Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

Рассмотрим функцию F(х) , определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х , т. е.

(18)

Эта функция называется функцией распределения вероятностей , или кратко, функцией распределения .

Пример 1. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 1, п. 1.

Решение: Ясно, что если , то F(x)=0 , так как не принимает значений, меньших единицы. Если , то ; если , то . Но событие <3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Итак для имеем F(x)=1/3 . Аналогично вычисляются значения функции в промежудках , и . Наконец, если x>6 то F(x)=1 , так как в этом случае любое возможное значение (1, 2, 3, 4, 5, 6) меньше, чем x . График функции F(x) изображен на рис. 4.

Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 2, п. 1.

Решение: Очевидно, что

График F(x) изображен на рис. 5.

Зная функцию распределения F(x) , легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам .
Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее . Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие , т.е. ; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам . Используя аксиому сложения, получаем

Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу (18)], имеем , ; cледовательно,

Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.

Рассмотрим основные свойства функции распределения.
1°. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы (19) следует, что , т.е. .

2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .
Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и .

3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi .
Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в формуле (19) , , получим

Т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi . Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5.

* Здесь и в дальнейшем введены обозначения: , .
** Можно показать, что F(xi)=F(xi-0) , т.е. что функция F(x) непрерывна слева в точке xi .

3. Непрерывные случайные величины.

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х) . Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х) . Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х .
Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.
Случайная величина называется непрерывной , если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой (рис. 6).

Так как , а на основании формулы (22)

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х , где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.
На основании формулы (23), полагая x 1 =x , , имеем

В силу непрерывности функции F(х) получим, что

Следовательно

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю .
Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

Имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

Так как

Замечание. Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x 1 как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x 1 . Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.
Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.
Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), если x 2, > x 1 , т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) при х→ x o

Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x k }=p k , k=1,2,..n. Если x ≤ x 1 , то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x 1 < x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

Значит, F(x)=P{X=x 1 }=p 1 .При x 2 < x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал , Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P{x≤ X < x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

В предыдущем n° мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :

. (5.2.1)

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси Ох (рис. 5.2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки .

Будем увеличивать , т. е. перемещать точку вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка попадет левее , не может уменьшиться; следовательно, функция распределения с возрастанием убывать не может.

Чтобы убедиться в том, что , будем неограниченно перемещать точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т.е. .

Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку вправо, убеждаемся, что , так как событие становится в пределе достоверным.

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

,

где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .

Когда текущая переменная проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины , функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Случайная величина – число появлений события в опыте (характеристическая случайная величина события ). Построить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

Построим функцию распределения величины :

График функции распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева).

Пример 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений события .

Решение. Обозначим – число появлений события в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

Построим функцию распределения случайной величины :

3) при ;

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 5.2.6. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв (рис. 5.2.7).

Такие случайные величины называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис. 5.2.8).

Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до , осуществляющиеся при положениях бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределения непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины – время T безотказной работы прибора, испытываемого в течение времени t. Функция распределения этой случайной величины непрерывна всюду, кроме точки t.

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения