Эксперимент белла квантовая механика. Проведённые к настоящему моменту эксперименты

Мы добрались до заключительной части обсуждения характера физических законов на пальцах™ , где читателя ждет самое интересное, самая вкуснота. Можно сказать, что две предыдущие части ( и ) были лишь приготовлением, являлись очень растянутым лирическим вступлением к обсуждению основного научного вопроса, рассматриваемого на пальцах™ - что такое "неравенства Белла" и почему эти два слова являются не только разрешением векового спора гениальнейших ученых планеты, но и определяют истинное устройство Вселенной вокруг нас.

Быстренько напомню, в чем заключалась суть спора. Нильс Бор и сотоварищи говорят нам - неопределенность есть истинное положение вещей в окружающем нас мире. У Вселенной и ее частей (частиц) вообще нет никаких определенных свойств до тех пор, как мы эту частицу не поймали и не измерили те самые свойства. А Луны не существует, покуда на нее никто не смотрит.

Эйнштейн же с друзьями (в основном П и Р) твердят обратное - невозможно поступиться принципами! Мы итак отдали целую руку на растерзание - принцип неопределенности работает и неоднократно экспериментально проверен, мы с этим даже уже почти не спорим. Но оставьте нам хотя бы какой–то островок стабильности в океане бушующего хаоса случайностей! Пусть мы никогда одновременно не сможем узнать всех свойств какой–то частицы, но давайте признаем, что они у частицы все–таки есть ! До измерения или после - частица обладает своими внутренними свойствами, то, что мы их не можем узнать , это наша, человеческая проблема. То, что их изначально не было до момента измерения - это уже проблема Вселенной, проблема Бога, который играет в кости и сам не знает, какая комбинация выпадет следующей - а это, уже, извините как минимум богохульство и научная ересь...

Как я уже говорил, и Эйнштейн, и Бор умерли так и не дождавшись разрешения этого фундаментального научного конфликта. Четкое, простое и оттого гениальное решение пришло в голову ирландскому ученому Джону Беллу в виде одноименных неравенств лишь в 1964м году и еще 20 лет после этого ждало своего экспериментального подтверждения.

Обязательно должен предупредить. Этот пост технически и научно потяжелее двух предыдущих. Чуть–чуть все же придется пораскинуть мозгами. Но не такой, чтобы прям совсем сложный, доступный для понимания вполне себе на пальцах™ .

Вот, что удивительно, оказалось не так–то легко найти информацию на русском языке, что же это за зверь такой - "неравенства Белла". Вроде бы такое эпохальное открытие, лежащее в фундаменте определения сути устройства окружающего мира, разрешающее вековой спор ученых светил и определяющее, чем наши знания о реальности отличаются от того, какова реальность есть на самом деле . Но попробуйте поискать и разобраться в этом вопросе сами, скорее всего вас ждет разочарование.

Нет, вы попробуйте, попробуйте, я серьезно!

Википедия, луркоморье, просто тупой перебор выдачи гугла по ключевой фразе мало чем помогут. Кругом либо расплывчатые описания из серии "как показал Белл в своих неравенствах...", и дальше идут выводы и следствия без четкого определения - что же это были за неравенства, в чем была их суть и что там конкретно в эксперименте мерили, либо разговор резко уходит в область матана волновой функции, где 300 формул на одной странице и вообще ничего не понятно.

Позвольте изложить свою версию сущности идей, предложенных Беллом, и в миллионный раз напомнить - далее последуют объяснения на пальцах™ в виде набора несложных аналогий, которые, хоть и верны в принципе, тем не менее остаются всего лишь аналогиями , не более, ведь суть неравенств Белла можно выразить очень по–разному.

Скажу больше. То, как Белл изначально записал свои неравенства, вообще экспериментальной проверке не поддается. Однако это был действительный прорыв научной мысли, ибо хоть теоретически, хоть и оставаясь в философско–рассуждательной области, Белл все равно показал, что спор Эйшнтейна с Бором можно было разрешить хотя бы в принципе. А это многого стоит.

Экспериментально, как я уже сказал, проверялись совсем другие вещи. Причем по–разному, несколькими физическими экспериментами с разными выкладками и аппаратом.

Я же и вовсе буду рассказывать третью историю. В науке так бывает - если невозможно что–то проверить напрямую, есть шансы построить логическую цепочку в сторону, посмотреть, какие выводы нас ожидают в этом случае и проверить результаты подобных выводов. Математически все четко и последовательно вытекает друг из друга, но физические проявления и аспекты могут сильно разниться. Настоящий физик при всем богатстве выбора всегда предпочтет тот аспект, который легче всего экспериментально проверить, я же выбираю такой, который легче всего объяснить на пальцах™ . Лишь бы все они математически (и, что важно - физически) оставались эквивалентны друг другу, это главное.

Мы помним, что в случае двух противоположных (некоммутирующих ) параметров, например, координата частицы и ее скорость, или энергия и время, или когда спины "вверх–вниз" - никаким образом невозможно понять, были ли у частицы (в смысле у двух запутанных частиц) эти свойства изначально, или они появились одновременно у обоих в процессе измерения. Эйнштейн говорит, что были раньше, хоть и были скрыты от нашего знания (теория скрытых параметров), Бор говорит, что происходит "жуткое дальнодействие" и все всем платится прямо на месте. Когда мы измеряли состояние одной частицы, это тут же в мгновение ока сказывалось на поведении второй.

Экспериментально обе ситуации абсолютно идентичны. Чего гадать, было что–то у частицы или не было до того, как мы ее поймали и измерили. Вопрос скорее философский, чем научный, ибо физика занимается тем, что можно непосредственно пощупать и измерить. Фантазировать о том, что могло бы произойти в случае, о котором мы никогда ничего не узнаем - антинаучная ерунда , не так ли?

Очень может быть. Но давайте сперва рассмотрим поближе, что же представляет собой спин частицы или системы.

Согласно википедии спин (англ. spin - вращение ) определяет угловой момент вращения частицы вокруг своей оси.

И сразу стоп!

Тут важно уяснить раз и навсегда. Ничего на самом деле никуда и нигде не вращается. По всем современным понятиям, скажем, элементарная частица электрон не имеет пространственных размеров и представляет собой реальную, хоть и математическую точку. Что не мешает ей в то же время быть одновременно и волной (ну, корпускулярно–волновой дуализм же!).

Спин это просто очередная характеристика частицы, рассуждать о спине как о реальном вращении лишь помогает проводить параллели с привычным нам миром, но не более. Легко и удобно думать о пути перемещения баскетбольного мяча (сопоставляя с путем перемещения частицы, что не совсем верно, ибо как говорилось выше, у нее нет пути в нашем человеческом понимании), так и о вращении мяча вокруг своей оси (сопоставляя со спином частицы, что тоже неверно, ибо нет там никакого вращения!).

Ближе всего к спину можно подобраться со стороны симметрии и ее нарушения. Ведь когда мяч (электрон) просто сам по себе мяч (электрон) он со всех сторон симметричен. Мяч со всех сторон круглый, электрон со всех сторон точка.

Но когда у мяча появляется вращение (а у электрона спин) симметрия нарушается. Например, если мяч вращается вокруг вертикальной оси, он не вращается вокруг горизонтальной - симметрия нарушена. Мяч не может одновременно вращаться и так и так. Он может вращаться в наклоненном состоянии, т.е. как бы "по диагонали", но это ведь не совсем то же самое, что одновременное вращение сразу по вертикали и по горизонтали.

То же самое и со спином электрона. Спин - мера его симметрии. И эту симметрию можно разложить на оси координат X и Y (точнее на оси X, Y и Z, все ведь трехмерное, но для простоты останемся пока в двух координатах, чтобы заранее не усложнять).

Сначала посмотрим на классический объект (мяч) и его спин. Пусть у нас есть баскетбольный мяч, который вращается со скоростью 8.12 оборотов в минуту. Если ось вращения расположена вертикально, можно считать, что мяч "весь" вращается вокруг оси Y, его Y–спин, или спин относительно оси Y равен 8.12 об/мин, и при этом он совершенно не вращается вокруг оси X (его X–спин равняется нулю). Ну, или если он вращается вокруг горизонтально расположенной оси, будет все то же самое, только наоборот.

Если ось вращения расположена под углом к горизонту, допустимо разложить спин мяча на Y - и X–компоненты, Y - и X–спины. Напомню, мяч не вращается одновременно вокруг осей Y и Х, он вращается вокруг своей собственной оси L, наклоненной под некоторым углом к горизонту, но момент его вращения можно разложить на Y - и X - составляющие. Тут все просто. Спин мяча остается 8.12 оборотов в минуту, на приведенном рисунке это получается гипотенуза, а Y - и X - спины вычисляются через синус (косинус) угла, ну, или по теореме Пифагора.

В квантовом мире все одновременно проще и сложней. Проще, потому что мир квантовый , и подчиняется законам квантовой механики, а это, кроме всего прочего, чисто по названию означает, что все в этом мире квантуется . И спин в том числе. Вращение обычного предмета вокруг своей оси (спин этого предмета) может быть любым. Он может совершать 1 оборот в минуту, может полтора, может 8.12 (как в случае с нашим баскетбольным мячом), может даже крутиться 100500 оборотов в минуту - никаких проблем.

В мире элементарных частиц спин может занимать только вполне конкретные, квантованные числа. Скажем, у электрона он может иметь только два значения или +1/2 или –1/2. И ничего больше.

Почему + и - понятно. Это просто смотря в какую сторону электрон "вращается", вправо или влево. С мячом была та же история, если оставить его вращаться, но перевернуть вверх ногами, спин получится –8.12 оборотов в минуту, что по сути то же самое вращение, только в другую сторону.

С 1/2 чуточку сложнее. Во–первых, это уже никакие не "обороты в минуту". Это вообще не обороты, если вы помните, электрон на самом деле не вращается, и уж тем более не "в минуту". Это просто некая удобная для записи величина, некоторое безразмерное число. Можно было бы принять спин электрона за +10 и –10. Или +100 и –100. Как вы догадываетесь, лучше всего было тупо принять спин электрона за +1 и –1, но ученые, как истинные комсомольцы, любят некоторые трудности. Были исторические причины, почему спин электрона оказался 1/2 а не 1, но так как величина все равно формальная и безразмерная, это все не суть. Главное, что спин любой частицы может изменяться только квантованными порциями–половинками - 0 (нет вращения, нет спина), 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 и т.д. И то же самое, но со знаком минус, если вращение в другую сторону.

Читателю со звездочкой (*) наверняка будет интересно узнать, что все частицы, имеющие полуцелый спин (кратный 1/2), составляют нашу материю и их называют фермионами за то, что они подчиняются статистике Ферми–Дирака.
Это уже знакомые нам электроны, а также протоны, нейтроны, кварки и прочие нейтрино - т.н. "материальные частицы". В 1925м году Вольфганг Паули запретил фермионам занимать одно квантовое состояние (грубо говоря - садиться друг другу на шею) и с тех пор электроны не падают на ядра атомов, а наша Вселенная получила законное основание занимать некий объем в пространстве.

Частицы с целым спином называют бозоны , они статистике Ферми–Дирака не подчиняются, у них своя статистика - Бозе–Эйнштейна. (Да, этот хитрый еврей и сюда пролез. Всю жизнь он ненавидел "жуткие дальнодействующие" кванты, хотя в свое время лично положил начало всему этому беспределу, отчего его имя встречается не только в законах теории относительности, но и в законах квантовой механики). Бозонам ("полевым частицам", "частицам энергии") пофигу на законодательные запреты Паули, наоборот, они любят занимать одинаковые квантовые состояния (садиться друг другу на голову), тем самым поддерживая и усиливая друг друга, именно поэтому лазерный луч может легко резать стальные листы.

Лазер - ни что иное как физическое воплощение квантовых микроэффектов статистики Бозе–Эйнштейна в нашем макромире, вот и все описание его работы на пальцах™ .

Но это я отвлекся, так вот. С одной стороны ситуация со спином в квантовом мире гораздо проще, чем в мире реальном, значения спина все сплошь квантовые и их буквально всего несколько штук, максимальный спин самого замороченного бариона вроде бы 15/2 и баста. У электрона их вообще может быть всего два, +1/2 и –1/2, или как я их называл в прошлой части "вверх" и "вниз". Теперь понятно, кстати, почему? Только там не просто "вверх" и "вниз", эти "вверх–вниз" (+1/2 или –1/2) могут быть вдоль любой из осей X и Y (еще и Z, не забываем про Z!), или вообще вдоль любой "неперпендикулярной" оси, но зато на любой оси их может поместиться всего два, они всегда будут противоположны, потому–то и "вверх–вниз".

С другой стороны, все сильно сложнее, потому что спин–компоненты вдоль разных осей - некоммутирующие параметры .

Задумайтесь над предыдущей фразой. Помните, что такое некоммутирующие параметры? Это те, что Гейзенберг запрещает одновременно измерять, вроде координаты и скорости частицы.

В нашем мире, если мы знаем X–спин (Х–компоненту вращения), то Y–спин элементарно вычисляется по теореме Пифагора. В квантовом мире, если мы знаем X–спин, мы абсолютно ничего не знаем про его Y–спин, он может оказаться каким угодно. Ну, как сказать "каким угодно"... Я же только что заявил, спин электрона бывает лишь или +1/2 или –1/2 (или "вверх" или "вниз"). Но какой он окажется конкретно , померить и узнать (одновременно с первым измерением) совершенно невозможно. Такая вот несправедливость, такая вот неопределенность.

И тут начинается самое интересное. Помните суть грызни Эйнштейна с Бором насчет запутанных частиц? У запутанных частиц спин всегда занимает противоположные значения. Если у одной он "вниз", то у другой обязательно "вверх". Или же один сапог правый, а второй левый, помните? И невозможно узнать, какой был какой, покуда не было произведено измерения. Но вся фишка в том, что в отличие от правых–левых сапогов, спин у электронов может быть так сказать "вдоль любых осей".

Нет, все предыдущие выкладки пока в силе. Если у первого из запутанных электронов X-спин был "вверх", значит у второго X-спин будет "вниз". Если у первого Y-спин был "вниз", значит у второго Y-спин будет "вверх". Но одновременно получить X- и Y-спин у любой из частиц мы не можем. Тут покуда никаких новостей, Эйнштейн все это знал и учитывал, что теперь при измерении нам придется не только говорить какой у электрона спин, "вверх" или "вниз", но и сообщать вдоль какой оси мы его мерили. Необязательно X или Y, кстати, можно измерить спин вдоль оси под углом 17.5 градусов к горизонту, почему нет? И у второй частицы по этой же оси будет противоположный спин.

А вот теперь хитрый финт ушами, который провернул Белл. Для начала продолжим оставаться лишь в трех перпендикулярных осях X, Y и Z, чтобы не морочиться с дробными вероятностями. Напомню, что если мы знаем спин электрона относительно оси X (скажем "вверх"), то мы понятия не имеем, каким он будет относительно оси Y, может быть "вверх", а может быть "вниз" с одинаковой вероятностью 50% на 50%. Вдоль же оси, расположенной под углом 45 о к X, вероятность "вверх–вниз" будет не 75% на 25%, как казалось бы (ведь 45 о это половина от 90 о), а ~86% на ~14%. Там сложная формула, не будем забивать ей голову.

Далее представим себе, что мы меряем спин у первой частицы по произвольной оси, а потом у второй частицы, опять таки по случайно выбранной произвольной оси. Какова вероятность, что и там и там мы обнаружим, что спины совпадают (окажутся оба вверх или оба вниз)?

Напомню, если мы меряем спины у этих частиц по одинаковым осям , они всегда будут противоположны, частицы же запутаны. Если у одной из них спин "вверх" у второй запутанной частицы по этой оси спин будет "вниз", а значит вероятность обнаружения одинакового спина - 0%.

Несложно догадаться, что в варианте истинно случайного квантового мира, в котором каждый раз спин (и любая другая характеристика) появляется у частицы лишь в непосредственный момент измерения, если мы случайным образом выбираем ось измерения у первой частицы, и случайным образом выбираем ось измерения второй частицы вероятность обнаружить два одинаковых спина у этих двух частиц по разным осям равна 50%. Все это в истинно случайном квантовом мире Бора.

В мире скрытых переменных Эйнштейна оказывается совсем другая песня. Эксперимент протекает точно так же - мы случайным образом выбираем направления осей, что будем мерить, и мы заранее наперед не знаем, что за параметры были у частицы, которую мы будем измерять. Но главное, мы верим, что они у нее заранее были .

Если вам действительно интересно разобраться во всей этой хитрости, обратите, пожалуйста пристальное внимание на следующие несколько абзацев. Ничего сложного там нет, никаких формул и подавно, но чуть–чуть мозг и немножко логики таки придется напрячь, читайте внимательно, можно даже и два раза.

Предположим, к нам в руки попала частица, у которой заранее были предопределены спины по осям X, Y и Z. Пусть это были спины "вниз", "вниз" и "вверх" вдоль этих осей соответственно. Это все равно, что сказать, что в первой коробке–частице лежали левый, левый и правые сапоги. В то же время вторая запутанная частица имеет спины наоборот "вверх", "вверх" и "вниз" вдоль этих осей, или же вторая коробка–частица содержит правый, правый и левый сапог. Мы всего этого пока не знаем (и никогда полностью не узнаем), но если верить Эйнштейну, эти свойства у частиц уже есть , хоть они и скрытые и навсегда останутся скрытыми.

Посмотрим, какие варианты опытов у нас могут получиться с этими (конкретно этими) частицами. Всего мы можем выбрать 9 вариантов проведения эксперимента. Тут внимательный читатель можно взять две реальные коробки, положить в них указанные правые и левые сапоги и начать случайным образом доставать по одному из каждой коробки, пытаясь не наткнуться на пару.

Измерять спин у первой частицы вдоль одной оси, а у второй вдоль другой, дозволено в комбинациях осей:

X1 и X2, X1 и Y2, X1 и Z2
Y1 и X2, Y1 и Y2, Y1 и Z2
Z1 и X2, Z1 и Y2, Z1 и Z2

Все девять, других вариантов нет.

Если оси у частиц совпадают, спины точно не совпадают и будут противоположны, мы это помним, они же запутанные! Значит варианты X1 и X2, Y1 и Y2, Z1 и Z2 заведомо дадут отрицательный результат несовпадения спинов или же совпадения пар обуви, что в данном случае нам не нужно, мы ищем когда спины–сапоги совпадают, т.е. когда встретятся два левых или два правых, а не когда получается пара.

Так же у этих (у конкретных этих!) частиц не совпадут спины при измерении X1 и Y2, а так же при измерении Y1 и Х2, потому что состояние конкретно этой пары частиц мы написали (поглядите!) абзацем ранее, где было предопределено - у первой было X1–"вниз" Y1–"вниз", а у второй X2–"вверх" Y2–"вверх".

Выходит, что в пяти случаях из девяти возможных вариантов, результаты эксперимента по поиску одинаково направленных спинов (хоть и по разным осям) дадут отрицательный ответ! Пять из девяти это больше половины, значит более чем в половине случаев мы не найдем, что хотели, а найдем это лишь в 4х из 9ти, что составляет вероятность примерно в 44%. Вместо вероятности в 50%, что была у нас при истинно случайном квантовом распределении.

Да, мы все еще не забываем, что это только лишь в конкретном случае двух конкретно сконфигурированных заранее частиц "вниз", "вниз", "вверх" и "вверх", "вверх", "вниз". Ведь при другой конфигурации все может оказаться иначе!

Неа. Не может. И тут вторая фишка (или вторая часть фишки) придуманной Беллом. Как бы мы ни конфигурировали частицы, в смысле, как бы они сами не конфигурировались изначально и скрыто от нас, все равно это будут некие наборы из "два плюс один". Например "два вверха" плюс "вниз" и "два вниза" плюс "вверх", или "вверх" плюс "два вниза" и "вниз" плюс "два вверха" или какая–то другая комбинация из "два чего–то плюс один". Данная ситуация абсолютно идентична уже рассмотренному случаю. Все выкладки окажутся теми же самыми, можете сами проверить, а можете поверить мне на слово. Все равно в случайном квантовом мире вероятность успеха будет 50%, а в мире скрытых параметров - 44%.

Встречается, правда, еще один вариант, когда все три спина у частицы совпадают, т.е. редкий случай "три против трех". Например "вверх", "вверх", "вверх" против "вниз", "вниз", "вниз" или наоборот. Но тут даже считать ничего не придется. Итак понятно, что если в первой коробке лежат все левые сапоги, а во второй все правые, доставая случайным образом по одному сапогу из каждой коробки мы всегда будем получать пару, что в нашем случае означает - спины никогда не будут совпадать и всегда будут противоположными. Вероятность совпадения ровно 0%.

Теперь нужно просуммировать вероятности, когда у нас получается конфигурация "два плюс один" и когда конфигурация "три против трех". Потому что в мире Эйнштейна частицы могут случайно, но заранее быть сконфигурированными либо так, либо так. Причем вариант "два плюс один" встречается чаще, чем "три против трех", от чего суммарная вероятность будет где-то между 44% и 0%, но не ровно посредине, а ближе к 44%, ибо "два плюс один" встречается чаще. Итого 50% в одном случае и что–то среднее между 44% и 0%, мне уже влом считать, пусть будет где–то около 33% во втором. Такова разница вариантов исхода одинаковых экспериментов, проведенных в мирах Бора и Эйнштейна.

Конечно же, все это точно весьма теоретически, практически нужно проводить сотни и тысячи экспериментов, набирать статистику, потому что оборудование не идеальное, погрешности всегда есть, плюс все же статистическое, можем не точно 50% вероятности получить, а сначала примерно 52%, а потом 48% и т.д. Опять таки, это всего лишь один из вариантов проведения эксперимента (точнее даже его аналогия), у самого Белла все было чуточку иначе, а реальный эксперимент и вовсе был в другую степь. Например, помните я говорил, что это упрощение - пользоваться лишь осями X, Y и Z. Если мерить спины по осям "под углом", начинаются сложные формулы расчета вероятностей, но зато, кстати, можно обойтись всего двумя некоммутирующими осями (а они там все относительно друг друга некоммутирующие). Угол между осями будет выступать в качестве "третьей составляющей" конфигурации частиц, ибо от него по хитрой формуле зависит конкретный процент вероятности в итоге.

Это все математические, технические и ситуационные детали. Основная идея всей затеи такова - если мы проведем тысячи и тысячи опытов и в итоге получим одну вероятность какого–то искомого результата, значит, мы имеем дело с квантовым миром Бора. Если же получим другую вероятность (а еще точнее убедимся, что эта вероятность никогда не превышает или наоборот всегда превышает какое–то определенное значение, всегда чего–то больше или всегда меньше, отсюда и "неравенства Белла", кстати, разные для каждого конкретного эксперимента), следовательно, мы живем в детерминистическом мире Эйнштейна, где истинных случайностей не случается (каламбур), все заранее предопределено, хоть мы этого никогда и не узнаем.

Опыты были поставлены. Тысячи и тысячи их, разной аппаратурой в разных конфигурациях для разных неравенств Белла. Прав оказался Бор. Природа нашего мира абсолютно случайна на квантовом уровне, нет никакой возможности предсказать результат следующего эксперимента, любое событие во Вселенной может произойти лишь с некой долей вероятности, чисто статистически, а может не произойти вовсе.

Характер физических законов природы оказался истинно случаен.
Нет судьбы.
Так и живем.

Как мы упоминали в прошлый раз, Д.Белл показал, что можно однозначным образом решить вопрос, возможна ли теория локальных скрытых параметров , т.е. можно ли приписать отдельной квантовой частице такие свойства, которые при "измерении" проявлялись бы как значения (вообще говоря, некоммутируемых) величин.
Покажем здесь очень простенький вывод одной их форм неравенства Белла (или, если угодно, одного из неравенств Белла).

Пусть имеется объект, характеризующийся тремя величинами: A , B и C , принимающими два значения, которые мы обозначим как + и –.
Предположим, что этот объект может обладать этими тремя величинами одновременно (как свойствами).

Рассмотрим теперь набор (ансамбль) таких объектов. Обозначим через A + тот случай, когда свойство A для объекта из ансамбля имеет значение +, и аналогично для B , C и минуса. Через N обозначим число объектов, которые имеют соответствующий набор значений для нашей тройки свойств.
То есть N (A + B - C -) обозначает число объектов в ансамбле, у которых A равно плюсу, а B и C – минусу. Соответственно, N (A + B -) – число частиц, у которых A равно плюсу, B – минусу, C же произвольно (или плюс, или минус).

Очевидно, что:

N (A + B -) = N (A + B - C +) + N (A + B - C -) (1)

Аналогично:

N (B - C +) = N (B - C + A +) + N (B - C + A -) (2)
N (A + C -) = N (A + C - B +) + N (A + C - B -) (3)

Сложим теперь (2) и (3)

N (B - C +) + N (A + C -) = [N (B - C + A +) + N (A + C - B -)] + N (B - C + A -) + N (A + C - B +)

Ясно, что выражение в квадратных скобках равно N (A + B -), таким образом получаем:

N (A + B -) <= N (B - C +) + N (A + C -) (4)

Это и есть одно из неравенств Белла. Всё очень просто.

Покажем теперь, как нарушается это неравенство Белла в ЭПР-эксперименте.
В качестве A , B и C возьмем проекции спина (линейные поляризации) фотона на разные направления (по разному ориентированную систему осей), понятно, что эти величины не коммутируют друг с другом. Плюсу будет соответствовать поляризация по оси x, минусу – по оси y.

После взаимодействия в начальный момент ЭПР-частицы разлетаются, и локальное состояние каждой из них (после взаимодействия) никак уже не зависит от состояния другой. При этом бывшее взаимодействие накладывает некоторые условия на суммарное значение локальных величин (как следствие работы законов сохранения). Так, если одна частица из ЭПР-пары имеет плюс-значение одного из свойств, до другая непременно получит минус-значение (мы предполагаем, поляризации можно рассматривать как скрытые параметры, т.е. как свойства самой частицы), таким образом неравенство (4) можно переписать следующим образом:

N (A + B +) <= N (B - C -) + N (A + C +) (5)

где первый параметр N относится к одной частице, а второй – к другой. Т.е. выражение N (A + B +) обозначает, что первый фотон имеет x-поляризацию в системе координат A , а вторая частица - x-поляризацию в системе координат B (и соответственно, первая частица будет B -)

Конкретизируем A , B и C :

Пусть A повернуто относительно C на угол φ против часовой стрелки, А В – относительно C на угол φ по часовой.

