Важным понятием в математике является функция. С её помощью можно наглядно представить многие процессы, происходящие в природе, отразить с использованием формул, таблиц и изображений на графике взаимосвязь между определёнными величинами. Примером может служить зависимость давления слоя жидкости на тело от глубины погружения, ускорения - от действия на объект определённой силы, увеличения температуры - от передаваемой энергии и многие другие процессы. Исследование функции предполагает построение графика, выяснение её свойств, области определения и значений, промежутков возрастания и убывания. Важным моментом в данном процессе является нахождение точек экстремума. О том, как правильно это делать, и пойдёт разговор далее.

О самом понятии на конкретном примере

В медицине построение графика функции может рассказать о ходе развития болезни в организме пациента, наглядно отражая его состояние. Предположим, по оси ОХ откладывается время в сутках, а по оси ОУ - температура тела человека. На рисунке хорошо видно, как этот показатель резко поднимается, а потом падает. Нетрудно заметить также особые точки, отражающие моменты, когда функция, ранее возрастая, начинает убывать, и наоборот. Это точки экстремума, то есть критические значения (максимальные и минимальные) в данном случае температуры больного, после которых наступают изменения в его состоянии.

Угол наклона

Легко можно определить по рисунку, как изменяется производная функции. Если прямые линии графика с течением времени идут вверх, то она положительна. И чем они круче, тем большее значение принимает производная, так как растет угол наклона. В периоды убывания эта величина принимает отрицательные значения, в точках экстремума обращаясь в ноль, а график производной в последнем случае рисуется параллельно оси ОХ.

Любой другой процесс следует рассматривать аналогичным образом. Но лучше всего об этом понятии может рассказать перемещение различных тел, наглядно показанное на графиках.

Движение

Предположим, некоторый объект движется по прямой, равномерно набирая скорость. В этот период изменение координаты тела графически представляет собой некую кривую, которую математик назвал бы ветвью параболы. При этом функция постоянно возрастает, так как показатели координаты с каждой секундой изменяются всё быстрей. График скорости демонстрирует поведение производной, значение которой также увеличивается. А значит, движение не имеет критических точек.

Так бы и продолжалось бесконечно долго. Но если тело вдруг решит затормозить, остановиться и начать двигаться в другом направлении? В данном случае показатели координаты начнут уменьшаться. А функция перейдёт критическое значение и из возрастающей превратится в убывающую.

На этом примере снова можно понять, что точки экстремума на графике функции появляются в моменты, когда она перестаёт быть монотонной.

Физический смысл производной

Описанное ранее наглядно показало, что производная по сути является скоростью изменения функции. В данном уточнении и заключён её физический смысл. Точки экстремума - это критические области на графике. Их возможно выяснить и обнаружить, вычислив значение производной, которая оказывается равной нулю.

Существует и другой признак, который является достаточным условием экстремума. Производная в таких местах перегиба меняет свой знак: с «+» на «-» в области максимума и с «-» на «+» в районе минимума.

Движение под влиянием силы притяжения

Представим ещё одну ситуацию. Дети, играя в мяч, бросили его таким образом, что он начал двигаться под углом к горизонту. В начальный момент скорость данного объекта являлась самой большой, но под действием силы тяжести начала уменьшаться, причём с каждой секундой на одну и ту же величину, равную приблизительно 9,8 м/с 2 . Это значение ускорения, возникающего под влиянием земной гравитации при свободном падении. На Луне оно бы было примерно в шесть раз меньше.

Графиком, описывающим перемещение тела, является парабола с ветвями, направленными вниз. Как найти точки экстремума? В данном случае это вершина функции, где скорость тела (мяча) принимает нулевое значение. Производная функции становится равной нулю. При этом направление, а следовательно, и значение скорости, меняется на противоположное. Тело летит вниз с каждой секундой всё быстрее, причём ускоряется на ту же величину - 9,8 м/с 2 .

Вторая производная

В предыдущем случае график модуля скорости рисуется как прямая. Данная линия оказывается сначала направлена вниз, так как значение этой величины постоянно убывает. Достигнув нуля в один из моментов времени, далее показатели этой величины начинают возрастать, а направление графического изображения модуля скорости кардинально меняется. Теперь линия направлена вверх.

Скорость, являясь производной от координаты по времени, тоже имеет критическую точку. В этой области функция, вначале убывая, начинает возрастать. Это место точки экстремума производной функции. В данном случае угол наклона касательной становится равным нулю. А ускорение, являясь второй производной от координаты по времени, меняет знак с «-» на «+». И движение из равнозамедленного становится равноускоренным.

