Единицы измерения заряда. Закон Кулона

В 1785 г. французский физик Шарль Кулон экспериментально установил основной закон электростатики – закон взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел или частиц.

Закон взаимодействия неподвижных электрических зарядов – закон Кулона – основной (фундаментальный) физический закон и может быть установлен только опытным путем. Ни из каких других законов природы он не вытекает.

Если обозначить модули зарядов через |q 1 | и |q 2 |, то закон Кулона можно записать в следующей форме:

\(~F = k \cdot \dfrac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}\) , (1)

где k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда. В системе СИ \(~k = \dfrac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9\) Н·м 2 /Кл 2 , где ε 0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 .

Формулировка закона :

сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Эту силу называют кулоновской .

Закон Кулона в данной формулировке справедлив только для точечных заряженных тел, т.к. только для них понятие расстояния между зарядами имеет определенный смысл. Точечных заряженных тел в природе нет. Но если расстояние между телами во много раз больше их размеров, то ни форма, ни размеры заряженных тел существенно, как показывает опыт, не влияют на взаимодействие между ними. В этом случае тела можно рассматривать как точечные.

Легко обнаружить, что два заряженных шарика, подвешенные на нитях, либо притягиваются друг к другу, либо отталкиваются. Отсюда следует, что силы взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела. Подобные силы называют центральными . Если через \(~\vec F_{1,2}\) обозначить силу действующую на первый заряд со стороны второго, а через \(~\vec F_{2,1}\) – силу, действующую на второй заряд со стороны первого (рис. 1), то, согласно третьему закону Ньютона, \(~\vec F_{1,2} = -\vec F_{2,1}\) . Обозначим через \(\vec r_{1,2}\) радиус-вектор, проведенный от второго заряда к первому (рис. 2), тогда

\(~\vec F_{1,2} = k \cdot \dfrac{q_1 \cdot q_2}{r^3_{1,2}} \cdot \vec r_{1,2}\) . (2)

Если знаки зарядов q 1 и q 2 одинаковы, то направление силы \(~\vec F_{1,2}\) совпадает с направлением вектора \(~\vec r_{1,2}\) ; в противном случае векторы \(~\vec F_{1,2}\) и \(~\vec r_{1,2}\) направлены в противоположные стороны.

Зная закон взаимодействия точечных заряженных тел, можно вычислить силу взаимодействия любых заряженных тел. Для этого тела нужно мысленно разбить на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать точечным. Складывая геометрически силы взаимодействия всех этих элементов друг с другом, можно вычислить результирующую силу взаимодействия.

Открытие закона Кулона – первый конкретный шаг в изучении свойств электрического заряда. Наличие электрического заряда у тел или элементарных частиц означает, что они взаимодействуют друг с другом по закону Кулона. Никаких отклонений от строгого выполнения закона Кулона в настоящее время не обнаружено.

Опыт Кулона

Необходимость проведения экспериментов Кулона была вызвана тем, что в середине XVIII в. накопилось много качественных данных об электрических явлениях. Возникла потребность дать им количественную интерпретацию. Поскольку силы электрического взаимодействия были относительно невелики, возникла серьезная проблема в создании метода, который позволил бы произвести замеры и получить необходимый количественный материал.

Французский инженер и ученый Ш. Кулон предложил метод измерения малых сил, который основывался на следующем экспериментальном факте, обнаруженном самим ученым: сила, возникающая при упругой деформации металлической проволоки, прямо пропорциональна углу закручивания, четвертой степени диаметра проволоки и обратно пропорциональна ее длине:

\(~F_{ynp} = k \cdot \dfrac{d^4}{l} \cdot \varphi\) ,

где d – диаметр, l – длина проволоки, φ – угол закручивания. В приведенном математическом выражении коэффициент пропорциональности k находился опытным путем и зависел от природы материала, из которого изготавливалась проволока.

Данная закономерность была использована в так называемых крутильных весах. Созданные весы позволили измерить ничтожно малые силы порядка 5·10 -8 Н.

Крутильные весы (рис. 3, а) состояли из легкого стеклянного коромысла 9 длиной 10,83 см, подвешенного на серебряной проволоке 5 длиной около 75 см, диаметром 0,22 см. На одном конце коромысла располагался позолоченный бузиновый шарик 8 , а на другом – противовес 6 – бумажный кружок, смоченный в скипидаре. Верхний конец проволоки прикреплялся к головке прибора 1 . Здесь же имелся указатель 2 , с помощью которого отсчитывался угол закручивания нити по круговой шкале 3 . Шкала была проградуирована. Вся эта система размещалась в стеклянных цилиндрах 4 и 11 . В верхней крышке нижнего цилиндра имелось отверстие, в которое вставлялась стеклянная палочка с шариком 7 на конце. В опытах применялись шарики с диаметрами в пределах 0,45 – 0,68 см.