Если всего в ансамбле n пар частиц, то в половине случаев первая частица будет B - . Эта половина будет состоять из двух частей - в одном случае вторая частица из пары будет C - , а в другом – C + . Исходя из квантовой механики , случай C - будет встречаться (в среднем) sin 2 (φ ) раз. Т.е. N (B - C -) = ½ n sin 2 (φ ), аналогично получаем значения для всех остальных N , неравенство (5) приобретает следующий вид:

½ n sin 2 (2φ ) <= ½ n sin 2 (φ ) + ½ n sin 2 (φ )

или, после сокращений:

½ sin 2 (2φ ) <= sin 2 (φ )

но, как известно из тригонометрии, sin(2φ ) = 2sin(φ )cos(φ ) , т.е. получаем:

2sin 2 (φ )cos 2 (φ ) <= sin 2 (φ )

cos 2 (φ ) <= ½

Что, очевидно, выполняется не для всех углов. При достаточно малых φ квадрат косинуса стремится к единице, что, конечно, больше одной второй.
Итак, мы видим, что неравенство Белла нарушается в случае измерения трех разных проекций спина для фотонов из ЭПР пары. То есть мы не имеем права считать, что фотоны имели соответствующие проекции спина до измерения (или если обратиться к модели с кубиками из предыдущей серии, то нельзя считать, что к Алисе и Бобу приходят уже сформированные наборы значений).

Здесь можно возразить, что, может быть, фотоны имели, как свойства, не набор проекций спина (поляризаций), а значения каких-то других величин, которые напрямую в опыте измерены быть не могут, но через комбинации которых выражаются измеряемые проекции.
Но если через них выражаются интересующие нас (в процедуре измерения) величины, то это означает, что последние могут быть выражены через некую функцию от скрытых параметров. Скажем, A = f (λ 1 ,λ 2 ,…), где λ i - скрытые параметры. Но тогда для этих функций точно так же должно выполнятся неравенство Белла, и приходим к тому же самому. (Подробнее о других формах неравенства Белла, в том числе, сформулированных с непосредственным использованием скрытых параметров, смотрите в вышеупомянутом обзоре А.А.Гриба и далее по ссылкам.)

Какова же альтернатива? Вроде, необходимо считать, что проекции спина возникают только при измерении (раз они до этого не существуют как свойства частиц). Но тогда мы попадаем в другое "неудобное положение": получается, что акт измерения в одной области пространства влияет на акт измерения в другой области, как угодно далеко расположенной от первой. Причем воздействие это мгновенно, и даже более того – невозможно точно сказать: первое измерение влияет на первое, или же второе – на первое, ибо в разных системах отсчета (согласно теории относительности) мы получим разный порядок проведения измерений. И уж совершенно очевидно, что попытка выявить механизм подобного влияния (как физического явления, которое можно исследовать) непременно войдет в противоречие с теорией относительности.

Итак, обе альтернативы (локальных параметров и нелокального влияния) - обе являются неудовлетворительными. Первая не соответствуют экспериментальным данным и формализму квантовой механики, вторая – явным образом противоречит ТО (либо вообще выпадает из предмета физики, как науки).

Впрочем, возможно, что наличие только этих двух альтернатив понимания ЭПР-ситуации есть иллюзия, морок, наведенный тем понятийным аппаратом, которым мы пользуемся. Возможно, есть и другой путь (пути). И чтобы выяснить это, нужно обратиться к анализу тех оснований, на которые опираются эти альтернативы, эти формы нашего понимания.

А.А.Гриб «Неравенства Белла и зкспериментальная проверка квантовых корреляций на макроскопических расстояниях» УФН, 1984, том 142, вып 4.

Состояние суперпозиции двух фотонов можно записать в базисе (x,y) как |S> = |x 1 y 2 > + |y 1 x 2 > (нормировки здесь и дальше я опускаю, см. ), где индекс 1 соответствует первой частице и 2 - второй.
Нам надо найти амплитуду (и вероятность), что первая частица будет "поймана" в состоянии |x 1 >, а вторая в состоянии |x" 2 >, в "штрихованном" базисе (x",y"), который повернут относительно первого на угол φ .
Т.е. нам надо найти амплитуду a = < x 1 x" 2 |S>, где < x" 2 | = cos(φ )< x 2 | + sin(φ )< y 2 |
Таким образом получаем:
a = cos(φ )< x 1 x 2 |x 1 y 2 + y 1 x 2 > + sin(φ )< x 1 y 2 |x 1 y 2 + y 1 x 2 >
Первое слагаемое здесь, как нетрудно видеть, обращается в 0, поскольку в каждом его члене встречается произведение ортогональных векторов, а во втором слагаемом остается один член - а = sin(φ )< x 1 y 2 |x 1 y 2 > = sin(φ ), ну и вероятность - квадрат синуса.

Неравенства Белла используются в качестве основного аргумента в споре между локальным реализмом Эйнштейна и квантовой нелокальностью. Если тщательно проанализировать доводы, то можно признать: Эйнштейн прав – квантовая механика неполна, а "современная физика, превратилась, по сути дела, в продолжение математики, совершенно утратив все надежды на понимание природы изучаемых явлений".

КАКИЕ ОНИ, НЕРАВЕНСТВА?

Вопрос не праздный и очень даже не простой. Вот что, например, пишет на Самиздате один из его авторов: "Не так давно мне тут всю плешь проели по поводу теоремы Белла. Уж чего только не говорили. Не говорили только, что это такое на самом деле, с чем ее едят и что из нее следует. Видимо, все были крутыми специалистами и упоминание таких мелочей было ниже их достоинства" . Попробуем и мы обратиться к этой интересной теме. Теорема Белла – это выкладки, результатом которых являются указанные неравенства.

Вариантов так называемых "неравенств Белла" в литературе встречается множество и, собственно, оригинальной формулировки "теоремы Белла" и "неравенств Белла" нет. Одним из наиболее известных выражений этих неравенств является вариант CHSH–неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом, которое выглядит так:

| + + - | <= 2

Варианты написания неравенства могут незначительно различаться. Например, так :

2 <= S <= 2,

Где: S = E(a, b) - E(a, b") + E(a", b) + E(a", b").

Вид неравенства чаще всего определяется условиями эксперимента, исследуемой в нём модели. Следующее "оптимальное неравенство типа неравенства Белла для трёх-частичного ГХЦ-состояния было написано Мерминым и имеет вид

| + + - | <= 2."

Для того, чтобы понять суть неравенств Белла и их роль в квантовой физике, что и чему не равно и по какой причине, рассмотрим условия и причину появления неравенств.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Одним из основных понятий квантовой физики является волновая функция. Часто её отождествляют с похожим понятием – вектором состояния:

"Волновая функция (амплитуда вероятности, вектор состояния), в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен вероятности данного состояния, поэтому волновую функцию называют также амплитудой вероятности".

Название - амплитуда вероятности отражает первый общий принцип квантовой механики, который заключается в том, что вероятность того, что частица достигнет точки x, выйдя из источника s, может быть численно представлена квадратом модуля комплексного числа, для записи которого используется сокращенное обозначение .

"Например, вероятность того, что квантовая частица находится в точке с заданными координатами, равна квадрату ее волновой функции, аргументом которой является координата. Соответственно, вероятность того, что частица имеет определенный импульс, равна квадрату волновой функции с импульсом в качестве аргумента. Поэтому у квантовой частицы нет определенной координаты или импульса – они принимают то или другое значение лишь с какой-то вероятностью" .

Таким образом, как видим, в обозначениях и формулировках, относящихся к базовым понятиям квантовой механики – волновой функции, амплитуде вероятности, вектору состояния имеются некоторые разночтения и различия. Тем не менее, вполне очевидно, что научная теория – квантовая механика полностью отражает реальность, даёт исчерпывающую информацию о ней. И это не смотря на то, что о параметрах квантовых частиц можно говорить только с вероятностной точки зрения. Впервые точно сформулированная вероятностная интерпретация квантовой механики, волновой функции была предложена в 1926 году Максом Борном. В дальнейшем эти представление были положены в основу так называемой Копенгагенской интерпретации квантовой механики (КИ):

"Именно Борн правильно (насколько нам известно) отождествил psi в уравнении Шредингера с амплитудой вероятности, предположив, что квадрат амплитуды - это не плотность заряда, а всего лишь вероятность (на единицу объема) обнаружить там электрон и что если вы находите электрон в некотором месте, то там окажется и весь его заряд. Вся эта идея принадлежит Максу Борну".

"Предполагавшаяся уже ранее в исследованиях по теории излучения и сформулированная точно в борновской теории столкновений гипотеза, что волновая функция определяет вероятность наличия частицы, оказалась частным случаем общей закономерности и естественным следствием основных положений квантовой механики" . "Используя высказанные ранее Эйнштейном идеи о взаимосвязи между световыми волнами и фотонами, согласно которым квадрат амплитуды этих волн в данной точке должен был определять вероятность нахождения в ней фотона, Борн выдвинул интерпретацию |psi|^2 - квадрата модуля шредингеровской волновой функции как плотности вероятности в конфигурационном пространстве".

Борн отмечал в своих воспоминаниях, что уже тогда размышления над многомерными векторами этой теории зародили в нем идеи, которые он позднее развил. Они впервые были опубликованы в виде короткой заметки в журнале "Zeitschiift fur Physik", а затем в классической статье; обе работы имеют одинаковое название "К квантовой механике процессов соударения". Содержание этих работ хорошо известно и не требует подробного пересказа. В интерпретации Борна шредингеровская волновая функция характеризует вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Именно в первую очередь за них Максу Борну была присуждена Нобелевская премия.

"Итак, я хотел бы в виде опыта проследить за следующим представлением: "ведущее поле", задаваемое скалярной функцией psi от координат всех участвующих частиц и от времени, распространяется в соответствии с дифференциальным уравнением Шрёдингера. Однако перенос импульса и энергии происходит так, как если бы в действительности двигались корпускулы (электроны), Пути этих корпускул определены лишь в той степени, в какой их ограничивают законы сохранения энергии и импульса; в остальном выбор данного пути определяется лишь вероятностью, задаваемой распределением значений функции psi. Это представление можно было бы обобщить следующим, хотя и несколько парадоксальным образом: движение частиц следует вероятностным законам, но сама вероятность распространяется в соответствии с законом причинности".

«Саму волновую функцию psi Р.Фейнман предлагает называть амплитудой вероятности, но данный термин не является общепринятым" .

"Квадрат модуля берется по той причине, что сама волновая функция (из-за мнимого коэффициента перед производной по времени в дифференциальном уравнении) комплексна, в то время как величины, допускающие физическую интерпретацию, конечно, должны быть вещественными.

Мы уже упоминали об интерпретации волновой функции, данной Борном (гл. IV, §7). Пусть собственная функция psi соответствует некоторому состоянию; тогда есть вероятность, что электрон (рассматриваемый как частица) находится в элементе объема dv.

Эта интерпретация станет совершенно очевидной, если рассмотреть не собственные квантовые состояния (с дискретными отрицательными значениями энергии), а состояния с положительной энергией, соответствующие гиперболическим орбитам теории Бора" .

Борн отмечает, что вероятностный подход к волновой функции основывается на идеях Паули и Шредингера:

"Такое обобщение волновой механики предложил Паули (1925 г.). Основная идея его теории состоит примерно в следующем. Для простоты рассмотрим свободный электрон. Согласно Шредингеру, его состояние описывается волновой функцией psi(x, у, z, t), причем |psi|^2 дает вероятность того, что электрон будет обнаружен в рассматриваемой точке. Мы могли бы ввести спин в волновое уравнение, пользуясь представлением о вращающемся электроне".

"вектор х есть непрерывное представление волновой функции psi, так что |psi|^2 - плотность вероятности в конфигурационном пространстве".

ПАРАДОКС ЭПР

Однако такой подход в теории вызвал возражения у ряда исследователей, в том числе, у А.Эйнштейна. Эйнштейн и его сотрудники - Подольский и Розен подвергли сомнению полноту квантовой механики. Суть возражения состояла в том, что квантовая механика не полна, волновая функция не позволяет дать полное описание реальности, о чём свидетельствует явление запутанности квантовых частиц. В 1935 году они предложили мысленный эксперимент, из которого, по их мнению, следовало, что для описания физических объектов волновой функции недостаточно.

В статье "Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным?" они рассмотрели систему двух коррелированных (в состоянии запутанности) частиц. В статье были приведены доказательства, что измерение над одной из связанных частиц позволяет узнать дополнительные параметры второй частицы, что противоречит положениям квантовой механики. Это и означает, что волновая функция не полностью характеризует частицу, что квантовая механика не полна:

"описание физической реальности с помощью волновой функции является неполным" .

