Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a - большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.
Доказательство первого закона Кеплера
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму
В координатной форме запишем
Подставляя и во второе уравнение, получим
которое упрощается
После интегрирования запишем выражение
для некоторой константы , которая является удельным угловым моментом ().Пусть
Уравнение движения в направлении становится равным
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
где G - универсальная гравитационная константа и M - масса звезды.
В результате
Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:
для произвольных констант интегрирования e и θ 0 .
Заменяя u на 1/r и полагая θ 0 = 0, получим:
Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Второй закон Кеплера (Закон площадей)
Второй закон Кеплера.
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кепплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Доказательство второго закона Кеплера
По определению угловой момент точечной частицы с массой m и скоростью записывается в виде:
.где - радиус-вектор частицы а - импульс частицы.
По определению
.В результате мы имеем
.Продифференцируем обе части уравнения по времени
поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r , поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что - константа.
Третий закон Кеплера (Гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.
Где T 1 и T 2 - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a 1 и a 2 - длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен - в действительности в него входит и масса планеты: , где M – масса Солнца, а m 1 и m 2 – массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Доказательство третьего закона Кеплера
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B , запишем
Теперь, когда мы нашли V B , мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
Однако полная площадь эллипса равна (что равно πa b , поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно
Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M , то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см.
ОТКРЫТИЕ И. КЕПЛЕРОМ
ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ
ПЛАНЕТ. ОТКРЫТИЕ ЗАКОНА
ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ И
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.
ОБОБЩЁННЫЕ ЗАКОНЫ
КЕПЛЕРА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МАСС НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
10 класс Коваленко И.В.
ИОГАНН КЕПЛЕР ПЕРВЫМ ОТКРЫЛ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ. НО СДЕЛАЛ ЭТО ОН НА ОСНОВЕ
АНАЛИЗА АСТРОНОМИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ ТИХО БРАГЕ.
- датский астроном, астролог и алхимик эпохи
Тихо Браге
Возрождения.
вел
Астрономией
самостоятельные наблюдения, создал некоторые астрономические
инструменты.
детстве,
увлекся
еще
в
Однажды (11 ноября 1572 года), возвращаясь домой из химической
лаборатории, он заметил в созвездии Кассиопеи необычайно яркую
звезду, которой раньше не было. Он сразу понял, что это не планета, и
бросился измерять её координаты. Звезда сияла на небе ещё 17
месяцев; вначале она была видна даже днём, но постепенно её блеск
тускнел. Это была первая за 500 лет вспышка сверхновой в нашей
Галактике. Событие это взбудоражило всю Европу, было множество
истолкований
предсказывали
катастрофы, войны, эпидемии и даже конец света. Появились и учёные
трактаты, содержащие ошибочные утверждения о том, что это комета
или атмосферное явление.
знамения» -
«небесного
этого
Тихо Браге (1546-1601)
В 1573 г. вышла первая его книга «О новой звезде». В ней Браге
сообщал, что никакого параллакса (изменения видимого положения
объекта относительно удалённого фона в зависимости от положения
наблюдателя) у этого объекта не обнаружено, и это убедительно
доказывает, что новое светило - звезда, и находится она не вблизи
В 1576 г. указом датсконорвежского короля Фредерика II Тихо Браге был пожалован в пожизненное пользование
остров Вен (Hven), расположенный в 20 км от Копенгагена, а также выделены значительные суммы на постройку
обсерватории и её содержание. Это было первое в Европе здание, специально построенное для
астрономических наблюдений.
Тихо Браге назвал свою обсерваторию «Ураниборг» в честь музы астрономии Урании (это название иногда
переводят как «Небесный замок»). Проект здания составил сам Тихо Браге. В 1584 г. рядом с Ураниборгом был
построен ещё один замокобсерватория: Стьернеборг (в переводе с датского «Звёздный замок»). В скором времени
Ураниборг стал лучшим в мире астрономическим центром, сочетавшим наблюдения, обучение студентов и издание
научных трудов. Но в дальнейшем, в связи со сменой короля. Тихо Браге лишился финансовой поддержки, а затем
последовало запрещение заниматься на острове астрономией и алхимией. Астроном покинул Данию и остановился
в Праге.
