Формула нахождения длины окружности по радиусу. Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр

Еще в 1610 году итальянским ученым Галилео Галилеем были замечены четыре пятна на диске . Пятна то появлялись, то вновь исчезали. Это было похоже на вращение планет вокруг звезды, подобной . Так были открыты первые "луны" Юпитера, названные на имя ученого - галилеевыми спутниками . Почти четыреста лет ученые, астрономы и просто любители были уверены в том, что у только четыре спутника. Однако в век космических технологий, такими аппаратами как Пионер и Вояджер были обнаружены целые десятки Юпитерских лун . Все они, вместе с огромным гигантом, образуют еще одну, маленькую " ". Если бы масса Юпитера была в 4 раза больше его настоящей массы, то образовалась бы еще одна звездная система. На Земном небосклоне наблюдалось бы две звезды : и .

Все спутники вращаются за счет огромной гравитации Юпитера, их вращение подобно вращению вокруг . У каждой "луны" есть свои орбиты, которые отдалены от газовой планеты на различные расстояния. Самый близкий спутник - Метида находится в 128 тыс км, от планеты, в то время как самые далекие отдаленны на 20-30 млн. км от своего "хозяина". В данный момент взор ученых и астрономов направлен именно на изучение 4 галилеевых спутников (Ио, Европа, Ганимед, Калисто), так как они самые крупные и непредсказуемые луны Юпитера. Это интереснейшие новые миры , каждый со своей историей, загадками и явлениями.

Ио

Название спутника: Ио;

Диаметр: 3660 км;

Площадь пов-ти : 41 910 000 км²;

Ио был открыт Галилеем 8 января 1610 года. Это самый близкий галилеевый спутник . Расстояние от Ио до самых внешних слоев атмосферы Юпитера почти такое же как между и - около 350 000 тыс км. По многим основным параметрам спутник похож на Луну. Масса и объем почти не отличаются, радиус Ио лишь на 100 км больше лунного радиуса, силы притяжения обоих спутников так же похожи (Ио - 1,8 м/с², Луна - 1,62 м/с²). За счет маленького расстояния от планеты и большой массы , гравитационная сила вращает Ио вокруг планеты со скоростью 62 400 км/ч (в 17 раз больше скорости вращения ). Таким образом год на Ио длится всего 42,5 часов, поэтому наблюдать спутник можно почти каждый день.

Характерным отличием между Ио и другими спутниками является большая вулканическая активность на ее поверхности. Космические станции "Вояджеры" зафиксировали 12 действующих вулканов, извергающих горячие потоки лавы высотой до 300 км. Основной выбрасываемый газ - диоксид серы, замерзающий потом на поверхности в виде твердого белого вещества. Из-за тонкой атмосферы Ио, такие раскаленные фонтаны газа можно видеть даже с помощью любительских телескопов. Это величественное зрелище можно отнести к одному из чудес Солнечной системы. Что является причиной столь высокой вулканической активности Ио , ведь ее соседка Европа - это полностью замерший мир, поверхность которого покрыта многокилометровым слоем льда. Этот вопрос является главной загадкой для ученых и астрономов. Основная версия подразумевает, что гравитационное влияние на Ио, как самого так и других спутников привило к созданию два приливных горба на поверхности спутника. Поскольку орбита Ио не точный круг, при вращение ее вокруг Юпитера горбы слегка перемещаются по поверхности Ио, что приводит к разогреву недр. Ближайшая "луна" Юпитера зажата в гравитационное кольцо между самой планетой и остальными спутниками (главным образом между и Европой). На этом основании следует отметить, что Ио является самым вулканически активным телом .

Вулканическая активность - довольно частое явление на Ио. Серные выбросы могут
подниматься в высоту на 300 км, часть из них падают на поверхность, образовывая
лавовые моря, а часть остаются в космическом пространстве

Европа

Название спутника: Европа;

Диаметр: 3122 км;

Площадь пов-ти : 30 613 000 км²;

Объем : 1,59×10 10 км³ ;

Масса : 4,8×10 22 кг;

Плотность : 3013 кг/ м³;

Период вращения : 3,55 суток;

Период обращения : 3,55 суток;

Расстояние от Юпитера : 671 000 км;

Орбитальная скорость : 13,74 км/ с;

Длина по экватору : 9 807 км;

Наклон орбиты : 1,79°;

Ускор. свободного падения: 1,32 м/с²;

Спутник : Юпитера

Европа - это шестой спутник Юпитера или второй из галилеевой группы. Его, почти круговая орбита находится на расстоянии в 671 тысячу километров от Газового Гиганта. Спутнику необходимо 3 суток 13 часов и 12 минут чтобы обернутся вокруг в то время как Ио за это время успевает совершить два оборота.
На первый взгляд Европа - это полностью заледеневший и лишенный всякой жизни мир. На его поверхности отсутствуют какие либо источники энергии, а из-за большого расстояния от центра , спутник практически не получает солнечного тепла. Сюда же можно и отнести слишком тонкую атмосферу, которая не способна надолго удерживать тепло. Однако на шестой луне есть то, чего нету не только у других спутников планеты, но и у всех тел (кроме ). Поверхность Юпитера покрыта 100 километровым слоем воды. Такое количество воды по объему превышает земные океаны и моря вместе взятые. Атмосфера хоть тонкая, все же полностью состоит из кислорода (элемента, без которого все бы Земные существа погибли). Казалось бы, раз есть кислород и вода, то значит может и зародится жизнь . Однако верхний слой, толщиной 10-30 км находится в твердом ледяном состоянии, образовывая очень плотную заледеневшую кору , в которой нет ни каких активных движений. Но под ее толщей тепла достаточно для превращения воды в жидкую фазу, в которой могут обитать самые разнообразные обитатели подводного мира. В недалеком будущем человечество планирует направить на Европу такого робота, который смог бы пробурить многокилометровый слой льда, погрузится в толщу водного океана и познакомится с местными подводными обитателями. В завершении своей миссия такой аппарат должен будет подняться на поверхность спутника и доставить внеземных существ на нашу планету.

Космический аппарат (в представлении художника), который пройдет сквозь

ледяную кору Европы и начнет изучать океаническую часть спутника

Геологическая история Европы не имеет ничего общего с историей других спутников . Это одно из самых гладких твердых тел в . На Европе нет возвышенностей более 100 м высотой, а вся ее поверхность похожа на одну большую равнину из замершего льда. Вся ее молодая поверхность покрыта сетью светлых и темных узких полос огромной протяженности. Темные полосы длиной в тысячи километров - это следы глобальной системы трещин, которые возникли в следствии неоднократного раскаливания ледяной коры от внутренних напряжений и крупномасштабных тектонических процессов.

Ио, наверное, самый известный из всех спутников Юпитера. Он является самым близким спутником к поверхности планеты. Отличие Ио от остальных спутников – бурная вулканическая активность на поверхности спутника. рекордсмен по вулканической активности в Солнечной системе, одновременно на его поверхности может извергаться более десятка вулканов. За время наблюдения космическими аппаратами, многие вулканы прекращают свою вулканическую активность, а другие наоборот, начинают интенсивно извергаться.

История открытия спутника Ио.

Спутник Ио был открыт в далеком 1610 году очень известным ученым-астрономом Галилео Галилеем. Интересно то, что Галилей открыл этот спутник с помощью сконструированного им самим телескопом, который мог наблюдать за такими небольшими и далекими космическими телами.

Симон Мариус так же претендовал на факт открытия спутника именно им, во время наблюдений за спутниками Юпитера за год до его официального открытия в 1909 году, но Симон не успел вовремя опубликовать данные о своем открытии.

Название для этого спутника “Ио” предложил никто иной как Симон Мариус, но это название долгое время не использовалось. Галилей назвал четыре открытые им спутника Юпитера порядковыми номерами и Ио получил свой заслуженный первый номер. Но это было не совсем удобно и в последствии первый спутник Сатурна начали называть Ио.

Благодаря своей большой вулканической активностью поверхность Ио постоянно меняется. Рельефы спутника с каждым годом сильно изменяются. Такой вулканической активностью Ио обязан планете Юпитер. Сила тяжести у этого гиганта просто невероятная и планета заставляет магму внутри спутника постоянно двигаться и извергаться на поверхность Ио. Из-за огромной силой тяжести Юпитера вулканы Ио выбрасывают магму на расстояние до 300 км. от поверхности со скоростью 1 км./сек.

Ио не похож на другие спутники газовых гигантов, в которых в основном содержится лед и аммиак. Ио больше похож на планеты земной группы , содержащие минералы и горные породы на поверхности. У Ио имеется ядро из жидкого железа, которое создает спутнику свое магнитное поле. Радиус спутника не превышает 1000 километров. На поверхности спутника, помимо извергающихся вулканов, также есть неактивные горные образования, длинные реки из расплавленной магмы и озера жидкой серы.

Очень часто при решении школьных заданий по или физике возникает вопрос - как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы , понятия и определения требуются для этого.

Вконтакте

Основные понятия и определения

1. Радиус - это линия, соединяющая центр окружности и её произвольную точку . Он обозначается латинской буквой r.
2. Хордой называется линия, соединяющая две произвольные точки лежащие на окружности .
3. Диаметр - это линия, соединяющая два пункта окружности и проходящая через её центр . Он обозначается латинской буквой d.
4. - это линия, состоящая из всех точек, находящихся на равном расстоянии от одной избранной точки, именуемой её центром. Её длину будем обозначать латинской буквой l.

