Как связаны напряжение и эдс индукции. Что такое ЭДС индукции и когда возникает? ЭДС индукции в прямом проводнике, движущемся в магнитном поле

Итак, мы установили, что в процессе индукции возбуждается э. д. с. индукции, благодаря чему в проводниках возникает ток, сила которого определяется по закону Ома через э. д. с. индукции и сопротивление цепи. Чем же определяется э. д. с. индукции?

Если присмотреться ко всем индукционным опытам (§ 137), то легко обнаружить, что сила индукционного тока в контуре, а следовательно, и э. д. с. индукции, оказывается различной в зависимости от того, быстро или медленно мы производим изменение магнитного потока, являющееся необходимым условием возникновения индукции. Чем медленнее происходит процесс изменения магнитного потока, тем меньше э. д. с. индукции и тем меньше индукционный ток при заданном сопротивлении цепи. Таким образом, осуществляя определенное изменение магнитного потока за различное время, мы получаем различную э. д. с. индукции. Если в момент магнитный поток имел значение , а к моменту его значение стало равным , то за время произошло изменение магнитного потока на . Отношение дает изменение магнитного потока в единицу времени, т. е. представляет собой скорость изменения магнитного потока. Измерения, выполненные при различных условиях опыта (в любом контуре, при любом изменении значения магнитного потока и т. д.), показывают, что э. д. с. индукции зависит только от скорости изменения магнитного потока. А именно:

Э. д. с. индукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, причем в СИ коэффициент пропорциональности равен единице, так что

Само собой разумеется, что если магнитный поток изменяется с течением времени неравномерно, то отношение дает среднюю скорость изменения магнитного потока, аналогичную средней скорости движения (см. том I), и в соответствии с этим формула (141.1) дает возможность вычислить среднюю э. д. с. индукции. Для определения мгновенного значения э. д. с. индукции в каждый момент времени нужно, так же как при определении скорости неравномерного движения, рассматривать изменение магнитного потока за столь малый промежуток времени , чтобы в течение этого промежутка можно было при наших способах измерения считать изменение магнитного потока равномерным. В таких случаях отношение будет характеризовать скорость изменения магнитного потока для данного момента, а вычисленное на основании формулы (141.1) значение будет значением э. д. с. индукции для этого момента. Все эти рассуждения в точности повторяют рассуждения, относящиеся к определению мгновенной и средней скорости в механике.

В наших рассуждениях мы предполагали, что имеем дело с контуром, состоящим только из одного витка, т. е. с контуром, который один раз охватывает линии поля. В общем случае, когда индукционная катушка имеет одинаковых витков, каждый из которых испытывает изменение потока , э. д. с. индукции, очевидно, в раз больше, потому что витки катушки соединены друг с другом последовательно и э. д. с., возникающие в каждом из витков, складываются. Таким образом, э. д. с. индукции, возникающая в катушке из витков, пропорциональна числу витков и скорости изменения магнитного потока сквозь каждый виток катушки:

В случае, если витки неодинаковы, так что изменения магнитного потока через отдельные витки равны , сумма есть полное изменение потока, пронизывающего все витки катушки, т. е. изменение потока через катушку в целом. Э. д. с. такой катушки

Формулы (141.1) и (141.2) дают значение э. д. с. индукции. Что же касается направления э. д. с. индукции (направления индукционного тока), то оно определяется правилом Ленца (§ 139).

Единицей магнитного потока в СИ служит вебер (Вб) – по имени немецкого физика Вильгельма Эдуарда Вебера (1804-1891). Один вебер представляет собой поток через поверхность, площадь которой равна одному квадратному метру, пересекаемую перпендикулярными к ней линиями однородного поля с магнитной индукцией, равной одному тесла. При скорости изменения потока, равной 1 Bб/с, в контуре индуцируется э. д. с., равная 1 В.

