Интегралы в жизни. Что такое интеграл и зачем мне знать это

ИНТЕГРАЛ. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.

Курсовая работа по математике

Введение

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решил исследовать интеграл и его применение.

§1. История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга”
круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)
Символ o введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = o f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.
b
А o f(x)dx
a
называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
S = a f(x)dx
a бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.
Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.
Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.
S = S 1 = c (b – а).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф 1 и Ф 2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф 1 и Ф 2 равны.
Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = х n , где п - целое (т.е по существу вывел формулу o х n dx = (1/n+1)х n+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.
Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894-1959).

§2. Определение и свойства интеграла

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CIR.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается o f(x)dx.
o f(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.
f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

o f(x)dx = F(x)+C, где F ?(x) = f(x)
(o f(x)dx) ?= (F(x)+C) ?= f(x)

если k – постоянная и F ?(x)=f(x),
o k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C 1)= k o f?(x)dx

o (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = o dx =
= o ?dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= o f(x)dx + o g(x)dx +...+ o h(x)dx, где C=C 1 +C 2 +C 3 +...+C n .

Интегрирование

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:
1.
Пусть 3x 2 –1=t (t?0), возьмем производную от обеих частей:
6xdx = dt
xdx=dt/6

2.
o sin x cos 3 x dx = o – t 3 dt = + C
Пусть cos x = t
-sin x dx = dt

Примеры:

o x 4 +3x 2 +1 o 1 1
o---- dx = o(x 2 +2 – --–) dx = - x 2 + 2x – arctg x + C
o x 2 +1 o x 2 +1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.
(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)
u’(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v’(x)
Проинтегрируем обе части
o u’(x)v(x)dx=o (u(x)v(x))’dx – o u(x)v’(x)dx
o u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – o u(x)v’(x)dx

Пример:

x = u(x)cos x = v’(x)

§3. Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Дано: f(x)– непрерывная неопр. функция, xI.
Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).
Доказательство:

D x ® 0 со сторонами Dx и f(x 0)
S’(x 0) = lim(Dx f(x 0) /Dx) = lim f(x 0)=f(x 0): т.к. x0 точка, то S(x) –
D x ® 0 D x ® 0 первообразная f(x).
Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

C = –Fa

II.

Предел этой суммы называют определенным интегралом.
b
S тр =o f(x)dx
a
Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.
Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®?. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.
a - нижний предел интегрирования;
b - верхний.

Формула Ньютона–Лейбница

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:
если F – первообразная для b на , то
b
o f(x)dx = F(b)–F(a)
a
b b
o f(x)dx = F(x) o = F(b) – F(a)
a a

§4. Набор стандартных картинок

b b
S=o f(x)dx + o g(x)dx
a a

§5. Применение интеграла

I. В физике

Работа силы (A=FScosa, cosa ? 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно
d(mu 2 /2) = Fds
приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина
dA=Fds
называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S 1 (a) в S 2 (b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна f(a)(x 1 –a). Аналогично на втором отрезке f(x 1)(x 2 –x 1), на n-ом отрезке - f(x n–1)(b–x n–1). Следовательно работа на равна:

А » A n = f(a)Dx +f(x 1)Dx+...+f(x n–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x 1)+...+f(x n– 1))
Приблизительное равенство переходит в точное при n®?
b
А = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(x n–1))= o f(x)dx (по определению)
n ®? a

Пример 1:
Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то
l/2
E п = A= – o (–F(s)) dx
0
Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.
Отсюда находим
l/2 l/2
Е п = – o (–Cs)ds = CS 2 /2 | = C/2 l 2 /4
0 0
Ответ: Cl 2 /8.

Пример 2:
Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.
Решение:
Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна X=kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда
(Дж)
Ответ: A=0,08 Дж

Пример 3:
С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м 3 , плотность воды 1000 кг/м 3 .
Решение:
y
0

Высота тетраэдра м, объем тетраэдра м 3 . Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен
(Дж).
Теперь найдем работу A i при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна, а вес тетраэдра:
.
Следовательно,

(Дж).
Отсюда A=A 0 +A 1 =7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж
Ответ: A=9,31 (Дж).

Пример 4:
Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом? и ее большая сторона находится на глубине h?

Ответ: P= .

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.
Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a?x?b; 0?y?f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:
b b
x 0 = (1/S) o x f(x) dx; y 0 = (1/2S) o f 2 (x) dx;
a a

Пример 1:
Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.
Изобразим полукруг в системе координат OXY.

