Нулевые понятие про тригонометрические формулы теория. Тригонометрия – это просто и понятно

- -
Обычно, когда хотят кого-то напугать СТРАШНОЙ МАТЕМАТИКОЙ в пример приводят всякие синусы и косинусы, как нечто очень сложное и гадкое. Но на самом деле - это красивый и интересный раздел, который можно понимать и решать.
Тему начинают проходить в 9 классе и не всегда всё ясно с первого раза, много тонкостей и хитростей. Я попытался рассказать что-то по теме.

Введение в мир тригонометрии:
Прежде чем кидаться с головой в формулы, нужно понять из геометрии, что такое синус, косинус и тд.
Синус угла - отношение противолежащей (углу) стороны к гипотенузе.
Косинус - отношение прилежащей к гипотенузе.
Тангенс - противолежащей стороны в прилежащей стороне
Котангенс - прилежащей к противолежащей.

Теперь рассмотрим окружность единичного радиуса на координатной плоскости и отметим на нем какой-то угол альфа: (картинки кликабельны, по крайней мере некоторые)
-
-
Тонкие красные линии - перпендикуляр из точки пересечения окружности и прямой угла на оси ох и оу. Красные х и у - значение координаты х и у на осях (серые х и у просто для того, чтобы указать, что это оси координат, а не просто линии).
Надо отметить, что углы считаются от положительного направления оси ох против часовой стрелки.
Найдем для него синус, косинус и тд.
sin a: противолежащая сторона равна у, гипотенуза равна 1.
sin a = y / 1 = y
Чтобы было совсем понятно, откуда я беру у и 1, для наглядности расставим буквы и рассмотрим треугольники.
- -
AF = AE = 1 - радиус окружности.
Следовательно и AB = 1, как радиус. AB - гипотенуза.
BD = CA = y - как значение по оу.
AD = CB = x - как значение по ох.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Далее косинус:
cos a: прилежащая сторона - AD = х
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Так же выводим тангенс и котангенс .
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Уже внезапно мы вывели формулу тангенса и котангенса.

Ну давайте с конкретными углами рассмотрим как решается.
Например, а = 45 градусов.
Получаем прямоугольный треугольник в одним углом 45 градусов. Кому-то сразу ясно, что это разнобедренный треугольник, но всё равно распишу.
Найдем третий угол треугольника (первый 90, второй 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Если два угла равны, то и стороны при них равны, вроде так это звучало.
Итак, получается как будто, если сложить два таких треугольника друг на друга, мы получим квадрат с диагональю равной радиусу = 1. По теореме пифагора мы знаем, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.
Теперь думаем. Если 1 (гипотенуза ака диагональ) равна стороне квадрата умноженной на корень из двух, тогда сторона квадрата должна быть равна 1/sqrt(2), а если домножить числитель и знаменатель этой дроби на корень из двух, то получим sqrt(2)/2. А так как треугольник равнобедренный, то AD = AC => x = y
Находим наши тригонометрические функции:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
С остальными значениями углов работать надо так же. Только треугольники будут не равнобедренные, но стороны находятся так же легко по теореме Пифагора.
Таким макаром мы получаем таблицу значений тригонометрических функций от разных углов:
-
-
Притом эта таблица читерская и очень удобная.
Как ее составить самому без лишних хлопот: рисуешь такую таблицу и пишешь в клеточках цифры 1 2 3.
-
-
Теперь из этих 1 2 3 извлекаешь корень и делишь на 2. Получается вот так:
-
-
Теперь отчеркиваем синус и пишем косинус. Его значения - зеркально отраженный синус:
-
-
Тангенс вывести так же легко - надо разделить значение строки синуса, на значение строки косинуса:
-
-
Значение котангенса - это перевернутое значение тангенса. В итоге получаем вот такую штуку:
- -

Обратите внимание , что тангенс не существует в П/2, например. Подумайте почему. (На ноль делить нельзя.)

Что тут нужно запомнить: синус - это значение у, косинус - значение х. Тангенс - это отношение у к х, а котангенс - наоборот. так что, чтобы определять значения синусов/косинусов достаточно нарисовать табличку, которую я выше рассказал и круг с осями координат (по ней удобно смотреть значения при углах 0, 90, 180, 360).
- -

Ну и я надеюсь, что вы умеете различать четверти :
- -
От того, в какой четверти находится угол, зависит знак его синуса, косинуса и тд. Хотя, абсолютно примитивные логически размышления выведут вас на верный ответ, если вы будете учитывать, что во второй и третьей четверти х отрицателен, а у отрицателен в третьей и четвертой. Ничего страшного и пугающего.

Думаю будет не лишним упомянуть и формулы приведения аля привидения, как всем слышится, что имеет и толику правды. Формул как таковых не имеется, за ненужностью. Сам смысл всего этого действа: Мы легко находим значения углов только для первой четверти (30 градусов, 45, 60). Тригонометрические функции периодичны, поэтому мы можем любой большой угол перетащить в первую четверть. Тогда мы сразу найдем ее значение. Но просто перетащить мало - нужно не забыть про знак. Вот для этого и есть формулы приведения.
Итак, мы имеем большой угол, а точнее больше 90 градусов: а = 120. И нужно найти его синус и косинус. Для этого мы разложим 120 на такие углы, с которыми можно работать:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Видим, что этот угол лежит во второй четверти, синус там положительный, следовательно знак + перед синусом сохраняется.
Чтобы избавиться от 90 градусов, мы меняем синус на косинус. Ну это такое правило, надо запомнить:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
А можно представить и по-другому:
sin 120 = sin (180 - 60)
Чтобы избавиться от 180 градусов мы функцию не меняем.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Получили то же значение, значит всё верно. Теперь косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Косинус во второй четверти отрицателен, значит ставим знак минус. И меняем функцию на противоположную, так как надо убрать 90 градусов.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Или:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Что нужно знать, уметь и делать, чтобы переводить углы в первую четверть:
-разложить угол на удобоваримые слагаемые;
-учесть, в какой четверти находится угол, и поставить соответствующий знак, если функция в этой четверти отрицательна или положительна;
-избавиться от лишнего:
*если надо избавиться от 90, 270, 450 и остальные 90+180n, где n - любое целое число, то функция меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот);
*если надо избавиться от 180 и остальных 180+180n, где n - любое целое число, то функция не меняется. (Тут есть одна фича, но объяснить словами ее трудно, ну и ладно).
Вот и всё. Я не считаю нужным запоминать сами формулы, когда можно запомнить пару правил и легко пользоваться ими. Кстати эти формулы очень легко доказываются:
-
-
А еще составляют громоздкие таблицы, то мы то знаем:
-
-

Основные уравнения тригонометрии: их нужно знать очень и очень хорошо, наизусть.
Основное тригонометрическое тождество (равенство):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Не веришь - лучше проверь сам и убедись. Подставь значения разных углов.
Эта формула очень и очень полезная, всегда помните ее. с помощью нее можно выражать синус через косинус и наоборот, что иногда очень полезно. Но, как и с любой другой формулой, с ней нужно уметь обращаться. Всегда помните, что знак тригонометрической функции зависит от той четверти, в которой находится угол. Поэтому при извлечении корня нужно знать четверть .

Тангенс и котангенс: эти формулы мы уже вывели в самом начале.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Произведение тангенса и котангенса:
tg a * ctg a = 1
Потому что:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - дроби сокращаются.

Как видите все формулы - это игра и комбинация.
Вот еще две, полученные из деления на косинус квадрат и синус квадрат первой формулы:
-
-
Обратите внимание, что две последние формулы можно использовать с ограничением значения угла а, так как делить на ноль нельзя.

Формулы сложения: доказываются с помощью векторной алгебры.
- -
Применяются редко, но метко. Формулы а скане есть, но может неразборчиво или цифровой вид воспринимается легче:
- -

Формулы двойного угла:
Их получают, опираясь на формулы сложения, например: косинус двойного угла - это cos 2a = cos (a + a) - ничего не напоминает? Просто бетту заменили альфой.
- -
Две последующие формулы выведены из первой подстановкой sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
С синусом двойного угла проще и применяется он нааамного чаще:
- -
А особые извращенцы могут вывести тангенс и котангенс двойного угла, учитывая, что tg a = sin a / cos a и тд.
-
-

Для вышеупомянутых лиц Формулы тройного угла: выводятся они сложением углов 2а и а, так как формулы двойного угла мы уже знаем.
-
-

Формулы половинного угла:
- -
Как их выводят мне неизвестно, точнее как это объяснить... Если расписать эти формулы, подставляя основное тригонометрическое тождество с а/2, то ответ сойдется.

Формулы сложения и вычитая тригонометрических функций:
-
-
Получаются они из формул сложения, но всем пофиг. Встречаются не часто.

Как понимаете, так еще куучи формул, перечисление которых просто бессмысленно, потому что я не смогу что-то адекватное о них написать, а сухие формулы можно найти где угодно, и являют они собой игру с предыдущими имеющимися формулами. Всё жутко логично и точно. Расскажу только на последок о методе вспомогательного угла:
Преобразование выражения a cosx + b sinx к виду Acos(x+) или Asin(x+) называется методом введения вспомогательного угла (или дополнительного аргумента). Метод применяется при решении тригонометрических уравнений, при оценке значений функций, в задачах на экстремум, и что важно отметить, некоторые задачи не могут быть решены без введения вспомогательного угла.
Как ты я не пытался объяснить этот метод, ничего не вышло, так что придется самим:
-
-
Вещь страшная, но полезная. Если порешать задачи, должно получиться.
Отсюда например: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Следующими по курсу идут графики тригонометрических функций. Но для одного урока хватит. Учитывая, что в школе это преподают по полгода.

Пишите свои вопросы, решайте задачи, просите сканы каких-нибудь заданий, разбирайтесь, пробуйте.
Всегда ваш, Дэн Фарадей.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней окружность с единичным радиусом и центром в начале координат.

Угол в \(1^\circ\) - это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна \(\dfrac1{360}\) длины всей окружности.

\(\blacktriangleright\) Будем рассматривать на окружности такие углы, у которых вершина находится в центре окружности, а одна сторона всегда совпадает с положительным направлением оси \(Ox\) (на рисунке выделено красным).
На рисунке таким образом отмечены углы \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\) :

Заметим, что угол \(0^\circ\) - это угол, обе стороны которого совпадают с положительным направлением оси \(Ox\) .

Точку, в которой вторая сторона такого угла \(\alpha\) пересекает окружность, будет называть \(P_{\alpha}\) .
Положение точки \(P_{0}\) будем называть начальным положением.

Таким образом, можно сказать, что мы совершаем поворот по окружности из начального положения \(P_0\) до положения \(P_{\alpha}\) на угол \(\alpha\) .

\(\blacktriangleright\) Поворот по окружности против часовой стрелки - это поворот на положительный угол. Поворот по часовой стрелке - это поворот на отрицательный угол.

Например, на рисунке отмечены углы \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\) :

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим точку \(P_{30^\circ}\) на окружности. Для того, чтобы совершить поворот по окружности из начального положения до точки \(P_{30^\circ}\) , необходимо совершить поворот на угол \(30^\circ\) (оранжевый). Если мы совершим полный оборот (то есть на \(360^\circ\) ) и еще поворот на \(30^\circ\) , то мы снова попадем в эту точку, хотя уже был совершен поворот на угол \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\) (голубой). Также попасть в эту точку мы можем, совершив поворот на \(-330^\circ\) (зеленый), на \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) и т.д.

Таким образом, каждой точке на окружности соответствует бесконечное множество углов, причем отличаются эти углы друг от друга на целое число полных оборотов (\(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb{Z}\) ).
Например, угол \(30^\circ\) на \(360^\circ\) больше, чем угол \(-330^\circ\) , и на \(2\cdot 360^\circ\) меньше, чем угол \(750^\circ\) .

Все углы, находящиеся в точке \(P_{30^\circ}\) можно записать в виде: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \ n\in\mathbb{Z}\) .

\(\blacktriangleright\) Угол в \(1\) радиан - это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности:

Т.к. длина всей окружности радиусом \(R\) равна \(2\pi R\) , а в градусной мере - \(360^\circ\) , то имеем \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf{ рад}\) , откуда \ Это основная формула, с помощью которой можно переводить градусы в радианы и наоборот.

Пример 1. Найти радианную меру угла \(60^\circ\) .

Т.к. \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \Rightarrow 60^\circ=\dfrac{\pi}3\)

Пример 2. Найти градусную меру угла \(\dfrac34 \pi\) .

Т.к. \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\) .

Обычно пишут, например, не \(\dfrac{\pi}4 \text{ рад}\) , а просто \(\dfrac{\pi}4\) (т.е. единицу измерения “рад” опускают). Обратим внимание, что обозначение градуса при записи угла не опускают . Таким образом, под записью “угол равен \(1\) ” понимают, что “угол равен \(1\) радиану”, а не “угол равен \(1\) градусу”.

Т.к. \(\pi \thickapprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf{ рад} \Rightarrow 1 \textbf{ рад} \thickapprox 57^\circ\) .
Такую приблизительную подстановку делать в задачах нельзя, но знание того, чему приближенно равен \(1\) радиан в градусах часто помогает при решении некоторых задач. Например, таким образом проще найти на окружности угол в \(5\) радиан: он примерно равен \(285^\circ\) .