141.1. На рис. 267 изображен так называемый «земной индуктор». Это катушка из большого числа витков проволоки, которая может быть приведена в быстрое вращение вокруг оси , совпадающей с ее вертикальным диаметром. При вращении этой катушки в магнитном поле Земли в ней возникает индукционный электрический ток. Разберите следующие три случая: а) индуктор вращается около вертикальной оси ; б) ось вращения горизонтальна и направлена по магнитному меридиану (с севера на юг); в) ось вращения горизонтальна и направлена перпендикулярно к магнитному меридиану (с запада на восток). Какая составляющая земного магнитного поля обусловливает индукцию в каждом из этих случаев? В каком случае индукционный ток при прочих равных условиях будет наибольшим? Если наклонение в данном месте Земли равно 70°, то в каком из случаев – а) или б) – индукционный ток будет больше?

Рис. 267. К упражнению 141.1

141.2. Катушка земного индуктора содержит 500 витков, площадь каждого витка равна 1200 . Индуктор вращается с частотой 20 об/с. Зная, что горизонтальная составляющая индукции земного поля в данном месте равна Тл и что наклонение равно 60°, вычислите для каждого из случаев, разобранных в предыдущей задаче, среднее значение э. д. с. индукции и максимальное значение потока магнитной индукции через один виток катушки.

141.3. В катушке без железного сердечника, имеющей длину 25 см и диаметр 10 см и содержащей 1000 витков, ток равномерно увеличивается на 1 А за 1 с. На эту катушку надета другая катушка, содержащая 100 витков. Какая э. д. с. будет индуцироваться в ней?

141.4. Катушка, состоящая из 100 витков проволоки с радиусом витка 1 см, помещена между полюсами электромагнита. Концы ее присоединены к измерительному прибору, который показал, что при вынимании катушки из поля или выключении электромагнита в катушке протекает индуцированный заряд 6,28 мкКл. Сопротивление катушки равно 50 Ом, сопротивление гальванометра равно 1550 Ом. Вычислите магнитную индукцию в междуполюсном пространстве электромагнита.

141.5. Катушка, имеющая сопротивление 1000 Ом и состоящая из 100 витков с площадью 5 , была внесена в однородное поле между полюсного пространства электромагнита так, что линии магнитного поля оказались перпендикулярными к плоскости витков катушки. При этом в ней индуцировался заряд 2 мкКл. Вычислите магнитную индукцию в междуполюсном пространстве магнита.

141.6. Какой заряд будет индуцирован в катушке предыдущей задачи, если мы повернем ее в междуполюсном пространстве электромагнита так, чтобы плоскость ее витков составила угол 30° с линиями поля?

Причиной электродвижущей силы может стать изменение магнитного поля в окружающем пространстве. Это явление называетсяэлектромагнитной индукцией. Величина ЭДС индукции в контуре определяется выражением

где - поток магнитного поля через замкнутую поверхность , ограниченную контуром. Знак «−» перед выражением показывает, что индукционный ток, созданный ЭДС индукции, препятствует изменению магнитного потока в контуре (см. правило Ленца).

41. Индуктивность, ее единица СИ. Индуктивность длинного соленоида.

Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции ) - коэффициент пропорциональности между электрическим током , текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком , создаваемым этим током через поверхность , краем которой является этот контур. .

В формуле

Магнитный поток, - ток в контуре, - индуктивность.

Нередко говорят об индуктивности прямого длинного провода(см. ). В этом случае и других (особенно - в не отвечающих квазистационарному приближению) случаях, когда замкнутый контур непросто адекватно и однозначно указать, приведенное выше определение требует особых уточнений; отчасти полезным для этого оказывается подход (упоминаемый ниже), связывающий индуктивность с энергией магнитного поля.

Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока :

.

Из этой формулы следует, что индуктивность численно равна ЭДС самоиндукции , возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с.

