А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.
Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.
В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .
Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .
Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.
Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.
С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:
Пример 1
Решение
:если поверхность задана уравнением (т.е. неявно)
, то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:
Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать
с частными производными неявно заданной функции
(хотя поверхность задана неявно)
. При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных
, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:
Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:
Аналогично:
Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .
Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:
– общее уравнение
искомой касательной плоскости.
Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:
– верное равенство.
Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии
, – это вектор нормали
касательной плоскости, и он же – направляющий вектор
нормальной прямой. Составим канонические уравнения
нормали по точке и направляющему вектору :
В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет
Ответ :
Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.
Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:
Пример 2
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
И задание, интересное с технической точки зрения:
Пример 3
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
В точке .
Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.
Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.
В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность
и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .
Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.
Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:
Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией
?
Перепишем её в неявном виде :
И по тем же принципам найдём частные производные:
Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:
И соответственно, канонические уравнения нормали:
Как нетрудно догадаться, 
– это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных
в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.
Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.
Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:
Пример 4
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке .
Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….
Решение
: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим частные производные 1-го порядка
в данной точке:
Таким образом:
аккуратно, не спешим:
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ :
И заключительный пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».
И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)
Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.
Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр С (α; β; γ) и радиус r, определяется уравнением (х - α) 2 + (y - β) 2 + (z - γ) 2 = r 2 . Сфера радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение х 2 + у 2 + z 2 = r 2 .
1084. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:
1) сфера имеет центр С (0; 0; 0) и радиус r = 9;
2) сфера имеет центр С (5; -3; 7) и радиус r = 2;
3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С (4; -4; -2);
4) сфера проходит через точку A(2; -1; -3) и имеет центр. С (3; -2; 1);
5) точки А (2; -3; 5) и В (4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;
6) центром сферы является начало координат, ц плоскость 16x - 14у - 12z + 75 = 0 является касательной к сфере;
7) сфера имеет. центр С (3; -5; -2) и плоскость 2х - у - 3z + 11 = 0 является касательной к сфере;
8) сфера проходит через три точки M 1 (3; 1; -3), М 2 (-2; 4; 1) и М 3 (-5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + y - z + 3 = 0;
9) сфера проходит через четыре точки:
М 1 (1; -2; -1), М 2 (-5; 10; -1),
M 3 (4; 1; 11), М 4 (- 8; -2, 2).
1085. Составить уравнение сферы радиуса r = 3, касающейся плоскости x + 2y + 2z - 3 = 0 в точке М 1 (1; 1; -3).
1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей Зx + 2y - 6z - 15 = 0, Зх + 2y - 6z + 55 = 0.
1087. Сфера, центр которой лежит на прямой
касается плоскостей х + 2у - 2z - 2 = 0, х + 2y - 2z + 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.
1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6x - Зу - 2z - 35 = 0, 6x - - Зу - 2z + 63 = 0, причем одной из них в точке M 1 (5; -1; -1).
1089. Составить уравнение сферы с центром С (2, 3; - 1), которая отсекает от прямой
хорду, имеющую длину, равную 16.
1090. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной одним из следующих уравнений:
1) (x - 3) 2 + (y + 2) 2 + (z - 5) 2 = 16;
2) (x + 1) 2 + (y - 3) 2 + z 2 = 9;
3) x 2 + y 2 + z 2 - 4x - 2у + 2z - 19 = 0;
4) х 2 + y 2 + z 2 - 6z = 0;
5) x 2 + у 2 + z 2 + 20у = 0.
1091. Составить параметрические уравнения диаметра сферы x 2 + y 2 + z 2 + 2х -6y + z - 11 = 0, перпендикулярного к плоскости 5x - y + 2z - 17 = 0.
1092. Составить канонические уравнения диаметра сферы х 2 + y 2 + z 2 - х + 3y + z - 13 = 0, параллельного прямой х = 2t - 1, y = -3t + 5, z = 4t + 7,
1093. Установить, как расположена точка A (2; -1; 3) относительно каждой из следующих сфер - внутри, вне или на поверхности:
1) (х - 3) 2 + (y + 1) 2 + (z - 1) 2 = 4;
2) (х + 14) 2 + (y - 11) 2 + (z + 12) 2 = 625;
3) (х - 6) 2 + (y - 1) 2 + (z - 2) 2 = 25;
4) х 2 + y 2 + z 2 - 4х + 6y - 8z + 22 = 0;
5) х 2 + y 2 + z 2 - х + Зу - 2z - 3 = 0.
1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:
а) А (-2; 6; -3), х 2 + y 2 + z 2 = 4;
б) А (9; -4; -3), х 2 + у 2 + z 2 + 14х - 16y - 24z + 241 = 0;
в) A(1; -1; 3), х 2 + y 2 + z 2 - 6х + 4y - 10z - 62 = 0.
1095. Определить, как расположена плоскость относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:
1) z = 3, х 2 + y 2 + z 2 - 6х + 2y - 10z + 22 = 0;
2) y = 1, х 2 + y 2 + z 2 + 4х - 2y - 6z + 14 = 0;
3) х = 5, х 2 + y 2 + z 2 - 2х + 4y - 2z - 4 = 0.