Площадь круга - это вся территория, заключённая внутри окружности . Она измеряется в квадратных единицах и обозначается латинской буквой s.

Пользуясь нашими определениями, приходим к выводу, что диаметр круга равен его самой большой хорде.

Внимание! Из определения, что такое радиус круга можно узнать, что такое диаметр круга. Это два радиуса отложенные в противоположных направлениях!

Диаметр окружности.

Нахождение длины окружности и её площади

Если нам дан радиус окружности, то диаметр окружности описывает формула d = 2*r . Таким образом, для ответа на вопрос, как найти диаметр круга, зная его радиус, достаточно последний умножить на два .

Формула длины окружности, выраженная через её радиус, имеет вид l = 2*П*r .

Внимание! Латинской буквой П (Пи) обозначается отношение длины окружности к её диаметру, и это есть непериодическая десятичная дробь. В школьной математике она считается заранее известной табличной величиной, равной 3,14!

Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти длину окружности через её диаметр, помня, в чём состоит его разница по отношению к радиусу. Получится: l = 2*П*r = 2*r*П = П*d.

Из курса математики известно, что формула, описывающая площадь окружности, имеет вид: s = П*r^2.

Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти площадь окружности через её диаметр. Получим,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Одним из самых сложных заданий в данной теме является определение площади круга через длину окружности и наоборот. Воспользуемся тем, что s = П*r^2 и l = 2*П*r. Отсюда получим r = l/(2*П). Подставим полученное выражение для радиуса в формулу для площади, получится: s = l^2/(4П) . Абсолютно аналогичным способом определяется и длина окружности через площадь круга.

Определение длины радиуса и диаметра

Важно! Прежде всего узнаем, как измерить диаметр. Это очень просто — проводим любой радиус, продлеваем его в противоположную сторону до пересечения с дугой. Циркулем отмеряем полученное расстояние и с помощью любого метрического инструмента узнаем искомое!

Ответим на вопрос, как узнать диаметр окружности, зная её длину. Для этого выразим его из формулы l = П*d. Получим d = l/П.

Мы уже знаем как из длины окружности можно найти её диаметр, точно также найдём и радиус.

l = 2*П*r, отсюда r = l/2*П. Вообще, чтобы узнать радиус, его нужно выражать через диаметр и наоборот.

Пусть теперь требуется определить диаметр, зная площадь окружности. Используем то, что s = П*d^2/4. Выразим отсюда d. Получится d^2 = 4*s/П . Для определения самого диаметра потребуется извлечь корень квадратный из правой части . Получится d = 2*sqrt(s/П).

Решение типовых заданий

1. Узнаем, как найти диаметр, если дана длина окружности. Пусть она равняется 778,72 километра. Требуется найти d. d = 778,72/3,14 = 248 километров. Вспомним, что такое диаметр и сразу определим радиус, для этого определённое выше значение d разделим пополам. Получится r = 248/2 = 124 километра.
2. Рассмотрим, как найти длину данной окружности, зная её радиус. Пусть r имеет значение 8 дм 7 см. Переведём это все в сантиметры, тогда r будет равняться 87 сантиметров. Воспользуемся формулой, как найти неизвестную длину круга. Тогда наше искомое будет равняться l = 2*3,14*87 = 546,36 см . Переведём наше полученное значение в целые числа метрических величин l = 546,36 см = 5 м 4 дм 6 см 3,6 мм.
3. Пусть нам требуется определить площадь данной окружности по формуле через её известный диаметр. Пусть d = 815 метров. Вспомним формулу, как найти площадь окружности. Подставим сюда данные нам значения, получим s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
4. Теперь узнаем, как найти площадь круга, зная длину его радиуса. Пусть радиус равняется 38 см. Используем известную нам формулу. Подставим сюда данное нам по условию значение. Получится следующее: s = 3,14*38^2 = 4534,16 кв. см.
5. Последним заданием определим площадь круга по известной длине окружности. Пусть l = 47 метров. s = 47^2/(4П) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.

Длина окружности

Таким образом, длину окружности (C ) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D ), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

C = πD = 2πR

где C - длина окружности, π - константа, D - диаметр окружности , R - радиус окружности.

Так как окружность является границей круга , то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

D = 3,5 · 2 = 7 (м)

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга :

S = πr 2

где S - площадь круга, а r - радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

7: 2 = 3,5 (см)

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2)

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π , а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

r = √S : π

следовательно радиус будет равен:

r ≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно. Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге. В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.

Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:

Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π .

Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π . В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.