При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемого этим током :

Обозначение и единицы измерения

В системе единиц СИ индуктивность измеряется в генри , сокращенно Гн, в системе СГС - в сантиметрах (1 Гн = 10 9 см) . Контур обладает индуктивностью в один генри, если при изменении тока на один ампер в секунду на выводах контура будет возникать напряжение в один вольт. Реальный, не сверхпроводящий, контур обладает омическим сопротивлением R, поэтому на нём будет дополнительно возникать напряжение U=I*R, где I - сила тока, протекающего по контуру в данное мгновение времени.

Символ , используемый для обозначения индуктивности, был взят в честь Ленца Эмилия Христиановича (Heinrich Friedrich Emil Lenz) [ источник не указан 1017 дней ] . Единица измерения индуктивности названа в честь Джозефа Генри (Joseph Henry) . Сам термин индуктивность был предложен Оливером Хевисайдом (Oliver Heaviside) в феврале 1886 года [ источник не указан 1017 дней ] .

Электрический ток, который течет в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому прямо пропорционален току I в контуре: (1) где коэффициент пропорциональности L называетсяиндуктивностью контура . При изменении в контуре силы тока будет также изменяться и сцепленный с ним магнитный поток; значит, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называетсясамоиндукцией . Из выражения (1) задается единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн - индуктивность контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/с = 1 В

Вычислим индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен μ 0 μ(N 2 I/l )S . Подставив в (1), найдем (2) т. е. индуктивность соленоида зависит от длиныl солениода, числа его витков N, его, площади S и магнитной проницаемости μ вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Доказано, что индуктивность контура зависит в общем случае только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости среды, в которой он расположен, и можно провести аналог индуктивности контура с электрической емкостью уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды. Найдем, применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, что э.д.с. самоиндукции равна Если контур не претерпевает деформаций и магнитная проницаемость среды остается неизменной (в дальнейшем будет показано, что последнее условие выполняется не всегда), то L = const и(3) где знак минус, определяемый правилом Ленца, говорит о том, чтоналичие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем . Если ток со временем увеличивается, то (dI/dt<0) и ξ s >0 т. е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его увеличение. Если ток со временем уменьшается, то (dI/dt>0) и ξ s <0 т. е. индукционный ток имеет такое же направление, как и уменьшающийся ток в контуре, и замедляет его уменьшение. Значит, контур, обладая определенной индуктивностью, имеет электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока уменьшается тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

42. Ток при размыкании и замыкании цепи.

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции . Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t =0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент време­ни ток в цепи определяется закономОмаI = s / R , или

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I ) и t (от 0 до t ), находим ln (I /I 0) = – Rt / L , или

где =L / R - постоянная, называемаявременем релаксации. Из (127.2) следует, что  есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше  и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, или

Введя новую переменную преобразуем это уравнение к виду

где  - время релаксации.

В момент замыкания (t =0) сила тока I = 0 и u = –. Следовательно, интегрируя по и (от – до IR – ) и t (от 0 до t ), находим ln[(IR – )]/–= - t /  , или

где - установившийся ток (при t ).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации  = L / R , что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индук­тивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R . Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение дляI 0 и  , получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R / R 0 >>1), обладающей боль­шой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникнове­ние значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

43. Явление взаимной индукции. Трансформатор.

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), которые расположены достаточно близко друг от друга (рис. 1). Если в контуре 1 протекает ток I 1 , то магнитный поток, который создавается этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), прямо пропорционален I 1 . Обозначим через Ф 21 часть потока,пронизывающая контур 2. Тогда (1) где L 21 - коэффициент пропорциональности.

