Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Как решать дифференциальные уравнения первого порядка
Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на ,
при ,
мы получим уравнение вида:
,
где .
Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на .
Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.
Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении - независимая переменная, а - это функция от .
Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.
Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что .
Тогда делаем подстановку .
После этого уравнение примет более простой вид:
.
Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель.
Уравнения с разделяющимися переменными
;
.
Делим на и интегрируем. При получаем:
.
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Решаем подстановкой:
,
где - функция от .
Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Уравнения, приводящиеся к однородным
Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Обобщенные однородные уравнения
Делаем подстановку .
Получаем однородное уравнение в переменных и .
Линейные дифференциальные уравнения
Есть три метода решения линейных уравнений.
2)
Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
3)
Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где - постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию ,
зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Уравнения Бернулли
Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.
Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив ,
получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Уравнения Риккати
Оно не решается в общем виде. Подстановкой
уравнение Риккати приводится к виду:
,
где - постоянная; ;
.
Далее, подстановкой:
оно приводится к виду:
,
где .
Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>
Уравнения Якоби
Решается подстановкой:
.
Уравнения в полных дифференциалах
При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.
Для нахождения функции ,
наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Интегрирующий множитель
Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель .
Интегрирующий множитель - это такая функция,
при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Уравнения, не решенные относительно производной y"
Уравнения, допускающие решение относительно производной y"
Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.
Уравнения, допускающие разложение на множители
Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;
;
.
Полагаем .
Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .
Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию ,
чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр ,
интегрируем уравнение:
;
.
Уравнения, разрешенные относительно y
Уравнения Клеро
Такое уравнение имеет общее решение
Уравнения Лагранжа
Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем ,
где - параметр.
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли
Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Данный онлайн калькулятор позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн. Достаточно в соответствующее поле ввести ваше уравнение, обозначая через апостроф " производную от функции и нажать на кнопку "решить уравнение". И система, реализованная на основе популярного сайта WolframAlpha выдаст подробное решение дифференциального уравнения абсолютно бесплатно. Вы можете также задать задачу Коши, чтобы из всего множества возможных решений выбрать частное соответствующее заданным начальным условиям. Задача Коши вводится в отдельном поле.
Дифференциальное уравнение
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x . Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t . С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или неразделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций . Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.
Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и: (или - общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при: , . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием, совпадают на пересечении интервалов определения.
Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.
1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная. Это позволяет принять за новый аргумент, а производную 1-го порядка принять за новую функцию. Тогда.
Таким образом, уравнение 2-го порядка для функции, не содержащее явно, свелось к уравнению 1-го порядка для функции. Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл или, а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: .
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях: , .
Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент, то примем за новую независимую переменную, а - за. Тогда и уравнение приобретает следующий вид для функции: .
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: . Откуда следует, т.е. .
Так как при и, то подставляя начальные условия в последнее равенство, получаем, что и, что равносильно. В результате для функции имеем уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, получаем. Используя начальные условия, получаем, что. Следовательно, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий начальным условиям, имеет вид: .
2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнение явно не входит искомая функция. В этом случае вводят постановку. Тогда и уравнение 2-го порядка для функции переходит в уравнение 1-го порядка для функции. Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции: . Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: .
Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.
1. Уравнения вида y (n) =f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, 
,… .
Пример
. Решить уравнение xy""=1 . Можем записать , следовательно, y"=ln|x| + C 1 и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. В уравнениях вида F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y (k) = z(x). Тогда y (k +1) =z"(x),…,y (n) = z (n - k) (x) и мы получаем уравнение F(x,z,z",..,z (n - k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n - k) рассмотренного в случае 1 типа.
Пример 1
. Решить уравнение x 2 y"" = (y") 2 . Делаем замену y"=z(x) . Тогда y""=z"(x) . Подставляя в исходное уравнение, получаем x 2 z"=z 2 . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем 
, или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем 
Пример 2
. Решить уравнение x 3 y"" +x 2 y"=1 .Делаем замену переменных: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. Откуда: u"=1/x 2 или du/dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Поскольку z=u/x, то z = -1/x 2 +c 1 /x. Поскольку y"=z, то dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Ответ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y",y"",…,y (n))=0 , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y"=p(y) , где p - новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.
Пример
. Решить уравнение (y") 2 +2yy""=0 . Делаем стандартную замену y"=p(y) , тогда y″=p′·p . Подставляя в уравнение, получаем 
Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем 
или, что то же самое, . Тогда
или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем 
При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y"=0, но оно содержится в полученном выше.
4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.
Примеры
.
1. Если обе части уравнения yy"""=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC , или, что то же самое, y″=Cy . Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y"+1))" = (lny)" . Из последнего соотношения следует, что ln(y"+1) = lny + lnC 1 , или y"=C 1 y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Решить уравнения, допускающие понижение порядка
можно с помощью специального сервиса
одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть дано уравнение
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у " =р(х). Тогда у "" =p " (x) и получаем ДУ первого порядка: p " =ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y " =р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как 
уравнение (3.6) можно записать в виде dy " =ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y "" =ƒ(х), получаем: y " = или y " =j1 (x)+с 1 . Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение 
то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:
Пример 3.1. Решить уравнение 
Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим
Пусть дано уравнение
Обозначим у " =р, где р=р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у "" =p " и уравнение (3.7) принимает вид p " =ƒ(х;р). Пусть р=j(х;с 1) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y " , получаем ДУ: y " =j(х;с 1). Оно имеет вид (3.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (3.7) будет иметь вид
Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y (к) =р(х). Тогда у (к+1) =p " ; ...; y (n) =p (n-k) и уравнение (3.9) примет вид F(x;p;p " ;... ;p (n-κ))=0. Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение
С помощью замены y (n-1) =p(x), y (n) =p " это уравнение сводится к ДУ первого порядка.
Пример 3.2. Решить уравнение 
Решение: Полагаем у"=р, где 
Тогда 
Это уравнение с разделяющимися переменными: 
Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим y"=с 1 х,
- общее решение уравнения.
III. Рассмотрим уравнение
которое не содержит явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(y), зависящую от переменной у, полагая у"=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р =р(у(х)):
т. е. 
Теперь уравнение (3.10) запишется в виде 
Пусть р=j(y;с 1) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y", получаем y"=j(y;с 1) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (3.10): 
Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у " =p(у),
Так же поступаем при решении уравнения F(у; у " ; у"";...; у (n))=0. Его порядок можно понизить на единицу, положив y"=р, где р=р(y). По правилу дифференцирования сложной функции находим Затем найдем
р=uv=((-1+у)е -y +е -у +c 1) е+у, или р=c 1 ey+у. Заменяя р на у " , получаем: у"=c 1 -e y +у. Подставляя y"=2 и у=2 в это равенство, находим с 1:
2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.
Имеем у"=у. Отсюда у=с 2 е х. Находим с 2 из начальных условий: 2=с 2 е°, с 2 =2. Таким образом, у=2e x - частное решение данного
