Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;
треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости;
губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции ;
кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум [ ] .

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть - сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) {\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}

Можно показать, что отображение Ψ {\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа . Следовательно, по теореме Банаха , это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψ i , i = 1 , … , n {\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} - отображения подобия, а n {\displaystyle n} - число звеньев генератора.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z n {\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n {\displaystyle n} , при котором | z n | {\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A {\displaystyle A} ).

Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики , например, в модели Изинга и перколяции .
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Природные объекты (квазифракталы ) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы , …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул .

В живой природе:
- Морские звезды и ежи
- Цветы и растения (брокколи , капуста)
- Кроны деревьев и листья растений
- Плоды (ананас)
- Система кровообращения и бронхи людей и животных
В неживой природе:
- Границы географических объектов (стран, областей, городов)
- Морозные узоры на оконных стёклах
- Сталактиты , сталагмиты , геликтиты .

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии -адсорбции , пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus -дроблёный,сломанный,разбитый) - геометрическая фигура,обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Фрактазм - самостоятельная точная наука изучения и составления фракталов.

Другими словами фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы. Говоря простым языком, фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах - это и есть принцип самоподобия. Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода.

Слово «хаос» наводит на мысли о чем-то непредсказуемом, но на самом деле хаос достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Цель изучения хаоса и фракталов - предсказать закономерности, которые, на первый взгляд, могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.

Пионером в этой области познания был франко-американский математик, профессор Бенуа Б. Мандельброт. В середине 1960-х им разработана фрактальная геометрия, целью которой был анализ ломаных, морщинистых и нечетких форм. Множество Мандельброта (показано на рисунке) - первая ассоциация, возникающая у человека, когда он слышит слово «фрактал». К слову, Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1,25.

Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение цен на шерсть.

Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Является самоподобной или приближённо самоподобной.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной технике является фрактальное сжатие данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами - до 600:1. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко ухудшающего картинку. Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения часто выглядит даже лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной техники известно также, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами. Индустрия кино для создания реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует технологию фрактальной графики.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Это позволяет лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

На рисунке слева в качестве простого примера приведен фрактал «пятиугольник Дарера», который выглядит, как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72°)) в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов, имеющих вид фракталов. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах. Учение о динамических системах показывает: простые уравнения могут порождать такое хаотическое поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и при этом не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя вполне нормально до некоторого определенного значения ключевого параметра, потом испытывают переход, в котором существует две возможности дальнейшего развития, потом четыре, и, наконец, хаотический набор возможностей.

Схемы процессов, протекающих в технических объектах, имеют четко выраженное фрактальное строение. Структура минимальной технической системы (ТС) подразумевает протекание в пределах ТС двух типов процессов – главного и обеспечивающих, причем это деление условно и относительно. Любой процесс может быть главным по отношению к обеспечивающим, а любой из обеспечивающих процессов может считаться главным по отношению к «своим» обеспечивающим процессам. Кружками на схеме обозначены физэффекты, обеспечивающие протекание тех процессов, для обеспечения которых не требуется специально создавать «свои» ТС. Эти процессы являются результатом взаимодействия между веществами, полями, веществами и полями. Если быть точным, то физэффект – это ТС, на принцип работы которой мы не можем повлиять, а в ее устройство не желаем или не имеем возможности вмешиваться.

Протекание главного процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС. Справедливости ради отметим, что для функционирования даже минимальной ТС трех процессов явно недостаточно, т.е. схема очень и очень утрирована.

Всё далеко не так просто, как показано на схеме. Полезный (нужный человеку) процесс не может выполняться со стопроцентной эффективностью. Рассеиваемая энергия затрачивается на создание вредных процессов – нагрев, вибрации и т.п. В результате параллельно полезному процессу возникают вредные. Не всегда есть возможность заменить «плохой» процесс «хорошим», поэтому приходится организовывать новые процессы, направленные на компенсацию вредных для системы последствий. Характерный пример – необходимость борьбы с трением, вынуждающая организовывать хитроумные схемы смазки, применять дорогостоящие антифрикционные материалы или затрачивать время на смазку узлов и деталей или ее периодическую замену.