Рис.1

Если ток I 1 меняет свое значение, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ξ i2 , которая по закону Фарадея будет равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 21 , который создается током в первом контуре и пронизыващет второй: Аналогичным образом, при протекании в контуре 2 тока I 2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 1 штрихами) пронизывает первый контур. Если Ф 12 - часть этого потока, который пронизывает контур 1, то Если ток I 2 меняет свое значение, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. ξ i1 , которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 12 , который создается током во втором контуре и пронизывает первый: Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией . Коэффициенты пропорциональности L 21 и L 12 называются взаимной индуктивностью контуров . Расчеты, которые подтверждены опытом, показывают, что L 21 и L 12 равны друг другу, т. е. (2) Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 зависят от размеров, геометрической формы, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, окружающей контуры. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, - генри (Гн). Найдем взаимную индуктивность двух катушек, которые намотаны на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 2). Магнитная индукция поля, которое создавается первой катушкой с числом витков N 1 , током I 1 и магнитной проницаемостью μ сердечника, B = μμ 0 (N 1 I 1 /l ) где l - длина сердечника по средней линии. Магнитный поток сквозь один виток второй катушки Ф 2 = BS = μμ 0 (N 1 I 1 /l )S

Значит, полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, которая содержит N 2 витков, Поток Ψ создается током I 1 , поэтому, используя (1), найдем (3) Если рассчитать магнитный поток, который создавается катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L 12 получим выражение в соответствии с формулой (3). Значит, взаимная индуктивность двух катушек, которые намотаны на общий тороидальный сердечник,

Трансформа́тор (от лат. transformo - преобразовывать) - это статическое электромагнитное устройство, имеющее две или более индуктивно связанных обмоток на каком-либо магнитопроводе и предназначенное для преобразования посредствомэлектромагнитной индукции одной или нескольких систем (напряжений) переменного тока в одну или несколько других систем (напряжений) переменного тока без изменения частоты системы (напряжения) переменного тока

Электромагнитная индукция – генерирование электротоков магнитными полями, изменяющимися во времени. Открытие Фарадеем и Генри этого феномена ввело определенную симметрию в мир электромагнетизма. Максвеллу в одной теории удалось собрать знания об электричестве и магнетизме. Его исследования предсказывали существование электромагнитных волн перед экспериментальными наблюдениями. Герц доказал их существование и открыл человечеству эпоху телекоммуникаций.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/1-14-210x140..jpg 614w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Эксперименты Фарадея

Законы Фарадея и Ленца

Электрические токи создают магнитные эффекты. А возможно ли, чтобы магнитное поле порождало электрическое? Фарадей обнаружил, что искомые эффекты возникают вследствие изменения МП во времени.

Когда проводник пересекается переменным магнитным потоком, в нем индуцируется электродвижущая сила, вызывающая электроток. Системой, которая генерирует ток, может быть постоянный магнит или электромагнит.

Явление электромагнитной индукции регулируется двумя законами: Фарадея и Ленца.

Закон Ленца позволяет охарактеризовать электродвижущую силу относительно ее направленности.

Важно! Направление индуцированной ЭДС такое, что вызванный ею ток стремится противостоять создающей его причине.

Фарадей заметил, что интенсивность индуцированного тока растет, когда быстрее изменяется число силовых линий, пересекающих контур. Другими словами, ЭДС электромагнитной индукции находится в прямой зависимости от скорости движущегося магнитного потока.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/2-10-768x454..jpg 960w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

ЭДС индукции

Формула ЭДС индукции определена как:

Е = — dФ/dt.

Знак «-» показывает, как полярность индуцированной ЭДС связана со знаком потока и меняющейся скоростью.

Получена общая формулировка закона электромагнитной индукции, из которой можно вывести выражения для частных случаев.

Движение провода в магнитном поле

Когда провод длиной l движется в МП, имеющем индукцию В, внутри него будет наводиться ЭДС, пропорциональная его линейной скорости v. Для расчета ЭДС применяется формула:

• в случае движения проводника перпендикулярно направлению магнитного поля:

Е = — В x l x v;

• в случае движения под другим углом α:

Е = — В x l x v х sin α.