Перед началом эксперимента указатель головки устанавливался на нулевой отметке. Затем шарик 7 заряжался от предварительно наэлектризованного шарика 12 . При соприкосновении шарика 7 с подвижным шариком 8 происходило перераспределение заряда. Однако из-за того, что диаметры шариков были одинаковыми, одинаковыми были и заряды на шариках 7 и 8 .

Вследствие электростатического отталкивания шариков (рис. 3, б) коромысло 9 поворачивалось на некоторый угол γ (по шкале 10 ). С помощью головки 1 это коромысло возвращалось в исходное положение. По шкале 3 указатель 2 позволял определять угол α закручивания нити. Общий угол закручивания нити φ = γ + α . Сила же взаимодействия шариков была пропорциональна φ , т. е. по углу закручивания можно судить о величине этой силы.

При неизменном расстоянии между шариками (оно фиксировалось по шкале 10 в градусной мере) исследовалась зависимость силы электрического взаимодействия точечных тел от величины заряда на них.

Для определения зависимости силы от заряда шариков Кулон нашел простой и остроумный способ изменения заряда одного из шариков. Для этого он соединял заряженный шарик (шарики 7 или 8 ) с таким же по размерам незаряженным (шарик 12 на изолирующей ручке). Заряд при этом распределялся поровну между шариками, что и уменьшало исследуемый заряд в 2, 4 и т. д. раз. Новое значение силы при новом значении заряда опять определялось экспериментально. При этом выяснилось, что сила прямо пропорциональна произведению зарядов шариков :

\(~F \sim q_1 \cdot q_2\) .

Зависимость силы электрического взаимодействия от расстояния была обнаружена следующим образом. После сообщения шарикам заряда (он был у них одинаковый) коромысло отклонялось на некоторый угол γ . Затем поворотом головки 1 уменьшался этот угол до γ 1 . Общий угол закручивания φ 1 = α 1 + (γ - γ 1)(α 1 – угол поворота головки). При уменьшении углового расстояния шариков до γ 2 общий угол закручивания φ 2 = α 2 + (γ - γ 2) . Было замечено, что, если γ 1 = 2γ 2 , ТО φ 2 = 4φ 1 , т. е. при уменьшении расстояния в 2 раза сила взаимодействия возрастала в 4 раза. Во столько же раз увеличился момент силы, так как при деформации кручения момент силы прямо пропорционален углу закручивания, а значит, и сила (плечо силы оставалось неизменным). Отсюда вытекает вывод: сила взаимодействия двух заряженных шариков обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\(~F \sim \dfrac{1}{r^2}\) .

Литература

1. Мякишев Г.Я. Физика: Электродинамика. 10-11 кл.: учеб. для углубленного изучения физики / Г.Я. Мякишев, А.З. Синяков, Б.А. Слободсков. – М.: Дрофа, 2005. – 476 с.
2. Вольштейн С. Л. и др. Методы физической науки в школе: Пособие для учителя / С.Л. Вольштейн, С.В. Позойский, В.В. Усанов; Под ред. С.Л. Вольштейна. – Мн.: Нар. асвета, 1988. – 144 с.

Публикации по материалам Д. Джанколи. "Физика в двух томах" 1984 г. Том 2.

Между электрическими зарядами действует сила. Как она зависит от величины зарядов и других факторов?
Этот вопрос исследовал в 1780-е годы французский физик Шарль Кулон (1736-1806). Он воспользовался крутильными весами, очень похожими на те, которые применял Кавендиш для определения гравитационной постоянной.
Если к шарику на конце стержня, подвешенного на нити, подности заряд, стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол поворота нити будет пропорционален действующей между зарядами силе (крутильные весы). С помощью этого прибора Кулон определил зависимость силы от величины зарядов и расстояния между ними.

В те времена еще не было приборов для точного определения величины заряда, но Кулон сумел приготовить небольшие шарики с известным соотношением зарядов. Если заряженный проводящий шарик, рассуждал он, привести в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком, то имевшийся на первом заряд в силу симметрии распределится поровну между двумя шариками.
Это дало ему возможность получать заряды, составлявшие 1/2, 1/4 и т.д. от первоначального.
Несмотря на некоторые трудности, связанные с индуцированием зарядов, Кулону удалось доказать, что сила, с которой одно заряженное тело действует на другое малое заряженное тело, прямо пропорциональна электрическому заряду каждого из них.
Другими словами, если заряд любого из этих тел удвоить, то удвоится и сила; если же удвоить одновременно заряды обоих тел, то сила станет вчетверо больше. Это справедливо при условии, что расстояние между телами остается постоянным.
Изменяя расстояние между телами, Кулон обнаружил, что действующая между ними сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: если расстояние, скажем, удваивается, сила становится вчетверо меньше.