Поскольку вероятность нахождения квантовой частицы в каком-либо состоянии одного из своих параметров равна квадрату её волновой функции по этому параметру, у квантовой частицы нет определённого значения этого параметра – они принимают то или другое значение лишь с какой-то вероятностью. И только в процессе измерения, когда волновая функция "схлопывается", значение параметра становится известным точно. По мнению Эйнштейна это плохо совмещается с представлениями о реальности. Он приводит такое определение понятия элемента физической реальности:

"Если мы можем, без какого бы то ни было возмущения системы, предсказать с достоверностью (т. е. вероятностью, равной единице) значение некоторой физической величины, то существует элемент физической реальности, соответствующий этой физической величине". .

Против доводов Эйнштейна выступил Бор. Полемику между Эйнштейном, Подольским и Розеном, с одной стороны, и Бором, с другой, можно рассматривать как спор о физическом смысле волновой функции. Во вступительной статье Фока к одной из публикаций упомянутой работе Эйнштейна говорится:

".. все парадоксы исчезают, коль скоро мы откажемся от проводимого Эйнштейном неверного "объективного" толкования волновой функции и примем правильное ее толкование, т. е. будем считать, что она описывает "состояние в квантовом смысле" или "сведения о состоянии, получаемые в результате определенного максимально-точного опыта" .

Нильс Бор опубликовал статью, в которой подробно рассмотрел аргументы Эйнштейна, используя понятие дополнительности, состоящее во взаимном исключении всяких двух экспериментальных манипуляций, которые позволили бы дать однозначное определение двух взаимно-дополнительных физических величин. Бор приходит к выводу, что:

"формулировка вышеупомянутого критерия физической реальности, предложенного Эйнштейном, Подольским и Розеном, содержит двусмысленность в выражении "без какого бы то ни было возмущения системы"".

Помимо обратного влияния измерительного прибора на объект измерения, Бор отмечает необходимость учитывать влияние объектов измерения и на часовые механизмы:

Кроме уже рассмотренного выше переноса количества движения между объектом и телами, определяющими пространственную систему отсчета, нам придется теперь при изучении такого рода установок исследовать возможный обмен энергией между объектом и этими "часовыми" механизмами.
Существенный пункт в рассуждениях, относящихся к измерениям времени в квантовой механике, вполне аналогичен тому аргументу, который относится к измерениям положения. ... Действительно, возможность контролировать передаваемую часам энергию, не нарушая действия их как указателей времени, принципиально исключена .

Вместе с тем доводы Фока и Бора в целом можно отнести к теоретико-логическим, описательным. Несмотря на логичность и стройность, доводы, тем не менее, не обладали достаточной математической строгостью, формальностью. Вследствие этого продолжались попытки построения теорий, которые должны были объяснить поведение запутанных частиц путём расширения аппарата квантовой механики, включения в него понятий "скрытые переменные" или "дополнительные параметры". И только с появлением работы Белла был практически окончательно решён вопрос об ошибочности доводов Эйнштейна и неспособности теорий с "дополнительными параметрами" разрешить ЭПР-парадокс.

СТАТЬЯ БЕЛЛА

Статья Д.Белла "Парадокс Эйнштейна Подольского Розена" была опубликована в 1964 году и породила понятие "неравенства Белла". В ней Белл произвёл тщательный анализ доводов Эйнштейна, Подольского и Розена. Он убедительно показал, что теории со скрытыми переменными в принципе не позволяют объяснить результаты, полученные в реальных экспериментах. Вывод, к которому пришёл Белл, гласит:

"В квантовой теории с дополнительными параметрами для того, чтобы определить результаты индивидуальных измерений без того, чтобы изменить статистические предсказания, должен быть механизм, посредством которого настройка одного измеряющего устройства может влиять на чтение другого отдаленного инструмента. Кроме того, задействованный сигнал должен распространяться мгновенно так, что такая теория не может быть лоренц-инвариантом" .

Другими словами, если мы с позиции теории с дополнительными параметрами будем утверждать, что результаты измерений над каждой частицей полностью независимы друг от друга, независимы в физическом смысле, а все совпадения являются статистическими следствиями, то есть, по существу, они всего лишь случайные совпадения, то в этом случае мы будем вынуждены переложить весь груз этой случайности на некий механизм, упомянутый Беллом. Этот механизм должен обладать способностью подстраиваться под измерения со сверхсветовой скоростью. Следовательно, такая теория противоречит специальной теории относительности и поэтому тоже отвергает ЭПР-аргументы.

В принципе, на этом можно было бы и закончить, если бы не некоторые довольно примечательные обстоятельства. В первую очередь это то, что анализ Белла и аргументы Эйнштейна никак не объясняют собственно механизм корреляции. Как оказалось, эйнштейновские аргументы опровергнуты чисто математическими выкладками: поведение квантовых частиц не может быть описано статистически, никакие "дополнительные параметры" не могут обеспечить требуемой корреляции. С другой стороны, доводы Белла сыграли лишь деструктивную роль – опровергли целый класс таких теорий.

Но поведение частиц, не являясь статистическим, демонстрирует некоторую "взаимозависимость". Простой констатацией факта и присвоением ему названия "нелокальность" вряд ли можно ограничиться. Суть нелокальности никак не раскрывается. В наши дни это понятие расширено новым термином "несепарабельность", так же не раскрытым полностью. Суть явления выглядит таким образом: между объектами нет взаимодействия, но ведут они себя таким образом, будто такое взаимодействие есть. В литературе встречаются аллегории, будто частицы "видят будущее". Некоторые формулировки, описывающие явления, подобные ЭПР-парадоксу, содержат чёткие словосочетания "как только одна..., так сразу же другая", явно отражающие отношение взаимозависимости.

Прежде, чем мы попытаемся разобраться в сущности неравенств Белла, рассмотрим более подробно, как они выглядели в оригинале, у автора.

КАК ВЫГЛЯДЯТ НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА В ОРИГИНАЛЕ?

Как уже было отмечено выше, "неравенства Белла" в литературе приводятся в разных видах. В таком случае возникает резонный вопрос, а как же они выглядели у автора этих неравенств, у самого Белла? В статье Белла, как можно заметить, нет ни одного выражения, хотя бы близко похожего на приведённые выше неравенства. Кратко рассмотрим его выкладки .

"В примере, приведенном Бомом и Аароновым, ЭПР-аргумент состоит в следующем.
Рассмотрим пару частиц с полуцелым спином, сформированных в синглетном состоянии и движущихся свободно в противоположных направлениях. Измерения могут быть сделаны, например, с помощью магнитов Шрена-Герлаха на выбранных компонентах спина

Заключительным выражением у Белла является следующее (опуская промежуточные выкладки, приведём лишь окончательный результат):

4(e + d) >= |ac – ab| + bc – 1 (22)

Полученное выражение (22), по существу, и следует считать оригиналом неравенств Белла. Из этого неравенства следует вывод, что никакая статистическая теория с дополнительным параметром не может обеспечить с произвольной точностью такой же корреляции, что и квантово-механическое уравнение. На основании проведённого анализа Белл и приходит к своему выводу о невозможности придерживаться статистических предсказаний в поведении частиц в ЭПР-парадоксе.

Как видим, оригинал так же отличается от множества других "неравенств Белла", как и большинство этих "неравенств" отличаются друг от друга. В чём же дело? Означает ли это, что произошла подмена? Является ли она принципиальной в главном споре между нелокальностью и локальным реализмом с теориями дополнительных переменных? Видимо, принципиальных противоречий в различных формулировках неравенств Белла нет. Все они едины своим духом и, по сути, одинаково противостоят статистическим трактовкам явления запутанности квантовых частиц. Вкратце суть их можно сформулировать следующим образом.

Если рассматривать события измерения двух удалённых друг от друга квантовых частиц, бывших до этого во взаимодействии, то статистические предсказания дают неверный результат. Эти предсказания исходят из того, что частицы ведут себя полностью независимо: результат измерения над одной частицей не оказывает влияния на результат измерения над другой частицей. Однако между этими измерения существуют явно видимые соотношения, которые более связаны друг с другом, чем случайные события. Это явление, как отмечено выше, получило название нелокальности.

Проще говоря, мы видим, что результат второго измерения зависит от результата первого измерения, мы отчётливо видим связь, зависимость между двумя измерениями. Но это противоречит специальной теории относительности, к тому же никто и никогда не наблюдал сигнала, с помощью которого частицы "передают" информацию друг другу. Эти противоречия со временем и привели к появлению понятия "нелокальность", которое в свою очередь является антагонизмом понятия "локальность" или в более широком смысле понятия "локальный реализм", который связывают с именем Эйнштейна.

СУЩНОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОСТИ И ЛОКАЛЬНОГО РЕАЛИЗМА

Поскольку неравенства Белла тесно связаны с конфликтом между нелокальностью и локальным реализмом, рассмотрим противоречия между ними подробнее. В обзорной части своей статьи Белл пишет :

"Парадокс Эйнштейна, Подольского и Розена был выдвинут как аргумент того, что квантовая механика – теория не полная и в нее должны быть включены дополнительные переменные".

При желании можно найти описания этих попыток. Кроме того известна явно построенная интерпретация элементарной квантовой теории со скрытой переменной. Эта специфическая интерпретация в действительности имеет чрезвычайно нелокальную структуру. Белл доказал, что это нелокальность характерна для любой теории, которая точно воспроизводит квантово-механические предсказания.

По Эйнштейну результаты измерения частиц являются косвенно зависимыми. Это значит, что коррелированные значения состояния частиц возникают в момент запутывания частиц и сохраняется до конца опыта . То есть, случайные, но взаимосвязанные состояния частиц формируются к моменту их разделения. В дальнейшем они сохраняют полученные при запутывании состояния, и "хранятся" эти состояния в неких элементах физической реальности, описываемых "дополнительными параметрами".

"Но одно предположение представляется мне бесспорным. Реальное положение вещей (состояние) системы S2 не зависит от того, что проделывают с пространственно отделённой от неё системой S1" .
"…так как во время измерения эти две системы уже не взаимодействуют, то в результате каких бы то ни было операций над первой системой, во второй системе уже не может получиться никаких реальных изменений" .

Эти представления впоследствии получили название "локального реализма". Как пишет Доронин:

"Насчет того, что понимать под нелокальностью в КМ, то в научной среде, я считаю, сложилось некоторое согласованное мнение на этот счет. Обычно под нелокальностью КМ понимают то обстоятельство, что КМ противоречит принципу локального реализма (его еще часто называют принципом локальности Эйнштейна).
Принцип локального реализма утверждает, что если две системы A и B пространственно разделены, тогда при полном описании физической реальности, действия, выполненные над системой А, не должны изменять свойства системы В" .

Однако это пока лишь общие сведения, констатация факта противоречия нелокальности и теорий со "скрытыми переменными". Пока не вполне отчётливо видна роль "неравенств Белла" в разрешении этого противоречия. То, что в экспериментах эти неравенства нарушаются, хорошо известный факт. Но как происходит это нарушение? Почему всё-таки квантовая механика их не нарушает, а теории со "скрытыми переменными" нарушают?

КАК "РАБОТАЮТ" НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА

Итак, две разделённые пространственно частицы образуют нелокальную систему: действия над одной из них не изменяют состояния другой, но при этом эти состояния частиц оказываются коррелированными, то есть связанными друг с другом. Следовательно, суть парадокса ЭПР состоит не только в утверждении неполноты квантовой механики, не только в утверждении о неполном описании волновой функцией состояния квантовых объектов, но и в противопоставлении в целом явления нелокальности и локального реализма.

Рассмотрим одно из наиболее удачных и компактных описаний "механизма" неравенств Белла в варианте Белла-Клаузера-Хорна-Шимони в изложении Холево. Рассматривая мысленный эксперимент ЭПР, Белл обратил внимание на глубокий и неожиданный вывод :
«.. если пытаться описывать корреляции измерений спинов двух частиц классически и в соответствии с принципом локальности, то оказывается невозможным достичь такого характера и уровня коррелированности, который соответствует предсказаниям квантовой механики. Более того, этот уровень коррелированности может быть количественно сформулирован и проверен экспериментально...

Доказательство получается усреднением элементарного неравенства
-2 <= X1Y1 + X1Y2 + X2Y1 - X2Y2 <= 2.

Это условие кажется настолько естественным, что оно даже трудно уловимо. Однако именно оно запрещает мгновенное влияние измерения, проводящегося в одной системе, на измерения в другой системе».

Никакие значения независимых случайных величин не позволят получить значения выражения, превышающего 2. Но, как утверждается, квантовые частицы в запутанном состоянии, тем не менее, нарушают это неравенство. Каким образом – пока неясно. Рассмотрим механизм этого нарушения в работах Алена Аспекта .

Для теорий со скрытыми переменными Аспект выводит такую форму функции корреляции:

2 <= S(Л, a, a", b, b") <= 2. (20)
где
S(Л, a, a", b, b") = Е(a, b) - Е(a, b") + Е(a", b) + Е(a", b") (21)

Это и есть, упоминавшиеся нами неоднократно BCHSH - неравенства, то есть неравенства Белла, выведенные Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом. Легко заметить их сходство с формой, приведённой Холево, что в общем-то очевидно. В экспериментах Аспекта они относятся к комбинации S из четырех коэффициентов корреляции поляризации, привязанным к двум направлениям анализа для каждого поляризатора (a и a" для поляризатора I, b и b" для поляризатора II). Аспект отмечает их общность: они применимы к любой теории с дополнительными параметрами в самой общей формы.

