Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при

том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)" равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f"(x)=nx^(n-1)

Рассмотрим на показательных примерах.

Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу х, принадлежащему Х, поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определена функция, и записывают у = f(x).
Множество Х в данном случае – плоскость, состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Для примера изобразим функцию у = х 2 . Оси 0X и 0Y образуют Х – область ее изменения. На рисунке прекрасно видно, как ведет себя функция. В таком случае говорят, что на множестве Х определена функция у = х 2 .

Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений f(x). Другими словами, множество значений – это промежуток по оси 0Y, где определена функция. Изображенная парабола явно показывает, что f(x) > 0 , т.к. x2 > 0. Поэтому область значений будет . Множество значений смотрим по 0Y.

Совокупность всех х называется областью определения f(x). Множество определений смотрим по 0X и в нашем случае областью допустимых значений является [-; +].

Точка а (а принадлежит или Х) называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а.

Пришла пора понять – что же такое предел функции?

Чисто b, к которому стремится функция при стремлении х к числу а, называется пределом функции . Записывается это следующим образом:

Например, f(x) = х 2 . Нам надо узнать, к чему стремится (не равна) функция при х 2. Сначала запишем предел:

Посмотрим на график.

Проведем параллельно оси 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересечет наш график в точке (2;4). Опустим из этой точки на ось 0Y перпендикуляр – и попадем в точку 4. Вот к чему стремится наша функция при х 2. Если теперь подставить в функцию f(x) значение 2, то ответ будет таким же.

Теперь прежде чем перейти к вычислению пределов , введем базовые определения.

Введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.

Допустим, функция f(x) определена на некотором интервале, в котором содержится точка x = A, однако совсем не обязательно, чтобы значение f(А) было определено.

Тогда, согласно определению Коши, пределом функции f(x) будет некое число B при x, стремящимся к А, если для каждого C > 0 найдется число D > 0, при котором

Т.е. если функция f(x) при x А ограничена пределом В, это записывается в виде

Пределом последовательности называется некое число А, если для любого сколь угодно малого положительного числа В > 0 найдется такое число N, при котором все значения в случае n > N удовлетворяют неравенству

Такой предел имеет вид .

Последовательность, у которой есть предел, будем называть сходящейся, если нет - расходящейся.

Как Вы уже заметили, пределы обозначаются значком lim, под которым записывается некоторое условие для переменной, и далее уже записывается сама функция. Такой набор будет читаться, как «предел функции при условии…». Например:

- предел функции при х, стремящимся к 1.

Выражение «стремящимся к 1» означает, что х последовательно принимает такие значения, которые бесконечно близко приближаются к 1.

Теперь становится ясно, что для вычисления данного предела достаточно подставить вместо х значение 1:

Кроме конкретного числового значения х может стремиться и к бесконечности. Например:

Выражение х означает, что х постоянно возрастает и неограниченно близко приближается к бесконечности. Поэтому подставив вместо х бесконечность станет очевидно, что функция 1- х будет стремиться к , но с обратным знаком:

Таким образом, вычисление пределов сводится к нахождению его конкретного значения либо определенной области, в которую попадает функция, ограниченная пределом.

Исходя из вышеизложенного следует, что при вычислении пределов важно пользоваться несколькими правилами:

Понимая сущность предела и основные правила вычисления пределов , вы получите ключевое представление о том, как их решать. Если какой предел будет вызывать у вас затруднения, то пишите в комментарии и мы обязательно вам поможем.

Заметка: Юриспруденция - наука о законах, помогающее в конфлитных и других жизненных трудностях.

Тема 4.6.Вычисление пределов

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.

1. Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, т.к. предел элементарной функции f (x) при х стремящемся к а , которое входит в область определения, равен частному значению функции при х=а , т.е. lim f(x)=f(a ) .

2. Если х стремится к бесконечности или аргумент стремится к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Ниже приведены простейшие пределы, основанные на свойствах пределов, которые можно использовать как формулы:

Более сложные случаи нахождения предела функции:

рассматриваются каждый в отдельности.

В этом разделе будут приведены основные способы раскрытия неопределенностей.

1. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет отношение двух бесконечно малых величин

а) Сначала нужно убедится, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой и при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин. Делаются преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к 0. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая.

Вообще если ищется предел функции при х стремящемся к а , то необходимо помнить, что х не принимает значения а , т.е. х не равен а.

б) Применяется теорема Безу. Если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в 0 в предельной точке х=а , то согласно вышеназванной теореме оба многочлена делятся без остатка на х-а .

в) Уничтожается иррациональность в числителе или в знаменателе путем умножения числителя или знаменателя на сопряженное к иррациональному выражение, затем после упрощения дробь сокращается.

г) Используется 1-й замечательный предел (4.1).

д) Используется теорема об эквивалентности бесконечно малых и следующие б.м.:

2. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет отношение двух бесконечно больших величин

а) Деление числителя и знаменателя дроби на наивысшую степень неизвестного.

б) В общем случае можно использовать правило

3. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую

Дробь преобразовывается к виду, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к 0 или к бесконечности, т.е. случай 3 сводится к случаю 1 или случаю 2.

4. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин

Этот случай сводится к виду 1 или 2 одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю;

б) преобразование функции к виду дроби;

в) избавление от иррациональности.

5. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет степень, основание которой стремится к 1, а показатель к бесконечности.

Функция преобразовывается таким образом, чтобы использовать 2-й замечательный предел (4.2).

Пример. Найти .

Так как х стремится к 3 , то числитель дроби стремится к числу 3 2 +3 *3+4=22, а знаменатель- к числу 3+8=11. Следовательно,

Пример

Здесь числитель и знаменатель дроби при х стремящемся к 2 стремятся к 0 (неопределенность вида), разложим числитель и знаменатель на множители, получим lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Пример

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, имеем

Раскрываем скобки в числителе, получим

Пример

Уровень 2. Пример. Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S 0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма S T . Определим величину r относительного роста формулой

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Из формулы (1) легко определить величину S T :

S T = S 0 (1 + r )

При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S 0 возрастает в (1 + r ) раз, то за второй год в (1 + r ) раз возрастает сумма S 1 = S 0 (1 + r ), то есть S 2 = S 0 (1 + r ) 2 . Аналогично получается S 3 = S 0 (1 + r ) 3 . Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов:

S n = S 0 (1 + r ) n .

В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k . Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка T k составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма S T рассчитывается по формуле

(2)

где - целая часть числа, которая совпадает с самим числом, если, например, T ? целое число.

Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S 0 наращивается до величины, определяемой формулой

(3)

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции S T и S 1 . Применим эту процедуру к формуле(3):

Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S 0 за 1 год наращивается до величины S 1 * , которая определяется из формулы

S 1 * = S 0 e r (4)

Пусть теперь сумма S 0 предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени. Обозначим r e годовую ставку, при которой в конце года сумма S 0 наращивается до величины S 1 * из формулы (4). В этом случае будем говорить, что r e - это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и r e :

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.

Основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями .

Перечислим все основные виды неопределенностей : ноль делить на ноль (0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
• использование замечательных пределов;
• применение правила Лопиталя ;
• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей . Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Ответ:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений .

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности (0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Пример.

Вычислить предел

Методы решения пределов. Неопределённости.
Порядок роста функции. Метод замены

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.