Итак, заключил Кулон, сила, с которой одно малое заряженное тело (в идеальном случае -точечный заряд, т.е. тело, подобно материальной точке не имеющее пространственных размеров) действует на другое заряженное тело, пропорциональна произведению их зарядов Q 1 и Q 2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь k -коэффициент пропорциональности.
Это соотношение известно как закон Кулона; его справедливость подтверждена тщательными экспериментами, гораздо более точными, чем первоначальные трудно воспроизводимые опыты Кулона. Показатель степени 2 установлен в настоящее время с точностью 10 -16 , т.е. он равен 2 ± 2×10 -16 .

Коль скоро мы теперь имеем дело с новой величиной - электрическим зарядом, мы можем подобрать такую единицу измерения, чтобы постоянная к в формуле равнялась единице. И действительно, такая система единиц еще недавно широко использовалась в физике.

Речь идет о системе СГС (сантиметр-грамм-секунда), в которой используется электростатическая единица заряда СГСЭ. По определению два малых тела, каждое с зарядом 1 СГСЭ, расположенные на расстоянии 1 см друг от друга, взаимодействуют с силой 1 дина.

Теперь, однако, заряд чаще всего выражают в системе СИ, где его единицей является кулон (Кл).
Точное определение кулона через электрический ток и магнитное поле мы приведем позднее.
В системе СИ постоянная k имеет величину k = 8,988×10 9 Нм 2 /Кл 2 .

Заряды, возникающие при электризации трением обычных предметов (расчески, пластмассовой линейки и т.п.), по порядку величины составляют микрокулон и меньше (1 мкКл = 10 -6 Кл).
Заряд электрона (отрицательный) приблизительно равен 1,602×10 -19 Кл. Это наименьший известный заряд; он имеет фундаментальное значение и обозначается символом е , его часто называют элементарным зарядом.
е = (1,6021892 ± 0,0000046)×10 -19 Кл, или е ≈ 1,602×10 -19 Кл.

Поскольку тело не может приобрести или потерять долю электрона, суммарный заряд тела должен быть целым кратным элементарного заряда. Говорят, что заряд квантуется (т.е. может принимать лишь дискретные значения). Однако, поскольку заряд электрона е очень мал, мы обычно не замечаем дискретности макроскопических зарядов (заряду 1 мкКл соответствуют примерно 10 13 электронов) и считаем заряд непрерывным.

Формула Кулона характеризует силу, с которой один заряд действует на другой. Эта сила направлена вдоль линии, соединяющей заряды. Если знаки зарядов одинаковы, то силы, действующие на заряды, направлены в противоположные стороны. Если же знаки зарядов различны, то действующие на заряды силы направлены навстречу друг другу.
Заметим, что в соответствии с третьим законом Ньютона сила, с которой один заряд действует на другой, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второй заряд действует на первый.
Закон Кулона можно записать в векторной форме подобно закону всемирного тяготения Ньютона:

где F 12 - вектор силы, действующей на заряд Q 1 со стороны заряда Q 2,
- расстояние между зарядами,
- единичный вектор, направленный от Q 2 к Q 1.
Следует иметь в виду, что формула применима лишь к телам, расстояние между которыми значительно больше их собственных размеров. В идеальном случае это точечные заряды. Для тел конечного размера не всегда ясно, как отсчитывать расстояние r между ними, тем более что распределение заряда может быть и неоднородным. Если оба тела - сферы с равномерным распределением заряда, то r означает расстояние между центрами сфер. Важно также понимать, что формула определяет силу, действующую на данный заряд со стороны единственного заряда. Если система включает несколько (или много) заряженных тел, то результирующая сила, действующая на данный заряд, будет равнодействующей (векторной суммой) сил, действующих со стороны остальных зарядов. Постоянная к в формуле Закона Кулона обычно выражается через другую константу, ε 0 , так называемую электрическую постоянную, которая связана с k соотношением k = 1/(4πε 0) . С учетом этого закон Кулона можно переписать в следующем виде:

где с наивысшей на сегодня точностью

или округленно

Запись большинства других уравнений электромагнитной теории упрощается при использовании ε 0 , поскольку 4π в окончательном результате часто сокращается. Поэтому мы будем обычно использовать Закон Кулона, считая, что:

Закон Кулона описывает силу, действующую между двумя покоящимися зарядами. Когда заряды движутся, между ними возникают дополнительные силы, и их мы обсудим в последующих главах. Здесь же рассматриваются только покоящиеся заряды; этот раздел учения об электричестве называется электростатикой .