График ускорения

Теперь рассмотрим четыре рисунка. На каждом из них отображён график изменения с течением времени такой физической величины, как ускорение. В случае «А» значение его остаётся положительным и постоянным. Это означает, что скорость тела, как и его координата, постоянно увеличивается. Если представить, что объект будет двигаться таким образом бесконечно долго, функция, отражающая зависимость координаты от времени, окажется постоянно возрастающей. Из этого следует, что она не имеет критических областей. Точки экстремума на графике производной, то есть линейно изменяющейся скорости, также отсутствуют.

То же касается и случая «Б» с положительным и постоянно увеличивающимся ускорением. Правда, графики для координаты и скорости здесь будут несколько сложнее.

Когда ускорение стремится к нулю

Рассматривая рисунок «В», можно наблюдать совсем другую картину, характеризующую движение тела. Скорость его графически будет изображаться параболой с ветвями, направленными вниз. Если продолжить линию, описывающую изменение ускорения до пересечения её с осью ОХ, и дальше, то можно представить, что до этого критического значения, где ускорение окажется равным нулю, скорость объекта будет увеличиваться всё медленнее. Точка экстремума производной от функции координаты окажется как раз в вершине параболы, после чего тело кардинально поменяет характер движения и начнёт двигаться в другом направлении.

В последнем случае, «Г», характер движения точно определить невозможно. Здесь известно только, что ускорение за некоторый рассматриваемый период отсутствует. Значит, объект может оставаться на месте или движение происходит с постоянной скоростью.

Задача на сложение координат

Перейдём к заданиям, которые часто встречаются при изучении алгебры в школе и предлагаются для подготовки к ЕГЭ. На рисунке, который представлен ниже, изображён график функции. Требуется вычислить сумму точек экстремума.

Сделаем это для оси ординат, определив координаты критических областей, где наблюдается изменение характеристик функции. Проще говоря, найдём значения по оси ОХ для точек перегиба, а затем перейдём к сложению полученных членов. По графику очевидно, что они принимают следующие значения: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. В сумме это составляет -21, что и является ответом.

Оптимальное решение

Не стоит объяснять, насколько может оказаться важным в выполнении практических заданий выбор оптимального решения. Ведь путей достижения цели бывает много, а наилучший выход, как правило, - всего один. Это бывает крайне необходимо, к примеру, при конструировании судов, космических кораблей и самолётов, архитектурных сооружений для нахождения оптимальной формы данных рукотворных объектов.

Быстроходность средств передвижения во многом зависит от грамотного сведения к минимуму сопротивления, которое они испытывают при перемещении по воде и воздуху, от перегрузок, возникающих под действием гравитационных сил и многих других показателей. Кораблю на море необходимы такие качества, как устойчивость во время шторма, для речного судна важна минимальная осадка. При расчётах оптимальной конструкции точки экстремума на графике наглядно могут дать представление о наилучшем решении сложной проблемы. Задачи такого плана часто решаются в экономике, в хозяйственных областях, во множестве других жизненных ситуаций.

Из античной истории

Задачи на экстремум занимали даже древних мудрецов. Греческие учёные с успехом разгадали тайну площадей и объёмов путём математических вычислений. Это они первыми поняли, что на плоскости из разнообразных фигур, обладающих одним и тем же периметром, наибольшую площадь всегда имеет круг. Аналогичным образом шар наделён максимальным объёмом среди остальных предметов в пространстве с одинаковой величиной поверхности. Решению подобных задач посвятили себя такие известнейшие личности, как Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний. Найти точки экстремума прекрасно удавалось Герону, который, прибегнув к расчётам, сооружал хитроумные устройства. К ним относились автоматы, перемещающиеся посредством пара, работающие по тому же принципу насосы и турбины.

Строительство Карфагена

Существует легенда, сюжет которой построен на решении одной из экстремальных задач. Результатом делового подхода, который продемонстрировала финикийская царевна, обратившаяся за помощью к мудрецам, стало строительство Карфагена. Земельный участок для этого древнего и прославленного города подарил Дидоне (так звали правительницу) вождь одного из африканских племён. Площадь надела не показалась ему вначале очень большой, так как по договору должна была покрываться воловьей шкурой. Но царевна повелела своим воинам разрезать её на тонкие полосы и составить из них ремень. Он получился настолько длинным, что охватил участок, где уместился целый город.

