из недель исключаются «специальные», «нерегулярные дни», праздники и т.п. Осуществляется ежедневное обновление путем усреднения данных за n прошедших недель.
Моделирование недельной цикличности 
также осуществляют скользящим усреднением вида
с обновлением еженедельно путем усреднения данных за n прошедших недель, либо используя экспоненциально взвешенное скользящее среднее :
где – эмпирически определяемый параметр сглаживания (
).
В работе для моделирования 
и 
используется семь составляющих 
, 
для каждого дня недели, причем каждое 
определяется отдельно с использованием модели экспоненциального сглаживания.
Авторы работы для моделирования 
используют двойное экспоненциальное сглаживание типа Холта – Винтерса. В работе для моделирования 
используют гармоническое представление вида
с параметрами , оцениваемыми по эмпирическим данным (значение «52» определяет число недель в году). Однако задача адаптивного оперативного оценивания этих параметров в указанной работе не решена полностью.
Моделирование 
, 
в ряде случаев осуществляют с помощью конечных рядов Фурье
: с недельным периодом , с суточным периодом , либо с раздельным моделированием рабочих и выходных дней соответственно с периодами пять и двое суток :
Для моделирования трендовой составляющей 
используют либо полиномы 2-го – 4-го порядков , либо различные нелинейные эмпирические функции, например, вида :
где – полином четвертой степени, описывающий относительно медленные сглаженные изменения нагрузки 
в дневные часы по сезонам; , , – функции моделирующие эффекты, связанные с изменением времени восхода и захода солнца по сезонам.
Для учета зависимости электропотребления от метеофакторов в ряде случаев вводят дополнительную составляющую 
. В работе теоретически обосновывается включение 
в модель, но возможности моделирования температурного эффекта при этом рассматриваются лишь в ограниченном объеме . Так, для представления температурной составляющей 
для условий Египта используется полиномиальная модель
где – температура воздуха в t-й час.
Применяется регрессионный метод для «нормализации» максимумов и провалов реализации процесса с учетом температуры, при этом нормализованные данные представляются одномерной моделью авторегрессии интегрированного скользящего среднего (АРИСС) .
Используют также для моделирования 
с учетом температуры рекурсивный фильтр Калмана, в который включаются внешние факторы – прогноз температуры. Либо используют в краткосрочном диапазоне полиномиальную кубическую интерполяцию часовых нагрузок и при этом в модели учитывают влияние температуры .
Для учета среднесуточных прогнозов температуры, различных метеоусловий на реализации анализируемого процесса и в то же время повышения устойчивости модели предлагается использовать особую модификацию модели скользящего среднего
,
где для различных метеоусловий, связанных с вероятностями формируется ряд из m графиков нагрузки 
, а прогноз определяется как условное математическое ожидание. Вероятности уточняются по методу Байеса по мере поступления новых фактических значений нагрузки и факторов в течении суток.
Моделирование остаточной составляющей
осуществляют как с использованием одномерных моделей, так и многомерных, учитывающих метеорологические и другие внешние факторы. Так, в качестве одномерной (однофакторной) модели зачастую используют модель авторегрессии АР(k) порядка k
,
где – остаточный белый шум. Для прогнозирования часовых (получасовых) отсчетов используют модели АР(1), АР(2) и даже АР(24) . Даже в случае использования обобщенной модели АРИСС для 
все равно ее применение сводится к моделям АР(1), АР(2) как для пятиминутных , так и часовых измерений нагрузки .
Иной однофакторной моделью моделирования составляющей 
является модель простого или двойного экспоненциального сглаживания
. Эта модель позволяет эффективно выявлять краткосрочные тренды в процессе изменения остаточной нагрузки . Простота, экономичность, рекурсивность и вычислительная эффективность обеспечивают методу экспоненциального сглаживания широкое применение. С помощью простого экспоненциального сглаживания по 
при различных постоянных и определяют две экспоненциальные средние 
и 
. Прогноз остаточной составляющей 
с упреждением определяют по формуле
