Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции .
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:
1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа
и в точке слева
.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция непрерывна в точке справа , если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева , если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём . В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)
Согласно второй теореме Вейерштрасса , непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .
Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .
В нашем случае:
Примечание : в теории распространены записи .
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции , наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ , что максимум функции и минимум функции . Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!
Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо !
Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:
1) Находим значения функции в критических точках , которые принадлежат данному отрезку .
Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует , что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.
Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.
2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.
3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.
Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение
:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Вычислим значение функции во второй критической точке:
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :
Вот теперь всё понятно.
Ответ :
Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:
Пример 6
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.
Инструкция
Исследование поведения любой всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
Исходя из , наибольшим является значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
Чтобы определить наибольшее значение функции , следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и , а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции . Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: , (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
Задача на этом этапе
И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые
) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:
Эту же область можно задать и линейными неравенствами
: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой
.
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие
.
А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
Пример 1
В ограниченной замкнутой области
Решение
: прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:
Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных
:
Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:
– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .
Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.
II) Исследуем границу области.
Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:
Как вариант, можно оформить и так:
Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением )
«высекает» из поверхности
«пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится
:
– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже)
функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:
Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже)
:
Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :
2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:
Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.
Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:
– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :
Исследуем второй конец отрезка :
Используя функцию , выполним контрольную проверку:
3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:
Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.
Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :
– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :
Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.
И заключительный шаг
: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:
из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ
запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
:
На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .
В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .
Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .
Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
Пример 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .
Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:
Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)
Решение
, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:
Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
I) Найдём стационарные точки:
Система-мечта идиота:)
Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.
А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
1) Если , то
Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :
Контроль:
Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:
Решаем квадратное уравнение
, помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:
Вычислим значения функции в найденных точках:
Проверку по функции проведите самостоятельно.
Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ
:
Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
Для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области
Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение
: изобразим область на чертеже:
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
- Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
- Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
- Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
- Найти производную функции $f"(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f"(х)=0$
- Разложить производную функции на множители.
- Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
- Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
Функция | Производная |
$c$ | $0$ |
$x$ | $1$ |
$x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$ |
$√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
$sinx$ | $cosx$ |
$cosx$ | $-sinx$ |
$tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
$ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
$cos^2x$ | $-sin2x$ |
$sin^2x$ | $sin2x$ |
$e^x$ | $e^x$ |
$a^x$ | $a^xlna$ |
$lnx$ | ${1}/{x}$ |
$log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})"=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$
2. Производная произведения.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Найти производную $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})"={f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)"}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f"(x)={(5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y"=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x+21}/{x+11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x+21=0; x≠-11$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y"(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ - это точка минимума.
Ответ: $-10,5$
Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$
1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$
2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки
$30x^4-270x^2=0$
Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х+3)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю
$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$
$х=0;х=3;х=-3$
3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$
Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3