Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.
Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.
Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.
>> Урок 31. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед - это пространственная фигура, ограниченная прямоугольниками
.
Форму параллелепипеда имеют многие предметы из окружающей обстановки: коробка, кубики, телевизор, шкаф и т. д..
Перед тем как мы перейдем к практической части статьи, где будем искать объем параллелепипеда, давайте вспомним, что это за фигура такая, и узнаем, для чего эти расчеты могут нам понадобиться.
Существует три определения, и все они эквивалентны. Так, параллелепипедом является:
1. Многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм.
2. Шестигранник, который имеет три пары граней, параллельных меж собой.
3. Призма, в основании которой находится параллелограмм.
Самые, пожалуй, распространенные в нашей реальной жизни типы рассматриваемой геометрической фигуры - это прямоугольный параллелепипед и куб. Кроме того, различают наклонный и прямой параллелепипед.
Прямоугольный параллелепипед: объем
Прямоугольный параллелепипед отличает то, что каждая грань его - это прямоугольник. В качестве бытового примера этой фигуры можно привести обычную коробку (обувную, подарочную, почтовую).
Для начала необходимо найти значения двух сторон основания параллелепипеда, которые расположены друг к другу перпендикулярно (на плоскости бы они назывались ширина и длина).
П = А*Б, где А - длина, Б - ширина.
Теперь делаем еще одно измерение - высоты заданной фигуры, которую назовем Н.
Ну а искомый объем мы узнаем, если умножим высоту на площадь основания, то есть:
Объем параллелепипеда прямого
Параллелепипед прямой отличается тем, что боковые его грани - прямоугольники в силу того, что они перпендикулярны основаниям фигуры.
Объем вычисляется аналогично, разница лишь в том, что высота здесь - не есть ребро параллелепипеда. В данном случае она представляет собой линию, которая соединяет две противолежащие грани фигуры и перпендикулярна ее основанию.
Поскольку основанием вашего параллелепипеда является параллелограмм, а не прямоугольник, то и формула для расчета площади основания несколько усложняется. Теперь она будет выглядеть таким вот образом:
П = А * Б * sin(а), где А, Б - длина и, соответственно, ширина основания, а «а» - угол, который они образуют при своем пересечении.
Как найти объем параллелепипеда наклонного?
Наклонным признается любой параллелепипед, который прямым не является.
В силу того, что грани этой фигуры основанию не перпендикулярны, сначала необходимо отыскать высоту. Помножив же ее на площадь основания (формулу смотрите выше), вы и получите объем:
V = П*Н, где П - площадь основания, Н - высота.
Объем параллелепипеда с квадратными гранями
Куб - это такой прямоугольный параллелепипед, каждая из шести граней которого представляет собой квадрат. Отсюда вытекает и свойство данной фигуры - все ее ребра меж собой равны. В качестве примера представим такую детскую игрушку, как кубики.
Ну, с нахождением объема куба все вообще предельно просто. Для этого вам потребуется произвести всего лишь одно измерение (ребра) и возвести полученное значение в третью степень. Вот так:
V = А³.
Как же объем параллелепипеда может пригодиться нам в жизни?
Допустим, что вы озадачены такой проблемой, как количество коробок, которое может разместиться в багажнике вашего авто. Для этого вам нужно вооружиться линейкой или рулеткой, ручкой, листом бумаги, а также вышеприведенными формулами прямоугольного параллелепипеда.
Измерив объем одной коробки и помножив значение на количество имеющихся у вас коробок, вы узнаете, сколько кубических сантиметров потребуется для их размещения в багажнике машины.
И да, помните, что в некоторых случаях кубические сантиметры целесообразно будет переводить в метры. Так, если в результате вы получили объем коробки, равный 50 см в кубе, то для перевода просто умножьте эту цифру на 0,001. Так вы получите кубические метры. А если же вы хотите узнать объем в литрах, то результат в кубометрах умножьте на 1000.
Всем доброго дня! Зовут меня Иван, и я папа школьника, который не слишком силен в математике. Недавно сыну задали задание – найти объем параллелепипеда и немного покорпев над ним и так и не сумев решить задачку, он обратился ко мне. Школьных знаний в моей памяти осталось немного, а потому пришлось браться за учебники, перечитывать их и потом объяснять изученный материал сыну. Наверняка мой опыт окажется полезным и для других родителей и потому я и написал эту статью, в которой подробно рассказана информация по решению задач на объем этой геометрической фигуры.
Немного теории
Прежде чем я расскажу, как собственно найти объем и площадь параллелепипеда, и по какой формуле, давайте вместе вспомним, что же это за такое. У этой геометрической фигуры имеется три равнозначных трактовки:
- Параллелепипедом считается многогранник с 6-ью гранями, особенность которых заключается в том, что любая – это параллелограмм.
- Под термин попадает и шестигранник с 3-мя парами граней, которые будут параллельны друг дружке.
- Параллелепипедом называется и призма, в основе которой будет параллелограмм.
Чаще всего исчислить объем требуется у параллелепипедов нескольких разных видов. Для каждого случая есть своя формула и свое решение и ниже я подробно объясню, как решать типовые задачи по исчислению объемов разных видов этой геометрической фигуры.
Переходим к практике
Как решить задачу на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда? Особенностью этого типа фигуры является то, что каждая ее грань – это прямоугольник. Если хотите понять, как выглядит прямоугольный параллелепипед – посмотрите на самую обычную коробку из-под обуви.
Чтобы решить задачку, сначала ищем значения двух сторон основания фигуры. Стороны имеют перпендикулярное расположение друг к другу и находятся по формуле: П-АхБ, где А – это длина, а Б – это ширина. Далее выясняем еще один ключевой параметр, а именно находим высоту. И затем переходим к вычислению объема, в котором рабочей будет такая формула: V=ПхН, то есть для получения объема нужно площадь основания умножить на высоту. Как найти высоту – тут стоит заглянуть в учебник по геометрии и выписать формулу по нахождению ребра фигуры.
Чтобы найти объем прямого параллелепипеда прямого, разберемся с тем, как выглядит эта конкретная фигура. Ее боковые грани – прямоугольники, перпендикулярные основанию, а потому объем будет вычисляться идентично задаче выше, но только следует учесть, что высотой будет выступать не ребро фигуры, а отрезок, соединяющий грани противоположные друг другу и перпендикулярный основе. Основание здесь параллелограмм и потому формула будет чуть сложней: П=АхБхsin(а). А, Б – это длина и ширина основания, а «а» – это угол, который они будут образовывать, пересекаясь.
Объём параллелепипеда
Разберемся с объемом наклонного типа фигуры. Грани этого типа фигуры не перпендикулярны ее основанию, а потому расчеты следует начать с нахождения высоты. Высоту умножаем на площадь основания и получаем объем, то есть формула у нас выглядит следующим образом: V=ПхН.
Остается узнать, как исчислить объем фигуры, грани которой квадратные. Такую фигуру чаще называют кубом, но в тоже время она является параллелепипедом, каждая грань которого – квадрат. А потому все ее ребра будут равны между собой. Формула вычисления объема будет максимально простой: нужно измерить ребра и результат исчислений возвести в 3-ю степень.
Вот так находится объем такой интересной геометрической фигуры как параллелепипед. Надеюсь, написанная мною короткая шпаргалка станет хорошим подспорьем для школьников и родителей в решении задач по геометрии и ни одну контрольную ваш ученик не напишет на плохую отметку!
Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.
Параллелепипед: определение, виды и свойства
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.
У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.
Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.
Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:
- Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
- Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
- Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
- Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).
Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.
Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.
Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.
Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).
Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.
Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.
Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда
Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.
Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.
Примеры решения задач
Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.
Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.