R R
y = (1/2S) oO(R 2 –x 2)dx = (1/pR 2) oO(R 2 –x 2)dx =
–R –R
R
= (1/pR 2)(R 2 x–x 3 /3)|= 4R/3p
– R
Ответ: M(0; 4R/3p).

Пример 2:
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.
Решение:
В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от?/2 до 0, поэтому

Воспользовавшись формулой площади эллипса S=?ab, получим

Путь, пройденный материальной точкой
Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t 2 –t 1 (t 2 >t 1) прошла путь S, то
t2
S = o u(t)dt.
t 1

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).
Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Найдем формулу для вычисления объёма:

V=V 1 +V 2 +...+V n =lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
n ®?
Dx®0, а S k ®S k+1 , а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра V ц =S осн H.
Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®? называется интегралом

A
V = o S(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через
b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:
1) Выбрать удобным способом ось ОХ.
2) Определить границы расположения этого тела относительно оси.
3) Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.
4) Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.
5) Составить интеграл.
6) Вычислив интеграл, найти объем.

Пример 1:
Найти объем трехосного эллипса.

Решение:
Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс

С полуосями и.
Найдем площадь этого сечения
.
Найдем объем эллипса:

Пример 2:
Найти объем тела, в основании которого лежит равнобедренный треугольник с высотой h и основанием a. Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента.

Решение:
Имеем, Выразим площадь поперечного сечения как функцию от z, для чего предварительно найдем уравнение параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих треугольников, а именно:
т.е. . Положим, тогда уравнение параболы в системе координат uKv примет вид. Отсюда находим площадь поперечного сечения данного тела:
или.
Таким образом, .
Ответ:
Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.
Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.
S сеч = pr 2
S сеч (x)=p f 2 (x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xI можно найти по формуле:

Пример 1:
Найти длину дуги кривой от x=0 до x=1 (y?0)
Решение:
Дифференцируя уравнение кривой, найдем. Таким образом,
.
Ответ: .

Заключение
Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.
Литература

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р у л л и (1690 г.) Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводи ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инт грал иное: слово integer означает целый.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что в е первообразные функции отличаются на произвольн ю постоянн ю. b

называют определенным интегралом (обо начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертика ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равн ю бесконечно малой величине f(х) . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезн м при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Ч бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (18 4-1974), с ветским математиком А. Я. инчинчин ы (1894-1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CÎR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx.

òf(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.

f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

(òf(x)dx) ¢ = òf(x)dx ,

òf(x)dx = F(x)+C, где F¢(x) = f(x)

(òf(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

òf¢(x)dx = f(x)+C– из определения.

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

если k – постоянная и F¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =

= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= òf(x)dx + òg(x)dx +...+ òh(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

1. òxÖ(3x2–1)dx;

Пусть 3x2–1=t (t³0), возьмем производную от обеих частей:

ódt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø

ô- t 2 = - ô t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

Пусть cos x = t

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

ô---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – arctg x + C

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)

u’(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v’(x)

Проинтегрируем обе части

òu’(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))’dx – òu(x)v’(x)dx

ò u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v’(x)dx

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинейная трапеция

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)– непрерывная неопр. функция, xÎ.

Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).

Доказательство:

Докажем, что S(a) – первообразная f(x).

D(f) = D(S) =

S’(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), при Dx®0 DS – прямоугольник

Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)

S’(x0) = lim(Dxf(x0) /Dx) = limf(x0)=f(x0): т.к. x0 точка, то S(x) –

Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®¥. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a - нижний предел интегрирования;

b - верхний.

Формула Ньютона–Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F – первообразная для b на , то

ò f(x)dx = F(b)–F(a)

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

Свойства определенного интеграла.

ò f(x)dx = ò f(z)dz

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если l и m постоянные величины, то

ò (lf(x) +mj(x))dx = lò f(x)dx + mòj(x))dx –

– это свойство линейности определенного интеграла.

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =

F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

Набор стандартных картинок

S=ò f(x)dx + ò g(x)dx

Применение интеграла

I. В физике.

Работа силы (A=FScosa, cosa¹ 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1–a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2–x1), на n-ом отрезке - f(xn–1)(b–xn–1). Следовательно работа на равна:

А »An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®¥

А = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= òf(x)dx (по определению)

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то

Eп = A= – ò (–F(s)) dx

Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.

Отсюда находим

Еп= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

Ответ: M(0; 4R/3p)

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2–t1 (t2>t1) прошла путь S, то

В геометрии

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём - это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a

V= òS(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

bвыбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч(x)=p f 2(x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f ’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ можно найти по формуле

l = òÖ(1+f’(x)2)dx

Список литературы

М.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.

