Решение на 15 строк представил известный ученый из Великобритании сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah ), лауреат престижных математических премий. В основном он работает в области математической физики. Science сообщает, что о своем открытии Атья рассказал на конференции Heidelberg Laureate Forum в Гейдельбергском университете в понедельник.

Гипотезу Римана сформулировал, как можно догадаться, Бернхард Риман в 1859 году. Математик ввел понятие дзета-функции - функции для комплексного переменного - и описал с ее помощью распределение простых чисел. Первоначально проблема с простыми числами заключалась в том, что они просто распределены по ряду натуральных чисел без какой-либо видимой закономерности. Риман предложил свою функцию распределения простых чисел, не превосходящих x, но объяснить, почему возникает зависимость, не смог. Над решением этой проблемы ученые бьются уже почти 150 лет.

Гипотеза Римана входит в список семи задач тысячелетия (Millennium Prize Problems), за решение каждой из которых полагается награда в миллион долларов. Из этих задач решена только одна - гипотеза Пуанкаре. Ее решение предложил российский математик Григорий Перельман еще в 2002 году в серии своих работ. В 2010-м ученому присудили премию, но от нее отказался.

Георг Фридрих Бернхард Риман - немецкий математик и физик / ©Wikipedia

Майкл Атья утверждает, что объяснил выявленную Риманом закономерность. В своем доказательстве математик опирается на фундаментальную физическую постоянную - постоянную тонкой структуры, которая описывает силу и природу электромагнитных взаимодействий между заряженными частицами. Описывая эту постоянную с использованием относительно малоизвестной функции Тодда, Атья нашел решение гипотезы Римана от противного.

Научное сообщество не спешит принимать предложенное доказательство. Так, например, экономист из Норвежского университета естественных и технических наук Йорген Висдал (Jørgen Veisdal ), ранее изучавший гипотезу Римана, заявил, что решение Атьи «слишком туманное и неопределенное». Ученому необходимо более тщательно изучить письменное доказательство, чтобы прийти к выводам. Коллеги Атьи, с которыми связался Science , также отметили, что не считают представленное решение успешным, так как оно основано на шатких ассоциациях. Физик-математик из Калифорнийского университета в Риверсайде Джон Баэс (John Baez ) и вовсе заявил, что доказательство Атьи «просто накладывает одно внушительное требование на другое без каких-либо доводов в пользу этого или реальных обоснований».

Я хотел более подробно рассказать о вроде бы доказанной недавно гипотезе Анри Пуанкаре, но потом решил «расширить задачу» и в сжатом виде рассказать «обо всём» . Итак, математический институт Клея в Бостоне в 2000 году определил «семь задач тысячелетия» и назначил премии в миллион долларов за решение каждой из них. Вот они:

1. Гипотеза Пуанкаре
2. Гипотеза Римана
3. Уравнение Навье-Стокса
4. Гипотеза Кука
5. Гипотеза Ходжа
6. Теория Янга-Миллиса
7. Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

Про гипотезу Пуанкаре мы поговорим в следующий раз, сейчас в общих чертах расскажем о других проблемах

Гипотеза Римана (1859 г.)

Все знают что такое простые числа — это числа делящиеся на 1 и на самих себя. Т.е. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д. Но что интересно, обозначить какую-либо закономерность в их размещении пока что оказывалось невозможным.
Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа (простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. Если такие скопления будут найдены и в области очень больших простых чисел, то стойкость криптографических ключей, используемых в настоящее время, может в одночасье оказаться под очень большим вопросом.
Риман предложил свой вариант, удобный для выявления больших простых чисел. Согласно ему, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время. Риман обнаружил, что число P(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана Z(s). Риман высказал гипотезу, не доказанную и не опровергнутую до сих пор, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой линии R(z) = (1/2). (Извините, но я не знаю как изменить кодировку чтоб показывались греческие буквы).
В общем, доказав гипотезу Римана (если это вообще возможно) и подобрав соответствующий алгоритм, можно будет поломать многие пароли и секретные коды.

Уравнение Навье-Стокса. (1830 г.)

Нелинейный дифур описывающий тепловую конвекцию жидкостей и воздушных потоков. Является одним из ключевых уравнений в метеорологии.

p — давление
F – внешняя сила
r (ро) — плотность
n (ню)- вязкость
v — комплексная скорость

Наверное, его точное аналитическое решение интересно с чисто математической точки зрения, но приближенные методы решения давно существуют. Как обычно в таких случаях, нелинейный дифур разбивают на несколько линейных, другое дело что решения системы линейных дифуров оказалось необычайно чувствительным к начальным условиям. Это стало очевидно когда с введением компьютеров стало возможно обрабатывать большие массивы данных. Так в 1963 году американский метеоролог из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов – достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, состоящую из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую конвекцию воздуха, просчитал ее на компьютере и получил поразительный результат. Этот результат – динамический хаос – есть сложное непериодическое движение, имеющее конечный горизонт прогноза, в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым). Так был открыт странный аттрактор. Пpичина непpедсказуемости поведения этой и дpугих подобных систем заключается в не в том, что не веpна математическая теоpема о существовании и единственности pешения пpи заданных начальных условиях, а именно в необычайной чувствительности pешения к этим начальным условиям. Близкие начальные условия со вpеменем пpиводят к совеpшенно pазличному конечному состоянию системы. Пpичем часто pазличие наpастает со вpеменем экспоненциально, то есть чpезвычайно быстpо.

Гипотеза Кука (1971 г.)

Насколько быстро можно проверить конкретный ответ – вот нерешенная проблемой логики и компьютерных вычислений! Она была сформулирована Стивеном Куком следующим образом: «может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки?». Ршение этой проблемы могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных и продвинуть разработку алгоритма т.н. «квантовых компьютеров» что опять-таки поможет в ускорении алгоритма решения задач связанных с перебором кодов (например, тот же взлом паролей).
Пусть задана функция от 10000 переменных: f (х 1 …х 10000 ), для простоты примем что переменные могут принимать значения 0 или 1, результат функции тоже 0 или 1. Существует алгоритм, вычисляющий эту функцию для любого заданного набора аргументов за достаточно малое время (допустим, за t=0,1 сек).
Требуется узнать, существует ли набор аргументов, на котором значение функции равно 1. При этом сам набор аргументов, на котором функция равна 1, нас не интересует. Нам просто надо знать есть он или нет. Что мы можем сделать? Самое простое – взять и тупо перебрать всю последовательность от 1 до 10000 во всех комбинациях вычисляя значение функции на разных наборах. В самом неблагоприятном случае мы на это потратим 2 tN или 2 1000 секунд что во много раз больше возраста Вселенной.
Но если мы знаем природу функции f, то
можно сократить перебор, отбросив наборы аргументов, на которых функция заведомо равна 0. Для многих реальных задач это позволят решить их за приемлемое время. В то же время есть задачи (так называемые NP-полные задачи), для которых даже после сокращения перебора, общее время решения остается неприемлемым.

Теперь, что касается физической стороны. Известно, что квант
может находиться в состоянии 0 или 1 с какой-то вероятностью. И что интересно, можно узнать, в каком из состояний она находится:

A: 0 с вероятностью 1
В: 1 с вероятностью 1
С: 0 с вероятностью р, 1 с вероятностью 1-р

Суть вычислений на квантовом компьютере состоит в том, чтобы взять 1000 квантов в состоянии С и подать их на вход функции f. Если на выходе будет получен квант в состоянии А, это значит, что на всех возможных наборах f=0. Ну а если на выходе будет получен квант в состоянии
B или С, это значит, что существует набор, на котором f=1.
Очевидно. что «квантовый компьютер» значительно ускорит задачи связанные с перебором данных, но будет малоэффективен в плане ускорения записи или считывания данных.

Теория Янга-Миллса

Вот это, наверное, единственный из обозначенных семи вопросов имеющих по-настоящему фундаментальное значение. Решение его существенно продвинет создание «единой теории поля», т.е. выявлению детерминированной связи между четырьмя известными типами взаимодействий

