Изображение окружностей в изометрической проекции

Рассмотрим, как в изометрической проекции изображаются окружности. Для этого изобразим куб с вписанными в его грани окружностями (рис. 3.16). Окружности, расположенные соответственно в плоскостях, перпендикулярных осям х, у, z, изображаются в изометрии в виде трех одинаковых эллипсов.

Рис. 3.16.

Для упрощения работы эллипсы заменяют овалами, очерчиваемыми дугами окружностей, их строят так (рис. 3.17). Вычерчивают ромб, в который должен вписываться овал, изображающий данную окружность в изометрической проекции. Для этого на осях откладывают от точки О в четырех направлениях отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 3.17, а ). Через полученные точки a, b, с, d проводят прямые, образующие ромб. Его стороны равны диаметру изображаемой окружности.

Рис. 3.17.

Из вершин тупых углов (точек А и В ) описывают между точками а и b, а также с и d дуги радиусом R, равным длине прямых Ва или Вb (рис. 3.17, б ).

Точки С и Д лежащие на пересечении диагонали ромба с прямыми Ва и Вb, являются центрами малых дуг, сопрягающих большие.

Малые дуги описывают радиусом R, равным отрезку Са (Db ).

Построение изометрических проекций деталей

Рассмотрим построение изометрической проекции детали, два вида которой даны на рис. 3.18, а.

Построение выполняют в следующем порядке. Сначала вычерчивают исходную форму детали – угольник. Затем строят овалы, изображающие дугу (рис. 3.18, б ) и окружности (рис. 3.18, в).

Рис. 3.18.

Для этого на вертикально расположенной плоскости находят точку О, через которую проводят изометрические оси х и z. Таким построением получают ромб, в который вписана половина овала (рис. 3.18, б ). Овалы на параллельно расположенных плоскостях строят перенесением центров дуг на отрезок, равный расстоянию между данными плоскостями. Двойными кружочками на рис. 3.18 показаны центры этих дуг.

На тех же осях х и z строят ромб со стороной, равной диаметру окружности d. В ромб вписывают овал (рис. 3.18, в).

Находят центр окружности на горизонтально расположенной грани, проводят изометрические оси, строят ромб, в который вписывают овал (рис. 3.18, г ).

Понятие о диметрической прямоугольной проекции

Расположение осей диметрической проекции и способ их построения приведены на рис. 3.19. Ось z проводят вертикально, ось х – под углом около 7° к горизонтали, а ось у образует с горизонталью угол приблизительно в 41° (рис. 3.19, а ). Построить оси можно, пользуясь линейкой и циркулем. Для этого из точки О откладывают по горизонтали вправо и влево по восемь равных делений (рис. 3.19, б ). Из крайних точек восставляют перпендикуляры. Высота их равна: для перпендикуляра к оси х – одному делению, для перпендикуляра к оси у – семи делениям. Крайние точки перпендикуляров соединяют с точкой О.

Рис. 3.19.

При вычерчивании диметрической проекции, как и при построении фронтальной, размеры по оси у сокращают в 2 раза, а по осям х и z откладывают без сокращений.

На рис. 3.20 показана диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями. Как видно из этого рисунка, окружности в диметрической проекции изображаются эллипсами.

Рис. 3.20.

Технический рисунок

Технический рисунок – это наглядное изображение, выполненное по правилам аксонометрических проекций от руки, на глаз. Им пользуются в тех случаях, когда нужно быстро и наглядно показать на бумаге форму предмета. Обычно в этом возникает необходимость при конструировании, изобретательстве и рационализации, а также при обучении чтению чертежей, когда с помощью технического рисунка нужно пояснить форму детали, представленной на чертеже.

Выполняя технический рисунок, придерживаются правил построения аксонометрических проекций: под теми же углами располагают оси, так же сокращают размеры по осям, соблюдают форму эллипсов и последовательность построения.

8.1. Фронтальные диметрические проекции окружностей . Если на аксонометрическом изображении хотят некоторые элементы. например окружности (рис. 64), сохранить неискаженными, то применяют фронтальную диметрическую проекцию. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическим отверстием, два вида которой даны на рисунке 64, а, выполняют так:

Пользуясь осями х, у, z, строят тонкими линиями очертания внешней формы детали (рис. 64, б).
Находят центр отверстия на передней грани. Через него параллельно оси у проводят ось отверстия и откладывают на ней половину толщины детали. Получают центр отверстия, расположенный на задней грани.
Из полученных точек как из центров проводят окружности, диаметр которых равен диаметру отверстия (рис. 64, в).
Удаляют лишние линии и обводят видимый контур детали (рис. 64, г).

Рис. 64. Построение фронтальной диметрической проекции

Постройте в рабочей тетради фронтальную диметрическую проекцию детали, изображенной на рисунке 64, а. Ось у направьте в другую сторону. Величину изображения увеличьте примерно в два раза.

8.2. Изометрические проекции окружностей . Изометрической проекцией окружности (рис. 65) является кривая, которая называется эллипсом. Эллипсы строить трудно. В практике черчения вместо них часто строят овалы. Овал - замкнутая кривая, очерченная дугами окружностей. Овал удобно строить, вписывая в ромб, который является изометрической проекцией квадрата.