Далее Аспект приводит ещё одну форму неравенств Белла. Обращаем на это особое внимание: это неравенства, созданные не для теорий с дополнительными параметрами, а для квантовой механики. То есть существуют два класса неравенств Белла: для локальных теорий, приведённые выше, и для квантовой механики, которые мы сейчас получим. Для получения квантово-механических "неравенств Белла" Аспект использует такой же приём и получает значение:

Sqm = 2Sqrt(2) ~ 1,41 (22)

Итак, мы видим, что для квантовой механики значения модуля в неравенствах Белла несколько выше, чем для локальных теорий. Собственно говоря, в этом и заключается механизм "работы" неравенств Белла, сущность их нарушения. Эти неравенства, составленные для локальных теорий, не могут принимать значений, обеспечиваемых неравенствами, составленными для квантовой механики.

Как видим, это квантово-механическое предсказание определенно находится в противоречии с неравенствами Белла (20) которые имеет силу для любой теории с дополнительными параметрами. Другими словами, нарушаются не собственно неравенства Белла как таковые (не существует способа получить значение модуля, превышающее 2), а имеется два класса этих неравенств: локальные и квантово-механические. Они, понятное дело, имеют разные "планки", выше которых не поднимаются значения выражений S. Видимо, разумнее говорить о нарушении неравенств в другом смысле. Значение S для локальных теорий не превышает 2, а для квантовой механики – превышает.

Все последующие эксперименты, направленные на проверку неравенств Белла, в сущности, преследовали одну цель: показать, что в реальных экспериментах неравенства Белла имеют верхнюю границу, соответствующую выражению (22). Другими словами, неравенства Белла (для локальных теорий) не нарушаются, а просто не соответствуют реальному положению вещей, а сущность теоремы Белла состоит, в таком случае, в том, что невозможно найти (построить) теорию с дополнительными параметрами, которая была бы способна обеспечить такой же уровень корреляции для всех случаев, что и квантовая теория.

Добавим, что на основании своих выкладок Аспект делает два примечательных вывода. Он отмечает две гипотезы, которые с неизбежностью приводят к конфликту с квантовой механикой:

Корреляции на расстоянии могут быть поняты на основе введения дополнительных параметров для разделенных частиц, в духе идеи Эйнштейна о том, что различным частицам отвечает разные физические сущности.
-- величины A(Л, a), B(Л, b) и p(Л) отвечают условию локальности, т.е. они не зависят от ориентаций удаленных поляризаторов.

Вторая гипотеза Аспекта представляет особый интерес. Конфликт с квантовой механикой (и, соответственно, с результатами множества экспериментов) возникает, если события в удалённых системах не зависят друг от друга. Именно события, поскольку вероятности измерений на удалённых поляризаторах однозначно определяются этими величинами. Это очевидное следствие утверждения (гипотезы) Аспекта: если бы вероятности на измерителях зависели от ориентаций удалённых от них поляризаторов, то конфликта с квантовой механикой не было бы. Другими словами, вероятность измерения одной квантовой частицы зависит от измерения другой, удалённой частицы.

НЕМНОГО О ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЯХ

Являются ли квантовые события независимыми? Очевидно, что первое из измерений запутанных частиц можно с полным правом назвать независимым. Нет никаких указаний на то, что значение вероятности равное 1\2 может быть изменено каким-либо способом. Ничто не может повлиять на исход первого измерения: вероятность получения некоторого результата строго равна 1\2. При любом измерении эта величина остаётся неизменной, то есть на неё в принципе не оказывается никакого влияния. Либо это такое "влияние", которое никак не изменяет результат.

Но этого нельзя сказать о втором измерении. Его результат неопровержимо зависит от результата первого измерения. Вероятность наступления некоторого результата во втором измерении однозначно определяется тем, какую поляризацию получит фотон в первом измерении. Есть некоторые установки (настройки) поляризаторов, при которых эта вероятность превращается в свою предельную форму – достоверность. То есть с достоверностью (вероятностью, равной единице) будет наблюдаться заранее назначенный результат. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим некоторые базовые положения классической теории вероятности.

Выше в данной статье мы привели высказывание Холево:
"Это условие... запрещает мгновенное влияние измерения, проводящегося в одной системе, на измерения в другой системе" .

Мы специально выделяем слово "влияние", поскольку именно оно является ключевым, именно в нём, во влиянии заключено противоречие между нелокальностью и локальным реализмом. Давно известно, что квантовая механика предложила собственную, квантовую логику и собственную, квантовую теорию вероятностей. Поскольку собственно квантовой теории вероятности как таковой, видимо, нет, в роли такой теории выступает сама квантовая механика.

Одним из знаменитых правил этой теории является следующее:
"Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей" .

Этот довод при объяснении ЭПР-парадокса можно услышать довольно часто. Отрицая зависимость событий, которая неявно требует обмена сигналами, утверждается, что просто вероятности вычисляются по другим, квантовым правилам. Чтобы увидеть сходство или различие классического и квантового подходов к сложению вероятностей рассмотрим суть классической теоремы (правила) сложения вероятностей:

"Вероятность наступления в некоторой операции какого-либо одного (безразлично какого именно) из результатов А1, А2, ..., Аn равна сумме вероятностей этих результатов, если каждые два из них несовместимы между собой" .

Теорема сложения может быть представлена и в таком виде:
"Если события A1, A2, ..., Ar таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей" .

Здесь под объединением событий понимается следующее. Событие В называется объединением (суммой) событий A1, A2, ..., Ar,-, если оно имеет вид: "наступает или A1, или А2, ..., или Ar".
"Суммой или объединением нескольких событий A1, A2, ..., An называется событие C, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий A1, A2, ..., An:
C = A1 + A2 + . . . + An".

Под совмещением событий A1, А2, ..., Ar понимается событие С, если оно имеет вид: "наступает и A1, и A2, ..., и Ar".

Иногда совмещение называют также произведением или пересечением событий. В частности, для двух событий:

"Произведением или пересечением событий А и В назовем событие, обозначаемое А/\В или АВ, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В вместе" .

Напротив, несовместными событиями считаются события А и В, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А и В. Как видим, теорема сложения вероятностей вплотную соприкасается с понятием зависимых событий, которые имеют очевидное отношение к отмеченному выше "мгновенному влиянию разделённых измерений" в выкладках Холево. Поскольку мы пытаемся показать, что квантовые события в ЭПР-парадоксе являются зависимыми, нам необходимо рассмотреть сущность зависимости случайных событий. Рассмотрим определения зависимых и независимых событий.

Условие независимости событий следует из так называемой теоремы умножения вероятностей: вероятность совместного наступления зависимых событий равна произведению их вероятностей. Аналогичная формулировка есть и у других авторов. Например, Садбери приводит такую :

«Пусть Е и F – два независимых эксперимента, т.е. нет причинного влияния одного из них на другой и нет общего причинного влияния на оба этих эксперимента».

В более простом виде теорема умножения (совмещения) вероятностей может быть сформулирована следующим образом :

"Вероятность совмещения событий A1, A2, ..., Ar равна вероятности события A1, умноженной на вероятность события A2, взятую при условии, что А1 наступило, ..., умноженной на вероятность события Ar при условии, что A1, A2, ..., Ar-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле:
P(A1 и A2 и... и Ar) = P(A1) x P(A2) x ... x P(Ar)"

Формулировку теоремы умножения вероятностей (которая позволяет вычислить вероятность совмещения событий) для двух событий находим и у Феллера :

"В приведенных выше примерах условная вероятность P{A|H}, вообще говоря, не была равна безусловной вероятности P{A}. Говоря грубо, знание того, что произошло событие Н, изменяло нашу оценку шансов появления события А. Только в том случае, когда P{A|H} = P{A}, это знание не оказывает никакого влияния на оценку шансов появления события А. Мы будем говорить, что в этом случае событие А не зависит от события Н".

Обратим на это внимание: знание об одном событии изменяет оценку шансов другого события, что трактуется Феллером как зависимость событий.

"Далее, из формулы (1.5) следует, что условие P{A|H} = P{A} можно записать в этом случае в форме
P{AH} = P{A} x P{H}.
Это равенство симметрично относительно А и Н и показывает, что если А не зависит от Н, то и Н не зависит от А" .

На этом основании Феллер в отношении независимых событий приводит такое, как он его назвал, симметричное определение :

"Если А не зависит от Н, то и Н не зависит от А. Поэтому мы предпочтем дать следующее симметричное
Определение 1. Два события А и Н называются независимыми, если они удовлетворяют соотношению:

P{AH} = P{A}P{H}.

Это определение применимо и в случае P{H} = 0, когда условная вероятность P{A|H} не определена".

Для наглядности следом он приводит такой пример :
"Из колоды игральных карты вытаскивают наугад одну карту. Из соображений симметрии мы склонны ожидать, что события "трефа" и "туз" независимы. Действительно, их вероятности равны 1/4 и 1/13, а вероятность их одновременного осуществления равна 1/52".

Заметим, что справедлива и обратная теорема :
Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Точно такое же определение независимости для двух событий находим у Черновой :
Определение 19. События А и В называются независимыми, если
P(A/\B) = P(A)P(B).

Отметим, что правило умножения вероятностей может иметь и ещё одну, несколько отличную от приведённых формулировку:

"Правило умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоялось" .

И далее приводится уже знакомая нам особенность вероятностей независимых событий:
"Вероятность совместного наступления любого числа взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий" .

Для справки напомним определение достоверного события :
"Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти.
P(U) = 1."

И вновь о событиях зависимых и независимых. Вентцель даёт определение независимых событий через условную вероятность одного события от другого :

"Условной вероятностью события А при наличии B называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А|B). События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)."

Теорема умножения вероятностей
"Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

P(AB) = P(A) P(B|A)

P(AB) = P(B) P(A|B).

Для независимых событий А и В

P(AB) = P(А) P(B)."

Итак, теорема об умножении и обратная к ней теорема утверждают, что зависимыми событиями являются два события, для которых выполняется равенство:

P(AB) = P(А) P(B|А),

Вероятность совместного наступления события А и события В при условии наступления события А равна произведению этих событий.

Теорема (правило) сложения вероятностей классической статистической теории, как отмечено, касается событий независимых. В противовес этому квантовое правило предлагает сложение амплитуд вероятностей. При этом утверждается, что события, амплитуды вероятностей которых складываются, являются независимыми и нелокальными. Однако выражения (уравнения) и результаты этих вычислений демонстрируют подобие зависимости между событиями. Анализ описаний множества экспериментов наводит на мысль, что описания содержат даже не завуалированную, а явно видимую зависимость событий. Поэтому квантовое правило сложения амплитуд вероятностей фактически является своеобразной попыткой скрыть эти зависимости.

АНАЛИЗ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИХ АРГУМЕНТОВ

В работе Аспект делает следующее заключение:
"квантово-механические вычисления показывают, что хотя каждое идивидуальное измерение дает случайные результаты, эти случайные результаты коррелированы, как показывает уравнение (6). Для параллельной (или перпендикулярной) ориентации поляризаторов корреляция полная (|Eqm|= 1)".

Под термином "корреляция" скрывается обычное понятие: взаимозависимы. То есть каждый из результатов измерения случаен, а друг с другом они строго взаимосвязаны. Проведём аналогию с подбрасыванием монеты. Производим многократные подбрасывания монет и регистрируем два события: верхнюю сторону монеты и нижнюю сторону монеты. Очевидно, что каждое измерение даёт случайный результат: сверху с вероятностью 1\2 оказывается либо орёл, либо решка.

Снизу с вероятностью 1\2 оказывается либо решка, либо орёл. Но оба измерения строго коррелированы, причём корреляция полная. Если следовать квантовая логике, то нам следовало бы считать, что эти два события независимы. Нетрудно заметить, что в этом случае неравенства Белла будут нарушены для любой теории со скрытыми переменными. Напомним, что речь идёт о двух сторонах одной и той же монеты , а теории со скрытыми параметрами должны, в сущности, отражать тот факт, что две стороны монеты жестко связаны друг с другом.

Рассмотрим теперь весьма показательные выводы, полученные Аспектом на примере оптического варианта мысленного эксперимента ЭПР в версии Бома в статье :

"немедленно после первого измерения фотон v1 получает поляризацию |a>: это очевидно, потому что это было измерено поляризатором, ориентированным по a, и был получен + результат. Более удивительно, отдаленный фотон v2, который еще не взаимодействовал ни с каким поляризатором, также спроектировался в состояние |a> с определенной поляризацией, параллельной той, которая найдена для фотона v1".

Формулировки исключают любые двусмысленности: измерение первого фотона приводит к проектированию второго фотона в определённое состояние. Это ни что иное, как зависимость одного измерение от другого. Подчеркнём, что измерение первого фотона произошло в одной точке пространства, а второй фотон спроектировался в определённое состояние в другой точке пространства. То есть действия, выполненные над первым фотоном, привели к изменению во втором фотоне, находящемся на удалении от первого.