1. Гравитационным
2. Электромагнитным
3. Сильным
4. Слабым

В 1954 году Янг Чжэньнин (представитель желтой корневой расы) и Роберт Миллс предложили теорию, в соответствии с которой были объединены электромагнитное и слабое взаимодействие (Глэшоу, Вайнберг, Салам — Ноб. Премия 1979). Более того, она до сих пор служит основой квантовой теории поля. Но здесь уже начал давать сбой математический аппарат. Дело в том, что «квантовые частицы» ведут себя совсем не так как «большие тела» в ньютоновской физике. И хотя есть общие моменты, например, заряженная частица создает электромагнитное поле, а частица с ненулевой массой — гравитационное; или, например, частица эквивалентна совокупности полей, которые она создает, ведь любое взаимодействие с другими частицами производится посредством этих полей; с точки зрения физики, рассматривать поля, порожденные частицей, — то же, что рассматривать саму частицу.
Но это так сказать «в первом приближении».
При квантовом подходе одну и ту же частицу можно описывать двумя разными способами: как частицу с некоторой массой и как волну с некоторой длиной. Единая частица-волна описывается не своим положением в пространстве, а волновой функцией (обычно обозначаемой как Y), и ее местонахождение имеет вероятностную природу — вероятность обнаружить частицу в данной точке x в данное время t равна Y = P(x,t)^2. Казалось бы ничего необычного, но на уровне микрочастиц возникает следующий «неприятный» эффект — если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке, классический принцип суперпозиции не работает. Так получается потому, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля. Из-за этого уравнения становятся нелинейными и весь арсенал математических приёмов для решения линейных уравнений к ним применить нельзя. Поиск решений и даже доказательство их существования становятся несравнимо более сложной задачей.
Вот почему решить ее «в лоб», наверное, невозможно, во всяком случае, теоретики выбрали другой путь. Так, опираясь на выводы Янга и Миллза Мюррей Гелл-Манн построил теорию сильного взаимодействия (Ноб. премия).
Главная «фишка» теории – введение частиц с дробным электрическим зарядом – кварков.

Но чтобы математически «привязать» к друг другу электромагнитное, сильное и слабое взаимодействие, нужно чтобы выполнились три условия:

1. Наличие «щели» в спектре масс, по английский — mass gap
2. Кварковый конфайнмент: кварки заперты внутри адронов и принципиально не могут быть получены в свободном виде
3. Нарушения симметрии

Эксперименты показали, что эти условия в реале выполняются, но строгого математического доказательства – нет. Т.е. по сути, нужно теорию Я-М адаптировать к 4-мерному пространству обладающими тремя означенными свойствами. По мне, так это задача тянет куда больше чем на миллион. И хотя в существовании кварков ни один приличный физик не сомневается, эксперементально их обнаружть не удалось. Предполагается что на на масштабе 10 -30 между электромагнитным, сильным и слабым взаимодействием утрачивается какое-либо различие (т.н. «Великое Объединение»), другое дело что нужная для таких экспериментов энергия (более 10 16 ГэВ) не может быть получена на ускорителях. Но вы не волнуйтесь — проверка Великого Объединения — дело ближайших лет, если, конечно, на человечество не свалятся какие-нибудь избыточные проблемы. Физики уже разработали проверочный эксперимент связанный с нестабильностью протона (следствие теории Я-М). Но эта тема выходит за рамки нашего сообщения.

Ну и будем помнить, что это еще не всё. Остается последний бастион – гравитация. О ней мы реально ничего не знаем, кроме того, что «все притягивается» и «искривляется пространство-время». Понятно, что все силы в мире сводятся к одной суперсиле или, как говорят, «Суперобъединению». Но какой принцип суперобъединения? Алик Эйнштейн считал что этот принцип геометрический, как и принцип ОТО. Вполне может быть. Т.е. физика на самом начальном уровне — всего лишь геометрия.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера

Помните Большую Теорему Ферма, вроде бы доказанную каким-то инглизом в 1994 году? 350 лет на это потребовалось! Так вот теперь проблема получила продолжение — нужно описать все решения в целых числах
x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных
с целыми коэффициентами. Примером алгебраического уравнения является уравнение
x 2 + y 2 = z 2 . Евклид дал полное описание
решений этого уравнения, но для более сложных уравнений получение решения
становится чрезвычайно трудным (например, доказательство отсутствия целых
решений уравнения x n + y n = z n).
Берч и Свиннертон-Дайер предположили, что число решений определяется значением связанной с уравнением дзета-функци ζ(s) в точке 1: если значение дзета-функции ζ(s) в точке 1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений. Здесь задача, кстати, перекликается с гипотезой Римана, только там исследовалось распределение нетривиальных нулей дзета-функции ζ(s)

Гипотеза Ходжа
Наверное самая абстрактная тема.
Как известно, для описания свойств сложных геометрических объектов их свойства аппроксимируются. Ну например шар (хотя он совсем несложный) можно представить как поверхность состоящую из маленьких квадратиков. Но если имеются поверхности более сложные, то возникает вопрос, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности? Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов встречающихся в математике, но в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.
Я просмотрел на эту тему заумную книжку Гельфанда-Манина, там описывается теория Ходжа для гладких некомпактных образований, но честно говоря мало что понял, я вообще аналитическую геометрию как то не очень понимаю. Там смысл в том, что интегралы по некоторым циклам можно вычислить через вычеты, а это современные компы хорошо умеют.
Сама гипотеза Ходжа состоит в том, что для некоторых типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, т.н. циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.

