Интерполяционная формула лагранжа. Интерполяция функции многочленами лагранжа Найти интерполяционный многочлен лагранжа

Подходящие кривые и поверхности к данным с помощью регрессии, интерполяции и сглаживания

Curve Fitting Toolbox™ предоставляет приложение и функции для подбора кривой кривым и поверхностям к данным. Тулбокс позволяет вам выполнить исследовательский анализ данных, предварительно обработать и постобработать данные, сравнить модели кандидата и удалить выбросы. Можно провести регрессионный анализ, пользующийся библиотекой линейных и нелинейных предоставленных моделей, или задать собственные уравнения. Библиотека обеспечивает оптимизированные параметры решателя и стартовые условия улучшить качество ваших подгонок. Тулбокс также поддерживает непараметрические техники моделирования, такие как сплайны, интерполяция и сглаживание.

После создания подгонки можно применить множество методов последующей обработки для графического вывода, интерполяции и экстраполяции; оценка доверительных интервалов; и вычисляя интегралы и производные.

Начало работы

Изучите основы Curve Fitting Toolbox

Линейная и нелинейная регрессия

Подходящие кривые или поверхности с линейными и нелинейными моделями библиотеки и пользовательскими моделями

Интерполяция

Подходящие кривые интерполяции или поверхности, оцените значения между известными точками данных

Сглаживание

Подходящее сглаживание использования шлицует и локализованная регрессия, сглаженные данные со скользящим средним значением и другими фильтрами

Подходящая постобработка

Графический вывод, выбросы, невязки, доверительные интервалы, данные о валидации, интегралы и производные, генерирует код MATLAB ®

Сплайны

Создайте сплайны с или без данных; ppform, B-форма, продукт тензора, рациональный, и сплайны тонкой пластины stform

Полином Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x i различны, существует единственный многочлен L (x ) степени не более n , для которого L (x i ) = y i .

В простейшем случае (n = 1 ) - это линейный многочлен, график которого - прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) и (7,9) , а также полиномы y j l j (x) , каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x i

Пусть для функции f (x ) известны значения y j = f (x j ) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от l j не зависят от f (x ) , и их можно вычислить заранее, зная последовательность x i .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить x i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x 0 :

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y , который строится с использованием только целочисленной арифметики . Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Полином Лагранжа" в других словарях:

Форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1,..., х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел, где все различны, существует единственный многочлен степени не более, для которого. В простейшем случае (… Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция, интерполирование в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и… … Википедия

Будем строить интерполяционный полином в виде

где – многочлены степени не выше п, обладающие следующим свойством:

Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле x j , j=0,1,…n , равен соответствующему значению функции y j , т.е. является интерполяционным.

Построим такие многочлены. Поскольку при x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , можно следующим образом разложить на множители

где с – постоянная. Из условия получим, что

Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме

называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Приближенное значение функции в точке x * , вычисленное с помощью полинома Лагранжа, будет иметь остаточную погрешность (4.8). Если значения функции y i в узлах интерполирования x i заданы приближенно с одинаковой абсолютной погрешностью , то вместо точного значения будет вычислено приближенное значение , причем

где – вычислительная абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа. Окончательно имеем следующую оценку полной погрешности приближенного значения .

В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид

а их полные погрешности в точке x *

Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х *) , получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности .

Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.

§4.3. Разделенные разности и их свойства.

Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x 0 , x 1 ,…x n заданы значения функций f(x 0), f(x 1),…,f(x n) . Разделенные разности первого порядка определяются равенствами

разделенные разности второго порядка – равенствами,

а разделенные разности k -го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:

Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:

Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.

1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(x i) , т.е. имеет место следующая формула:

Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка

Формула (4.12) справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разностей порядка .

Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем

Слагаемые, содержащие f(x 0) и f(x n +1) , имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(x i) , i=1, 2, …,n . Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:

т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1 , доказательство закончено.

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x 0 , x 1 ,…x n (т.е. не меняется при любой их перестановке):

Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).

3. Простую связь разделенной разности f и производной f (n) (x) дает следующая теорема.

Пусть узлы x 0 , x 1 ,…x n принадлежат отрезку и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п . Тогда существует такая точка xÎ , что

Докажем сначала справедливость соотношения

Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть

f .

Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена R n (x)=f(x)-L n (x) получим (4.13), теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п -ой степени

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

производная порядка п , очевидно, есть

и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение

Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков
(больше п ), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.

§4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Запишем интерполяционный полином Лагранжа в следующем виде:

где L 0 (x) = f(x 0)=y 0 , а L k (x) – интерполяционный полином Лагранжа степени k , построенный по узлам x 0 , x 1 , …,x k . Тогда есть полином степени k , корнями которого являются точки x 0 , x 1 , …,x k -1 . Следовательно, его можно разложить на множители

где A k – постоянная.

В соответствии с (4.14) получим

Сравнивая (4.16) и (4.17) получим, что и (4.15) примет вид

который носит название интерполяционного полинома Ньютона с разделенными разностями.

Этот вид записи интерполяционного полинома более нагляден (добавлению одного узла соответствует появление одного слагаемого) и позволяет лучше проследить аналогию проводимых построений с основными построениями математического анализа.

Остаточная погрешность интерполяционного полинома Ньютона выражается формулой (4.8), но ее, с учетом (4.13), можно записать и в другой форме

т.е. остаточная погрешность может быть оценена модулем первого отброшенного слагаемого в полиноме N n (x *).

Вычислительная погрешность N n (x *) определится погрешностями разделенных разностей. Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению x * , окажут большее влияние на интерполяционный полином, лежащие дальше – меньшее. Поэтому целесообразно, если это возможно, за x 0 и x 1 взять ближайшие к x * узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно x * , пока очередной член по модулю не будет меньше абсолютной погрешности входящей в него разделенной разности.

В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями , заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значенийх : .

В процессе же решения задачи необходимо использовать значения
для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию Ф(x), достаточно простую для вычислений, которая в заданных точкахx 0 , x 1 ,...,x n , называемых узлами интерполяции, принимает значения, а в остальных точках отрезка (x 0 ,x n), принадлежащего области определения
, приближенно представляет функцию
с той или иной степенью точности.

При решении задачи в этом случае вместо функции
оперируют с функцией Ф(x). Задача построения такой функции Ф(x) называется задачей интерполирования. Чаще всего интерполирующую функцию Ф(x) отыскивают в виде алгебраического полинома.

1. Интерполяционный полином

Для каждой функции
, определенной на [a,b ], и любого набора узлов x 0 , x 1 ,....,x n (x i
[a,b ], x i x j при ij) среди алгебраических многочленов степени не выше n существует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:

, (3.1)

где
- многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

Для интерполяционного полинома многочлен
имеет вид:

Этот многочлен (3.1) и решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

В качестве примера рассмотрим функцию вида
на интервале
заданную табличным способом.

Необходимо определить значение функции в точке x-2.5. Воспользуемся для этого полином Лагранжа. Исходя из формул (3.1 и 3.3) запишем этот полином в явном виде:

(3.4).

Тогда подставляя в формулу (3.4) исходные значения из нашей таблицы получим

Полученный результат соответствует теории т.е. .

1. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в другой форме:

(3.5)

Запись полинома в виде (3.5) более удобна для программирования.

При решении задачи интерполяции величина n называется порядком интерполирующего полинома. При этом, как видно из формул (3.1) и (3.5), число узлов интерполирования всегда будет равно n+1 и значение x, для которого определяется величина
, должно лежать внутри области определения узлов интерполяции т.е.

. (3.6)

В некоторых практических случаях общее известное число узлов интерполяции m может быть больше, чем порядок интерполирующего полинома n .

В этом случае, прежде чем реализовывать процедуру интерполяции согласно формуле (3.5), необходимо определить те узлы интерполяции, для которых справедливо условие (3.6). При этом следует помнить, что наименьшая погрешность достигается при нахождении значения x в центре области интерполяции. Для обеспечения этого предлагается следующая процедура:

Основное назначение интерполяции – это вычисление значений табулированной функции для не узловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

Будем искать интерполяционный многочлен в виде

ВАНДЕРМОНД АЛЕКСАНДР ТЕОФИЛЬ (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796)- французский математик, чьи основные работы относятся к алгебре. В. заложил основы и дал логическое изложение теории детерминантов (определитель Вандермонда), а также выделил ее из теории линейных уравнений. Он ввел правило разложения детерминантов с помощью миноров второго порядка.

Здесь 1.(х) - многочлены степени л, так называемые ЛАГРАНЖЕ- ВЫ МНОГОЧЛЕНЫ ВЛИЯНИЯ, удовлетворяющие условию

Последнее условие означает, что любой многочлен l t (x) равен нулю при каждом х-у кроме х. у т. е. х 0 у x v ...» х { _ v x i + v ...» х п - корни этого многочлена. Следовательно, лагранжевы многочлены Ifjx) имеют вид

Так как по условию 1.(х.) = 1, то

Таким образом, лагранжевы многочлены влияния запишутся в виде

а интерполяционный многочлен (2.5) запишется в виде

ЛАГРАНЖ ЖОЗЕФ ЛУИ (Lagrange Joseph Louis; 1736- 1813) - выдающийся французский математик и механик, наиболее важные труды которого относятся к вариационному исчислению, к аналитической и теоретической механике. В основу статики Л. положил принцип возможных (виртуальных) перемещений. Он ввел обобщенные координаты и придал уравнениям движения механической системы форму, названную его именем. Л. получил ряд важных результатов в области анализа (формула остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных приращений, теория условных экстремумов); в теории чисел (теорема Лагранжа); в алгебре (теория непрерывных дробей, приведение квадратичной формы к сумме квадратов); в теории дифференциальных уравнений (отыскание частного решенияу изучение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, линейного относительно искомой функции и независимой переменной, с переменными коэффициентами, зависящими от производной от искомой функции); в теории интерполирования (интерполяционная формула Лагранжа).

Интерполяционный многочлен в форме (2.6) называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА. Перечислим основные достоинства этой формы записи интерполяционного многочлена.

• Число арифметических операций, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально п 2 и является наименьшим для всех форм записи.
• Формула (2.6) в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, что бывает удобно при некоторых вычислениях, в частности, при построении формул численного интегрирования.
• Формула (2.6) применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов.
• Интерполяционный многочлен Лагранжа особенно удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях.

К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисления проводить заново. Это затрудняет проведение апостериорных оценок точности (оценок, получающихся в процессе расчета).

Введем функцию ю л f , = (х - х 0)(х - Xj)...(x - х п) = fl (* “ *;)

Отметим, что ш п + : (х) есть многочлен степени п + 1. Тогда формулу (2.6) можно записать в виде

Приведем формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу:

Многочлен Лагранжа является в формуле (2.8) многочленом 1-й и в формуле (2.9) - многочленом 2-й степени.

Эти формулы наиболее часто используются на практике. Пусть задан (п + 1) узел интерполяции. На этих узлах можно построить один интерполяционный многочлен п -й степени, (п - 1) многочлен первой степени и большой набор многочленов степени меньше п, опирающихся на некоторые из этих узлов. Теоретически максимальную точность обеспечивает многочлен более высокой степени. Однако на практике наиболее часто используют многочлены невысоких степеней во избежание погрешностей при расчетах коэффициентов при больших степенях многочлена.