Квантовая механика предлагает называть это нелокальностью, поскольку не может признать наличие сигнала, с помощью которого действия над первым фотонам были переданы на второй фотон. Однако факт влияния на второй фотон удалённого от него измерения отмечается отчётливо :

I. Фотон v1, который не имел явно определенной поляризации перед ее измерением, получает поляризацию, связанную с полученным результатом, во время его измерения: это не удивительно.
ii. Когда измерение на v1 сделано, фотон v2, который не имел определенной поляризация перед этим измерением, проектируется в состояние поляризации, параллельное результату измерения на v1. Это очень удивительно, потому что это изменение в описание v2 происходит мгновенно, безотносительно расстояния между v1 и v2 в момент первого измерения.

Отметим и мы это ещё раз, акцентируя внимание на самом главном, зависимости состояния второго фотона от измерения, произведённого над первым: когда измерение v1 сделано, фотон v2 проектируется. Для классической теории вероятности и формальной логики – это рядовое явление. Происходит одно событие, затем происходит второе. Если не произошло первое, то не происходит второе. Первое – причина, второе – следствие. Но для квантовой механики это недопустимо :

"Эта картина находится в противоречии с относительностью. Согласно Эйнштейну, событие в данной области пространства-времени не может находиться под влиянием события, произошедшего в пространстве-времени, которое отделено пространственно-подобным интервалом. Неразумно пытаться найти более приемлемые картины, чтобы "понять" ЭПР-корреляции".

Странно видеть в качестве довода утверждение: "неразумно пытаться". Разумнее безосновательно, бездоказательно ввести фактически абсурдное понятие, не противоречащее теории относительности, но противоречащее логике и теории вероятности: нелокальность. Это можно понять: квантовая механика стремится сохранить справедливость специальной теории относительности. Но удалось ли это ей?

Описывая удивительные свойства коррелированных фотонов, Аспект отмечает :
"Это удивительное заключение, однако, ведет к правильному заключительному результату (3), начиная с прямого применения закона Малуса, что последующее измерение, выполненное по b на фотоне v2 будет вести к

P++(a,b) = 1/2cos^2(a,b)».

Присмотримся и мы к этому закону. В изложении Аспкта мы видим некоторый логический интервал, провал, обрыв линии рассуждений. В начале фрагмента отчётливо и недвусмысленно отмечено первое событие: измерение поляризации фотона v2. Мы вправе задаться вопросом, а что на самом деле является вторым событием? Рассмотрим выражение (4) в статье Аспекта :

P++(a,a) = P- -(a,a) = 1/2
P+-(a,a) = P-+(a,a) = 0

Нас интересует в первую очередь система обозначений, принятая в статье. А именно, что обозначает выражение Р++(а,а)? Из текста статьи следует, что это вероятность совместного обнаружения фотонов в ++ каналах поляризаторов, когда а=b. В законе Малуса эти направления не равны, поэтому величина Р++(а,b) обозначает вероятность обнаружить фотоны в ++ каналах поляризаторов в направлениях а и b. Следовательно, события, которые описывает закон Малуса – это два события: обнаружение первого фотона v1 поляризатором I в направлении a в канале +, и обнаружение второго фотона v2 в поляризаторе II в направлении b в канале +. То есть мы утверждаем, что вторым событием является событие, аналогичное первому, - измерение поляризации фотона v2, поскольку суть измерений в данном эксперименте заключается в определении поляризации каждого из двух фотонов.

При этом основным, главным результатом мы по-прежнему считаем вероятность наступления совместного события P++(a,b). Нам предлагают, что все эти сведения заключены в выражении закона Малуса. Но это не верно, это является очень хорошо закамуфлированной подменой понятий, поскольку P++(a,b) – это не вероятность наступления второго события. Это вероятность совместного наступления двух событий: регистрации обоих фотонов в каналах ++.

Выше в выражении (2) статьи было показано, что существуют "одиночные вероятности" индивидуальных измерений на фотонах v1 и v2:

P+(a) = P-(a) = 1/2
P+(b) = P-(b) = 1/2

Это два самостоятельных, индивидуальных измерения, каждое из которых имеет свою собственную, самостоятельную, индивидуальную вероятность. И нас интересует совместная вероятность наступления этих двух индивидуальных событий. Как было показано выше, эта вероятность вычисляется по-разному, что определяется тем, зависимые эти два события или независимые. Рассмотрим ещё раз уравнение закона Малуса. Слева, как мы утверждаем, записана вероятность совместного наступления двух событий – измерений над двумя фотонами.

Справа, утверждаем мы, – произведение двух вероятностей: 1\2 и cos^2(a,b). На каком основании мы трактуем эти величины как вероятности? К этом имеется две причины. Первая: результирующая вероятность является произведением, поэтому оба сомножителя мы имеем полное право рассматривать как вероятность некоторого события. Вторая: каждый из сомножителей имеет полное сходство с вероятностью хорошо известных квантовых событий. А именно.

В полном соответствии с выражением (2) статьи Аспекта мы рассматриваем величину 1\2 как вероятность индивидуального измерения над первым фотоном. И по такой же причине второй сомножитель трактуется как вероятность наступления второго из двух событий: cos^2(a,b), только под углом (а,b) подразумевается угол между поляризацией второго фотона и направлением ближайшего к нему поляризатора. Из квантовой механики известно: вероятность того, что фотон пройдет через поляризатор, определяется уравнением:

P(q) = cos^2(q) (9)
где:
q –угол между поляризацией фотона и поляризатора.

Мы считаем это сходство не простой случайностью, совпадением, а закономерным отражением условий эксперимента.

Итак, мы приходим к уверенности, что вероятность совместного наступления двух описанных событий P++(a,b) равна произведению вероятности наступления каждого из событий. Это выражение отражает известный, отмеченный выше стандартный факт из теории вероятности о совместном наступлении двух независимых событий. В нашем случае это означает ни что иное, как априорное признание этих двух событий независимыми. Казалось бы, это полностью соответствует квантово-механическим представлениям о нелокальности: выражение трактуется именно так, как этого и требует квантовая теория.

Но именно здесь и скрыта "главная тайна" нелокальности. Дело в том, второе из двух событий – это совсем не то событие, которое должно быть рассмотрено, проанализировано в этом эксперименте. Это либо подмена понятий, либо ошибка. Ведь на самом деле вероятность регистрации второго фотона описывается выражением (2), а не выражением (9). То есть, выражение (8) должно иметь совершенно иной вид:

P++(a,b) = 1/2 x 1/2 (10)

Именно это выражение, а не выражение закона Малуса отражает реальный факт вероятности наступления двух действительно независимых событий: регистрации каждого из фотонов (необходимо заметить, что существует выражение, более приближенное к условиям запутанности , но использование данного выражения вполне допустимо). И именно это выражение является по существу основой для вывода неравенств Белла для теорий с дополнительными параметрами.

Очевидно, что выражение (10) в эксперименте нарушается, а правильные результаты даёт использование выражения (8). Из этого с неизбежностью следует одно из двух утверждений: либо два события являются зависимыми либо правило умножения вероятностей стандартной теории вероятности ошибочно. Да, известно о существовании так называемой неклассической квантовой теории вероятности. Но, похоже, эта неклассичность состоит в простом отрицании положения теории вероятности, "подгонке" квантово-механического решения под экспериментальный ответ.

Действительно, явление запутанности легко объяснимо с точки зрения классической теории вероятности. Выражение (8) с очевидностью отражает тот факт, что два измерения над фотонами являются зависимыми. В этом случае второе из событий, "правильное", действительно независимое подменятся на другое событие, которое по отношению к первому измерению является независимым лишь косвенно, при соблюдении некоторых условий (соблюдение лоренц-инвариантности).

Каким бы ни было первое измерение, над первым фотоном, результат второго, подменённого измерения является по отношению к нему независимым только после перехода второго фотона в определённое состояние поляризации. Только после того, как второй фотон спроецировался в состояние с определённой поляризацией, два новых совместных события измерений становятся независимыми. Но сам по себе переход второго фотона в состояние с определённой поляризацией однозначно зависит от первого измерения, то есть является событием достоверным.

Попробуем теперь ответить на вопрос, сформулированный выше: введением понятия нелокальность квантовая механика стремится сохранить справедливость специальной теории относительности. Удалось ли ей это?

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ПРОТИВ СТО

Хотя корреляция квантовых частиц и имеет все видимые признаки зависимости состояний друг от друга, но никакого сигнала, создающего эту зависимость зарегистрировано не было. Считается, что невозможно использовать мгновенность коллапса для осуществления сверхсветовой передачи сигнала. Например, хорошо ныне известное явление квантовой телепортации возможно лишь при наличии классического, досветового канала связи. Вместе с тем всё-таки существует одна принципиальная возможность использования сверхсветовой скорости коллапса волновой функции для проверки релятивистского замедления времени .

Это довольно удивительное следствие явно обнаруженной зависимости между событиями в ЭПР-парадоксе. Предположим, что измерители состояния частиц установлены в двух ИСО. Нет видимых технических препятствий к тому, чтобы в них находились по одной из множества пар запутанных частиц (например, электроны). Нет принципиальных ограничений к тому, чтобы эти электроны сохраняли свою связь достаточно длительное время, макроскопическое время, что позволило бы провести эксперимент самым наглядным способом.

Спроектируем эксперимент таким образом, что измерения производятся одновременно с точки зрения третьей, симметричной ИСО. Для этой ИСО электроны "входят" в измерители практически одновременно, поскольку длина одного измерителя выбрана чуть больше другого. Это необходимо для того, чтобы задать определённость в последовательности измерения частиц: какая из них вызывает коллапс волновой функции, а какая перед измерением уже получила собственное состояние. Такая схема позволяет утверждать, что обе квантовые частицы получили свои состояния с точки зрения третьей ИСО непосредственно в измерителях. То есть место, где каждая из частиц получила собственное состояние, известно. Понятно, что нет и не может быть никакой другой ИСО, с точки зрения которой частица получила собственное состояние в другом месте, вне измерителя.

Произведём измерение последовательности частиц с одинаковым интервалом с точки зрения нашей третьей, симметричной ИСО. С её точки зрения обе ИСО получат строго коррелированные результаты, последовательность которых обозначим нулями и единицами. Это означает, что собственно измерительный прибор, регистрируя состояние квантовой частицы, должен на выходе давать явно различимый макроскопический сигнал: отклонение стрелки прибора, вспыхивание лампочки или электрический импульс в регистраторе.

Последовательности в соответствии с положениями квантовой механики, как отмечено, будут строго коррелированными (при определённой настройке – тождественными). Как указано выше, интервал между измерениями с точки зрения третьей ИСО один и тот же в каждой из подвижных. Допустим, что он равен 1 секунде с точки зрения ИСО А. Очевидно, что вследствие симметрии с точки зрения ИСО В этот интервал также равен 1 секунде.

Парадокс состоит в том, что с точки зрения ИСО А интервалы между импульсами в ИСО В тоже равны 1 секунде, то есть никакого замедления времени в движущейся ИСО нет. Это следует из того, что наблюдателю А точно известно: удалённая квантовая частица получила своё состояние строго в измерителе В и при этом мгновенно одновременно с измерителем А. Это означает полное совпадение последовательностей и интервалов макроскопических сигналов регистраторов, то есть отсутствие замедления времени.

Поскольку нет также технических препятствий для традиционной проверки синхронности хода часов в ИСО А и В, возникает абсурд: два взаимоисключающих результата в одном и том же эксперименте. Мгновенность коллапса волновой функции требует признания синхронности хода часов, а эффекты Лоренца – признания их взаимного отставания (для каждой из ИСО). Разрешение его возможно только при отказе от одного из положений: квантово-механической мгновенности коллапса или релятивистского замедления времени.

Кроме того, симметричность последовательностей (или даже их тождество) сигналов измерителей в обеих подвижных ИСО позволяет мгновенно синхронизировать их часы. Для этого должны быть обговорены, например, определённые "сигнатуры" (последовательности) сигналов, по которым часы должны быть сброшены в нулевые показания. Можно использовать также и простой отсчёт числа импульсов (считая, что ни одна квантовая пара не потеряна). Поскольку волновая функция коллапсирует мгновенно на всём пространстве, то и сигнатуры и количества импульсов будут получены в каждой ИСО также мгновенно-синхронно.

Как видим, квантовая механика противоречит специальной теории относительности, позволяя производить синхронизацию часов вопреки ей. С другой стороны, квантовая нелокальность имеет все видимые атрибуты передачи сигнала: поскольку два удалённых объекта ведут себя ощутимо (экспериментально определимо) взаимозависимо.

Итак, Белл показал, что отсутствие зависимости (физической) между величинами, то есть их чистая (математическая) статистическая независимость, не могут объяснить квантово-механическую корреляцию. Но он отрицал также и наличие такой зависимости, поскольку этого не допускает СТО.

Эйнштейн тоже отрицал зависимость между частицами на основании запрета теории относительности. Но и дальнодействия он тоже не допускал. Обвинив квантовую механику (волновую функцию) в неполноте, он, тем не менее, не предложил никакого другого объяснения этому явлению.

