Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.
Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.
Разбираемся?)
Откуда берутся формулы сокращённого умножения?
Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.
Они берутся из умножения.) Например:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.
ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)
Зачем нужны формулы сокращённого умножения?
Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Сумма двух кубов – это формула сокращенного умножения, позволяющие преобразовывать и упрощать математические выражения. Формулы сокращенного умножения постоянно используются при развязывании уравнений или решении алгебраических, тригонометрических, логарифмических и показательных выражений.
Историческая справка
Некоторые формулы сокращенного умножения были составлены еще в четвертом тысячелетии до нашей эры древними вавилонянами. Древние греки развили идеи вавилонских ученых и разработали целый набор подобных формул. Однако античные математики мыслили зримо – в то время числа визуализировались в геометрических фигурах или подручных предметах, например, камнях на счетной доске. Формулы суммы квадратов выводились не алгебраически, а геометрически, путем рассечения плоского квадрата на части. Расцвет математической науки пришелся на времена Лейбница, Ньютона и Эйлера и именно эти ученые внесли большой вклад в развитие формул сокращенного умножения.
Сумма двух кубов
Алгебраический куб – это возведение числа или неизвестного в третью степень. Следовательно, сумма двух кубов – это результат сложения двух чисел в третьей степени. Записывается это следующим образом:
Такой пример решается довольно просто, но при любых значениях a и b ответ можно представить в виде:
(a + b) × (a 2 − ab + b 2).
Следовательно, у нас есть тождество, которое работает при любых значениях переменных:
a 3 + b 3 = (a + b) × (a 2 − ab + b 2).
Доказать его можно простым раскрытием скобок и сокращением членов в правой части выражения. Данное тождество используется для сокращения выражений и быстрого поиска ответов или для разложения на множители.
Вряд ли подобные формулы понадобятся нам в реальной повседневности, но школьникам крайне важно знать формулы сокращенного умножения наизусть. Простыми словами формула звучит так: сумма двух кубов есть произведение суммы членов выражения на неполный квадрат их разности. Словосочетание «неполный» квадрат может вызвать у ребят сомнения. Полный квадрат разности – это еще одна формула сокращенного умножения, которая выглядит так:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
В левой части у нас квадрат разности a – b, а справа – полный квадрат, разложенный на множители. Выражение a 2 – ab + b 2 для суммы двух кубов носит название неполного, так как в нем произведение ab без двойки. Данные тождества используются для упрощения громоздких выражений, а также для проверки полученных результатов сложения кубов или квадратов больших чисел.
Применение формулы на практике
Сумма двух кубов используется на практике для упрощения многочленов. Например, у нас есть сложный тригонометрический пример:
(sinx + cosy) × (sin 2 x − sinx × cosy + cos 2 y)
Решать этот пример при помощи тригонометрического аппарата было бы довольно сложно, особенно для школьника, незнакомого со свойствами синусов и косинусов. Однако мы можем применить правило суммы двух кубов, ведь данный пример полностью повторяет разложение на множители выражения a 2 + b 2 , только здесь a = sinx, b = cosy. В итоге громоздкое тригонометрическое выражение превратится в компактную запись:
sin 3 x + cos 3 y.
Теперь давайте применим эту формулу при счете. Большинство людей практически наизусть знает квадраты натуральных чисел до 15, а те, кто постоянно занимается арифметикой, знают куда больше квадратов. С кубами все обстоит сложнее, поэтому если вам требуется посчитать сумму двух кубов, куда проще использовать формулу разложения на множители. Например, давайте посчитаем выражение:
Сходу вычислить кубы этих чисел непросто, если вы не ученик математического кружка. Давайте используем формулу:
15 3 + 12 3 = (15 + 12) × (15 2 − 15×12 + 12 2)
Квадраты 12 и 15 многие помнят наизусть – это 144 и 225 соответственно. Осталось провести небольшие вычисления:
15 3 + 12 3 = 27 × (225 − 180 + 144) = 27 × 189 = 5 103
Проверим вычисления на калькуляторе. Число 15 в кубе дает 3 375, а 12 - 1 728. Суммируем их и получим 3 375 + 1 728 = 5 103. Все верно, но оперировать меньшими числами гораздо удобнее.
Мы представляем вам программу, которая считает сумму двух кубов с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для расчета вам понадобится ввести значения в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Используя калькулятор, вы получите не только мгновенный и правильный ответ, но и весь процесс решения. Такая программа пригодится школьникам, которые хотят проверить свои выкладки, а также тем взрослым, кто хочет освежить в памяти школьный курс алгебры.
Заключение
Формулы сокращенного умножения – важная тема школьной алгебры, которая пригодится при решении громоздких выражений на любую тему. Это своеобразный фундамент, на котором строятся решения тригонометрических, показательных, логарифмических и даже интегральных и дифференциальных исчислений. Наш калькулятор может вам освоить применение формулы суммы двух кубов или освежить в памяти школьный материал.
Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:
Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.
Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.
При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:
Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.
Дополнительные формулы
В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.
Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры
Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.
Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .
Пример.
Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .
Решение.
В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .