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Электрическое поле - один из двух компонентов электромагнитного поля, представляющий собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, либо возникающий при изменении магнитного поля.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Закон Кулона количественно описывает взаимодействие заряженных тел. Он является фундаментальным законом, то есть установлен при помощи эксперимента и не следует ни из какого другого закона природы. Он сформулирован для неподвижных точечных зарядов в вакууме. В реальности точечных зарядов не существует, но такими можно считать заряды, размеры которых значительно меньше расстояния между ними. Сила взаимодействия в воздухе почти не отличается от силы взаимодействия в вакууме (она слабее менее чем на одну тысячную).

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая свойство частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Впервые закон взаимодействия неподвижных зарядов был открыт французским физиком Ш. Кулоном в 1785 г. В опытах Кулона измерялось взаимодействие между шариками, размеры которых много меньше расстояния между ними. Такие заряженные тела принято называть точечными зарядами .

На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, и является силой притяжения, если заряды разноименные, и силой отталкивания, если заряды одноименные.

Если обозначить модули зарядов через |q 1 | и |q 2 |, то закон Кулона можно записать в следующей форме:

\[ F = k \cdot \dfrac{\left|q_1 \right| \cdot \left|q_2 \right|}{r^2} \]

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона зависит от выбора системы единиц.

\[ k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \]

Полная формула закона Кулона:

\[ F = \dfrac{\left|q_1 \right|\left|q_2 \right|}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} \]

\(F \) - Сила Кулона

\(q_1 q_2 \) - Электрический заряд тела

\(r \) - Расстояние между зарядами

\(\varepsilon_0 = 8,85*10^{-12} \) - Электрическая постоянная

\(\varepsilon \) - Диэлектрическая проницаемость среды

\(k = 9*10^9 \) - Коэффициент пропорциональности в законе Кулона

Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона: \(\vec{F}_{12}=\vec{F}_{21} \) . Они являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках.

Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q .

Совокупность всех известных экспериментальных фактов позволяет сделать следующие выводы:

Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. В этом также проявляется принципиальное отличие электромагнитных сил от гравитационных. Гравитационные силы всегда являются силами притяжения.

Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними.

Отметим, чтоб выполнялся закон Кулона необходимо 3 условия:

• Точечность зарядов - то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров.
• Неподвижность зарядов . Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд.
• Взаимодействие зарядов в вакууме .

В Международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (Кл) .

Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А . Единица силы тока (Ампер) в СИ является наряду с единицами длины, времени и массы основной единицей измерения.

Пример 1

Задача

Заряженный шарик приводят в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком. Находясь на расстоянии \(r = 15 \) см, шарики отталкиваются с силой \(F = 1 \) мН. Каков был первоначальный заряд заряженного шарика?

Решение

При соприкосновении заряд разделится ровно пополам (шарики одинаковые).По данной силе взаимодействия можем определить заряды шариков после соприкосновения (не забудем, что все величины надо представить в единицах СИ – \(F = 10^{-3} \) Н, \(r = 0.15 \) м):

\(F = \dfrac{k\cdot q^2}{r^2} , q^2 = \dfrac{F\cdot r^2}{k} \)

\(k=\dfrac{1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _0} = 9\cdot 10^9 \)

\(q=\sqrt{\dfrac{f\cdot r^2}{k} } = \sqrt{\dfrac{10^{-3}\cdot (0.15)^2 }{9\cdot 10^9} } = 5\cdot 10^8 \)

Тогда до соприкосновения заряд заряженного шарика был вдвое больше: \(q_1=2\cdot 5\cdot 10^{-8}=10^{-7} \)

Ответ

\(q_1=10^{-7}=10\cdot 10^{-6} \) Кл, или 10 мкКл.

Пример 2

Задача

Два одинаковых маленьких шарика массой по 0,1г каждый подвешены на непроводящих нитях длиной \(\displaystyle{\ell = 1\,{\text{м}}} \) к одной точке. После того как шарикам были сообщены одинаковые заряды \(\displaystyle{q} \) , они разошлись на расстояние \(\displaystyle{r=9\,{\text{см}}} \) . Диэлектрическая проницаемость воздуха \(\displaystyle{\varepsilon=1} \) . Определить заряды шариков.

