С помощью этого видеоурока учащиеся смогут изучить тему однородных тригонометрических уравнений.
Дадим определения:
1) однородное тригонометрическое уравнение первой степени выглядит как a sin x + b cos x = 0;
2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени выглядит как a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Рассмотрим уравнение a sin x + b cos x = 0. Если а будет равно нулю, то уравнение будет выглядеть как b cos x = 0; если b равно нулю, то уравнение будет выглядеть как a sin x = 0. Это уравнения, которые мы называли простейшими и решали ранее в предыдущих темах.
Сейчас рассмотрим вариант, когда a и b не равны нулю. С помощью деления частей уравнения на косинус x и осуществим преобразование. Получим a tg x + b = 0, тогда tg x будет равен - b/а.
Из вышеизложенного следует вывод, что уравнение a sin mx + b cos mx = 0 является однородным тригонометрическим уравнением I степени. Чтобы решить уравнение, его части делят на cos mx.
Разберем пример 1. Решить 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Сначала части уравнения делим на косинус(x/2). Зная, что синус, деленный на косинус, это тангенс, получим 7 tg (x/2) - 5 = 0. Преобразовывая выражение, найдем, что значение тангенса (x/2)равно 5/7. Решение данного уравнения имеет вид х = arctg a + πn, в нашем случае х = 2 arctg (5/7) + 2πn.
Рассмотрим уравнение a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) при а равном нулю уравнение будет выглядеть как b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразуя, получим выражение cos x (b sin x + c cos x) = 0 и перейдем к решению двух уравнений. После деления частей уравнения на косинус x, получим b tg x + c = 0, а значит tg x = - c/b. Зная, что х = arctg a + πn, то решением в данном случае будет х = arctg (- с/b) + πn.
2) если а не равно нулю, то, путем деления частей уравнения на косинус в квадрате, получим уравнение, содержащее тангенс, которое будет квадратным. Это уравнение можно решить путем ввода новой переменной.
3) при с равном нулю уравнение примет вид a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение можно решить, если вынести синус x за скобку.
1. посмотреть, есть ли в уравнении a sin 2 x;
2. если в уравнении член a sin 2 x содержится, то решить уравнение можно путем деления обеих частей на косинус в квадрате и последующим введением новой переменной.
3. если в уравнении a sin 2 x не содержится, то решить уравнение можно с помощью выноса за скобки cosx.
Рассмотрим пример 2. Вынесем за скобки косинус и получим два уравнения. Корень первого уравнения x = π/2 + πn. Для решения второго уравнения разделим части этого уравнения на косинус x, путем преобразований получим х = π/3 + πn. Ответ: x = π/2 + πn и х = π/3 + πn.
Решим пример 3, уравнение вида 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и найдем его корни, которые принадлежат отрезку от - π до π. Т.к. это уравнение неоднородное, необходимо привести его к однородному виду. Используя формулу sin 2 x + cos 2 x = 1, получим уравнение sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделив все части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Используя ввод новой переменной z = tg 2x, решим уравнение, корнем которого будет z = 1. Тогда tg 2x = 1, откуда следует, что x = π/8 + (πn)/2. Т.к. по условию задачи нужно найти корни, которые принадлежат отрезку от - π до π, решение будет иметь вид - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Однородные тригонометрические уравнения
Сегодня мы разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.
Познакомимся с определением.
Уравнение вида а sin x+ b cos x = 0 (а синус икс плюс бэ косинус икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;
уравнение вида а sin 2 x+ b sin x cos x +с cos 2 x = 0 (а синус квадрат икс плюс бэ синус икс косинус икс плюс сэ косинус квадрат икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Если а=0 , то уравнение примет вид b cos x = 0.
Еслиb = 0 , то получим а sin x= 0.
Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы рассматривали на прошлых наших темах
Рассмотрим тот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x .
Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля. Ведь, если cos x = 0 , то уравнение а sin x + b cos x = 0 примет вид а sin x = 0 , а ≠ 0, следовательно sin x = 0 . Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x+ cos 2 x =1 .
Разделив обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x , получим: + =0
Осуществим преобразования:
1. Так как = tg x, то = а tg x
2 сокращаем на cos x , тогда
Таким образом получим следующее выражение а tg x + b =0 .