Вследствие этой неполноты, незавершённости единственное "объяснение" - нелокальность приобретает все черты абсурда: утверждается, что между объектами нет взаимодействия, но признаётся, что ведут они себя совсем не таким образом, будто этого взаимодействия нет. Квантовая механика заменила классическую логику на логику квантовую, заменила классическую теорию вероятности на квантовую, заменив классический закон сложения вероятностей взаимоисключающих друг друга (с классической точки зрения) событий (например, в двухщелевом эксперименте) на суммирование амплитуд вероятностей, заменила классические представления о зависимых событий (запутанные частицы) на квантовую нелокальность. Подобные замены традиционно приводят к появлению сомнений в познаваемости мира :

"Все это рождает философскую проблему принципиальной непознаваемости мира с помощью точных методов. Научный метод, до сих пор строящийся в основном на принципах редукционизма, хорошо вскрывает детали и механику явлений, порождая успех практического применения полученных результатов, например, в технике. Однако сама причина, суть, природа этой механики, остается за пределами рассмотрения. Поэтому современная физика, превратилась, по сути дела, в продолжение математики, совершенно утратив все надежды на понимание природы изучаемых явлений. Мы знаем, какими уравнениями описывается явление, но не понимаем, что оно из себя представляет. Красота уравнений полностью вытеснила из физики все попытки понять их суть".

Вместе с тем существует куда более простое и более разумное, чем нелокальность, объяснение: это наличие сверхсветовой передачи так называемой квантовой информации, то есть информации не вещественного, не полевого рода. Возможность передачи такой информация допускается материально-эфирной трактовкой реальности .

Было бы несправедливо в заключение не привести доводы несогласных с подобным подходом к понятию нелокальности квантовой механики, "неравенствам Белла" и материи :

(начало цитаты) "Вроде бы, можно успокоиться и жить. Жить долго и счастливо. Так и было в течение многих лет после проведения проверочных экспериментов. Так было до того самого момента, пока какому-то "умнику" не пришло в голову сделать чудовищный по своей нелепости вывод - "удаленные друг от друга квантовые частицы обмениваются информацией, причем эта информация передается со скоростью, большей скорости света в пустоте"....

ЛИТЕРАТУРА

1. Aspect A., Dalibard J., Roger G., Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analysers. – Phys. Rev. Lett. 49, 25, (1982), http://kh.bu.edu/qcl/pdf/aspect_a1982707d6d64.pdf
2. Aspect A., Grangier P., Roger G., "Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell’s Inequalities", PRL, V.49, N.2, 1982
3. Aspect А. "Bell’s theorem: the naive view of an experimentalist", 2001, (http://quantum3000.narod.ru/papers/edu/aspect_bell.zip):
4. Aspect: Ален Аспект, Теорема Белла: наивный взгляд экспериментатора, (Пер. с англ. Путенихина П.В.), Квантовая Магия, 4, 2135 (2007), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL422007/p2135.html
5. Bell J.S., On the Einstein Podolsky Rosen paradox, Physics Vol.1, No.3, pp.198-200, 1964
6. Born Max, Quantenmechanik der Stossvorgange, Zs. Phys. 37, s. 863 (1926) (предварительное сообщение)
7. Born Max, Quantenmechanik der Stossvorgange, Zs. Phys. 38, s. 803-827 (1926).
8. Born Max, Атомная физика, \\Перевод с английского Завьялова О.И. и Павлова В.П. под редакцией Медведева Б.В., предисловие академика Боголюбова Н.Н., Издательство "МИР", Москва, 1965
9. Born Max, Квантовая механика процессов столкновений // УФН. 1977. Т. 122. С. 632,
http://ufn.ru/ufn77/ufn77_8/Russian/r778g.pdf
10. Born Max, Размышления и воспоминания физика, Сборник статей, "Наука", Москва, 1977.
11. Torgerson J.R., Branning D., Monken C.H., Mandel L., "Violations of locality in polarization-corrlation measurements with phase shifters", PRA, V.51, N6, 1995.
12. Амплитуда вероятности \\Математическая клетка, http://www.mathcell.ru/show_topic.php?file=pr_ampl
13. Берклеевский курс физики. В пяти томах. Э.Вихман. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА IV том, http://e-science.ru/physics/e-book/berkli/
14. Вектор состояния \\Научная сеть, http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1179056&s=
15. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., Теория вероятностей Задачи и упражнения, "Наука", - М., 1969.
16. Волновая функция. Большой Российский энциклопедический словарь, http://www.longsoft.ru/html/16/v/volnova8_funkci8.html
17. Гарик на Самиздате, Про теорему Белла и телепатию в квантовом мире, http://samlib.ru/g/garik/bell_theorem.shtml
18. Гейзенберг В., Шредингер Э., Дирак П.А.М., современная квантовая механика. Три нобелевских доклада. Государственное технико-теоретическое издательство, пер. с рукописи Д.Иваненко, Ленинград, 1934, Москва
19. Гнеденко Б. В., Xинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1970.
20. Доронин С.И., "Не локальность квантовой механики", Форум Физики Магии, Сайт "Физика магии", Физика,
http://physmag.h1.ru/forum/topic.php?forum=1&topic=29 (дата обращения 01.12.2010)
21. Доронин С.И., cообщения на форумах Квантового портала, http://quantmag.ppole.ru/
22. Жиров О.В. Квантовая механика, Новосибирск, 2003, http://www.inp.nsk.su/~zhirov/qm.pdf
23. Калашников А.Д., Конспект лекций по курсу "Математика". На правах рукописи \\ Московская Академия образования Натальи Нестеровой, Москва - 2007 г., http://kalashnikov.fizteh.ru/mathematica
24. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей, (Серия: "Теория вероятностей и математическая статистика", М., 1974, http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/kolmogorov.djv
25. Красильников П.М., Основы квантовой механики. Курс лекций для биофизиков,
26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики, том 2: Квантовая механика. М.: Наука, 1972,
27. Лекция 3: Теоремы сложения и умножения вероятностей,
28. Огурцов А.Н. Физика для студентов. Квантовая физика. Лекции по физике, 7, http://www.ilt.kharkov.ua/bvi/ogurtsov/lect7quant.pdf
29. Путенихин П.В., Главная загадка физики квантов, Самиздат, 2009,
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/gzfk.shtml
30. Путенихин П.В., Квантовая механика против СТО, Самиздат, 2007,
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/kmvsto.shtml
31. Путенихин П.В., Когда неравенства Белла не нарушаются, SciTecLibrary, 2008,
http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9016.html
32. Путенихин П.В., Комментарии к выводам Белла в статье "Парадокс Эйнштейна, Подольского, Розена", Самиздат, 2008,
33. Путенихин П.В., Локальный реализм Эйнштейна. – Самиздат, 2008,
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/localism.shtml
34. Путенихин П.В., Материя, Пространство, Время. – Самиздат, 2007,
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/materia.shtml
35. Путенихин П.В., Призрак амплитуды или Парадокс Камнева и неравенства Звонарёва (шутка с оттенком саркастического пародизма), Самиздат, 2008,
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/amplitude.shtml
36. Путенихин П.В., Свойства эфира, Самиздат, 2008,
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ephir.shtml
37. Путенихин П.В., Сущность локализма, Квантовая Магия, 5, 2201 (2008),
http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL522008/p2201.html
38. Путенихин П.В., Эксперимент по схеме Аспекта, Самиздат, 2007,
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/pseudo.shtml
39. Путенихин П.В.: Bell J.S., On the Einstein Podolsky Rosen paradox (перевод с англ. - П.В.Путенихин; комментарии к выводам и оригинальный текст статьи), Самиздат, 2008,
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/bell.shtml
40. Путенихин П.В.: Ален Аспект, Теорема Белла: наивный взгляд экспериментатора, (Пер. с англ. Путенихина П.В.), Квантовая Магия, 4, 2135 (2007), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL422007/p2135.html
41. Савельев Л.Я. Элементарная теория вероятностей. Часть 1. Новосибирск: НГУ, 2005,

42. Садбери А., Квантовая механика и физика элементарных частиц, М.: Мир, 1989.
43. Соловьев А.А., Лекции по теории вероятности и математической статистике, с.3 draft 1.12.03, http://www.biometrica.tomsk.ru/lib/books/ltv.pdf
44. Теория вероятностей. Эрудиция - Российская электроннаяя библиотека, http://www.erudition.ru/referat/printref/id.24255_1.html
45. Тихонов А.И. Концепции современного естествознания. Метод. пособие / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2002, лекция 4, http://ineka.ru/student/kse/Tih_book/lecture04.htm
46. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, т.8, Квантовая механика, (I)
47. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, т.9, Квантовая механика, (II)
48. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. М.: Мир, 1967,
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/feller1.djv
49. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления. \\Под редакцией Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера. Перевод с анг. С.П.Кулика и Е.А.Шапиро под редакцией С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова, Изд. "Постмаркет", Москва, 2002, http://quantmag.ppole.ru/Books/boumeister.djvu
50. Фок В. А., Эйнштейн А., Подольский Б. и Розен Н., Бор Н., Можно ли считать, что квантово-механическое описание реальности является полным? \\УФН Т. XVI, вып. 4, Ленинрад, 1936.
51. Холево А.С., Введение в квантовую теорию информации, М.: МЦНМО, 2002. - 128 с.,
http://www.mccme.ru/free-books/kholevo/index.htm
52. Чернова Н.И., Теория вероятностей. Учебное пособие, НГУ, с.34, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/portr.pdf
53. Чехова М.В., Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена, http://qopt.phys.msu.ru/faq/epr.html
54. Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 4. Статьи, рецензии, письма. Эволюция физики. М.: Наука, 1967,
55. Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным? / Эйнштейн А. Собр. научных трудов, т. 3. M., Наука, 1966, с.604-611

Адрес статьи в интернете URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ineq.shtml

Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала)
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/
https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz
https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9
https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk

Http://fileload.info/users/putenikhin/

08:43 pm : Неравенства Белла - введение
Тем, кто пытается разобраться в странностях квантовой механики, предлагаю этот небольшой опус о неравенствах Белла (эту штуку ещё часто называют "теорема Белла"). Потусовавшись на некоторых околонаучных форумах и поняв, что народ довольно смутно представляет себе физическую суть и философское значение неравенств Белла, я решил попробовать внести некоторую научно-популярную ясность в этот довольно сложный вопрос. Удалось мне это или нет - судите сами.

Сразу предупреждаю, что в тексте встретятся формулы, без них тут никак не обойтись. Но формулы эти весьма просты и не требуют от желающего их осмыслить никаких математических подвигов, только чуточку терпения и внимания.

Пока забрасываю вводную часть "на тестирование" интереса аудитории. Если текст показался вам полезным и достойным продолжения, откликнитесь, пожалуйста. Ну а тем, кто "в теме", буду весьма признателен за конструктивную критику.

Там дело всё-таки именно в "локальности", и только этот принцип можно считать опровергнутым на экспериментальном уровне. А "скрытые параметры" всегда можно трактовать в более общем смысле, и тогда их отвергнуть уже не получится. Я привожу почти "тавтологичный" аргумент на этот счёт.

Насколько я понял, неравенство Белла строго доказывается для любой, сколь угодно сложной и хитрой теории скрытых параметров.

Не раз пытался разобраться с "этими вещами", не раз чувствовал, что почти разобрался, но спустя какое-то время нить терялась.

Первая часть вселяет надежду в успешную попытку. С нетерпением жду продолжения!

охо-хо... :(на те же грабли наступаете.
знаете, всё "квантовое" на таких гнилых верёвочках висит - мрак!
сплошные заглушки понимания. причём, тронь любую - весь карточный домик рухнет.
вот вы утверждаете (не вы конечно, вы повторяете чужие глупости приняв их на веру), что "убили" и принцип локальности и детерминизм. мол, даже думать об этом уже неприлично.
а по моему мнению неприлично выдавать картонные заглушки за основу мироздания. :)
локальность и детерминизм не "убили", а заштукатурили статистикой. как ни крути, а по итогам выходит, что если всё складывается в один и тот же набор вещей и событий, то тогда предопределены вероятности. :)и? та же петрушка с "локальностью", мы же не кисель в киселе по факту.

Открою Вам одну "очень страшную" тайну: вся физика - это сплошные "заглушки понимания", начиная от первого закона Ньютона и заканчивая общей теорией относительности. Предмет научной деятельность физиков как раз заключается именно в усовершенствовании имеющихся "заглушек" и, при необходимости, изобретении новых. Или Вы полагали, что задача физиков - познать истину? Тогда я Вас разочарую: отнюдь, задача физиков - добывать факты и строить модели, наилучшим оразом эти факты объясняющие. Так вот, на "текущий момент" квантовые модели-заглушки работают лучше, чем какие-либо другие.

Вот имеется факт неповторяемости опытов с частицами. Для объяснения это факта существуют две "заглушки":
- классические скрытые параметры, с сохранением детерминизма и локальности;
- квантовая случайность и нелокальность.

Имеется ещё один факт: эксперименты по схеме Белла обнаруживают "дыру" в классической "заглушке" и полностью согласутся с "заглушкой" квантовой, что я и намерен в этом опусе показать.

Никто не спорит, возможно, и даже скорее всего, квантовая "заглушка" тоже несовершенна. Но на сегодняшний день экспериментальных "дыр" в ней обнаружить не удалось. Так что этот "карточный домик" пока что выглядит весьма и весьма "сейсмоустойчивым".