\(\blacktriangleright\) Из курса планиметрии (геометрии на плоскости) мы знаем, что для углов \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
если дан прямоугольный треугольник со сторонами \(a, b, c\) и углом \(\alpha\) , то:

Т.к. на единичной окружности определены любые углы \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\) , то нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс для любого угла.
Рассмотрим единичную окружность и на ней угол \(\alpha\) и соответствующую ему точку \(P_{\alpha}\) :

Опустим перпендикуляр \(P_{\alpha}K\) из точки \(P_{\alpha}\) на ось \(Ox\) . Мы получим прямоугольный треугольник \(\triangle OP_{\alpha}K\) , из которого имеем: \[\sin\alpha=\dfrac{P_{\alpha}K}{P_{\alpha}O} \qquad \cos \alpha=\dfrac{OK}{P_{\alpha}O}\] Заметим, что отрезок \(OK\) есть не что иное, как абсцисса \(x_{\alpha}\) точки \(P_{\alpha}\) , а отрезок \(P_{\alpha}K\) - ордината \(y_{\alpha}\) . Заметим также, что т.к. мы брали единичную окружность, то \(P_{\alpha}O=1\) - ее радиус.
Таким образом, \[\sin\alpha=y_{\alpha}, \qquad \cos \alpha=x_{\alpha}\]

Таким образом, если точка \(P_{\alpha}\) имела координаты \((x_{\alpha}\,;y_{\alpha})\) , то через соответствующий ей угол ее координаты можно переписать как \((\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Определение: 1. Синусом угла \(\alpha\) называется ордината точки \(P_{\alpha}\) , соответствующей этому углу, на единичной окружности.

2. Косинусом угла \(\alpha\) называется абсцисса точки \(P_{\alpha}\) , соответствующей этому углу, на единичной окружности.

Поэтому ось \(Oy\) называют осью синусов, ось \(Ox\) - осью косинусов.

\(\blacktriangleright\) Окружность можно разбить на \(4\) четверти, как показано на рисунке.


Т.к. в \(I\) четверти и абсциссы, и ординаты всех точек положительны, то косинусы и синусы всех углов из этой четверти также положительны.
Т.к. во \(II\) четверти ординаты всех точек положительны, а абсциссы - отрицательны, то косинусы всех углов из этой четверти - отрицательны, синусы - положительны.
Аналогично можно определить знак синуса и косинуса для оставшихся четвертей.

Пример 3. Так как, например, точки \(P_{\frac{\pi}{6}}\) и \(P_{-\frac{11\pi}6}\) совпадают, то их координаты равны, т.е. \(\sin\dfrac{\pi}6=\sin \left(-\dfrac{11\pi}6\right),\ \cos \dfrac{\pi}6=\cos \left(-\dfrac{11\pi}6\right)\) .

Пример 4. Рассмотрим точки \(P_{\alpha}\) и \(P_{\pi-\alpha}\) . Пусть для удобства \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .

Проведем перпендикуляры на ось \(Ox\) : \(OK\) и \(OK_1\) . Треугольники \(OKP_{\alpha}\) и \(OK_1P_{\pi-\alpha}\) равны по гипотенузе и углу (\(\angle P_{\alpha}OK=\angle P_{\pi-\alpha}OK_1=\alpha\) ). Следовательно, \(OK=OK_1, KP_{\alpha}=K_1P_{\pi-\alpha}\) . Т.к. координаты точки \(P_{\alpha}=(OK;KP_{\alpha})=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) , а точки \(P_{\pi-\alpha}=(-OK_1;K_1P_{\pi-\alpha})=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\) , следовательно, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Таким образом доказываются и другие формулы, называемые формулами приведения : \[{\large{\begin{array}{l|r} \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac{\pi}2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac{\pi}2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end{array}}}\]

С помощью этих формул можно найти синус или косинус любого угла, сведя это значение к синусу или косинусу угла из \(I\) четверти.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\ \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\ \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\ \hline \end{array}}}\]

Заметим, что данные значения были выведены в разделе “Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II” в теме “Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе”.

Пример 5. Найдите \(\sin{\dfrac{3\pi}4}\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac{3\pi}4=\dfrac{4\pi-\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}4\)

Таким образом, \(\sin{\dfrac{3\pi}4}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}4\right)=\sin\dfrac{\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2\) .