Индуцированная ЭДС и ток будут направлены в сторону, которую находим, пользуясь правилом правой руки: расположив руку перпендикулярно силовым линиям магнитного поля и указывая большим пальцем в сторону перемещения проводника, можно узнать направление ЭДС по оставшимся четырем распрямленным пальцам.

Jpg?x15027" alt="Перемещение провода в МП" width="600" height="429">

Перемещение провода в МП

Вращающаяся катушка

Работа генератора электроэнергии основана на вращении контура в МП, имеющего N витков.

ЭДС индуцируется в электроцепи всегда, когда магнитный поток ее пересекает, в соответствии с определением магнитного потока Ф = B x S х cos α (магнитная индукция, умноженная на поверхностную площадь, через которую проходит МП, и косинус угла, образованного вектором В и перпендикулярной линией к плоскости S).

Из формулы следует, что Ф подвержен изменениям в следующих случаях:

• меняется интенсивность МП – вектор В;
• варьируется площадь, ограниченная контуром;
• изменяется ориентация между ними, заданная углом.

В первых опытах Фарадея индуцированные токи были получены путем изменения магнитного поля В. Однако можно индуцировать ЭДС, не двигая магнит или не меняя ток, а просто вращая катушку вокруг своей оси в МП. В данном случае магнитный поток меняется из-за изменения угла α. Катушка при вращении пересекает линии МП, возникает ЭДС.

Если катушка вращается равномерно, это периодическое изменение приводит к периодическому изменению магнитного потока. Или количество силовых линий МП, пересекаемых каждую секунду, принимает равные значения с равными интервалами времени.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/4-10-768x536..jpg 900w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Вращение контура в МП

Важно! Наведенная ЭДС меняется вместе с ориентацией с течением времени от положительной до отрицательной и наоборот. Графическое представление ЭДС представляет собой синусоидальную линию.

Для формулы ЭДС электромагнитной индукции применяется выражение:

Е = В х ω х S x N x sin ωt, где:

• S – площадь, ограниченная одним витком или рамкой;
• N – количество витков;
• ω – угловая скорость, с которой вращается катушка;
• В – индукция МП;
• угол α = ωt.

На практике в генераторах переменного тока часто катушка остается неподвижной (статор), а электромагнит вращается вокруг нее (ротор).

ЭДС самоиндукции

Когда через катушку проходит переменный ток, он генерирует переменное МП, обладающее изменяющимся магнитным потоком, индуцирующим ЭДС. Этот эффект называется самоиндукцией.

Поскольку МП пропорционально интенсивности тока, то:

где L – индуктивность (Гн), определяемая геометрическими величинами: количеством витков на единицу длины и размерами их поперечного сечения.

Для ЭДС индукции формула принимает вид:

Е = — L x dI/dt.

Взаимоиндукция

Если две катушки расположены рядом, то в них наводится ЭДС взаимоиндукции, зависящая от геометрии обеих схем и их ориентации относительно друг друга. Когда разделение цепей возрастает, взаимоиндуктивность снижается, так как уменьшается соединяющий их магнитный поток.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/5-5.jpg 680w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Взаимоиндукция

Пусть имеется две катушки. По проводу одной катушки, обладающей N1 витками, протекает ток I1, создающий МП, проходящее через катушку с N2 витками. Тогда:

1. Взаимоиндуктивность второй катушки относительно первой:

М21 = (N2 x F21)/I1;

1. Магнитный поток:

Ф21 = (М21/N2) x I1;

1. Найдем индуцированную ЭДС:

Е2 = — N2 x dФ21/dt = — M21x dI1/dt;

1. Идентично в первой катушке индуцируется ЭДС:

Е1 = — M12 x dI2/dt;

Важно! Электродвижущая сила, вызванная взаимоиндукцией в одной катушке, всегда пропорциональна изменению электротока в другой.

Взаимную индуктивность можно признать равной:

М12 = М21 = М.

Соответственно, E1 = — M x dI2/dt и E2 = M x dI1/dt.