Рис. 65. Изображение в изометрической проекции окружностей вписанных в куб

Построение овала, вписанного в ромб, выполняют в такой последовательности.

Вначале строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 66, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у. На них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки а, b, с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб.

Рис. 66. Построение овала

Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

После этого вписывают в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов (точек А и В) описывают дуги. Их радиус R равен расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В) до точек с, d или a, b соответственно (рис. 66, б).

Через точки В и а, В и b проводят прямые. В пересечении прямых Ва и ВЬ с большей диагональю ромба находят точки С и D (рис. 66, а). Эти точки будут центрами малых дуг. Их радиус R1 равен Са (или Db). Дугами этого радиуса плавно соединяют большие дуги овала.

Мы рассмотрели построение овала, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси z (овал 1 на рисунке 65). Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных оси у (овал 2) и оси х (овал 3), строят также. Только для овала 2 построение ведут на осях х и z (рис. 67, а), а для овала 3- на осях у и z (рис. 67, б). Рассмотрим, как применяются изученные построения на практике.

Рис. 67. Построение овалов: а лежащего в плоскости, перпендикулярной оси у; б - лежащего в плоскости, перпендикулярной оси x

Рис. 68. Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием

8.3. Способ построения аксонометрических проекций предметов, имеющих круглые поверхности . На рисунке 68, а дана изометрическая проекция планки. Надо изобразить цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани. Построение выполняют так:

Находят центр отверстия па передней грани. Определяют направление изометрических осей лля построения ромба (см. рис. 65). Из найденного центра проводят оси (рис. 68, а) и откладывают на них отрезки, равные радиусу окружности.
Строят ромб. Проводят его большую диагональ (рис. 68, б).
Описывают большие дуги. Находят центры для малых дуг (рис. 68. в).
Проводят из найденных центров малые дуги.

Такой же овал строят на задней грани, но обводят лишь видимую его часть (рис. 68, г).

В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры , расположенные горизонтально.

1. квадрата показано на рис. 1, а и б.

Вдоль оси х откладывают сторону квадрата а, вдоль оси у - половину стороны а/2 для фронтальной диметрической проекции и сторону а для изометрической проекции. Концы отрезков соединяют прямыми.

Рис. 1. Аксонометрические проекции квадрата:

2. Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 2, а и б.

Симметрично точке О (началу осей координат) по оси х откладывают половину стороны треугольника а/ 2, а по оси у - его высоту h (для фронтальной диметрической проекции половину высоты h/2 ). Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Рис. 2. Аксонометрические проекции треугольника:

а - фронтальная диметрическая; б - изометрическая

3. Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 3.

По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника . По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2 , равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n , полученных на оси у , проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Рис. 3. Аксонометрические проекции правильного шестиугольника:

а - фронтальная диметрическая; б - изометрическая

4. Построение аксонометрической проекции окружности .

Фронтальная диметрическая проекция удобна для изображения предметов с криволинейными очертаниями, подобных представленными на рис. 4.

Рис.4. Фронтальные диметрические проекции деталей

На рис. 5. дана фронтальная диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями. Окружности , расположенные на плоскостях, перпендикулярных к осям х и z, изображаются эллипсами . Передняя грань куба, перпендикулярная к оси у, проецируется без искажения, и окружность, расположенная на ней, изображается без искажения, т. е. описывается циркулем.

Рис.5. Фронтальные диметрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Построение фронтальной диметрической проекции плоской детали с цилиндрическим отверстием .

Фронтальную диметрическую проекцию плоской детали с цилиндрическим отверстием выполняют следующим образом.

1. Строят очертания передней грани детали, пользуясь циркулем (рис. 6, а).

2. Через центры окружности и дуг параллельно оси у проводят прямые, на которых откладывают половину толщины детали. Получают центры окружности и дуг, расположенных на задней поверхности детали (рис. 6, б). Из этих центров проводят окружность и дуги, радиусы которых должны быть равны радиусам окружности и дуг передней грани.

3. Проводят касательные к дугам. Удаляют лишние линии и обводят видимый контур (рис. 6, в).

Рис. 6. Построение фронтальной диметрической проекции детали с цилиндрическими элементами

Изометрические проекции окружностей .

Квадрат в изометрической проекции проецируется в ромб . Окружности, вписанные в квадраты, например, расположенные на гранях куба (рис. 7), в изометрической проекции изображаются эллипсами. На практике эллипсы заменяют овалами, которые вычерчивают четырьмя дугами окружностей.

Рис. 7. Изометрические проекции окружностей, вписанных в грани куба

Построение овала, вписанного в ромб.

1. Строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 8, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у, и на них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки a, b , с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

2. Вписывают в ромб овал . Для этого из вершин тупых углов (точек А и В ) описывают дуги радиусом R , равным расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В ) до точек a, b или с, d соответственно. От точки В к точкам а и b проводят прямые (рис. 8, б); пересечение этих прямых с большей диагональю ромба дает точки С и D , которые будут центрами малых дуг; радиус R 1 малых дуг равен Са (Db ). Дугами этого радиуса сопрягают большие дуги овала.