\(\blacktriangleright\) Для упрощения запоминания и использования формул приведения можно следовать следующему правилу.

Случай 1. \(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]

Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.

Случай 2. Если угол можно представить в виде , где \(n\in\mathbb{N}\) , то \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\) .

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае - меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).

Пример 6. Найти \(\sin \dfrac{13\pi}{3}\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\) , следовательно, \(\sin \dfrac{13\pi}{3}=\sin \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\sin\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2\)

Пример 7. Найти \(\cos \dfrac{17\pi}{6}\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\) , следовательно, \(\cos \dfrac{17\pi}{6}=\cos \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=-\cos\dfrac{\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2\)

\(\blacktriangleright\) Область значений синуса и косинуса .
Т.к. координаты \(x_{\alpha}\) и \(y_{\alpha}\) любой точки \(P_{\alpha}\) на единичной окружности находятся в пределах от \(-1\) до \(1\) , а \(\cos\alpha\) и \(\sin\alpha\) - абсцисса и ордината соответственно этой точки, то \[{\large{-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1}}\]

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем: \(x^2_{\alpha}+y^2_{\alpha}=1^2\)
Т.к. \(x_{\alpha}=\cos\alpha,\ y_{\alpha}=\sin\alpha \Rightarrow\) \[{\large{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}} - \textbf{основное тригонометрическое тождество (ОТТ)}\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс и котангенс .

Т.к. \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \cos\alpha\ne 0\)

\(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \sin\alpha\ne 0\) , то:

1) \({\large{\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{ctg}\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0}}\)

2) тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны в \(II\) и \(IV\) четвертях.

3) область значений тангенса и котангенса - все вещественные числа, т.е. \(\mathrm{tg}\,\alpha\in\mathbb{R}, \ \mathrm{ctg}\,\alpha\in\mathbb{R}\)

4) для тангенса и котангенса также определены формулы приведения.

Случай 1. \[\mathrm{tg}\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{tg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm{ctg}\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{ctg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\) , где \(n\in\mathbb{N}\) , то \[\mathrm{tg}\,(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{ctg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm{ctg}\,(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{tg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) ось тангенсов проходит через точку \((1;0)\) параллельно оси синусов, причем положительное направление оси тангенсов совпадает с положительным направлением оси синусов;
ось котангенсов - через точку \((0;1)\) параллельно оси косинусов, причем положительное направление оси котангенсов совпадает с положительным направлением оси косинусов.


Доказательство этого факта приведем на примере оси тангенсов.

\(\triangle OP_{\alpha}K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac{P_{\alpha}K}{OK}=\dfrac{BA}{OB} \Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{BA}1 \Rightarrow BA=\mathrm{tg}\,\alpha\) .

Таким образом, если точку \(P_{\alpha}\) соединить прямой с центром окружности, то эта прямая пересечет линию тангенсов в точке, значение которой равно \(\mathrm{tg}\,\alpha\) .

6) из основного тригонометрического тождества вытекают следующие формулы: \ Первую формулу получают делением правой и левой частей ОТТ на \(\cos^2\alpha\) , вторую - делением на \(\sin^2\alpha\) .

Обращаем внимание, что тангенс не определен в углах, где косинус равен нулю (это \(\alpha=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\) );
котангенс не определен в углах, где синус равен нулю (это \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb{Z}\) ).

\(\blacktriangleright\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса .

Напомним, что функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x)=f(x)\) .

Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\) .

По окружности видно, что косинус угла \(\alpha\) равен косинусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\) :

Таким образом, косинус - четная функция, значит, верна формула \[{\Large{\cos(-x)=\cos x}}\]

По окружности видно, что синус угла \(\alpha\) противоположен синусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\) :

Таким образом, синус - нечетная функция, значит, верна формула \[{\Large{\sin(-x)=-\sin x}}\]

Тангенс и котангенс также нечетные функции: \[{\Large{\mathrm{tg}\,(-x)=-\mathrm{tg}\,x}}\] \[{\Large{\mathrm{ctg}\,(-x)=-\mathrm{ctg}\,x}}\]

Т.к. \(\mathrm{tg}\,(-x)=\dfrac{\sin (-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}\,x \qquad \mathrm{ctg}\,(-x)=\dfrac{\cos(-x)}{\sin(-x)}=-\mathrm{ctg}\,x\) )

Как показывает практика, один из сложнейших разделов математики, который встречается школьникам в ЕГЭ, - тригонометрия. С наукой о соотношениях сторон в треугольниках начинают знакомиться в 8 классе. Уравнения данного типа содержат переменную под знаком тригонометрических функций. Несмотря на то, что простейшие из них: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - знакомы практически каждому школьнику, их выполнение зачастую вызывает сложности.