М = К √ (L1 x L2),

где К – коэффициент связи между двумя индуктивностями.

Явление взаимоиндукции используется в трансформаторах – электроаппаратах, позволяющих изменить значение напряжения переменного электротока. Аппарат представляет собой две катушки, намотанные вокруг одного сердечника. Ток, присутствующий в первой, создает меняющееся МП в магнитопроводе и электроток в другой катушке. Если количество витковых оборотов первой обмотки меньше, чем другой, напряжение увеличивается, и наоборот.

Рассмотрим, также как и при выводе выражения для работы перемещения контура, плоский контур, содержащий источник ЭДС, одна сторона у которого подвижна (см. рис. 2).

Источник с ЭДС равной создает в контуре ток , развивая при этом мощность, равную . Эта мощность переходит в тепло, согласно закону Джоуля-Ленца ‑ . На основании закона сохранения энергии запишем:

Возбудим теперь однородное магнитное поле, направленное от нас за чертеж. Вектор совпадает с положительной нормалью к контуру , поэтому магнитный поток положителен. Согласно закону Ампера, каждый элемент контура будет испытывать силу со стороны магнитного поля. Подвижная сторона контура будет испытывать результирующую силу . Позволим теперь подвижной стороне перемещаться под действием этой силы вправо с постоянной скоростью .

При этом, поскольку существует явление электромагнитной индукции (ведь у нас меняется магнитный поток через замкнутый контур), ток в контуре изменится, и станет . Соответственно изменится и результирующая сила, действующая на подвижную сторону. Она станет .

Эта сила за время совершит работу , равную:

Но согласно закону Ампера, эта сила равна:

Следовательно, выражение для работы примет вид:

т.е. ранее полученный результат.

Как и в случае неподвижных элементов контура, источником работы является источник тока, источник ЭДС.

В случае неподвижных элементов контура, вся работа, совершаемая источником ЭДС, превращается в тепло.

В случае движущейся стороны, ленц-джоулево тепло будет также выделяться, но другое, поскольку . И, кроме того, будет совершена еще и механическая работа , выражение для которой мы определили выше.

Согласно закону сохранения энергии, теперь мы должны записать:

Отсюда получим:

Сравнивая получившееся выражение с законом Ома для полной цепи ‑ , приходим к выводу, что результирующая ЭДС, действующая в контуре, равна:

Таким образом, мы получаем, что ЭДС индукции равна:

где знак «‑» отражает правило Ленца.

Электронный механизм возникновения ЭДС индукции

Опять рассмотрим вышеприведенный контур, изображенный на рис. 3. Но теперь будем полагать, что источника нет. Т.е. существует контур с подвижной стороной в магнитном поле (см. рис. 3).

В отличие от предыдущего случая, будем перемещать подвижную сторону с некоторой скоростью . При этом на заряды внутри подвижной стороны (ведь это проводник и в нем существуют подвижные заряды), будет действовать сила Лоренца, направленная вдоль проводника:

Сравнивая это выражение с выражением для силы, действующей на заряд, помещенный в электрическое поле напряженностью ‑ , приходим к выводу, что действие этой силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля с напряженностью

Это поле не электростатического происхождения, поэтому его циркуляция по замкнутому контуру отлична от нуля и даст величину ЭДС индукции:

Т.е., с точностью до знака получили тот же самый результат.

Остановимся на некоторых моментах.

1. Выше мы говорили, что действие силы Лоренца эквивалентно действию электрического поля.

Это не просто поверхностная аналогия. Это заключение имеет глубокий физический смысл.

В самом деле, перейдем в систему отсчета, связанную с движущимся проводником. Тогда мы скажем, что силы Лоренца нет, поскольку заряды в этой системе отсчета покоятся. Но в то же время существует электрическое поле, под действием которого заряды движутся.