Гипотеза Римана доказана?

На этой неделе профессор математики Школы естественных наук Пурду, лауреат премии Эдварда Эллиотта Луи де Бранж опубликовал 23-страничный труд со своим доказательством. Обычно математики объявляют о таких достижениях на конференциях или в научных журналах. Однако за доказательство гипотезы Римана назначен приз в $1 млн, поэтому он решил поспешить с публикацией. «Я приглашаю других математиков проверить мои выкладки, - говорит де Бранж в подготовленном заявлении. - Со временем я передам свое доказательство для официальной публикации, но ввиду обстоятельств я чувствую необходимость немедленно опубликовать свою работу в интернете».

Гипотеза относится к распределению простых чисел. Простые числа делятся только на самих себя и на единицу. В числе прочих задач простые числа используются для шифрования. В начале этого месяца было подтверждено, что обнаружено самое большое известное на сегодняшний день простое число, которое выражается двойкой в степени 24036583 за вычетом единицы и записывается 7235733 десятичными цифрами.

Как и решения многих других математических проблем, доказательство гипотезы Римана вряд ли найдет немедленное коммерческое применение, но через десятилетие его использование вполне вероятно.

Истоки гипотезы восходят к 1859 году, когда математик Бернхард Риман предложил теорию о распределении простых чисел, но в 1866 году он умер, так и не успев завершить ее доказательство. С тех пор за решение задачи брались многие. В частности, ее пытался решить Джон Нэш, математик, лауреат Нобелевской премии по экономике, история жизни которого положена в основу сюжета книги и кинофильма A Beautiful Mind («Игры разума»). В 2001 году математический институт Clay Mathematics Institute в Кембридже, штат Массачусетс, объявил за доказательство гипотезы премию в $1 млн.

Де Бранж, пожалуй, наиболее известен решением другой технической проблемы из области математики: 20 лет назад он доказал теорему Бибербаха. С тех пор ученый почти целиком посвятил себя проверке гипотезы Римана.

Предыдущие публикации:

Знаменитый британский математик Майкл Атья, профессор Оксфордского, Кембриджского и Эдинбургского институтов и лауреат почти десятка престижных премий в области математики, представил доказательство гипотезы , одной из «задач тысячелетия». Доказательство занимает всего 15 строк, а вместе с введением и списком литературы — пять страниц. Текст Атья выложил на сервисе Drive.

Гипотеза о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована математиком Бернхардом Риманом в 1859 году.

Она описывает, как расположены на числовой прямой простые числа.

В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x, — функция распределения простых чисел, обозначаемая π(x) — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на вертикальной линии Re=0,5 комплексной плоскости. Гипотеза Римана важна не только для чистой математики — дзета-функция постоянно всплывает в практических задачах, связанных с простыми числами, например, в криптографии.

По словам Атьи, решение он нашел, экспериментируя с постоянной тонкой структуры — фундаментальной физической постоянной, характеризующей силу электромагнитного взаимодействия. Она определяет размер очень малого изменения величины (расщепления) энергетических уровней атома и, следовательно, образования тонкой структуры — набора узких и близких частот в его спектральных линиях.

Гипотеза Римана входит в список семи «задач тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя в США обязывается выплатить награду в один миллион долларов США.

Если доказательство будет подтверждено, Атья получит награду.

Математический институт Клэя объявил о своем решении отдать премию Перельману 19 марта 2010 года. Работы, за которые математик удостоился награды, были написаны им в 2002 году, причем они были выложены в архив электронных препринтов, а не напечатаны в рецензируемом научном журнале. В своих выкладках Перельман завершил доказательство гипотезы геометризации Терстона, которая прямо связана с гипотезой Пуанкаре.

В 2005 году за эти работы Перельману была присуждена Филдсовская премия, которую часто называют Нобелевской премией для математиков. От этой награды российский математик также отказался.