В ЕГЭ по математике профильного уровня правильно решенное задание по тригонометрии оценивается очень высоко. Школьник может получить до 4 первичных баллов за верно выполненную задачу из данного раздела. Для этого искать к ЕГЭ шпаргалки по тригонометрии практически бессмысленно. Наиболее разумное решение - хорошо подготовиться к экзамену.

Как это сделать?

Для того чтобы тригонометрия в ЕГЭ по математике вас не пугала, воспользуйтесь при подготовке нашим порталом. Это удобно, просто и эффективно. В данном разделе нашего образовательного портала, открытом для учащихся как Москвы, так и других городов, представлены доступно изложенный теоретический материал и формулы по тригонометрии для ЕГЭ. Также ко всем математическим определениям мы подобрали примеры с подробным описанием хода их решения.

После изучения теории по разделу «Тригонометрия» при подготовке к ЕГЭ рекомендуем перейти в «Каталоги», для того чтобы полученные знания лучше усвоились. Здесь вы сможете выбрать задачи по интересующей теме и просмотреть их решения. Таким образом, повторение теории по тригонометрии в ЕГЭ будет максимально эффективным.

Что нужно знать?

Прежде всего необходимо выучить значения \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) острых углов от \(0°\) до \(90°\) . Также при подготовке к ЕГЭ в Москве стоит запомнить основные методы решения заданий по тригонометрии. Следует учесть, что, выполняя задачи, вы должны привести уравнение к простейшему виду. Сделать это можно следующим образом:

• разложив уравнение на множители;
• заменив переменную (сведение к алгебраическим уравнениям);
• приведя к однородному уравнению;
• перейдя к половинному углу;
• преобразовав произведения в сумму;
• введя вспомогательный угол;
• использовав способ универсальной подстановки.

При этом чаще всего учащемуся приходится в ходе решения использовать несколько из перечисленных методов.

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.

Формулы половинного угла.

Тригонометрические формулы приведения

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения , привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки . При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали .
• Применяя метод замены переменной , как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Синус, косинус, тангенс - при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.

В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной - тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.

Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.

История

Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.

Более серьезных успехов достигли ученые Древнего Вавилона. На протяжении веков занимаясь астрономией, они освоили ряд теорем, ввели особые способы измерения углов, которыми, кстати, мы пользуемся сегодня: градусы, минуты и секунды были заимствованы европейской наукой в греко-римской культуре, в которую данные единицы попали от вавилонян.

Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.

Название

Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее - взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.

Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.

Основные понятия

Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.

Синус некоторого угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет - это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс - это единица, деленная на тангенс.

Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.

Популярные ошибки

Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок - в основном по невнимательности.

Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.

Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.

В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.

Этимология слова «синус»

История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.

Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите - дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.

Таблицы значений

Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.

Если случилось так, что числовое значение синуса или косинуса угла «вылетело из головы», есть способ вывести его самостоятельно.

Геометрическое представление

Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат - вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.

Данный способ весьма актуален, если вы забыли нужное значение, например, на экзамене, и учебника по тригонометрии под рукой нет. Точной цифры вы таким образом не получите, но разницу между ½ и 1,73/2 (синус и косинус угла в 30 градусов) вы точно увидите.

Применение

Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.

Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света - без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.

Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии - это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор - тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.

Повторяемость

Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо - это синусоида.

Такой график представляет собой развёрнутую вдоль оси времени окружность и внешне похож на волну. Если вы когда-нибудь работали с осциллографом на занятиях по физике, вы понимаете, о чем идет речь. Как музыкальный эквалайзер, так и прибор, отображающий сердечные ритмы, используют формулы тригонометрии в своей работе.

В заключение

Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.

Что касается непрактичности - мы уже увидели, что в той или иной степени умение обращаться с синусами и тангенсами требуется практически в любой сфере деятельности. А что касается сложности… Подумайте: если люди пользовались этими знаниями больше двух тысяч лет назад, когда взрослый человек имел меньше знаний, чем сегодняшний старшеклассник, реально ли изучить данную область науки на базовом уровне лично вам? Несколько часов вдумчивых занятий с решением задач - и вы достигнете своей цели, изучив базовый курс, так называемую тригонометрию для «чайников».