При этом мы должны будем признать, что это электрическое поле обусловлено движущимся магнитным полем (ведь в этой системе отсчета магнитное поле движется).

Таким образом, уже сейчас мы приходим к выводу, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Т.е приходим к представлению о взаимосвязи полей и и о их неразрывном единстве.

2. Ранее мы подчеркивали и говорили о том, что сила Лоренца работы не производит.

В то же время здесь мы считаем ЭДС индукции, которая является мерой работы, исходя из выражения для силы Лоренца. В чем же дело?

Дело в том, что в расчетах мы брали не всю силу Лоренца, а только продольную (вдоль движущейся стороны) составляющую силы: . В действительности, поскольку заряды движутся вдоль проводника со скоростью упорядоченного движения (электрический ток), существует еще поперечная составляющая силы Лоренца (которая не сказывается на ЭДС, см. рис. 4). Следовательно, полная сила Лоренца будет равна:

Выражение для работы этой силы можно представить как:

Второе слагаемое взято со знаком минус, поскольку сила направлена против скорости, против перемещения. Подставив выражения для сил и в выражение для работы , получим.

Появление электродвижущей силы (ЭДС) в телах, перемещающихся в магнитном поле легко объяснить, если вспомнить о существовании силы Лоренца. Пусть стержень движется в однородном магнитном поле с индукцией рис.1. Пусть направление скорости движения стержня () и перпендикулярны друг другу.

Между точками 1 и 2 стержня индуцируется ЭДС, которая направлена от точки 1 к точке 2. Движение стержня - это перемещение положительных и отрицательных зарядов, которые входят в состав молекул этого тела. Заряды вместе с телом перемещаются в сторону движения стержня. Магнитное поле оказывает воздействие на заряды при помощи силы Лоренца, пытаясь переместить положительные заряды в сторону точки 2, а отрицательные заряды к противоположному концу стержня. Так, действие силы Лоренца порождает ЭДС индукции.

Если в магнитном поле движется металлический стержень, то положительные ионы, находясь в узлах кристаллической решетки, не могут двигаться вдоль стержня. При этом подвижные электроны скапливаются в избытке на конце стержня около точки 1. Противоположный конец стержня будет испытывать недостаток электронов. Появившееся напряжение определяет собой ЭДС индукции.

В том случае, если движущийся стержень сделан из диэлектрика, разделение зарядов при воздействии силы Лоренца, приводит к его поляризации.

ЭДС индукции будет равна нулю, если проводник перемещается параллельно направлению вектора (то есть угол между и равен нулю).

ЭДС индукции в прямом проводнике, движущемся в магнитном поле

Получим формулу для вычисления ЭДС индукции, которая возникает в прямолинейном проводнике, имеющем длину l, движущемся параллельно самому себе в магнитном поле (рис.2). Пусть v - мгновенная скорость проводника, тогда за время он опишет площадь равную:

При этом проводник пересечет все линии магнитной индукции, которые проходят через площадку . Получим, что изменение магнитного потока () сквозь контур в который входит перемещающийся проводник:

где - составляющая магнитной индукции, перпендикулярная к площадке . Подставим выражение для (2) в основной закон электромагнитной индукции:

При этом направление тока индукции определено законом Ленца. То есть индукционный ток имеет такое направление, что механическая сила, которая действует на проводник, замедляет перемещение проводника.

ЭДС индукции в плоском витке, вращающемся в магнитном поле

Если плоский виток вращается в однородном магнитном поле, угловая скорость его вращения равна , ось вращения находится в плоскости витка и , тогда ЭДС индукции можно найти как:

где S - площадь, которую ограничивает виток; - поток самоиндукции витка; - угловая скорость; () - угол поворота контура. Необходимо заметить, что выражение (5) справедливо, тогда, когда ось вращения составляет прямой угол с направлением вектора внешнего поля .

Если вращающаяся рамка имеет N витков и ее самоиндукцией можно пренебречь, то:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1