Истоки математического анализа

А теперь перенесёмся из античных времён в более позднюю эпоху. Интересно, что к осознанию основ математического анализа подтолкнула Кеплера в XVII веке встреча с продавцом вина. Торговец был настолько сведущ в своей профессии, что легко мог определить объём находящегося в бочке напитка, просто опуская туда железный жгут. Размышляя над подобным курьёзом, знаменитый учёный сумел решить для себя эту дилемму. Оказывается, искусные бочары тех времён наловчились изготавливать сосуды таким образом, чтобы при определённой высоте и радиусе окружности скрепляющих колец они имели максимальную вместимость.

Это стало для Кеплера поводом для дальнейших размышлений. Бочары пришли к оптимальному решению методом долгого поиска, ошибок и новых попыток, передавая свой опыт из поколения в поколение. Но Кеплер хотел ускорить процесс и научиться делать то же самое в короткий срок путём математических вычислений. Все его наработки, подхваченные коллегами, превратились в известные ныне теоремы Ферма и Ньютона - Лейбница.

Задача на нахождение максимальной площади

Представим, что мы имеем проволоку, длина которой равна 50 см. Как составить из неё прямоугольник, обладающий наибольшей площадью?

Начиная решение, следует исходить из простых и известных любому истин. Понятно, что периметр нашей фигуры будет составлять 50 см. Он же складывается из удвоенных длин обеих сторон. Это значит, что, обозначив за «Х» одну из них, другую возможно выразить как (25 - Х).

Отсюда получаем площадь, равную Х(25 - Х). Данное выражение можно представить как функцию, принимающую множество значений. Решение задачи требует найти максимальное из них, а значит, следует узнать точки экстремума.

Для этого находим первую производную и приравниваем её нулю. В результате получается простое уравнение: 25 - 2Х = 0.

Из него мы узнаём, что одна из сторон Х = 12,5.

Следовательно, другая: 25 - 12,5 = 12,5.

Получается, что решением задачи будет квадрат со стороной 12,5 см.

Как найти максимальную скорость

Рассмотрим ещё один пример. Представим, что существует тело, прямолинейное движение которого описывается уравнением S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, где пройденное расстояние выражается в метрах, а время в секундах. Требуется найти максимальную скорость. Как это сделать? Скачала находим скорость, то есть первую производную.

Получаем уравнение: V = - 3t 2 + 18t - 24. Теперь для решения задачи снова нужно найти точки экстремума. Сделать это необходимо тем же способом, что и в предыдущей задаче. Находим первую производную от скорости и приравниваем её к нулю.

Получаем: - 6t + 18 = 0. Отсюда t = 3 с. Это время, когда скорость тела принимает критическое значение. Подставляем полученное данное в уравнение скорости и получаем: V = 3 м/с.

Но как понять, что это именно максимальная скорость, ведь критическими точками функции могут быть наибольшие или наименьшие её значения? Для проверки необходимо найти вторую производную от скорости. Она выражается числом 6 со знаком минус. Это значит, что найденная точка является максимумом. А в случае положительного значения второй производной был бы минимум. Значит, найденное решение оказалось правильным.

Приведённые в качестве примера задачи являются лишь частью из тех, которые возможно решить, умея находить точки экстремума функции. На самом деле их гораздо больше. А подобные знания открывают перед человеческой цивилизацией неограниченные возможности.

Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.

Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:

найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
найти корни уравнения.

Последовательность нахождения экстремума

Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f "(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.
Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f " (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится. Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.
Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии.

Алгоритм нахождения экстремума

Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.

Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
Находим производную от функции f "(x).
Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f "(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.

Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить. Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.

>> Экстремумы

Экстремум функции

Определение экстремума

Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x ) > 0

(f " (x ) < 0).

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f " (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f (x ) имеет
f " (x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о ) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f (x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 3.22.

Решение. Так как f " (

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3.23. a

Решение. x и y y
0 ≤ x ≤
> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв . ед ).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a - 2x и S = x (a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x a /4 S " > 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв . ед ). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S " (R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.

Исследование графика функции

Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.

План анализа функции

Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения - это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 - х + 43 область определения - множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 - 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.

Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 - 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 - 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х - 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.

Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы - это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.

Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум - это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения - максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.

Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции - это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 - это точки экстремума функции, а 4 и -4 - это сами экстремумы.

Нахождение точек экстремума

Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать - найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: "Найдите точки экстремума функции y (x), x - аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше - приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 - 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 - точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 - точка максимума.

Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.

Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .

Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.

Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1

Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.

Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :

Найти производную функции.
Приравнять производную нулю и определить критические точки.
Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции:

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции.

Экстремумы функции x 2 2x x 1. Введение в экстремумы функций