Данные

\(\displaystyle{m=0,1\,{\text{г}}=10^{-4}\,{\text{кг}}} \)

\(\displaystyle{\ell=1\,{\text{м}}} \)

\(\displaystyle{r=9\,{\text{см}}=9\cdot 10^{-2}\,{\text{м}}} \)

\(\displaystyle{\varepsilon = 1} \)

\(\displaystyle{q} - ? \)

Решение

Поскольку шарики одинаковы, то на каждый шарик действуют одинаковые силы: сила тяжести \(\displaystyle{m \vec g} \), сила натяжения нити \(\displaystyle{\vec T} \)и сила кулоновского взаимодействия (отталкивания) \(\displaystyle{\vec F} \). На рисунке показаны силы, действующие на один из шариков. Поскольку шарик находится в равновесии, сумма всех сил, действующих на него, равна 0. Кроме того, сумма проекций сил на оси \(\displaystyle{OX} \) и \(\displaystyle{OY} \)равна 0:

\(\begin{equation} {{\mbox{на ось }} {OX} : \atop { \mbox{ на ось }} {OY} : }\quad \left\{\begin{array}{ll} F-T\sin{\alpha} & =0 \\ T\cos{\alpha}-mg & =0 \end{array}\right. \quad{\text{или}}\quad \left\{\begin{array}{ll} T\sin{\alpha} & =F \\ T\cos{\alpha} & = mg \end{array}\right. \end{equation} \)

Решим совместно эти уравнения. Разделив первое равенство почленно на второе, получим:

\(\begin{equation} {\mbox{tg}\,}= {F\over mg}\,. \end{equation} \)

Так как угол \(\displaystyle{\alpha} \) мал, то

\(\begin{equation} {\mbox{tg}\,}\approx\sin{\alpha}={r\over 2\ell}\,. \end{equation} \)

Тогда выражение примет вид:

\(\begin{equation} {r\over 2\ell}={F\over mg}\,. \end{equation} \)

Сила \(\displaystyle{F} \)по закону Кулона равна: \(\displaystyle{F=k{q^2\over\varepsilon r^2}} \). Подставим значение \(\displaystyle{F} \)в выражение (52):

\(\begin{equation} {r\over 2\ell}={kq^2\over\varepsilon r^2 mg}\, \end{equation} \)

откуда выразим в общем виде искомый заряд:

\(\begin{equation} q=r\sqrt{r\varepsilon mg\over 2k\ell}\,. \end{equation} \)

После подстановки численных значений будем иметь:

\(\begin{equation} q= 9\cdot 10^{-2}\sqrt{9\cdot 10^{-2}\cdot 1 \cdot 10^{-4}\cdot 9,8\over 2\cdot 9\cdot 10^9\cdot 1}\, {{\text{Кл}}}=6.36\cdot 10^{-9}\, {{\text{Кл}}}\,. \end{equation} \)

Предлагается самостоятельно проверить размерность для расчетной формулы.

Ответ: \(\displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.} \)

Ответ

\(\displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.} \)

Пример 3

Задача

Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный заряд \(\displaystyle{q=6\,{\text{нКл}}} \) из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии \(\displaystyle{\ell = 10\,{\text{см}}} \) от поверхности металлического шарика, потенциал которого \(\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \), а радиус \(\displaystyle{R = 2\,{\text{см}}} \)? Шарик находится в воздухе (считать \(\displaystyle{\varepsilon=1} \)).

Данные

\(\displaystyle{q=6\,{\text{нКл}}=6\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}} \)\(\displaystyle{\ell=10\,{\text{см}}} \)\(\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \)\(\displaystyle{R=2\,{\text{см}}} \) \(\displaystyle{\varepsilon = 1} \) \(\displaystyle{A} \) - ?

Решение

Работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести заряд из точки с потенциалом \(\displaystyle{\varphi_1} \) в точку с потенциалом \(\displaystyle{\varphi_2} \) , равна изменению потенциальной энергии точечного заряда, взятому с обратным знаком:

\(\begin{equation} A=-\Delta W_n\,. \end{equation} \)

Известно, что \(\displaystyle{A=-q(\varphi_2-\varphi_1) } \) или

\(\begin{equation} A=q(\varphi_1-\varphi_2) \,. \end{equation} \)

Поскольку точечный заряд первоначально находится на бесконечности, то потенциал в этой точке поля равен 0: \(\displaystyle{\varphi_1=0} \) .

Определим потенциал в конечной точке, то есть \(\displaystyle{\varphi_2} \) .

Пусть \(\displaystyle{Q_{\text{ш}}} \) – заряд шарика. По условию задачи потенциал шарика известен (\(\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \)) , тогда:

\(\begin{equation} \varphi_{\text{ш}}={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R}\, \end{equation} \)

\(\begin{equation} {\text{откуда}}\quad Q_{\text{ш}}=\varphi_{\text{ш}}\cdot 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R\,. \end{equation} \)

Значение потенциала поля в конечной точке с учетом:

\(\begin{equation} \varphi_2={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon(R+\ell) }= {\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell) }\,. \end{equation} \)

Подставим в выражение значение \(\displaystyle{\varphi_1} \) и \(\displaystyle{\varphi_2} \) , после чего получим искомую работу:

\(\begin{equation} A=-q{\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell) }\,. \end{equation} \)

В результате расчетов получим: \(\displaystyle{A=-2\cdot 10^{-7}\,{\text{Дж}}} \) .