В связи с существованием неизбежного влияния переменчивой Среды полезный процесс может нуждаться в управлении. Управление может осуществляться как при помощи автоматических устройств, так и непосредственно человеком. Схема процессов фактически является набором специальных команд, т.е. алгоритмом. Сущность (описание) каждой команды составляет совокупность отдельно взятого полезного процесса, сопутствующих ему вредных процессов и набора необходимых управляющих процессов. В таком алгоритме набор обеспечивающих процессов является обычной подпрограммой – и здесь мы тоже обнаруживаем фрактал. Созданный четверть века назад метод Р.Коллера позволяет при создании систем обойтись достаточно ограниченным набором всего из 12 пар функций (процессов).

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.

треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости.

губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;

примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.

кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.

траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона,

кривая Коха (снежинка Коха),

кривая Леви,

кривая Минковского,

Кривая Гильберта,

Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

кривая Пеано.

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения - отображения подобия, а - число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , , - гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда отображения - преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F (z ) - многочлен, z 0 - комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z 0 , z 1 =F (z 0), z 2 =F (F (z 0)) = F (z 1),z 3 =F (F (F (z 0)))=F (z 2), …

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

стремиться к бесконечности,

стремиться к конечному пределу,

демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z 0 , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа - множество точек бифуркации для многочлена F (z )=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z 0 , для которых поведение последовательности {z n } может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z 0 .

Другой вариант получения фрактальных множеств - введение параметра в многочлен F (z ) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {z n } демонстрирует определённое поведение при фиксированном z 0 . Так, множество Мандельброта - это множество всех , при которых {z n } для F (z )=z 2 +c и z 0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода - бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {z n } к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n , при котором |z n | превысит фиксированную большую величину A .

Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделяхстатистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

В природе

Вид спереди на трахею и бронхи

Бронхиальное дерево

Сеть кровеносных сосудов

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центреБостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [ источник не указан 895 дней ] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

обладает сложной структурой при любом увеличении;
является (приближенно) самоподобной;
обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью , которая больше топологической;
может быть построена рекурсивными процедурами.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха» .

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал - С-кривая Леви . Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов .

Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы , к которым относится и множество Мандельброта . Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Пример фрактала

«Фрактал» был введен в обиход математиками менее полувека назад, вскоре стал, наряду с синергетикой и аттрактором, одним из «трех китов» молодой Теории Детерминированного Хаоса, и сегодня уже признан, как один из основополагающих элементов устройства мироздания.

С латыни слово fractus переводится как «сломанный», современные латинские языки придали ему значение «рваный». Фрактал — это нечто, что идентично целому/большему, частью чего является, и, одновременно, копирует каждую собственную составную часть. Таким образом, «фрактальность» — это бесконечное подобие «всего» на свои составляющие, то есть, это самоподобие на любом уровне. Каждый уровень фрактальной ветки называется «итерация», чем больше развита описанная или графически изображенная система, тем больше фрактальных итераций видит наблюдатель. При этом точка, в которой происходит разделение (например, ствола на ветки, реки на два потока и т.д.), называют точкой бифуркации.

Термин fractus был выбран математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для описания научного открытия и стал популярным несколькими годами позже – после того как он развил тему для широкой аудитории в своей книге «Фрактальная геометрия природы».

Сегодня фрактал широко знаменит как фантастические узоры так называемого «фрактального искусства», созданные компьютерными программами. Но с помощью компьютера можно генерировать не только красивые абстрактные картинки, но и весьма правдоподобные природные пейзажи – горы, реки, леса. Тут, собственно, находится точка перехода науки в реальную жизнь, или наоборот, если предположить, что их вообще возможно разделять.

Дело в том, что принцип фрактальности подходит не только для описания открытий в точных науках. Это, в первую очередь, принцип устройства и развития самой природы. Все вокруг нас – фракталы! Самая очевидная группа примеров — реки с притоками, венозная система с капиллярами, молния, морозные узоры, деревья… Совсем недавно ученые, проверяя теорию фрактальности , экспериментально убедились даже в том, что по схеме одного дерева можно делать выводы о лесном массиве, где эти деревья растут. Другие примеры фрактальных групп: атом – молекула — планетарная система — солнечная система – галактики — вселенная… Минута – час – день – неделя – месяц – год — век… Даже сообщество людей самоустраивается по принципам фрактальности: я – семья – род – народность – национальности — рассы… Индивидум – группа – партия — государство. Работник – отдел – департамент – предприятие — концерн… Даже божественные пантеоны разных религий построены по тому же принципу, включая христианство: Бог-Отец – Троица – святые – церковь – верующие, не говоря об организации божественных пантеонов языческих религий.