Вскоре Ураниборг и все связанные с ним постройки были полностью разрушены (в наше время они частично
восстановлены).
В это напряжённое время Браге пришёл к выводу, что ему нужен молодой талантливый помощникматематик для
обработки накопленных за 20 лет данных. Узнав о гонениях на Иоганна Кеплера, незаурядные математические
способности которого он уже успел оценить из их переписки, Тихо пригласил его к себе. Перед учеными стояла
задача: вывести из наблюдений новую систему мира, которая должна прийти на смену как птолемеевской, так и
коперниковой. Он поручил Кеплеру ключевую планету: Марс, движение которого решительно не укладывалось не
только в схему Птолемея, но и в собственные модели Браге (по его расчётам, орбиты Марса и Солнца
пересекались).
В 1601 г. Тихо Браге и Кеплер начали работу над новыми, уточнёнными астрономическими таблицами, которые в
честь императора получили название «Рудольфовых»; они были закончены в 1627 г. и служили астрономам и
морякам вплоть до начала XIX века. Но Тихо Браге успел только дать таблицам название. В октябре он
неожиданно заболел и умер от неизвестной болезни.
Тщательно изучив данные Тихо Браге, Кеплер открыл законы движения планет.
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое
свойство, что сумма расстояний каждой её точки от двух точек,
называемых фокусами, остаётся постоянной. Эта сумма расстояний
равна длине большой оси эллипса. Точка О – центр эллипса, F1 и F2 –
фокусы. Солнце находится в данном случае в фокусе F1.
Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая
далёкая – афелием. Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса
с фокусом, называется радиус-вектором.
Отношение расстояния между фокусами к большой оси
наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е.
Эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет.
Большая полуось эллипса а – среднее расстояние планеты до
Солнца.
По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды.
У окружности е = 0, у эллипса 0 < е < 1, у параболы е = 1, у
гиперболы е > 1. Орбиты планет – эллипсы, мало отличаются от
окружностей; их эксцентриситеты малы.
(к
О
О
Перигелийное расстояние ПС=q;
Афелийное расстояние СА=Q.
АП=2a; ПО=ОА=a.
Тогда: q=ОП−СО;
e=СО/ОП; СО= e· a;
Q=ОА+СО;
q=a−e· a=a(1−e);
Q=a+e· a=a(1+e).
Кеплер Иоганн (1571–
1630)Немецкий астроном, открывший законы движения
планет.
Вся жизнь Кеплера была посвящена обоснованию и
развитию гелиоцентрического учения Коперника.
Важнейшим аргументом являются
закона
Кеплера,
прежнему
конец
представлению о равномерных круговых движениях
небесных тел. Солнце, занимая один из фокусов
эллиптической орбиты планеты,
является, по
Кеплеру, источником силы, движущей планеты.
положившие
три
Законы Кеплера, навсегда вошедшие в основу теоретической астрономии,
получили объяснение в механике И. Ньютона, в частности в законе
всемирного тяготения.
Он объяснил приливы и отливы земных океанов под воздействием Луны.
Мировоззрение Кеплера не было чуждо мистики. Он считался одним из
крупнейших астрологов своего времени, хотя занимался астрологией в
основном для заработка.
Первоначально Кеплер планировал стать протестантским священником, но благодаря
незаурядным математическим способностям был приглашён в 1594 г. читать лекции по
математике в университете города Граца (сейчас это Австрия). В Граце Кеплер провёл 6 лет.