Тогда модуль силы взаимодействия между соседними зарядами равен:

\(F = \dfrac{k\cdot q^2}{l^{2}_{1}} =\Delta l\cdot k_{pr} \)

Причем удлинение шнура равно: \(\Delta l = l \).

Откуда величина заряда равна:

\(q=\sqrt{\frac{4\cdot l^3\cdot k_{pr}}{k} } \)

Ответ

\(q=2\cdot l\cdot \sqrt{\frac{l\cdot k_{pr}}{k} } \)

В результате долгих наблюдений учеными было установлено, что разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные наоборот – отталкиваются. Это значит, что между телами возникают силы взаимодействия. Французский физик Ш. Кулон опытным путем исследовал закономерности взаимодействия металлических шаров и установил, что сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами будет прямопропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерений физических величин, которые входят в формулу, а также и от среды, в которой находятся электрические заряды q 1 и q 2 . r – расстояние между ними.

Отсюда можем сделать вывод, что закон Кулона будет справедлив только точечных зарядов, то есть для таких тел, размерами которых вполне можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними.

В векторной форме закон Кулона будет иметь вид:

Где q 1 и q 2 заряды, а r – радиус-вектор их соединяющий; r = |r|.

Силы, которые действуют на заряды, называют центральными. Они направлены по прямой, соединяющей эти заряды, причем сила, действующая со стороны заряда q 2 на заряд q 1 , равна силе, действующей со стороны заряда q 1 на заряд q 2 , и противоположна ей по знаку.

Для измерения электрических величин могут использоваться две системы счисления – система СИ (основная) и иногда могут использовать систему СГС.

В системе СИ одной из главных электрических величин является единица силы тока – ампер (А), то единица электрического заряда будет ее производной (выражается через единицу силы тока). Единицей определения заряда в СИ является кулон. 1 кулон (Кл) – это количество «электричества», проходящего через поперечное сечение проводника за 1 с при токе в 1 А , то есть 1 Кл = 1 А·с.

Коэффициент k в формуле 1а) в СИ принимается равным:

И закон Кулона можно будет записать в так называемой «рационализированной» форме:

Многие уравнения, описывающие магнитные и электрические явления, содержат множитель 4π. Однако, если данный множитель ввести в знаменатель закона Кулона, то он исчезнет из большинства формул магнетизма и электричества, которые очень часто применяют в практических расчетах. Такую форму записи уравнения называют рационализированной.

Величина ε 0 в данной формуле – электрическая постоянная.

Основными единицами системы СГС являются механические единицы СГС (грамм, секунда, сантиметр). Новые основные единицы дополнительно к вышеперечисленным трем в системе СГС не вводятся. Коэффициент k в формуле (1) принимается равным единице и безразмерным. Соответственно закон Кулона в не рационализированной форме будет иметь вид:

В системе СГС силу измеряют в динах: 1 дин = 1 г·см/с 2 , а расстояние в сантиметрах. Предположим, что q = q 1 = q 2 , тогда из формулы (4) получим:

Если r = 1см, а F = 1 дин, то из этой формулы следует, что в системе СГС за единицу заряда принимают точечный заряд, который (в вакууме) действует на равный ему заряд, удаленный от него на расстояние 1 см, с силой в 1 дин. Такая единица заряда называется абсолютной электростатической единицей количества электричества (заряда) и обозначается СГС q . Ее размерность:

Для вычисления величины ε 0 , сравним выражения для закона Кулона, записанные в системе СИ и СГС. Два точечных заряда по 1 Кл каждый, которые находятся на расстоянии 1 м друг от друга, будут взаимодействовать с силой (согласно формуле 3):

В СГС данная сила будет равна:

Сила взаимодействия между двумя заряженными частицами зависит от среды, в которой они находятся. Чтобы характеризовать электрические свойства различных, сред было введено понятие относительной диэлектрической проницательности ε.

Значение ε это различная величина для разных веществ – для сегнетоэлектриков ее значение лежит в пределах 200 – 100 000, для кристаллических веществ от 4 до 3000, для стекла от 3 до 20, для полярных жидкостей от 3 до 81, для неполярных жидкостей от 1,8 до 2,3; для газов от 1,0002 до 1,006.

Также от температуры окружающей среды зависит и диэлектрическая проницаемость (относительная).

Если учесть диэлектрическую проницаемость среды, в которую помещены заряды, в СИ закон Кулона примет вид:

Диэлектрическая проницаемость ε – величина безразмерная и она не зависит от выбора единиц измерения и для вакуума считается равной ε = 1. Тогда для вакуума закон Кулона примет вид:

Поделив выражение (6) на (5) получим:

Соответственно относительная диэлектрическая проницаемость ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия между точечными зарядами в какой-то среде, которые находятся на расстоянии r друг относительно друга меньше, чем в вакууме, при том же расстоянии.

Для раздела электричества и магнетизма систему СГС иногда называют системой Гаусса. До появления системы СГС действовали системы СГСЭ (СГС электрическая) для измерения электрических величин и СГСМ (СГС магнитная) для измерения магнитных величин. В первой равной единице принималась электрическая постоянная ε 0 , а второй магнитная постоянная μ 0 .

В системе СГС формулы электростатики совпадают соответствующими формулами СГСЭ, а формулы магнетизма, при условии, что они содержат только магнитные величины – с соответствующими формулами в СГСМ.

Но если в уравнении одновременно будет содержаться и магнитные, и электрические величины, то данное уравнение, записанное в системе Гаусса, будет отличаться от этого же уравнения, но записанного в системе СГСМ или СГСЭ множителем 1/с или 1/с 2 . Величина с равна скорости света (с = 3·10 10 см/с) называется электродинамической постоянной.

Закон Кулона в системе СГС будет иметь вид:

Пример

На двух абсолютно идентичных каплях масла недостает по одному электрону. Силу ньютоновского притяжения уравновешивает сила кулоновского отталкивания. Нужно определить радиусы капель, если расстояния между ними значительно превышает их линейные размеры.

Решение

Поскольку расстояние между каплями r значительно больше их линейных размеров, то капли можно принять за точечные заряды, и тогда сила кулоновского отталкивания будет равна:

Где е – положительный заряд капли масла, равный заряду электрона.

Силу ньютоновского притяжения можно выразить формулой:

Где m – масса капли, а γ – гравитационная постоянная. Согласно условию задачи F к = F н, поэтому:

Масса капли выражена через произведение плотности ρ на объем V, то есть m = ρV, а объем капли радиуса R равен V = (4/3)πR 3 , откуда получаем:

В данной формуле постоянные π, ε 0 , γ известны; ε = 1; также известен и заряд электрона е = 1,6·10 -19 Кл и плотность масла ρ = 780 кг/м 3 (справочные данные). Подставив числовые значения в формулу получим результат: R = 0,363·10 -7 м.

Так же как в ньютоновой механике гравитационное взаимодействие всегда имеет место между телами обладающими массами, аналогичным образом в электродинамике электрическое взаимодействие свойственно телам, обладающим электрическими зарядами. Обозначается электрический заряд символом «q» или «Q».

Можно даже сказать, что понятие электрического заряда q в электродинамике чем-то схоже с понятием гравитационной массы m в механике. Но в отличие от гравитационной массы, электрический заряд характеризует свойство тел и частиц вступать в силовые электромагнитные взаимодействия, и эти взаимодействия, как вы понимаете, не являются гравитационными.

Электрические заряды

Человеческий опыт исследования электрических явлений содержит множество экспериментальных результатов, и все эти факты позволили физикам прийти к следующим однозначным выводам относительно электрических зарядов:

1. Электрические заряды бывают двух родов - условно их можно разделить на положительные и отрицательные.

2. От одного заряженного предмета к другому электрические заряды можно передавать: допустим, путем соприкосновения тел друг с другом - заряд между ними можно разделить. При этом электрический заряд вовсе не является обязательной составной частью тела: в различных условиях один и тот же предмет может обладать разным по величине и по знаку зарядом, либо заряд может отсутствовать. Таким образом, заряд не является чем-то неотъемлемым для носителя, и в то же самое время заряд не может существовать без носителя заряда.

3. В то время как гравитирующие тела всегда притягиваются друг к другу, электрические заряды могут как взаимно притягиваться, так и взаимно отталкиваться. Разноименные заряды взаимно притягиваются, одноименные - друг от друга отталкиваются.

Закон сохранения электрического заряда - фундаментальный закон природы, он звучит так: «алгебраическая сумма зарядов всех тел внутри изолированной системы остается постоянной». Это значит, что внутри замкнутой системы невозможно появление или исчезновение зарядов лишь одного знака.

Сегодня научная точка зрения такова, что изначально носители заряда - это элементарные частицы. Элементарные частицы нейтроны (электрически нейтральные), протоны (положительно заряженные) и электроны (заряженные отрицательно) образуют атомы.

