Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

Определение. Точки максимума и минимума функции называютсяточками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума)Если функция f (x ) дифференцируема в точке х = х 1 и точка х 1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функцияf(x) имеет в точке х = х 1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

По определению:

Т.е. если х0, нох<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0, тоf(x 1)0.

А возможно это только в том случае, если при х0f(x 1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х 2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) =xПример: f(x) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f (x ) непрерывна в интервале (a , b ), который содержит критическую точку х 1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х 1 ).

Если при переходе через точку х 1 слева направо производная функции f  (x ) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f (x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f (x ) – f (x 1 ) = f  ( )(x – x 1 ), гдеx<

Тогда: 1) Если х < x 1 , то0;f()(x–x 1)<0, следовательно

f(x) –f(x 1)<0 илиf(x)

2) Если х > x 1 , то>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно

f(x) –f(x 1)<0 илиf(x)

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x)

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Найти критические точки функции.

Найти значения функции в критических точках.

Найти значения функции на концах отрезка.

Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

Пусть в точке х = х 1 f(x 1) = 0 иf(x 1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х 1 .

Теорема. Если f  (x 1 ) = 0, то функция f (x ) в точке х = х 1 имеет максимум, если f  (x 1 )<0 и минимум, если f  (x 1 )>0.

Доказательство.

Пусть f(x 1) = 0 иf(x 1)<0. Т.к. функцияf(x) непрерывна, тоf(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Т.к. f(x) = (f(x))< 0, тоf(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , ноf(x 1)=0, т.е.f(x) > 0 при хx 1 . Это и означает, что при переходе через точку х = х 1 производнаяf(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функцияf(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостьювверх на интервале (а,b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называетсявыпуклой , а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называетсявогнутой .

у

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a , b ) вторая производная функции f (x ) отрицательна, то кривая y = f (x ) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х 0 (a,b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y=f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) –f(x 0): ,x 0

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x 0 тогдаx 0 0 иc–x 0 > 0, и кроме того по условию

, следовательно,
.

Пусть xто

.

Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a,b), то криваяy=f(x) вогнута на интервале (a,b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называетсяточкой перегиба .

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f (x ). Если вторая производная f  (a ) = 0 или f  (a ) не существует и при переходе через точку х = а f  (x ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пустьf(x) < 0 при х 0 приx>a. Тогда при

xaкривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

Пусть f(x) > 0 приxb– выпуклостью вверх. Тогдаx=b– точка перегиба.

Теорема доказана.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называетсяасимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции
. Ее наклонная асимптота у = х.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если
или
или
, то прямая х = а – асимптота кривойy=f(x).

Например, для функции
прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптотуy=kx+b.

Определение 1. Точки экстремума функции – точки минимума и максимума функции.

Определение 2. Точка х = х 0 называется точкой максимума (max ) функции f (х х f (x ) < f (х 0) для всех точек х ≠ х 0 из этой окрестности.

Определение 3. Точка х = х 0 называется точкойминимума (min ) функции f (x ), если существует δ-окрестность этой точки х 0 , в которой выполняется неравенство f (х ) > f (х 0) для всех точек х ≠ х 0 из этой окрестности.

На рис. 7 х 1 – точка min, х 2 – точка max.

Определение 4. Значение функции в точке max (min) называется максимумом (минимумом ) функции. Максимум или минимум функции называется экстремумом (extr ) функции.

Понятие экстремума связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум только во внутренних точках области определения .

Рассмотрим условия существования extr функции.

Теорема 1 . (теорема Ферма) (необходимое условие точки extr ). Если дифференцируемая функция f (х ) имеет экстремум в точке х 0 , то ее производная в этой точке равна нулю : f’ (х 0) = 0.

Доказательство . Пусть, для определенности, х 0 – точка max. Значит, в окрестности точки х 0 выполняется равенство f (х 0) >f (х 0 +Δx ) или f (х 0 +Δx ) – f (х 0) < 0. Тогда, если Δx > 0, то ,

если Δx < 0, то . По условию теоремы существует производная . Переходя к пределу при Δx → 0, в случае Δx > 0 получим f’ (х 0) ≤ 0, а при Δx < 0 получим f’ (х 0) ≥ 0.

Поэтому f’ (х 0) = 0.

Аналогично доказывается утверждение теоремы, если х 0 – точка min.

Геометрический смысл теоремы Ферма : в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox .

Замечание 1 . Обратное утверждение теоремы Ферма неверно, т.е. если f’ (х 0) = 0, то это не значит, что х 0 – точка экстремума.

Например, для функции y = x 3 ее производная y" = 3x 2 равна нулю при x = 0 (в этой точке касательная к графику горизонтальна), но x = 0 не является точкой extr (рис. 5).

Замечание 2 . Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.

Например, непрерывная функция y = |x | в точке x = 0 производной не имеет, хотя это точка min (рис. 8).

Определение 5 . Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует, называются критическими .

С использованием этого термина можно обобщить теорему Ферма : всякая точка экстремума функции является ее критической точкой (в ней производная равна нулю или не существует).

Обратное утверждение ложно , т.е. не всякая критическая точка является точкой extr.

Например, для функций y = x 3 (рис. 3) и у = 2x + |х | (рис. 2) точка х = 0 является критической, но не является точкой extr.

На рис. 9 на отрезке [a , b ] представлены семь критических точек: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 . Из них только две (x 3 и x 6) не являются точками extr.

Точки x 1 , x 4 , x 7 – точки max; точки x 2 , x 5 – точки min.

В точках extr х 2 и х 4 касательные к графику параллельны оси Ох (производные равны нулю). В точках экстремума x 1 , x 5 , x 7 график имеет изломы (производные в этих точках не существуют).

Так как точки extr лежат внутри области определения функции, то их еще называют локальный максимум и локальный минимум .

Определение 6 . Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными .

На рис. 9 три стационарных точки: x 2 , x 3 , x 4 .

Например, для функции y = x 3 (рис. 3) точка х = 0 является стационарной, а для функций у = 2x + |х | (рис. 2) или у = |х | (рис. 8) – нет.

Согласно 2-й теоремы Вейерштрасса, непрерывная на замкнутом интервале функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

На рис. 9 точки x = x 4 и х = b являются глобальным максимумом и глобальным минимумом (наибольшим и наименьшим значением ) f (x ) на замкнутом интервале [а , b ]. Глобальный максимум совпадает с локальным в точке х =х 4 , а глобальный минимум – с концом интервала x = b .

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Исследование функций

На сайте сайт читайте: лекция 7. исследование функций.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

• Один из сервисов вычисления производных
• точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования :

Таблица производных некоторых функций

Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.

Исследование графика функции

Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.

План анализа функции

Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения - это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 - х + 43 область определения - множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 - 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.

Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 - 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 - 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х - 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.

Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы - это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.

Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум - это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения - максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.

Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции - это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 - это точки экстремума функции, а 4 и -4 - это сами экстремумы.

Нахождение точек экстремума

Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать - найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: "Найдите точки экстремума функции y (x), x - аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше - приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 - 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 - точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 - точка максимума.

Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.