Здесь в 1596 г. вышла в свет его первая книга «Тайна мира». В ней Кеплер попытался найти
тайную гармонию Вселенной, для чего сопоставил орбитам пяти известных тогда планет
(сферу Земли он выделял особо) различные «платоновы тела» (правильные многогранники).
Орбиту Сатурна он представил как круг (ещё не эллипс) на поверхности шара, описанного
вокруг куба. В куб в свою очередь был вписан шар, который должен был представлять орбиту
Юпитера. В этот шар был вписан тетраэдр, описанный вокруг шара, представлявшего орбиту
Марса и т. д. Эта работа после дальнейших открытий Кеплера утратила своё первоначальное
значение (хотя бы потому, что орбиты планет оказались не круговыми); тем не менее, в
наличие скрытой математической гармонии Вселенной Кеплер верил до конца жизни, и в 1621
г. переиздал «Тайну мира», внеся в нее многочисленные изменения и дополнения.
Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по
наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше,
чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические
усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения.
Особо ценной была систематичность измерений.
На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате
тщательного анализа приходит к выводу, что траектория движения Марса представляет
собой не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце -
положение, известное сегодня как первый закон Кеплера.
Первый
закон
Кеплера
Второй
закон
Кеплера
Третий
закон
Кеплера
Первый закон Кеплера
Планеты обращаются по
эллипсам, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
Первый закон Кеплера
Первый закон Кеплера показывает, что все планеты движутся по траекториям в
виде эллипса. Вытянутость эллипса зависит от:
1. Скорости движения планеты;
2. От расстояния, на котором находится планета от центра эллипса.
Изменение скорости небесного тела приводит к превращению эллиптической
орбиты в гиперболическую, двигаясь по которой можно покинуть пределы
Солнечной системы.
= υ υ1 – круговая траектория;
< υ υ2 – эллиптическая траектория;
Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности
Земли.
1:
2: υ1 <
3:
4:
\5:
6: траектория Луны
υ
= 11,1∙10
= υ υ2 – параболическая траектория;
> υ υ2 – гиперболическая траектория;
3 м/с – сильно вытянутый эллипс;
Второй закон Кеплера
Каждая планета движется в плоскости, проходящей
через центр Солнца, причём за равные промежутки
времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и
планету, описывает равные площади.
Второй закон Кеплера
Второй закон Кеплера показывает равенство площадей, описываемых
радиус–вектором небесного тела за равные промежутки времени.
При этом скорость тела меняется в зависимости от расстояния до
Земли (особенно хорошо это заметно, если тело движется по сильно
вытянутой эллиптической орбите). Чем ближе тела к планете, тем
скорость тела больше.
Для эллиптической орбиты планеты характерны относительно Солнца
точки:
Перигелий (греч. пери – возле, около) ближайшая к Солнцу точка орбиты
планеты (для Земли 1-5 января). В перигелии южное полушарие Земли
получает солнечной энергии на 6% больше, чем северное полушарие.
Афелий (греч. апо – вдали) наиболее удаленная от Солнца точка орбиты
планеты (для Земли 1-6 июля).
Учитывая греческие названия планет, характерные точки эллиптической
орбиты ее спутников будут иметь собственные названия.
Большинство из известных орбит искусственных спутников и небесных тел
эллиптические. А для любой эллиптической орбиты всегда можно указать
точку, ближайшую к центральному телу и наиболее удаленную от него.
Ближайшая точка называется перицентром, а наиболее удаленная –
апоцентром.
Но, как правило, вместо слова «центр», после «пери-» или «апо-»,
подставляют название тела, вокруг которого происходит движение. Так, для
орбит искусственных спутников Земли (Гея – на древнегреческом языке) и
орбиты Луны применяют термины апогей и перигей.
Для окололунной (Луна – Селена) орбиты иногда применяются апоселений и
периселений.
Ближайшая к Солнцу (Гелиос) точка орбиты нашей планеты или другого
небесного тела Солнечной системы – перигелий, дальняя – афелий или
апогелий.