В 2014 году математик из Казахстана Мухтарбай Отелбаев , что решил еще одну из «задач тысячелетия» — нашел условия системы уравнений Навье — Стокса, при которых для каждого набора параметров имеется единственное решение. Уравнения Навье — Стокса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач.

Для того чтобы признать решение Отелбаева верным, научное сообщество должно его проверить. Пока что результаты проверки неизвестны.

В 2010 году американский математик индийского происхождения Винай Деолаликар , что решил еще одну из задач тысячелетия — нашел доказательство неравенства классов сложности P и NP.

Данная проблема состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за полиномиальное время и используя полиномиальную память), то есть действительно ли задачу легче проверить, чем решить?

Данных о том, что научное сообщество признало доказательство верным, пока что нет.

Доказательство Гипотезы Римана

• Математика

Гипотеза Римана это математическая гипотеза, выведенная в 1859 году Бернхардом Риманом. И которая до сих пор не была решена.

Гипотеза Римана звучит так:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть равную 1/2.

Если Гипотеза Римана верна, то

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x)

Гипотеза Римана имеет большое значение в квантовой механике, а также в криптографии.

Формула π(x) и Li(x)

Функция π(x) показывает сколько в данном числе x простых чисел. Простые числа - это числа, которые делятся только на себя и на единицу. Например: 2 3 5 7…

Формула функции π(x).:

(1.1)
Доказательство:

Эта формула исключает из данного числа x все не простые числа, по правилам решета Эратосфена. Решето Эретосфена это метод, придуманный Эратосфеном Киренским для определения последовательности простых чисел. Алгоритм таков, если взять ряд из натуральных чисел без единицы

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…

И исключить из него все четные числа, кроме самой маленькой из них, т.е. двойки, получится:

2 3 5 7 9 11 13 15 17…

А потом из этой получившейся последовательности исключить все числа которые делятся на следующее простое число после двойки, это число 3, не считая ее самой. Получится:

2 3 5 7 11 13 17…

Если так делать до бесконечности, то останутся только простые числа. Моя формула работает по такому принципу. Сначала формула исключает единицу из данного числа x, а потом количество всех четных чисел, кроме 2. Далее количество чисел, которые делятся на 3, кроме тройки, а из данного количества исключаются четные числа, которые которые делятся на 3 и т.д.
fn(x) обозначает самое минимальное число, которое надо исключить из x, чтобы получилось то число которое делится на n без остатка.

График функции fn(x):

Рис.(1.1) График функции fn(x)

Область определения функции

Область значения

Каждое выражение в скобках содержит количество определенных не простых чисел не превосходящих x.

Рано или позно определенное выражение в скобках формулы π(x) будет равна нулю (1.1). Поэтому данная сумма не бесконечна.

Я не могу доказать математически формулу (1.1), но можно понять, что формула верна, исходя из того что ее функция напоминает решето Эретосфена. Можно сказать, что эта формула-аналитический вариант решета Эретосфена.

Формула функции Li(x):

(1.2)
Доказательство:

Все члены этой суммы это площадь прямоугольника под графиком функции 1/ln(x), бесконечное количество площадей прямоугольников сходятся к площади под графиком функции 1/ln(x), начиная с аргумента 2. А так как функция Li(x) это интеграл графика функции 1/ln(x), то формула (1.2) равна Li(x).

Рис.(1.2) Прямоугольники под графиком функции 1/ln(x)

Верхний правый угол всех прямоугольников лежат на определенной точке графика, а так как прямоугольников бесконечно много, то углы прямоугольников охватывают все точки графика от 1/ln(2) до 1/ln(x).

Доказательство

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x)

А если переделать это выражение то получится, что

То есть, если доказать это неравенство то получится что Гипотеза Римана верна.
Подставив подставив выведенные формулы в неравенство получим:

(1.3) Остаточный член

При условии что x>2.Преобразуем это выражение, для упрощения.

Из этого можно сделать вывод что, если неравенство

(1.5)

Верное, то и Гипотеза Римана верна. Проверем это. Если перенести все члены неравенства (1.5) в правую часть неравенства, то получится

(1.6)

Первая разность этого выражения, при x>2, всегда отрицательна. А вторая разность отрицательна приблизительно лишь при x>10, но это не страшно, так как нас интересуют только большие аргументы, выражение (1.6) все равно будет верное.

Неравенство (1.6) верное, значит и неравенство

Тоже верное.

Гипотеза Римана доказана.

Теги: Задачи тысячелетия, простые числа