Ну а то, что некоторым философам настолько не по душе "смерть" детерминистского и локального абсолютов, что они готовы наплевать на факты, так это их проблема. Она не особо мешает тем, кто считает квантовую теорию адекватной, стоить на основе её расчётов атомные ракторы, лазеры, полупроводники и прочие ништяки.

> Локальность и детерминизм не "убили", а заштукатурили статистикой.

Что означет "заштукатурить статистикой"? Да, несостоятельность абсолютного детерминизма доказана статистически, что я особо подчеркнул в этом посте. Но почему у Вас это называется "заштукатурить"? Вы можете предложить другое, не посягающее на детерминизм и локальность объяснение полученной статистики?

> если всё складывается в один и тот же набор вещей и событий, то тогда предопределены вероятности.

Ну, во-первых, в один и тот же набор не складывается. Открываем ящик Шрейдингера, а дальше либо хороним с оркестром геройски павшего кота, либо торжественно награждаем его почётной сосиской - это, как ни крути, разные "наборы событий". А во-вторых, никто и не утверждал, что квантовая механика убивает детерминизм полностью. Нет, она его только "укорачивает". Если Вы в теме, то Вам должно быть известно, что в квантовой механике случайность "вступает в игру" только при коллапсе волновой функции. В промежутках между коллапсами волновая функция, которая как раз и предопределяет вероятности, ведёт себя вполне детерминистски, в соответствии с уравнением того же Шрейдингера.

И при чём тут кисель? :)

Не убедительно возражаете. Бомбу и лазеры не надо, да и полупроводники тоже. Это всё без "квантовой" дури (даже вопреки ей) работает. А вот "квантовый" термояд не идёт! Вплоть до жулья типа Росси.

> Ну, во-первых, в один и тот же набор не складывается.

Ох, не надо эту глупость про кота. :) Всё складывается и всё всегда однозначно. Электрон всегда электрон, протон=протон, нейтрон=нейтрон, атомы стабильны. Таблица Менделеева везде одна и та же.
И не кисель мы потому, что локальность, а не ни пойми что.

Вы от основ попробуйте: докажите сначала, что "спин" есть и в чём его физический смысл. Или даже, что у электрона есть заряд. хехе И что это такое - заряд. И что такое "поле", которого никто никогда не видел.

А то сразу "волновая функция". :) Так не пойдёт! Взялись быть культуртрегером - докажите основы!

В нелюбви к квантовой механике (точнее, к восприятию ее в качестве теор ии, описывающей реальность, а не процесс измерений) меня уже уличали не раз. ;-) Вот и здесь я хочу привести альтернативный взгляд на эксперименты по проверке неравенств Белла. В частности, эксперименты Аспекта (см. оригинальные статьи , ). Взгляд Гарика на эти вещи совершенно точно отражает официальную позицию, которая, вполне возможно, и является верной. Но все таки есть и другие точки зрения, вполне возможно и неверные, об одной из которых (т.н. локальном недетерминизме AKA локальном индетерминизме AKA local indeterminism) я хочу здесь рассказать.

Эксперименты Алана Аспекта считаются доказательством наличия "телепатии" в квантовом мире, spooky action at a distance или нелокальности. В них проверяется выполнение неравенств, полученных Джоном Беллом. Эти неравенства должны выполняться для широкого класса теор ий со скрытыми переменными (предполагающими, что свойства микрообьектов имеют определенное значение до того как их измерили) и нарушаются квантовой механикой. Аспект (в т.ч.) провел экспериментальную проверку выполнения этих неравенств для пар когерентных фотонов и пришел к выводу о том, что они таки нарушаются (а значит есть дальнодействие, нелокальность, и т.д.).

Мы здесь, вооруженные языком J, поставим ряд численных экспериментов и убедимся, что (в той мере, в которой можно понять процедуру, проведенную Аспектом в упомянутой работе), результаты его измерений и рассчетов согласуются с моделью локального недетерминизма, предполагающей таки наличие у фотонов определенной поляризации и не требующей никакого дальнодействия.

Вкратце, схема эксперимента, впервые предложенного в работе Эйнштейна, Подольского и Розена следующая (для более подробного описания, рекомендую заглянуть на страничку , с которой я перепечатал эту картинку). Источник пар фотонов с разными направлениями поляризации и разными частотами, окружен светофильтрами, пропускающими противоположно поляризованные фотоны (отличаемые по цвету, т.е. длине волны) в разных направлениях. Дальше с обоих сторон стоят поляризаторы, разделяющие потоки фотонов, поляризованных вдоль некоторого выделенного направления (которое можно менять) и перпендикулярно ему. Эти четыре потока фотонов (по два с обоих сторон) регистрируются фотоумножителями и сравниваются четырехканальным компаратор ом. При наличии в нем одновременно (точнее, во временном окне 18 наносекунд) двух сигналов слева и справа регистрируется событие. События бывают четырех типов: справа "вдоль оси", слева "вдоль оси" (будем обозначать цифрами 11); слева "поперек оси", справа "вдоль" (01); "вдоль", "поперек" (10); и "поперек", "поперек" (01). Дальше вычисляются вероятности событий P00,P01,P10,P11 и коэффициент корреля ции
E(?,?) = P00 + P11 - P10 - P01,
где? и? направления осей поляризаторов (от них зависят относительные вероятности различных событий и, как следствие, коэффициент корреля ции). E(?,?) принимает значения от 1 (означающее, что потоки фотонов вдоль оси обоих поляризаторов в точности совпадают) до -1 (когда поток "вдоль" одного из поляризаторов совпадает с потоком "поперек" другого), тоесть от полной корреля ции до анти-корреля ции.

Неравенство Белла (точнее, его усовершенствованная версия CHSH, названная по первым фамилиям авторов) заключаются в том, что величина
S = |E(?,?) - E(?,?")| + |E(?",?) + E(?",?")| < 2
Квантовая механика предсказывает максимальное значение S=2v2 = 2.82843 > 2, тоесть нарушение этого неравенства. Вопрос теперь заключается в том -- нарушается ли оно в эксперименте. Если оно нарушается -- то значит один фотон, будучи измеренным, определяет поляризацию другого фотона (находящегося от него на расстоянии 13м, которое свет за 18 наносекунд пройти не успевает), тоесть, имеет место "spooky action at a distance" (более подробно см. elsewhere).

Алан Аспект утверждает, что в его эксперименте получено значение S>2, свопадающее с предсказанием квантовой механики. Мы сейчас проведем численный эксперимент, основывающийся на предположении, что поляризация фотона четко определена и не требующий никакого дальнодействия. Далее мы обработаем его результаты аналогично тому, как обработал их Аспект, и тоже получим нарушение неравенства Белла.

Итак, первым делом нам нужно научиться генерировать поток фотонов со случайной (но определенной для каждого фотона) поляризацией. Делать это мы будем при помощи глагола photons, определяемого и работающего следующим образом:

Photons =: [: +:@:o.@:? 0&(#~) photons 10 2.81562 1.54684 3.48911 0.280702 1.17107 0.6156 4.20375 4.28221 2.23325 3.8509
Аргументом служит количество требуемых фотонов, на выходе получаем массив их случайных равномерно распределенных в интервале (0,2?) поляризаций.

Теперь соорудим сплиттер. У него уже будет два аргумента: слева -- направление его оси (угол в радианах), а справа поток фотонов. На выходе он выдаст массив нулей и единиц, обозначающий по какому каналу ("вдоль" или "поперек") пошел данный фотон. Определяется и работает сплиттер так: splitter =: ([: ? 0 #~ #@]) <: [: *:@cos - 0 splitter photons 10 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 Тоесть, работает он вероятностно (потому в описании этого способа интерпретации присутствует слово "индетерминизм"). Вычисляется квадрат косинуса угла между поляризацией фотона и направлением оси сплиттера (совершенно классический и общеизвестный закон Малюса), а потом генерируется случайное число в интервале (0,1). Если это число меньше вычисленного косинуса квадрата -- фотон отправляется по каналу "вдоль" (для него в результирующем массиве выдается 1), если меньше -- по каналу "поперек".

Для развлечения и проверки, сконструируем на базе сплиттера еще и поляризатор: polarizer =: [ #~ [: +/ splitter 0 polarizer photons 10 0 0 0 0 1r2p1 polarizer photons 10 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 Тоесть он, получая в качестве аргумента направление оси, просто выбрасывает те фотоны, которые сплиттер посылает по каналу "поперек", а пролетевшим задает определенное направление поляризации, совпадающее с направлением оси (константа 1r2p1 на языке J служит записью числа?/2).

Имея поляризатор мы уже можем поставить, для проверки, один из известных (и на первый взгляд неочевидных) экспериментов. Когда мы подаем на поляризатор (с любым направлением оси) поток неполяризованных фотонов, в среднем, через него проходит только каждый второй: # 1r2p1 polarizer photons 1000000 500189 Если поставить в ряд два поляризатора, оси которых направлены под углом 90 градусов (&pi/2) друг к другу -- не пройдет ни один фотон: # 0&polarizer 1r2p1&polarizer photons 1000000 0 А вот теперь, если вставить между ними поляризатор с промежуточным углом (в данном случае, с направлением оси 45% или pi/4 или 1r4p1), то фотоны, "вдруг", снова начнут проходить: # 0&polarizer 1r4p1&polarizer 1r2p1&polarizer photons 1000000 125129 Точнее, их пройдет восьмая часть от исходного неполяризованного света, либо четвертая часть от света, прошедшего через первый поляризатор. Тоесть наши поляризатор и сплиттер правильно воспроизводят этот классический эффект.

Вернемся к эксперименту Аспекта. Первое, что он измерил -- вероятность совпадения результатов в обоих сплиттерах (справа и слева от источника). Мы это тоже можем легко посчитать coinccount =: (splitter~ {.@])~ (+/@:=) (splitter~ {:@])~ 0 0 coinccount photons 1000000 749693 0 1r2p1 coinccount photons 1000000 250234 Здесь справа задается поток фотонов, а слева углы поворота осей обоих сплиттеров, левого и правого (в данном случае оба угла равны нулю). На выходе получаем количество совпадений. Как видим, при перекрестной ориентации осей сплиттеров, часть фотонов все равно проходит. Применим первый трюк Аспекта (ну мы-же хотим доказать правильность квантовой механики, а ради такой великой цели можно ВСЕ! ;-) и вычтем этот "фон" (accidental rates, как он это называет). Потом построим график зависимости вероятности совпадений от угла между поляризаторами (теперь уже выраженного в градусах) crate =: (1000000 %~ [: coinccount&(photons 1000000) [: (0&,)@:(1p1&*) %&180) crate 90 0.249762 crate 0 0.750904 load "plot" plot (];(crate@:(90"_) -~ crate)"0) 90 * 9%~ i. 10 Этот график в точности воспроизводит Рис. 4 в работе и соответствует утверждению (на третьей странице работы через один абзац перед формулой (4)), что coincidence rate (40 совпадающих событий в секунду) в два раза меньше полного числа событий (80 в секунду).

Теперь посчитаем корреля цию E(??). 0 0 eab photons 1000000 498802 1r2p1 1r2p1 eab photons 1000000 500400 0 1r2p1 eab photons 1000000 _499564 0 1r4p1 eab photons 1000000 _1288 Как видим, корреля ция меняется в пределах от половины числа событий до минус половины числа событий (т.е. от 1/2 до -1/2). Это согласуется с аналогичным верхним пределом для вероятности совпадения событий и с наличием вычтенного "фона". Если подставить такую корреля цию в формулу для S то окажется, что неравенства Белла выполняются (и ничего квантового в системе нет). Тут наступает время для второго трюка Аспекта (он не описан им явно, и потому, возможно я и не прав, но по-другому, насколько я вижу, просто не получается) -- перенормировке корреля ций. Мы будем делить корреля цию не на полное число фотонов (которое в эксперименте Аспекта тоже не известно), а на на максимальное количество фотонов, которые мы видим при самой благоприятствующей прохождению ориентации поляризаторов (тоесть на половину от этого числа, в данном случае на 500000). Тогда получится, что, при изменении углов, eab меняется в интервале от -1 до 1. eabnorm =: 500000 %~ [: eab&(photons 1000000) [: (1p1&*) %&180 plot (];([: eabnorm 0&,)"0) 90 * 9%~ i. 10 Это воспроизводит график 3 из работы .

Теперь дело за малым. Вычисляем eab для разных значений? и?, при которых ожидается наибольшее отклонение предсказаний классической механики от предсказаний квантовой eabnorm 0 22.5 0.709056 eabnorm 0 67.5 _0.70588 eabnorm 45 22.5 0.709096 eabnorm 45 67.5 0.70486 (сравните с таблицей на вот этой страничке , посвященной более детальному описанию эксперимента Аспекта) и вычисляем S (0.706968 - _0.705128) + (0.706908 + 0.707384) 2.82639 Получаем нарушение неравенств Белла в точном соответствии с предсказаниями квантовой механики. Стоп! Но ведь квантовой механики у нас никакой не было! ;-))

Вы скажете, что нам пришлось местами подмухлевать? Да, пришлось. Но мы этого и не скрываем... ;-)

Так что? Есть действие на расстоянии? Вы еще доверяете квантовой криптографии? Хотите вложить деньги в фирму по производству квантовых компьютеров? ;-))