Для орбит вокруг других звезд (астрон – звезда) – периастр и апоастр.
АСТРОНОМИЧЕСКАЯ
ЕДИНИЦА
Перигелий орбиты нашей планеты (ближайшая точка орбиты к Солнцу)
составляет 147 098 290 км (0,983 астрономических единиц), афелий – 152 098
232 км (1,017 астрономических единиц).
А вот если взять среднее расстояние от Земли до Солнца, то получается
удобная единица измерения в космосе. Для тех расстояний, где в километрах
мерить уже неудобно, а в световых годах и парсеках еще неудобно.
Такая единица измерения называется «астрономической единицей»
(обозначается «а. е.») и применяется для определения расстояний между
объектами Солнечной системы, внесолнечных систем, а также между
компонентами двойных звезд.
После нескольких уточнений астрономическая единица признана равной
149597870,7 километрам.
Тем самым Земля удалена от Солнца на расстояние 1 а. е., Нептун, самая
далекая от Солнца планета, – на расстояние около 30 а. е. Расстояние от
Солнца до самой близкой к нему планеты – Меркурия – всего 0,39 а. е. А в
момент следующего великого противостояния Марса и Земли, 27 июля 2018
года, расстояние между планетами сократится до 0,386 а. е.
Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени
описывает равные площади (определяет скорость движения планеты
по орбите).
Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу.
Планета проходит путь от точки А до А1 и от В до В1 за одно и то же
время. Другими словами, планета движется быстрее всего в
перигелии, а медленнее всего – когда находится на наибольшем
удалении (в афелии). Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна
55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.
Самый близкий к Солнцу Меркурий обегает вокруг светила за 88 дней.
За ним движется Венера, и год на ней длится 225 земных суток.
Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток, то есть ровно за один
год.
Марсианский год почти в два раза продолжительнее земного.
Юпитерский год равен почти 12 земным годам, а далёкий Сатурн
обходит свою орбиту за 29,5 лет!
Словом, чем дальше планета от Солнца, тем продолжительнее
Третий закон Кеплера
Квадраты периодов обращения планет вокруг
Солнца относятся между собой как кубы больших
полуосей их орбит.
ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНОВ
КЕПЛЕРА
Сформулировав задачу двух тел (m1, m2 со скоростями v1, v2) и решая ее с помощью
высшей математики (находя коэффициенты тел под действием силы взаимного
притяжения) И. Ньютон вывел все законы Кеплера из Закона Всемирного тяготения
Законы Кеплера объясняют как движутся тела, а Закон Всемирного тяготения -
почему так они движутся.
4 закона (3 закона Кеплера и 3Вт) основные законы Небесной механики – раздела
астрономии, исследующего движение небесных тел под действием взаимного
притяжения
Iй закон Кеплера Допуская неподвижность одного тела, Ньютон доказывает: Под действием
силы тяготения одно небесное тело по отношению к другому может двигаться по окружности,
эллипсу, параболе и гиперболе (виды конического сечения).
2-й закон Кеплера - Закон не
потребовал уточнения
3-й закон Кеплера
-
Законы Кеплера и закон всемирного тяготения – основные законы небесной
механики.
Если законы Кеплера отвечают на вопрос, по каким траекториям движутся небесные
тела,
то закон всемирного тяготения отвечает на вопрос,
какая сила удерживает планеты около Солнца и спутники около планет.
Если m1 и m2
– массы двух точечных тел,
а r – расстояние между ними,
то закон всемирного тяготения
записывается в виде:
где G – гравитационная постоянная
Закон всемирного тяготен
ия
ИОГАНН КЕПЛЕР ОТКРЫЛ СВОИ ЗАКОНЫ ЭМПИРИЧЕСКИМ ПУТЕМ.