“Сборник задач по математическому анализу”, Москва,1996г.

И.В.Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982г.

Сведения из истории появления производной:Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперёд, и вера в правильность результатов к вам
придёт».
Термин «производная» - (франц. deriveе - позади, за) ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж. Он же ввёл
современные обозначения y " , f ‘.
обозначение lim –сокращение латинского слова limes (межа, граница). Термин «предел» ввёл И. Ньютон.
И. Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой.
Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную так:
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813)
французский математик и механик

Ньютон:

« Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот
явился Ньютон.» А.Поуг.
Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей
дифференциального исчисления.
Главный его труд- «Математические начала
натуральной философии»-оказал колоссальное
влияние на развитие естествознания, стал
поворотным пунктом в истории естествознания.
Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы
механики, тем самым раскрыл её механический
смысл.

Что называется производной функции?

Производной функции в данной точке называется предел
отношения приращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.

Физический смысл производной.

Скорость есть производная от пути по времени:
v(t) = S′(t)
Ускорение есть производная
скорости по времени:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной к графику
функции равен производной этой функции,
вычисленной в точке касания.
f′(x) = k = tga

Производная в электротехнике:

В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает
электрический ток. Под электрическим током понимают
направленное движение свободных электрически заряженных
частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила
тока.
В
цепи электрического тока электрический заряд меняется с
течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная
заряда q по времени.
В электротехнике в основном используется работа переменного тока.
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют
переменным. Цепь переменного тока может содержать различные
элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.
Получение переменного электрического тока основано на законе
электромагнитной индукции, формулировка которого содержит
производную магнитного потока.

Производная в химии:

◦ И в химии нашло широкое применение дифференциальное
исчисление для построения математических моделей химических
реакций и последующего описания их свойств.
◦ Химия – это наука о веществах, о химических превращениях
веществ.
◦ Химия изучает закономерности протекания различных реакций.
◦ Скоростью химической реакции называется изменение
концентрации реагирующих веществ в единицу времени.
◦ Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе
процесса, ее обычно выражают производной концентрации
реагирующих веществ по времени.

Производная в географии:

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения
пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), . Модель
Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860
годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Интеграл и его применение:

Немного из истории:

История понятия интеграла уходит корнями
к математикам Древней Греции и Древнего
Рима.
Известны работы учёного Древней Греции Евдокса Книдского (ок.408-ок.355 до н.э.) на
нахождение объёмов тел и вычисления
площадей плоских фигур.

Большое распространение интегральное исчисление получило в XVII веке. Учёные:
Г. Лейбниц (1646-1716) и И. Ньютон (1643-1727) открыли независимо друг от
друга и практически одновременно формулу, названную в последствии формулой
Ньютона - Лейбница, которой мы пользуемся. То, что математическую формулу
вывели философ и физик никого не удивляет, ведь математика-язык, на котором
говорит сама природа.

Символ введен
Лейбницем (1675 г.). Этот знак является
изменением латинской буквы S
(первой буквы слова сумма). Само слово интеграл
придумал
Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от
латинского integero, которое переводится как
приводить в прежнее состояние, восстанавливать.
Пределы интегрирования указал уже Л.Эйлер
(1707-1783). В 1697 году появилось название
новой ветви математики - интегральное
исчисление. Его ввёл Бернулли.

В математическом анализе интегралом функции называют
расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла
называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при
нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т.
д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины
по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.).

Что такое интеграл?

Интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, которое
возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при
неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т. п., а также в задаче о
восстановлении функции по её производной

Ученые стараются все физические
явления выразить в виде
математической формулы. Как
только у нас есть формула, дальше
уже можно при помощи нее
посчитать что угодно. А интеграл
- это один из основных
инструментов работы с
функциями.

Методы интегрирования:

1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием подынтегрального
выражения в сумму или разность.
3.Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.

Применение интеграла:

◦ Математика
◦ Вычисления S фигур.
◦ Длина дуги кривой.
◦ V тела на S параллельных
сечений.
◦ V тела вращения и т.д
Физика
Работа А переменной силы.
S – (путь) перемещения.
Вычисление массы.
Вычисление момента инерции линии,
круга, цилиндра.
◦ Вычисление координаты центра
тяжести.
◦ Количество теплоты и т.д.
◦
◦
◦
◦

Тема исследования

Применение интегрального исчисления в планировании расходов семьи

Актуальность проблемы

Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении доходов используется математика, а именно, интегральное исчисление. Изучая практическое применение интеграла мы узнаем:

Как интеграл и вычисление площади с помощью интеграла помогает в распределении материальных затрат?