1096. Определить, как расположена прямая относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:
1) х = -2t + 2, y = 3t - 7/2, z = t - 2,
х 2 + y 2 + z 2 + х - 4y - 3z + 1/2 = 0;
2) (x - 5)/3 = y/2 = (z + 25)/-2,
x 2 + y 2 + z 2 - 4х - 6y + 2z - 67 = 0;
1097. На сфере (x - 1) 2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 23 найти точку М 1 , ближайшую к плоскости 3x - 4z + 19 = 0, и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой плоскости.
1098. Определить центр С и радиус R окружности
1099. Точки A(3; -2; 5) и B(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; -4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100. Точка С (1; -1; -2) является центром,окружности, отсекающей от прямой
хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.
1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М 1 (3; - 1; -2), М 2 (1; 1; -2) и М 3 (-1; 3; 0).
1102. Даны две сферы
(х - m 1) 2 + (у - n 1) 2 + (z - p 1) 2 = = R 1 2 ,
{х - m 2) 2 + (у - n 2) 2 + (z - p 2) 2 = R 2 2 ,
которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости τ. Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость τ могут быть представлены уравнением вида
α | (х - m 1) 2 + (у - n 1) 2 + (z - р 1) 2 - R 1 2 ] + β [(x - m 2) 2 + (y - n 2) 2 + (z - р 2) 2 - R 2 2 ] = 0
при надлежащем выборе чисел α и β.
1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер:
2х 2 + 2y 2 + 2z 2 + Зх - 2у + z - 5 = 0,
х 2 + у 2 + z 2 - х + 3у - 2z + 1 = 0.
1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность
1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность
и точку A (2; -1; 1).
1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:
1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере х 2 + у 2 + z 2 = 49 в точке М 1 (6; -3; -2).
1108. Доказать, что плоскость 2х - 6у + 3z - 49 = 0 касается сферы х 2 + у 2 + z 2 = 49. Вычислить координаты точки касания.
1109. При каких значениях а плоскость х + y + z = а касается сферы х 2 + y 2 + z 2 = 12.
1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х - 3) 2 + (y - 1) 2 + (z + 2) 2 = 24 в точке М 1 (-1; 3; 0).
1111. Точка М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) лежит на сфере x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М 1 .
1112. Вывести условие, при котором плоскость Ах + Ву + Cz + D = 0 касается сферы х 2 + у 2 + z 2 = R 2 .
1113. Точка М 1 (x 1 ; у 1 ; z 1) лежит на сфере (х - α) 2 + {у - β) 2 + (z - γ) 2 = r 2 . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М
1114. Через точки пересечения прямой х = 3t - 5, у = 5t - 11, z = -4t + 9 и сферы (х + 2) 2 + (у - 1) 2 + (z + 5) 2 = 49 проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.
1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x 2 + y 2 + z 2 = 9 и параллельных плоскости х + 2y - 2z + 15 = 0.
1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере (x - З) 2 + {у + 2) 2 + (z - 1) 2 = 25 и параллельных плоскости 4x + 3z - 17 = 0.
1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x 2 + y 2 + z 2 - 10х + 2y + 26z - 113=0 и параллельныx прямых (x + 5)/2 = (y - 1)/-3 = (x + 13)/2 , (x + 7)/3 = (y + 1)/-2 = (z - 8)/0
1118. Доказать, что через прямую
можно провести две плоскости, касательные к сфере х 2 + y 2 + z 2 + 2x - 6y + 4z - 15 = 0, и составить их уравнения.
1119. Доказать, что через прямую (x + 6)/2 = у + 3 = z + 1 нельзя провести плоскость, касательную к сфере x 2 + y 2 + z 2 - 4х + 2у - 4z + 4 = 0.
1120. Доказать, что через прямую х = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 можно провести только одну плоскость, касательную к сфере х 2 + у 2 + z 2 - 2х + 6y + 2z + 8 = 0, и составить ее уравнение.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Продолжаем изучение сферы.
На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.
Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка — центр сферы.
Заданное расстояние — радиус сферы.
Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.
Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.
1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).
2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С(x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.
МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.
3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть
R=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 или
R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 .
4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.
5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром
С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2
Применим полученные знания при решении задач.
Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).
1.Запишем уравнение сферы с центром
А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2
2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:
(x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2
Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:
(x+2)2+(y-2)2+z2 = R2
3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:
R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54
Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:
(x+2)2+(y-2)2+z2 = 54
Сфера задана уравнением:
x2+ y2+ z2+2y-4z=4
1) Найти координаты центра и радиус сферы;
2) Найти значение m, при котором точки
А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.
1. Уравнение данной сферы имеет вид:
x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4
Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:
x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4
Уравнение примет вид:
x2+(y+1)2+(z-2)2-5=4 или
x2+(y+1)2+(z-2)2=9
Таким образом, центр сферы имеет координаты:
О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3
2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:
x2+(y+1)2+(z-2)2=9
Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:
02+(m+1)2+(2-2)2=9
12+(1+1)2+(m-2-2)2=9
Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:
Таким образом, мы получили 4 значения m:
m=-4; m=2; m=6; m=2.
Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.
Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением
x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке
О (0;-1;2) и радиусом R=3.