ИСААК НЬЮТОН ВЫВЕЛ ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА ИЗ ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИ
Я. В 1679 ГОДУ ИСААК НЬЮТОН ПОКАЗАЛ,
ЧТО ЛЮБОЕ ТЕЛО В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ШАРООБРАЗНОГО
ТЕЛА МОГУТ ДВИГАТЬСЯ ПО ОКРУЖНОСТИ, ЭЛЛИПСУ, ПАРАБОЛЕ И
ГИПЕРБОЛЕ.
В ЭТОМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ПЕРВЫЙ ОБОБЩЕННЫЙ НЬЮТОНОМ ЗАКОН КЕПЛЕРА.
Конические сечения
и космические орби
ты
Орбита движения искусственных спутников зависит от начальной скорости.
Критическая скорость, при которой происходит движение по параболе,
называют параболической скоростью.
Движение тел в гравитационном
поле
тело у поверхности Земли должно иметь скорость не меньше
Чтобы навсегда покинуть Землю,
11,2 км/с.
Тело, стремящееся навсегда покинуть Солнечную систему и находящееся на орбите
Земли, должно иметь скорость не меньше 42,1 км/с.
Формулировка второго закона Кеплера не потребовала
Для определения масс небесных тел важное значение имеет обо
Ньютоном третьего закона Кеплера
на любые системы обращающихся тел.
В обобщенном виде третий закон Кеплера обычно формулируетс
обобщения.
бщение
я так:
и T2
2),
и M2+ М),
квадраты периодов обращения двух тел вокруг Солнца (T1
2
помноженные на сумму масс каждого тела и Солнца (M1+ М
относятся как кубы больших полуосей их орбит (a1
3 и a2
3).
Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для
любых двух независимых систем, каждая из которых
состоит из центрального тела и спутников,
взаимодействующих по закону всемирного тяготения.
Масса планеты обычно велика по сравнению с массой
спутника, поэтому с достаточной степенью точности можно
вычислить отношения масс двух планет по формуле:
Задача. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио)
совершает
оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от
Юпитера.
Решение:
Дано:
М2=1
Т2=27,32д
а2=3,84*105 км
Т1=1,77д
а1=4,22*105 км
Найти: М1
М1= (Т2/Т1)2 (а1/а2)3 М2
М1= (27,32/1,77)2 * (422000/384000)3 * М2
М1≈ 316 М2
Английский
математик Джон Адамс и французский астроном Урбен Леверье
в 1845 году независимо друг от друга сделали расчет
примерного места расположения планеты, возмущающей движение Урана.
Сделав расчет Леверье, убедил астронома Берлинской обсерватории
Иоганна Галле начать поиск новой планеты.
Расчеты были настолько точны, что неизвестная планета, названная
Нептуном, была обнаружена в первую же ночь наблюдений 23 сентября
История открытия Нептуна полностью подтвердила
закон всемирного тяготения Ньютона.
Это был триумф небесной механики, торжество гелиоцентрической
1846 года.
системы.
Урбен Леверье
Поиски девятой планеты Солнечной системы в 1915 году
организовал американский астроном Персиваль Ловелл, но только в 1930
году Плутон открыл сотрудник обсерватории Ловелла Клайд Томбо.
В августе 2006 года на ассамблее Международного
астрономического союза решено лишить Плутон статуса
планеты Солнечной системы. Теперь он имеет право
называться лишь "карликовой планетой".
Около 2,5 тыс. астрономов, собравшихся на ассамблею,
определили такие критерии планеты:
объект должен находиться на орбите вокруг звезды,
но сам не должен быть звездой;
он должен обладать достаточной массой для того,
чтобы его собственная гравитация позволяла ему
сохранять более или менее сферическую форму;
на его орбите не должно быть других небесных тел.
Открытый в 1930 году Плутон лишен планетного статуса,
поскольку не соответствует третьему из этих параметров
- его орбита пересекается с планетой Нептуна.
ДРУГИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
КЕПЛЕРА
В математике он нашёл способ определения объёмов разнообразных тел
вращения, предложил первые элементы интегрального исчисления, подробно
проанализировал симметрию снежинок, работы Кеплера в области симметрии
нашли позже применение в кристаллографии и теории кодирования. Он
составил одну из первых таблиц логарифмов, впервые ввёл важнейшее
понятие бесконечно удалённой точки, ввёл понятие фокуса конического
сечения и рассмотрел проективные преобразования конических сечений,
в том числе меняющие их тип.
В физике ввёл термин инерция как прирождённое свойство тел
сопротивляться приложенной внешней силе, вплотную подошёл к открытию
закона тяготения, хотя и не пытался выразить его математически, первый,
почти на сто лет раньше Ньютона, выдвинул гипотезу о том, что причиной
приливов является воздействие Луны на верхние слои океанов.
В оптике: с его трудов начинается оптика как наука. Он описывает ОРБИТЫ РАВНА 2,88 А. Е., А ЭКСЦЕНТРИСИТЕТЕ РАВЕН
ЗВЕЗДНЫЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ ЮПИТЕРА ВОКРУГ
СОЛНЦА Т = 12 ЛЕТ. КАКОВО СРЕДНЕЕ РАССТОЯНИЕ
ОТ ЮПИТЕРА ДО СОЛНЦА?
Законы небесные и земные
Удивительно много успел сделать в жизни Иоганн Кеплер , хотя по печальному жребию судьбы он с детства страдал различными болезнями и в том числе множественностью зрения, из-за чего во время наблюдений неба в его глазах возникала, например, не одна Луна, а несколько.
Какой силой духа и воли надо обладать, чтобы при этом продолжать напряженно работать. Огромный вклад внес Кеплер не только в астрономию, но и в оптику. Занимался он самыми разными научными проблемами, даже изучал устройство человеческого глаза…
После смерти Кеплера в 1630 году осталось одно изношенное платье, две рубашки, несколько медных монет и… 57 вычислительных таблиц, 27 напечатанных научных трудов, огромное рукописное наследие, собранное позже в 22 книгах, и три закона движения планет. Три замечательных закона, точное соответствие которых небесной механике подтвердили тщательные и многочисленные измерения, выполненные многими последующими поколениями ученых.
Восхищенный сторонник системы Коперника, Кеплер тем не менее усмотрел в ней серьезный недостаток: обращение планет вокруг Солнца Коперник считал состоящим из нескольких движений по кругу. Внимательно анализируя наблюдения Тихо Браге, Кеплер понял, что в действительности орбиты планет представляют собой эллипсы, а не окружности, причем Солнце обязательно находится в одном из фокусов эллипса. Так формулируется первый закон Кеплера . Просто и убедительно!
Великий труженик науки, разносторонний ученый Иоганн Кеплер.
Если Солнце и одну из планет соединить воображаемой прямой-радиусом, то площади эллипса, отчеркиваемые радиусом за одинаковые промежутки времени, будут равны между собой. Это второй закон Кеплера .
Третий закон может быть выражен следующими словами: время обращения каждой планеты вокруг Солнца, возведенное в квадрат, пропорционально размеру большой полуоси ее эллиптической орбиты, взятой в кубе.
Планеты и Солнце оказались связанными неразрывно. Законы Кеплера позволили точнее предсказывать движение небесных светил, но на вопрос, почему это движение происходит именно так, а не иначе, предстояло ответить Исааку Ньютону…
Кеплер, конечно, неустанно размышлял и над природой сил, объединяющих в единую величественную систему огромные массы вещества, заключенные в планетах и Солнце. Он ввел в физику, и в частности в механику, много определений, которыми мы пользуемся до сих пор. Сопротивление движению тел, находящихся в покое, Кеплер обозначил словом «инерция» , а силу притяжения между массивными телами - термином «гравитация» .