Осуществим преобразование:
1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком
а tg x =- b
2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а
tg x= - .
Вывод: Уравнение вида а sin m x+ b cos mx = 0 (а синус эм икс плюс бэ косинус эм икс равно нулю) тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cos mx .
ПРИМЕР 1. Решить уравнение 7 sin - 5 cos = 0 (семь синус икс на два минус пять косинус икс на два равно нулю)
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим
1. = 7 tg (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс, то семь синус икс на два деленное на косинус икс на два, равно 7 тангенс икс на два)
2. -5 = -5 (при сокращении cos)
Таки образом получили уравнение
7tg - 5 = 0, Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t=, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет иметь вид:
Arctg + πn, найдем х
х=2 arctg + 2πn.
Ответ: х=2 arctg + 2πn.
Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени
а sin 2 x+b sin x cos x + с cos 2 x= 0.
Рассмотрим несколько случаев.
I. Если а=0 , то уравнение примет вид b sin x cos x +с cos 2 x = 0.
При решении э то уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cos x за скобку и получим: cos x (b sin x +с cos x )= 0 . Откуда cos x = 0 или
b sin x + с cos x= 0. А эти уравнения мы уже умеем решать.
Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим
1 (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс).
Таким образом получаем уравнение: b tg х+с=0
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= х, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет:
х = arctg + πn, .
II. Если а≠0 , то обе части уравнения почленно разделим на cos 2 x .
(Рассуждая аналогично, как и в случае с однородным тригонометрическим уравнением первой степени, косинус икс не может обратится в ноль).
III. Если с=0 , то уравнение примет вид а sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sin x за скобку).
Значит, при решении уравнения а sin 2 x + b sin x cos x +с cos 2 x = 0 можно действовать по алгоритму:
ПРИМЕР 2. Решить уравнение sinxcosx - cos 2 x= 0 (синус икс, умноженный на косинус икс минус корень из трех, умноженный на косинус квадрат икс равно нулю).
Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cosx). Получим
cos x(sin x - cos x)= 0, т.е. cos x=0 илиsin x - cos x= 0.
Ответ: х =+ πn, х= + πn.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат двух икс минус удвоенное произведение синуса двух икс на косинус двух икс плюс три косинус квадрат двух икс) и найти его корни, принадлежащие промежутку (- π; π).
Решение. Это уравнение не однородное, поэтому проведем преобразования. Число 2, содержащееся в правой части уравнения, заменим произведением 2·1
Так как по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x =1, то
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = раскрыв скобки получим: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Значит уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 примет вид:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Применим способ почленного деления на cos 2 2x:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Введем новую переменную z= tg2х.
Имеем z 2 - 2 z + 1 = 0. Это квадратное уравнение. Заметив в левой части формулу сокращенного умножения - квадрат разности (), получим (z - 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Вернемся к обратной замене:
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= 2х, a =1 . А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg x a + πn, то решение нашего уравнения будет:
2х= arctg1 + πn,
х= + , (икс равно сумме пи на восемь и пи эн на два).
Нам осталось найти такие значения х, которые содержатся в интервале
(- π; π), т.е. удовлетворяют двойному неравенству - π х π. Так как
х= + , то - π + π. Разделим все части этого неравенства на π и умножим на 8, получим
перенесем единицу в право и в лево, поменяв знак на минус один
разделим на четыре получим,
для удобства в дробях выделим целые части
- Этому неравенству удовлетворяют следующие целочисленные n: -2, -1, 0, 1 Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем: Как мы используем вашу персональную информацию: Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения: Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Определение 1
. Пусть A
- некоторое множество пар чисел
(x
; y
) .