Как интеграл поможет в накоплении денег на отпуск.

Цель

спланировать расходы семьи с использованием интегрального вычисления

Задачи

Изучить геометрический смысл интеграла.
Рассмотреть методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
Составить прогноз материальных затрат семьи при ремонте квартиры с использованием интеграла.
Рассчитать объем потребления энергии семьи на год с учетом интегрального исчисления.
Расчитать сумму накопительного вклада в Сбербанк на отпуск.

Гипотеза

интегральное исчисление помогает в экономичных расчетах при планировании доходов и расходов семьи.

Этапы исследования

Изучили геометрический смысл интеграла и методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
Произвели расчет материальных затрат, необходимых при ремонте квартиры с помощью интеграла.
Расчитали объем потребления электроэнегрии в квартире и затраты на электроэнергию семьи на год.
Рассмотрели один из вариантов полонения доходов семьи через вклады в Сбербанк с помощью интеграла.

Объект исследования

инегральное исчисление в социальной и экономических сферах жизни.

Методы

Анализ литературы по теме "Практическое применение интгрального исчисления"
Изучение методов интегрирования при решении задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
Анализ расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления.

Ход работы

Обзор литературы по теме "Практическое применение интегрального исчисления"
Решение системы задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
Расчет расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления: ремонт комнаты, объем электроэнергии, вклады в Сбербанк на отпуск.

Наши результаты

Как интеграл и вычисление объема с помощью интеграла помогает в прогнозировании объемов потребления электроэнергии?

Выводы

Экономический расчет необходимых средств при ремонте квартиры можно быстрее и более точно выполнить с помощью интегрального вычисления.

Расход объемов электроэнергии семьи легче и быстрее рассчитать с помощью интегрального вычисления и программы Microsoft Office Excel, а значит прогнозировать затраты семьи на оплату электроэнергии на год.

Прибыль от вкладов в сбербанк можно рассчитать с помощью интегрального вычисления, значит спланировать отпуск семьи.

Список ресурсов

Печатные издания:

Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А.Г. Мордкович. Мнемозина. М: 2007
Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А. Колмогоров Просвещение. М: 2007
Математика для социологов и экономистов. Ахтямов А.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
Интегральное вычисление.Справочник по Высшей Математике М. Я. Выгодского, Просвещение, 2000

Cлайд 1

МКОУ «Большеатлымская средняя общеобразовательная школа» Тема: «Интеграл и его практическое применение» Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее. П. Л. Чебышев

Cлайд 2

Выполнил: Ершов Николай, ученик 11 класса. Руководитель: Дедовец Надежда Артемовна, учитель математики С. Большой Атлым 2012-2013 уч. год

Cлайд 3

Цель работы: Расширить область математических знаний. Развивать логическое мышление. Вывести общие формулы, позволяющие решать задачи интегрирования. Показать, что интеграл широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Cлайд 4

Задачи исследования: - собрать, изучить и систематизировать материал об интеграле; - рассмотреть, как интеграл используется при решении различных жизненных ситуаций; - использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности. Объект исследования: область математики – интегрирование.

Cлайд 5

Немного истории -1675 г, опубликовано в 1686 г ввел Г.Лейбниц - 1675 г, Ж Лагранж 5 век до н.э. др.гр. ученый Демокрит 3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания

Cлайд 6

Cлайд 7

«Интеграл» придумал Я.Бернулли (1690) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer

Cлайд 8

Cлайд 9

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Масса Перемещение Дифференциальное уравнение Давление Количество теплоты

Cлайд 13

Задача.Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС) OX=a, a=0, (A1B1C1) OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А2В2С2-треугольник, равный основаниям. Площадь А2В2С2 равна S. Ответ: V=Sh 4. S(x) непрерывна на

Cлайд 14

Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным? Решение: Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t. x(0) = x0. Изменение количества бактерий со временем описывается уравнением x´(t) = kx(t), k>0, ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - общее решение уравнения. ЗАДАЧА

Cлайд 15

Уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения задач из различных областей наук. Недаром даже поэты воспевали интеграл. Смысл- там, где змеи интеграла Меж цифр и букв, меж d и f. Там – власть, там творческие горны! Пред волей чисел все – рабы. И солнца путь вершат, покорны Немым речам и ворожбы. В.Брюсов.

Cлайд 18

Заключение Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.