«Гравитацию я определяю как силу,- писал Кеплер,- подобную магнетизму - взаимному притяжению. Сила притяжения тем больше, чем тела ближе одно к другому…»
Еще до открытий Ньютона Кеплер объяснил причины океанских приливов и отливов тем, что «тела Солнца и Луны притягивают воды океана с помощью некоторых сил, подобных магнетизму».
Разнообразны были таланты Кеплера. И проявлялись они часто в областях, далеких от физики и астрономии. В течение шести лет, например, ему приходилось быть… адвокатом собственной матери, которую обвиняли в колдовстве.
От времен созерцательной астрономии остались образные названия созвездий, напоминавших наблюдателям различных животных, изображенных на этой старинной карте XVII века из атласа Яна Гевелия.
В средневековой Европе полыхали костры инквизиции. На родине Кеплера, в маленьком немецком городе Вейле, в котором едва насчитывалось в те времена несколько сот жителей, в период с 1615 по 1629 год было сожжено 38 «колдуний»!
А против матери Кеплера было выставлено множество тяжелых, по тогдашним понятиям, обвинений. Одно из самых страшных ее преступлений - слова, сказанные соседке: «Нет ни рая, ни ада. От человека остается то же, что и от животных».
Но недаром судьи записали в одном из протоколов: «Арестованную, к сожалению, защищает ее сын господин Кеплер, математик». Кеплер сумел добиться оправдания своей несправедливо осужденной, измученной матери.
Ему лишь никогда не удавалось одно из дел, на которое уходило много сил - вовремя и полностью получать денежное содержание, положенное придворному астроному и астрологу. После смерти Кеплера его жене и четырем малолетним детям причиталось почти 13 тысяч гульденов так и не выплаченного жалования…
Коль скоро на сайте завелись "разоблачители", утверждающие, что математика - это ересь, а гравитационного притяжения между планетами вообще не существует, давайте посмотрим, как закон всемирного тяготения позволяет описать явления, установленные эмпирическим путем. Ниже представлено математическое обоснование первого закона Кеплера.
1. Исторический экскурс
Для начала вспомним, как вообще этот закон появился на свет. В 1589 году некто Иоганн Кеплер (1571 - 1630) - выходец из бедной немецкой семьи - заканчивает школу и поступает в Тюбингенский университет. Там он занимается математикой и астрономией. Причем его учитель профессор Местлин, будучи тайным поклонником идей Коперника (гелиоцентрическая система мира), преподает в университете "правильную" теорию - систему мира Птолемея (т.е. геоцентрическую). Что, впрочем, не мешает ему познакомить своего ученика с идеями Коперника, и вскоре тот сам становится убежденным сторонником этой теории.
В 1596 году Кеплер издает свою "Космографическую тайну". Хотя работа представляет сомнительную научную ценность даже по тем временам, тем не менее она не остается незамеченной для датского астронома Тихо Браге, который вел астрономические наблюдения и вычисления уже на протяжении четверти века. Тот замечает самостоятельность мышления молодого ученого и знания им астрономии.
С 1600 года Иоганн работает помощником Браге. После его смерти в 1601 году Кеплер начинает изучать результаты трудов Тихо Браге - данные многолетних астрономических наблюдений. Дело в том, что к концу XVI века прусские таблицы (таблицы движения небесных тел, вычисленные на основе учений Коперника) стали давать существенные расхождения с наблюдаемыми данными: ошибка в положении планет доходила до 4-5 0 .
Для решения проблемы Кеплер был вынужден усложнить теорию Коперника. Он отказывается от идеи о том, что планеты движутся по круговым орбитам, что в конечном итоге позволяет ему решить проблему с расхождением теории с наблюдаемыми данными. Согласно его выводам, планеты движутся по орбитам, имеющим форму эллипса, причем Солнце находится в одном из его фокусов. Так что расстояние между планетой и Солнцем периодически меняется. Этот вывод известен как первый закон Кеплера .