Говорят, что на множестве A
задана числовая функция
z
от двух переменных
x
и y ,
если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A
ставится в соответствие некоторое число. Задание числовой функции z
от двух переменных x
и y
часто обозначают
так: где f
(x
, y
)
– любая функция, отличная от функции f
(x
, y
) = ax +by + c
, где a , b , c
– заданные числа. Определение 3
. Решением уравнения (2)
называют пару чисел (x
; y
) ,
для которых формула (2) является верным равенством. Пример 1
. Решить уравнение Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x
и y
удовлетворяют системе уравнений решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Ответ
: (6 ; 3)
Пример 2
. Решить уравнение Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел
вида (1 + y
; y
) , где y
– любое число. Определение 4
. Решением системы уравнений
называют пару чисел (x
; y
) ,
при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство. Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид g
(x
, y
)
Пример 4
. Решить систему уравнений Решение
. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y
через неизвестное x
и подставим полученное выражение во второе уравнение системы: Решая уравнение x
1 = - 1 , x
2 = 9 . Следовательно, y
1 = 8 - x
1 = 9 , Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид где a , b , c
– заданные числа, а g
(x
, y
)
– функция двух переменных x
и y .
Пример 6
. Решить систему уравнений Решение
. Решим однородное уравнение 3x
2 + 2xy
- y
2 = 0 , 3x
2 + 17xy
+ 10y
2 = 0 , рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x
: . В случае, когда x
= - 5y
,
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение 5y
2 = - 20 , которое корней не имеет. В случае, когда из второго уравнения системы (11) получаем уравнение , корнями которого служат числа y
1 = 3 , y
2 = - 3 .
Находя для каждого из этих значений y
соответствующее ему значение x
, получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Ответ
: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Пример 8
. Решить систему уравнений (МФТИ) Решение
. Введем новые неизвестные u
и v
, которые выражаются через x
и y
по формулам: Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x
и y
через u
и v
. Из системы (13) следует, что Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x .
С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования: В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему из которой находим Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u
через неизвестное v
и подставить это выражение во второе уравнение системы. Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики: И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу: 3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0 Первое слагаемое в этом уравнении —3cosx
3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx
\cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx
5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени. Переходим ко второму выражению: 4sin
2
x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0 Первый член этой конструкции — 4sin
2
x
4{{\sin }^{2}}x. Теперь мы можем записать следующее решение: sin
2
x=sinx⋅sinx
{{\sin }^{2}}x=\sin x\cdot \sin x Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x
\sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла: sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум. Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем: ˜
3=3⋅1
А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде: 1=sin
2
x⋅cos
2
x
1={{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде: 3=3(sin
2
x⋅cos
2
x)
=3sin
2
x+3cos
2
x
3=3\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x \right)=3{{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два. С третьим выражением то же самое: sin
3
x+sin
2
xcosx=2cos
3
x
Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin
3
x
{{\sin }^{3}}x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin
2
xcosx
{{\sin }^{2}}x\cos x. sin
2
{{\sin }^{2}} — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx
\cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2cos
3
x
2{{\cos }^{3}}x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x
2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений. С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага: 1) доказать, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества (sin
2
x⋅cos
2
x=1)
\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0
\cos x=0. Мы получим следующее выражение: sin
2
x=1
sinx=±1
\begin{align}& {{\sin }^{2}}x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end{align} Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx
\cos x — ноль, а вместо sinx
\sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что cosx≠0
2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку cosx≠0
\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cos
n
x
{{\cos }^{n}}x, где n
n — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает: \[\begin{array}{·{35}{l}} sinx
cosx
=tgx
cosx
cosx
=1
\begin{align}& \frac{\sin x}{\cos x}=tgx \\& \frac{\cos x}{\cos x}=1 \\\end{align} \\{} \\\end{array}\] Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению n
n-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике. 3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0 Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Предположим противное, что cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1. Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем: 3⋅0+5⋅(±1)
=0
±5=0
\begin{align}& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end{align} На основании этого можно сказать, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx
\cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим: 3(cosx
cosx
)
+5(sinx
cosx
)
=0
3+5tgx=0
tgx=−3
5
\begin{align}& 3\left(\frac{\cos x}{\cos x} \right)+5\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac{3}{5} \\\end{align} Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурироватьarctgx
arctgx: x=arctg(−3
5
)
+ π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z Поскольку arctg
arctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ: x=−arctg3
5
+ π n,n∈Z
x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z 4sin
2
x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0 Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования: 4sin
2
x+2sinxcosx−3(sin
2
x+cos
2
x)
=0
4sin
2
x+2sinxcosx−3sin
2
x−3cos
2
x=0
sin
2
x+2sinxcosx−3cos
2
x=0
\begin{align}& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\& {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\\end{align} Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin
2
{{\sin }^{2}}, т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx
\sin x и cosx
\cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos
2
x
{{\cos }^{2}}x — аналогично первому значению. Докажем, что cosx=0
\cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное: \[\begin{array}{·{35}{l}} \cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end{array}\] Мы доказали, что cosx=0
\cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos
2
x
{{\cos }^{2}}x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум: sin
2
x
cos
2
x
+2sinxcosx
cos
2
x
−3=0
tg
2
x+2tgx−3=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}-3=0 \\& t{{g}^{2}}x+2tgx-3=0 \\\end{align} Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно: (tgx+3)
(tgx−1)
=0
tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Z
tgx=1→x= π
4
+ π k,k∈Z
\begin{align}& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{align} Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу. sin
3
x+sin
2
xcosx=2cos
3
x
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2cos
3
x
2{{\cos }^{3}}x влево. Переписываем: sin
3
x+sin
2
xcosx−2cos
3
x=0
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-2{{\cos }^{3}}x=0 Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, чтоcosx=0
\cos x=0 не является корнем: \[\begin{array}{·{35}{l}} \cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end{array}\] Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию: (±1)
3
+1⋅0−2⋅0=0
±1+0−0=0
±1=0
\begin{align}& {{\left(\pm 1 \right)}^{3}}+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end{align} Следовательно, cosx=0
\cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0
\cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos
3
x
{{\cos }^{3}}x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:
sin
3
x
cos
3
x
+sin
2
xcosx
cos
3
x
−2=0
tg
3
x+tg
2
x−2=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}+\frac{{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{3}}x}-2=0 \\& t{{g}^{3}}x+t{{g}^{2}}x-2=0 \\\end{align} Введем новую переменную: tgx=t
Переписываем конструкцию: t
3
+t
2
−2=0
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=0 Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена. Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t
3
{{t}^{3}} будет больше по модулю, чем t
2
{{t}^{2}}. А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t
2
{{t}^{2}} — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1
t=-1 и t=−2
t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел: ˜
t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text{ }1+1-2=0\to 0=0 Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1
t=1 является корнем. t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0 t=2
t=2 не является корнем. Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x
0
{{x}_{0}}, представим в виде: Q(x)=(x=x
0
)P(x)
Q(x)=(x={{x}_{0}})P(x) В нашем случае в роли x
x выступает переменная t
t, а в роли x
0
{{x}_{0}} — корень, равный 1. Получим: t
3
+t
2
−2=(t−1)⋅P(t)
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=(t-1)\cdot P(t) Как найти многочлен P(t)
P\left(t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее: P(t)=t
3
+t
2
−2
t−1
P(t)=\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2}{t-1} Подставляем: t
3
+t
2
+0⋅t−2
t−1
=t
2
+2t+2
\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+0\cdot t-2}{t-1}={{t}^{2}}+2t+2 Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде: (t−1)(t
2
+2t+2)=0
(t-1)({{t}^{2}}+2t+2)=0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй: t
2
+2t+2=0
{{t}^{2}}+2t+2=0 Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант. D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4 Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству: \[\begin{array}{·{35}{l}} t=\text{ }1 \\tgx=\text{ }1 \\x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{array}\] В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче: Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение. Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же. Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры: sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text{ cos }x=0 — тождество 1-й степени; 2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text{ sin}2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени; sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени; sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители; sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x
\sin 2x — второй степени (т.к. можно представить sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx
2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет. Схема решения всегда одна и та же: Предположим, что cosx=0
\cos x=0. Тогда sinx=±1
\sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx
\sin x и cosx
\cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=0
5=0), переходим ко второму пункту; Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x... — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tgx=t.
tgx=tНайденные корни будут ответом к исходному выражению.Сбор и использование персональной информации
Раскрытие информации третьим лицам
Защита персональной информации
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
линейное
y
2 = 8 - x
2 = - 1 . Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Примеры решения систем уравнений других видов
Алгоритм решения
Выделим слагаемые
Используем формулу основного тригонометрического тождества и записываем окончательное решение
Решаем реальные задачи
Задача №1
Задача №2
Задача №3
Ключевые моменты
Общая схема решения