История заявляет, что впервые самоподобные множества были замечены в 19 веке в трудах ученых — Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора, Хаусдорфа, но истина в том, что уже языческие славяне оставили нам доказательство того, что люди понимали индивидуальное бытие, как малую деталь в бесконечности мироздания. Это – изученный искусствоведами Беларуси и Украины объект народной культуры, называемый «паук». Он является своеобразным прототипом скульптуры современного стиля «mobile» (части находятся в постоянном движении относительно друг друга). «Паук» чаще соломенный, состоит из одинаковых по форме маленьких, средних, больших элементов, подвешенных друг к другу так, что каждая меньшая часть точно повторяет в структуре большую и всю конструкцию в целом. Эту конструкцию вешали в главном углу жилья, как бы обозначая свой дом, как элемент всего мира.

Теория фрактальности сегодня работает везде, в том числе в философии, которая говорит, что в течение каждой жизни, а любая и вся жизнь в целом фрактальна, случаются «точки бифуркации», когда на более высокие уровни развитие может пойти разными путями и момент, когда человек «оказывается перед выбором», является самой настоящей «точкой буфуркации» во фракталах его жизни.

Теория Детерминированного Хаоса говорит, что развитие каждого фрактала не бесконечно. Ученые полагают, что в определенный момент наступает предел, за которым рост итераций прекращается и фрактал начинает «сужаться», доходя постепенно до своей изначальной единичной меры, а затем процесс снова идет по кругу — аналогично вдохам и выдохам, сменам утра и ночи, зимы и лета в природе.

Математика,
если на нее правильно посмотреть,
отражает не только истину,
но и несравненную красоту.
Бертранд Рассел .

Вы, конечно же, слышали о фракталах. Вы, конечно же, видели эти захватывающие картинки из Bryce3d более реальные, чем сама реальность. Горы, облака, кора дерева - все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы. Что же это за знакомые незнакомцы? Когда они появились?

История появления.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (рисунок №1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

Отец фракталов

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

Немного о размерностях.

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги (250 м), узнаем площадь квартиры (78 м2) и ищем на наклейке объем бутылки пива (0.33 дм3). Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа - положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий - окружность, квадрат, парабола и т.д.

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный - значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений - углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов - увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).

Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения "размера" объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3. Может быть немного запутано, но в общем-то несложно и понятно.

Зачем я это все рассказываю? А для того чтобы понять, как отделять фракталы от, скажем, колбасы. Попробуем посчитать размерность для кривой Пеано. Итак, у нас исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 - двумерный объект!!!

Так вот, когда размерность фигуры получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов - мы имеем дело с фракталом.

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

Геометрические фракталы.

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рисунке ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Снежинка Коха

Лист

Треугольник Серпинского

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Попробуйте сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии.

Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов. Например, описание снежинки Коха с помощью L-Systems в программе Fractint

; Adrian Mariano from The Fractal Geometry of Nature by Mandelbrot Koch1 { ;устанавливаем угол поворота 360/6=60 градусов Angle 6 ; Начальный рисунок для построения Axiom F--F--F ; Правило преобразования символов F=F+F--F+F }

В данном описании геометрические значения символов следующие:

F обозначает прочертить отрезок + поворот по часовой стрелке - поворот против часовой стрелки

Второе свойство фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Сразу оговорюсь, что большинство рисунков фракталов в данной статье получены с помощью программы Fractint. Если Вас заинтересовали фракталы, то это программа must have для Вас. С ее помощью можно строить сотни различных фракталов, получить исчерпывающую информацию по ним, и даже послушать как фракталы звучат;).

Сказать, что программа хороша - значит ничего не сказать. Она великолепна, за исключением одного но - последняя версия 20.0 доступна только в варианте для DOS:(. Вы сможете найти эту программу (последняя версия 20.0) на http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

Оставить комментарий

Всем сумевшим сделать прогу по картинке фратала привет. Кто может мне сказать какой метот цикла мне лучше использовать чтобы построить поляночку фрактальчиков папортника с подложкой из 3d max при количестdt iteration 100 000 на камне с 2800 mH

Есть исходник с программой отрисовки кривой Дракона, тоже фрактал.

Статья офигенная. А эксель - это наверно ошибка сопроцессора (на последних младших разрядах)