2. Математическое обоснование
Посмотрим теперь, как первый закон Кеплера согласуется с законом всемирного тяготения. Для этого выведем закон движения тела в гравитационном поле, обладающем сферической симметрией. В этом случае выполняется закон сохранения момента импульса тела $\vec{L}=[\vec{r},\vec{p}]$. Это значит, что тело будет двигаться в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{L}$, причем ориентация этой плоскости в пространстве неизменна. В таком случае удобно использовать полярную систему координат $(r, \phi)$ с началом в источнике гравитационного поля (т.е. вектор $\vec{r}$ перпендикулярен вектору $\vec{L}$). Т.е. одно из тел (Солнце) мы помещаем в начало координат, и ниже выведем закон движения второго тела (планеты) в этом случае.
Нормальная и тангенциальная составляющие вектора скорости второго тела в выбранной системе координат выражаются следующими соотношениями (здесь и далее точка означает производную по времени):
$$ V_{r}=\dot{r}; V_{n}=r\dot{\phi} $$
Закон сохранения энергии и момента импульса в этом случае имеют следующий вид:
$$E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{m(r\dot{\phi})^2}{2}-\frac{GMm}{r}=const \hspace{3cm}(2.1)$$ $$L = mr^2\dot{\phi}=const \hspace{3cm}(2.2)$$
Здесь $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса центрального тела, $m$ - масса "спутника", $E$ - полная механическая энергия "спутника", $L$ - величина его момента импульса.
Выражая $\dot{\phi}$ из (2.2) и подставляя его в (2.1), получаем:
$$ E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} \hspace{3cm}(2.3) $$
Перепишем полученное соотношение следующим образом:
$$ dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.4)$$
Из соотношения (2.2) следует:
$$ d\phi=\frac{L}{mr^2}dt $$
Подставляя вместо $dt$ выражение (2.4), получаем:
$$ d\phi=\frac{L}{r^2}\frac{dr}{\sqrt{2m(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.5) $$
Чтобы проинтегрировать полученное выражение, перепишем выражение, стоящее под корнем в скобках, в следующем виде:
$$ E-((\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2 - \frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}) + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =E-(\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L}-\frac{L}{r\sqrt{2mr}})^2 + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2) $$
Введем следующее обозначение:
$$ \frac{GMm^2}{L^2}\equiv\frac{1}{p} $$
Продолжая преобразования, получаем:
$$ \frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2} + \frac{1}{p^2}-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{p^2}(1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3})-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2) $$
Введем обозначение:
$$ 1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3} \equiv e^2 $$
В этом случае преобразуемое выражение принимает следующий вид:
$$ \frac{L^2e^2}{2mp^2}(1-(\frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}))^2) $$
Введем для удобства следующую переменную:
$$ z=\frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}) $$
Теперь уравнение (2.5) принимает вид:
$$ d\phi=\frac{p}{er^2}\frac{dr}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\hspace{3cm}(2.6) $$
Проинтегрируем полученное выражение:
$$ \phi(r)=\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\arcsin{z}-\phi_0 $$
Здесь $\phi_0$ - конатснта интегрирования.
Наконец, получаем закон движения:
$$ r(\phi)=\frac{p}{1-e\sin{(\phi+\phi_0)}} $$
Положив константу интегрирования $\phi_0=\frac{3\pi}{2}$ (данное значение соответствует экстремуму функции $r(\phi)$), окончательно получаем:
| $$r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos{\phi}} \hspace{3cm}(2.7)$$ $$p=\frac{L^2}{GMm^2}$$ $$e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3}}$$ |
Из курса аналитической геометрии известно, что выражение, полученное для функции $r(\phi)$, описывает кривые второго порядка: эллипс, параболу и гиперболу. Параметры $p$ и $e$ называют, соответственно, фокальным параметром и эксцентриситетом кривой. Фокальный параметр может принимать любое положительное значение, а величина эксцентриситета определяет вид траектории: если $e\in}
