Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.
Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.
- В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.
S = DC ∙ h
где S - площадь параллелограмма;
a - основание;
h - высота, проведенная к данному основанию.Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.
Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника - высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.
- Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:
S = AD∙AB∙sinα
где AD, AB - смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
α - угол между основаниями AD и AB.
- Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
где AC, BD - диагонали параллелограмма;
β - угол между диагоналями.
- Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:
«Геометрия параллелограмм 8 класс» - Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Доказательство: рассмотрим? АВС и?ADC, Повторите доказательство теоремы самостоятельно! Найдите периметр параллелограмма MNPK. Определение Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
«Урок угол» - Постройте угол NOM, который равный данному углу. Томский Региональный Центр Интернет-Образования. Что нового узнали на уроке? Виды углов. С помощью наложения проверьте данные построения. Тупой угол. Сравнение углов. Составление кластера. Представитель каждой группы дает ответ. Измерение углов». Записать в два столбика углы: а) изображенные на рисунке; б) развернутые.
«Углы в 5 классе» - Острый угол. Транспортир астролябия квадрант. Понятие угла. Вертикальные углы. Тупой угол. Единицы измерения углов. < АВС (< СВА) < В О – вершина угла ВА, ВС – стороны угла. Прямой угол. Смежные углы. У г л ы. Развернутый угол. Инструмент для измерения углов.
«Трёхгранный угол» - Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Аналог теоремы косинусов. Трехгранный угол. . Дан трехгранный угол Оabc. Определение. Следствие. Урок 6. Теорема. Формула трех косинусов. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120?. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула:
«Измерение углов» - Транспортир применяют для построения углов. Можно приложить транспортир по другому. Какой угол образует часовая и минутная стрелки часов: Острый угол. Острый, прямой, тупой, развернутый углы. Прямой угол. Транспортир применяют для измерения углов. Измерение углов. Развернутый угол. Тупой угол.
Найдите площадь параллелограмма. Здравствуйте! В этой статье представлена группа заданий решение которых связанно с площадью . Задачи входят в состав экзамена. Рекомендую в которой о площади параллелограмма (и треугольника) всё подробно расписано. При решении пригодятся формулы:
*Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
*Площадь параллелограмма равна произведению параллелограмма на высоту проведённую к этой стороне.
Также рассматриваются задачи с ромбами. Как известно, ромб является параллелограммом и обладает его свойствами, но есть ещё и дополнительные. Нам понадобится это:
— Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим задачи:
27586. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 150 0 .
Используем формулу площади параллелограмма:
Стороны равны 1, а острый угол будет равен 30 0:
27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
Известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, также они точкой пересечения делятся пополам. Построим эскиз следующим образом и отметим на нём размеры половин диагоналей:
Получается, что ромб диагоналями разбивается на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 2 и 6. Можем вычислить площадь этого треугольника:
Так как все четыре треугольника образованные диагоналями равны, то
317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка Е середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.
Для того чтобы вычислить площадь трапеции достаточно понимать как определить площадь отсечённого треугольника EDC. *Далее мы из площади параллелограмма просто вычтем площадь треугольника.
Посмотрите! Сторона треугольника ED равна половине стороны параллелограмма, высота у них общая. Что это значит? А то что:
Получается, что площадь треугольника в четыре раза меньше площади параллелограмма:
Таким образом:
Ответ: 141,75
*Какую часть по площади занимает треугольник в параллелограмме можно увидеть разделив параллелограмм диагональю (он делится пополам):
Площадь треугольника ADC составляет ½ от площади параллелограмма, а площадь треугольника EDC равна половине площади ADC, то есть треугольник EDC по площади будет в 4 раза меньше.
319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Построим эскиз:
Нетрудно заметить, что площади треугольников 1, 2, 3 и 4 равны, так как у них есть равные стороны и синусы углов между ними приобретают равные значения.
Вычислим площадь треугольника АA′D′:
Получается, что площадь треугольника будет в восемь раз меньше. Таким образом, искомая площадь равна:
Ответ: 76,5
*Конечно же, «опытный глаз» сразу увидит, что площадь параллелограмма A′B′C′D′ в два раза меньше площади данного параллелограмма, но понимать формальное соотношение площадей фигур необходимо и важно.
**Если вы построите отрезки соединяющие середины противоположных сторон, то сразу наглядно увидите каким образом параллелограмм разбивается на равные по площади треугольники и решение будет очевидно.
319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E– середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Площадь треугольника ADE составляет четвёртую часть от площади параллелограмма, посмотрите вше задачу 317338. То есть S ADE =176/4=44.
27585. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30 0 .
Посмотреть решение
27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Посмотреть решение
27612. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Посмотреть решение
27613. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 0 .
Посмотреть решение
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр
