Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.
Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.
Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.
Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.
Как найти корни квадратного трехчлена
Для решения можно использовать один из известных способов.
- 1 способ.
Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.
1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.
2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.
x = -b±√D / 2*a
Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.
Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.
- 2 способ.
Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.
Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;
Преобразуем это уравнение:
В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:
(x 2 +2*x+1) -1=3
То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена
Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.
В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.
Ответ: х=1, х=-3.
В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.
Тема урока : «Квадратный трехчлен и его корни».
Цель урока : познакомить обучающихся с понятием квадратного трехчлена и его корней, совершенствовать их умения и навыки в решении заданий на выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.
Урок включает четыре основных этапа :
Контроль знаний
Объяснение нового материала
Репродуктивное закрепление.
Тренировочное закрепление.
Рефлексия.
1 этап. Контроль знаний.
Учитель проводит математический диктант «под копирку» по материалу предыдущего цикла. Для диктанта используется карточки двух цветов: синего - для 1 варианта, красного –2 варианта.
Из данных аналитических моделей функций выберите только квадратичные.
Вариант 1. у=ах+4, у=45-4х, у=х²+4х-5, у=х³+х²-1.
Вариант 2. у=8х-в, у=13+2х, у= -х²+4х, у=-х³+4х²-1.
Изобразите схематично квадратичные функции. Можно ли однозначно определить положение квадратичной функции на координатной плоскости. Ответ попытайтесь аргументировать.
Решите квадратные уравнения.
Вариант 1. а) х² +11х-12=0
Б) х² +11х =0
Вариант 2. а) х² -9х+20=0
Б) х² -9 х =0
4. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни.
Вариант 1. А) х² + х +12=0
Вариант 2. А) х² + х - 12=0
Полученные ответы учитель проверяет у первых двух пар. Полученные неправильные ответы обсуждаются всем классом.
| Вариант 1. | Вариант 2. |
| 1. у=х²+4х-5 | 1. у= -х²+4х |
| 2. ветви вверх, но однозначно определить положение нельзя не хватает данных. | ветви вниз, но однозначно определить положение нельзя не хватает данных. |
| 3. а) –12; 1 б) –11;0 | 3. а) 4;5 б) 9;0 |
| 4. Д0, есть два корня |
2 этап. Давайте составим кластер. Какие ассоциации у вас возникают при рассмотрении квадратного трехчлена?
Составление кластера.
Возможные ответы:
квадратный трехчлен используют для рассмотрения кв. функции;
можно найти нули кв. функции
по значению дискриминанта оценить количество корней.
Описать реальные процессы и т.д.
Объяснение нового материала.
Параграф 2. п.3 стр.19-22.
Рассматриваются выражения, и дается определение квадратного трехчлена и корня многочлена (в ходе обсуждения ранее рассмотренных выражений)
Формулируется определение корня многочлена.
Формулируется определение квадратного трехчлена.
Разбираются примеры решения трехчлена:
Найти корни квадратного трехчлена.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена.
3х²-36х+140=0.
Составляется схема ориентировочной основы действия.
Алгоритм выделения двучлена из квадратного трехчлена.
1.Опрелелить числовое значение старшего коэффициента квадратного трехчлена.
2. Выполнить тождественные и 2. Преобразовать выражение,
равносильные преобразования использовав формулы
(вынести общий множитель за скобки; квадрата суммы и разности.
преобразовать выражение, в скобках
достроив его до формулы квадрата суммы
или разности)
а²+2ав+в²= (а+в)² а²-2ав+в²= (а-в)²
3 этап. Решение типовых заданий из учебника (№ 60 а,в; 61 а, 64 а,в) Делаются у доски и комментируются.
4 этап. Самостоятельная работа на 2варианта (№ 60а,б; 65 а,б). Учащиеся сверяются с образцами решения на доске.
Домашнее задание: П.3 (теорию выучить, № 56, 61г, 64 г)
Рефлексия. Учитель дает задание: оценить свои успехи на каждом этапе урока с помощью рисунка и сдать учителю. (задание выполняется на отдельных листах, образец выдается).
Образец:
Используя, порядок расположения элементов на рисунке, определите на каком этапе урока ваше незнание преобладало. Выделите этот этап красным цветом.
Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена любого уровня.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Такие задачи можно найти в книге «514 задач с параметрами» В литературе по элементарной математике немало учебных пособий, задачников, методических руководств, где приводятся задачи с параметрами. Но большинство из них охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор на рецептуру, а не на логику решения задач. К тому же наиболее удачные из книг давно стали библиографической редкостью. В конце работы дан список книг, статьи из которых помогли составить классификацию утверждений по теме работы. Наиболее значимой является пособие Шахмейстера А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами.
Основная цель настоящей работы – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса алгебры и установление фактов использования свойств квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.
Задачи работы:
Установить возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;
Выявить алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;
Научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности; овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования; повысить математическую культуру в рамках школьного курса математики.
Объект исследования: расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой.
Предмет исследования: квадратные уравнения с параметром.
Способы исследования. Основные способы исследования задач с параметром: аналитический, графический и комбинированный (функционально - графический). Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х; у). Наглядность графического способа помогает найти быстрый путь решения задачи. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств, составленных на основании математических утверждений выявленных по графику квадратичной функции.
Во многих случаях решение квадратных уравнений с параметром приводит к громоздким преобразованиям. Гипотеза: использование свойств квадратичной функции позволит существенно упростить решение, сводя его к решению рациональных неравенств.
Основная часть. Расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой
Рассмотрим некоторые утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+с на числовой прямой cотносительно точек m и п таких, что m
x1 и x2 - корни квадратного трехчлена,
D=b2-4ac- дискриминант квадратного трехчлена, D≥0.
m, n, m1, m2, n1, n2 - заданные числа.
Все рассуждения рассматриваются для a>0, случай для a
Утверждение первое
Для того, чтобы число m было расположено между корнями квадратного трехчлена (x1
Доказательство.
при условии x1
Геометрическая интерпретация
Пусть х1 и х2 - корни уравнения. При а > 0 f(x)
Задача 1. При каких значениях k уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2?
Решение. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1
При k>-2 уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2.
Ответ: k>-2.
Задача 2. При каких значениях k уравнение kx2+(3k-2)x + k-3=0 имеет корни разных знаков?
Эта задача может быть сформулирована так: при каких значениях k число 0 лежит между корнями данного уравнения.
Решение (1 способ) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1
2 способ решения (использование теоремы Виета). Если квадратное уравнение имеет корни (D>0) и c/a
Задача 3. При каких значениях k уравнение (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 имеет два корня, один из которых меньше k, а другой больше k?
f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Подставив значения k из найденного множества убедимся в том, что при этих значениях k D>0.
Утверждение второе (а)
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа m (x1
Доказательство: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2
Задача 4. При каких значениях параметра корни уравнения x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 меньше -1?
D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- любое; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2
Утверждение второе (б)
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m (m
D ≥0; x0>m; af(m)>0.
Если выполнено условие m m. Так как m не принадлежит промежутку (x1; x2), то f(m) > О при а > 0 и f(m)
Обратно, пусть выполнена система неравенств. Из условия D > 0 следует существование корней х1 и х2 (х1 m.
Остается показать, что х1 > m. Если D = 0, то х1 = х2 > m. Если же D > 0, то f(х0) = -D/4a и af(x0) О, следовательно, в точках х0 и m функция принимает значения противоположных знаков и х1 принадлежит промежутку (m;х0).
Задача 5. При каких значениях параметра m корни уравнения x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) больше 1? б) меньше -1?
Решение а) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.
(m-5)2≥0; m - любое m>1/3; m>1/3;
(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Ответ:m>3/2.
б) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - любое x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.
Задача 6. При каких значениях параметра корни уравнения kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 больше 1?
Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра m корни квадратного трехчлена больше 1?
D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.
Решив эту систему, находим, что
Утверждение третье
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m и меньше n (m
D ≥0; m 0 af(n)>0.
Отметим характерные черты графика.
1)Уравнение имеет корни, а значит D > 0.
2) Ось симметрии расположена между прямыми х = m и х = n, а значит m
3) В точках х = m и х = n график расположен выше оси ОХ, следовательно f(m) > 0 и f(n) > 0 (при m
Перечисленные выше условия (1; 2; 3) являются необходимыми и достаточными для искомых значений параметра.
Задача 7. При каких m x2-2mx+m2-2m+5=0 по модулю не превосходят числа 4?
Решение. Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m выполняется соотношение -4
Значения т находим из системы
D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;
4 ≤ х0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; решением которой является отрезок . Ответ: m .
Задача 8. При каких значениях m корни квадратного трехчлена
(2m - 2)x2 + (m+1)х + 1 больше -1, но меньше 0 ?
Решение. Значения m можно найти из системы
D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;
(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;
(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;
Ответ: m > 2.
Утверждение четвертое(а)
Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m;n), а больший не принадлежал (m
D ≥0; af(m)>0 af(n)
График квадратичного трехчлена в точности один раз пересекает ось ОХ на интервале (m; n). Это значит, что в точках х=m и х=n квадратный трехчлен принимает разные по знаку значения.
Задача 10. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х2+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3).
Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х2-2ах+а. Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х1 меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х1 принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи.
Перейдем к системе неравенств.
1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3) 0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно.
Итак, получаем следующую систему неравенств:
Ответ: а>1,8.
Утверждение четвертое(б)
Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m; n), а меньший не принадлежал (x1
D ≥0; af(m) 0.
Утверждение четвертое (объединенное)
Замечание. Пусть задача сформулирована следующим образом при каких значениях параметра один корень уравнения принадлежит интервалу (ь;т), а другой - не принадлежит? Для решения этой задачи не нужно различать два подслучая, ответ находим из неравенства f(m)·f(n)
D ≥0; f(m)·f(n)
Задача 11. При каких m только один корень уравнения х2-mх+6=0 удовлетворяет условию 2
Решение. На основании утверждения 4(б) значения m найдем из условия f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, т. е. при m = ±2√6, При m= -2√6 х = - √6 , который не принадлежит интервалу (2; 5), при m = 2√6 х =√6, принадлежащий интервалу (2; 5).
Ответ: m {2√6} U (5; 31/5).
Утверждение пятое
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена удовлетворяли соотношению (x1
D ≥0; af(m)Задача 12. Найти все значения m, при которых неравенство х2+2(m-3)х + m2-6m
Решение. По условию интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений неравенства х2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m На основании утверждения 5 значения m находим из системы неравенств f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], откуда m.
Ответ: m .
Утверждение шестое
Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m1; m2), а больший принадлежал интервалу (n1;n2) (m2
D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Это утверждение является комбинацией утверждений 4а и 4б. Первые два неравенства гарантируют, что х1(m1, n1), а два последних неравенства – то, что х2(m2, n2),
Задача 13. При какихm один из корней уравнения х2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй - между числами 4 и 6?
Решение. 1 способ. Учитывая, что а = 1, значения m можно найти из системы f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + т-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)
4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), откуда m(2; 4).
Ответ: m(2; 4).
Таким образом мы установили утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+ на числовой прямой cотносительно некоторых точек.
Заключение
В ходе работы я овладела рядом технических и математических умений на уровне свободного их использования и повысила математическую культуру в рамках школьного курса математики.
В результате выполнения работы была выполнена поставленная цель: установлены свойства квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек. Установлены возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой. Выявлены алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой; решены задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности. В работе представлено решение только 12 задач в виду ограниченности количества страниц работы. Конечно, рассмотренные в работе задачи можно решить и другими способами: используя формулы корней квадратного уравнения, применяя свойство корней (теорему Виета).
Фактически было решено значительное количество задач. Поэтому было решено создать сборник задач по теме проектно-исследовательской работы «Решебник задач на применение свойств квадратного трехчлена, связанных с расположением его корней на координатной прямой». Кроме того, результатом работы (продуктом проектно-исследовательской работы) является компьютерная презентация, которую можно использовать на занятиях элективного предмета «Решение задач с параметрами».
Нахождение корней квадратного трехчлена
Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?
а) 8х + 16 = 0; в) х 2 + 3х – 4 = 0;
б) 5х 2 – 5 = 0; г) х 3 – 3х – 2 = 0.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:
1) Ввести понятие корня многочлена.
2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.
3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.
Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.
На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.
З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; ; 0 – являются корнями многочлена х 4 + 2х 2 – 3?
З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?
1) 2х 2 + 5х – 1; 6) х 2 – х – ;
2) 2х – ; 7) 3 – 4х + х 2 ;
3) 4х 2 + 2х + х 3 ; 8) х + 4х 2 ;
4) 3х
2 – ; 9) 
+ 3х
– 6;
5) 5х 2 – 3х ; 10) 7х 2 .
Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?
З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х 2 + х – 5?
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 55, № 56, № 58.
2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).
В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.
а) 5х 2 – 8х + 3 = 0;
D 1 = 16 – 15 = 1;
D 1 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.
б) 9х 2 + 6х + 1 = 0;
D 1 = 9 – 9 = 0;
D 1 = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.
в) –7х 2 + 6х – 2 = 0;
7х 2 – 6х + 2 = 0;
D 1 = 9 – 14 = –5;
Если останется время, можно выполнить № 63.
Р е ш е н и е
Пусть ax
2 + bx
+ c
– данный квадратный трехчлен. Поскольку a
+ b
+
+ c
= 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен . Согласно условию, с
= 4а
, поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен 
.
О т в е т: 1 и 4.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое корень многочлена?
– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?
– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?
Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.
Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов.
Инструкция
- Квадратные уравнения – довольно обширная тема в школьной алгебре. Левая часть такого уравнения представляет собой многочлен второй степени вида А х² + B х + C, т.е. выражение из трех одночленов разной степени неизвестной х. Чтобы найти корень квадратного трехчлена, нужно вычислить такое значение х, при котором выполняется равенство этого выражения нулю.
- Для решения квадратного уравнения нужно найти дискриминант. Его формула является следствием выделения полного квадрата многочлена и представляет собой определенное соотношение его коэффициентов:D = B² – 4 А C.
- Дискриминант может принимать различные значения, в том числе быть отрицательным. И если младшие школьники могут с облегчением сказать, что корней у такого уравнения нет, то старшеклассники уже способны их определить, исходя из теории комплексных чисел. Итак, вариантов может быть три: Дискриминант – положительное число. Тогда корни уравнения равны: х1 = (-B + √D)/2 А; х2 = (-B - √D)/2 А;
Дискриминант обратился в ноль. Теоретически в этом случае уравнение также имеет два корня, но практически они одинаковы: х1 = х2 = -B/2 А;
Дискриминант меньше нуля. В расчет вводится некая величина i² = -1, которая позволяет записать комплексное решение: х1 = (-B + i √|D|)/2 А; х2 = (-B - i √|D|)/2 А. - Метод дискриминанта справедлив для любого квадратного уравнения, однако есть ситуации, когда целесообразно применить более быстрый способ, особенно при небольших целочисленных коэффициентах. Этот способ называется теоремой Виета и заключается в паре соотношений между коэффициентами в приведенном трехчлене:х² + P х + Q
х1 + х2 = -P;
х1 х2 = Q.Остается только подобрать корни. - Следует отметить, что уравнение может быть приведено к подобному виду. Для этого нужно разделить все слагаемые трехчлена на коэффициент при старшей степени А:А х² + B х + C |А
х² + B/А х + C/А
х1 + х2 = -B/А;
х1 х2 = C/А.