Рис. 8. Построение овала в плоскости, перпендикулярной оси z.

Так строят овал, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси z (овал 1 на рис. 7). Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных к осям х (овал 3) и у (овал 2), строят так же, как овал 1., только построение овала 3 ведут на осях у и z (рис. 9, а), а овала 2 (см. рис. 7) - на осях х и z (рис. 9, б).

Рис. 9. Построение овала в плоскостях, перпендикулярных осям х и у

Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием .

Если на изометрической проекции детали нужно изобразить сквозное цилиндрическое отверстие, просверленное перпендикулярно передней грани, представленное на рисунке. 10, а.

Построения выполняет следующим образом.

1. Находят положение центра отверстия на передней грани детали. Через найденный центр проводят изометрические оси. (Для определения их направления удобно воспользоваться изображением куба на рис. 7.) На осях от центра откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 10, а).

2. Строят ромб , сторона которого равна диаметру изображаемой окружности; проводят большую диагональ ромба (рис. 10, б).

3. Описывают большие дуги овала; находят центры для малых дуг (рис. 10, в).

4. Проводят малые дуги (рис. 10, г).

5. Строят такой же овал на задней грани детали и проводят касательные к обоим овалам (рис. 10, д).

Рис. 10. Построение изометрической проекции детали с цилиндрическим отверстием

В статье было рассказано о сути метода параллельного проектирования и его свойствах. Но как показывает практика, учащимся трудно воспринимать теоретические выкладки без демонстрации на конкретных примерах.

В данной статье покажем, как использовать свойства параллельного проектирования и свойства известных школьникам плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, круга и шестиугольника) для изображения этих фигур при параллельном проектировании .

1. Изображение треугольника

1) Любой треугольник (прямоугольный, равнобедренный, правильной) изображается произвольным треугольником в удобном расположении на рисунке.

2) Если ΔA 1 B 1 C 1 – прямоугольный, то изображение направлений двух его высот (катетов) задано. Произвольно изображаются высота, опущенная на гипотенузу, и центр вписанной окружности. Изображение перпендикуляра, опущенного из заданной точки гипотенузы на какой-либо катет, является отрезком, параллельным другому катету.

3) Если ΔA 1 B 1 C 1 – равнобедренный, то изображение медианы B 1 D 1 является изображением высоты и биссектрисы ΔA 1 B 1 C 1 . Изображение центра вписанной и описанной окружностей принадлежат BD.

4) Если ΔA 1 B 1 C 1 – правильный (равносторонний), то центры вписанной и описанной окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан. Поэтому построение изображения этого треугольника не может быть произвольным, если задан, например, центр одной из этих окружностей.

2. Изображение параллелограмма

Любой заданный параллелограмм A 1 B 1 C 1 D 1 (включая прямоугольник, квадрат, ромб) может быть изображен произвольным параллелограммом ABCD.

На изображении произвольного параллелограмма изображения двух его высот, проведенных из одной вершины, можно построить произвольно. Причем высоты, проведенные из вершины острого угла параллелограмма – оригинала, лежат вне параллелограмма, а высоты, проведенные из вершины тупого угла – внутри него.

1) Если A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб, то на изображении определяется пара взаимно перпендикулярных прямых – это диагонали ABCD. Поэтому произвольно можно построить изображение только лишь одной высоты из данной вершины ромб на его сторону.

При изображении другой высоты ромба учитывают, что основания этих высот лежат на прямой, параллельной диагонали ромба.

Аналогично изображаются перпендикуляры, опущенные на стороны ромба из любой точки его диагонали.

2) Если A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат, то его изображение – произвольный параллелограмм ABCD. Причем изображения высот, биссектрис, углов, перпендикуляров к сторонам строить произвольно нельзя.

3. Изображение трапеции

Любая трапеция A 1 B 1 C 1 D 1 (а также равнобокая и прямоугольная) может быть изображена произвольной трапецией ABCD.

1) Если A 1 B 1 C 1 D 1 - трапеция общего вида, то изображение ее высоты и одного из перпендикуляров, опущенных из точки основания на боковые стороны, можно строить произвольно.

2) Если A 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольная трапеция, то C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 , изображение высоты трапеции уже задано на рисунке, поэтому произвольно может быть изображен лишь перпендикуляр к наклонной боковой стороне.

3) Если A 1 B 1 C 1 D 1 - равнобокая трапеция (есть ось симметрии), то изображением высоты является отрезок, соединяющий середины верхнего и нижнего оснований трапеции (или ему параллельный).

4. Изображение окружности

Параллельной проекцией окружности является эллипс. Центром окружности на изображении является точка пересечения сопряженных диаметров эллипса. Два диаметра окружности (эллипса) называются сопряженными, если каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру.

4. Изображение правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 изображается так: сначала изображается произвольный параллелограмм BCEF и проводятся его диагонали BE и CF; затем от точки их пересечения О откладываются равные отрезки произвольной длины (но большей половины стороны ВС) параллельно сторонам BC и EF. Концы построенных отрезков – это вершины A и D.