Из протонов и нейтронов состоят ядра атомов, а электроны образуют оболочки атомов. Модули зарядов электрона и протона равны по величине элементарному заряду е, но по знаку заряды этих частиц противоположны между собой.

Что касается непосредственно взаимодействия электрических зарядов друг с другом, то в 1785 году французский физик Шарль Кулон экспериментально установил и описал этот основной закон электростатики, фундаментальный закон природы, ни из каких других законов не вытекающий. Ученый в своей работе изучал взаимодействие неподвижных точечных заряженных тел, и измерял силы их взаимного отталкивания и притяжения.

Кулон экспериментально установил следующее: "Силы взаимодействия неподвижных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними".

Это и есть формулировка Закона Кулона. И хотя точечных зарядов в природе не существует, только применительно к точечным зарядам и можно говорить о расстоянии между ними, в рамках данной формулировки Закона Кулона.

На самом же деле, если расстояния между телами сильно превосходят их размеры, то ни размер, ни форма заряженных тел, особо не повлияют на их взаимодействие, а значит тела для данной задачи справедливо можно будет считать точечными.

Рассмотрим такой пример. Подвесим на нитках пару заряженных шаров. Поскольку они как-то заряжены, то станут либо отталкиваться друг от друга, либо притягиваться друг к другу. Так как силы направлены вдоль прямой, соединяющей данные тела, - силы эти центральные.

Для обозначения сил, действующих со стороны каждого из зарядов на другой, запишем: F12 – сила действия второго заряда на первый, F21 – сила действия первого заряда на второй, r12 – радиус-вектор от второго точечного заряда к первому. Если заряды имеют одинаковый знак, то сила F12 будет сонаправлена радиусу-вектору, если же у зарядов разные знаки - F12 будет направлена противоположно радиусу-вектору.

При помощи закона взаимодействия точечных зарядов (Закона Кулона) можно теперь находить силу взаимодействия для любых точечных зарядов или точечных заряженных тел. Если же тела не точечные, то их мысленно разбивают на мелке элементы, каждый из которых можно было бы принять за точечный заряд.

После нахождения сил, действующих между всеми мелкими элементами, силы эти геометрически складывают, - находят результирующую силу. Элементарные частицы тоже взаимодействуют друг с другом согласно Закону Кулона, и по сей день не замечено никаких нарушений этого фундаментального закона электростатики.

В современной электротехнике нет области, где в том или ином виде не работал бы Закон Кулона. Начиная с электрического тока, заканчивая просто заряженным конденсатором. Особенно те области, которые касаются электростатики, - они на 100% связаны с Законом Кулона. Рассмотрим только несколько примеров.

Простейший случай - введение диэлектрика. Сила взаимодействия зарядов в вакууме всегда больше силы взаимодействия тех же зарядов в условиях, когда между ними расположен какой-то диэлектрик.

Диэлектрическая проницаемость среды - это как раз та величина, которая позволяет количественно определить значения сил, независимо от расстояния между зарядами и от их величин. Достаточно силу взаимодействия зарядов в вакууме разделить на диэлектрическую проницаемость внесенного диэлектрика - получим силу взаимодействия в присутствии диэлектрика.

Сложное исследовательское оборудование - ускоритель заряженных частиц. Базируется работа ускорителей заряженных частиц на явлении взаимодействия электрического поля и заряженных частиц. Электрическое поле совершает в ускорителе работу увеличивая энергию частицы.

Если рассмотреть здесь ускоряемую частицу как точечный заряд, а действие ускоряющего электрического поля ускорителя - как суммарную силу со стороны других точечных зарядов, то и в этом случае полностью соблюдается Закон Кулона. Магнитное поле лишь направляет частицу силой Лоренца, но не изменяет её энергии, только задаёт траекторию для движения частиц в ускорителе.

Защитные электротехнические сооружения. Важные электроустановки всегда оснащаются такой простой на первый взгляд вещью, как молниеотвод. А молниеотвод в своей работе тоже не обходится без соблюдения Закона Кулона. Во время грозы на Земле появляются большие индуцированные заряды - согласно Закону Кулона притягиваются в направлении грозового облака. На поверхности Земли возникает в результате сильное электрическое поле.

Напряжённость этого поля особенно велика возле острых проводников, и поэтому на заостренном конце молниеприемника зажигается коронный разряд - заряд из Земли стремится, повинуясь Закону Кулона, притянуться к противоположному заряду грозового облака.

Воздух вблизи молниеотвода в результате коронного разряда сильно ионизируется. Вследствие этого напряжённость электрического поля вблизи острия уменьшается (как и внутри любого проводника), индуцированные заряды не могут накапливаться на здании и вероятность возникновения молнии снижается. Если же молния, так случится, ударит в молниеотвод, то заряд просто уйдет в Землю, не повредит установку.