Определение замкнутого множества. Замкнутые и открытые множества

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств .

Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал (a, b) - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты , а несобственные интервалы и открыты . Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.

Множество, состоящее из точек:

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку x=0, которая принадлежит множеству.

Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть E - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству E. Ясно, что если x есть внешняя точка для E, то она является внутренней точкой для множества CE и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал (a, b), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки a и b принадлежат F, называется смежным интервалом множества F.

К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или, если точка a или точка b принадлежит множеству F, а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка x не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества F, расположенную правее точки x. Так как сама точка x не принадлежит множеству F, то можно представить в форме пересечения:

Каждое из множеств F и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству F. Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале, то оно ограничено снизу. Обозначим через b его нижнюю грань. Согласно предложению 3, а значит. Далее, так как b есть нижняя грань множества, то полуинтервал (x, b), лежащий левее точки b, не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (x, b), не содержащий точек множества F, причем либо, либо точка b принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (a, x), не содержащий точек множества F, причем либо, либо. Теперь ясно, что интервал (a, b) содержит точку x и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ . Множество $V \subset X$ называется замкнутым относительно топологии $\mathcal{T}$ , если существует открытое множество $U \in \mathcal{T}$ такое, что $U = X \setminus V$ .

Замыкание

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$ , содержащее $U$ .

Замыкание множества $U \subset X$ обычно обозначается $\bar U$ , $\mathop{\rm Cl}U$ или $\mathrm{Cl}_X U$ ; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что $\bar U$ рассматривается как множество в пространстве $X$ .

Свойства

Множество $U$ замкнуто тогда и только тогда, когда $\bar U=U$ .

Примеры

Пустое множество $\varnothing$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
Отрезок $\subset \mathbb{R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой , так как его дополнение открыто.
Множество $\mathbb{Q} \cap$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$ , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb{R}$ .

Вариации и обобщения

См. также

Напишите отзыв о статье "Замкнутое множество"

Примечания

Литература

Завало С. Т. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. - Київ: Радянська школа, 1972.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М .: Физматлит, 2004. - 575 с. - ISBN 5-9221-0266-4 .
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. - М .: Наука, 1954.

Отрывок, характеризующий Замкнутое множество

Наташа одна из первых встретила его. Она была в домашнем синем платье, в котором она показалась князю Андрею еще лучше, чем в бальном. Она и всё семейство Ростовых приняли князя Андрея, как старого друга, просто и радушно. Всё семейство, которое строго судил прежде князь Андрей, теперь показалось ему составленным из прекрасных, простых и добрых людей. Гостеприимство и добродушие старого графа, особенно мило поразительное в Петербурге, было таково, что князь Андрей не мог отказаться от обеда. «Да, это добрые, славные люди, думал Болконский, разумеется, не понимающие ни на волос того сокровища, которое они имеют в Наташе; но добрые люди, которые составляют наилучший фон для того, чтобы на нем отделялась эта особенно поэтическая, переполненная жизни, прелестная девушка!»
Князь Андрей чувствовал в Наташе присутствие совершенно чуждого для него, особенного мира, преисполненного каких то неизвестных ему радостей, того чуждого мира, который еще тогда, в отрадненской аллее и на окне, в лунную ночь, так дразнил его. Теперь этот мир уже более не дразнил его, не был чуждый мир; но он сам, вступив в него, находил в нем новое для себя наслаждение.
После обеда Наташа, по просьбе князя Андрея, пошла к клавикордам и стала петь. Князь Андрей стоял у окна, разговаривая с дамами, и слушал ее. В середине фразы князь Андрей замолчал и почувствовал неожиданно, что к его горлу подступают слезы, возможность которых он не знал за собой. Он посмотрел на поющую Наташу, и в душе его произошло что то новое и счастливое. Он был счастлив и ему вместе с тем было грустно. Ему решительно не об чем было плакать, но он готов был плакать. О чем? О прежней любви? О маленькой княгине? О своих разочарованиях?… О своих надеждах на будущее?… Да и нет. Главное, о чем ему хотелось плакать, была вдруг живо сознанная им страшная противуположность между чем то бесконечно великим и неопределимым, бывшим в нем, и чем то узким и телесным, чем он был сам и даже была она. Эта противуположность томила и радовала его во время ее пения.
Только что Наташа кончила петь, она подошла к нему и спросила его, как ему нравится ее голос? Она спросила это и смутилась уже после того, как она это сказала, поняв, что этого не надо было спрашивать. Он улыбнулся, глядя на нее, и сказал, что ему нравится ее пение так же, как и всё, что она делает.
Князь Андрей поздно вечером уехал от Ростовых. Он лег спать по привычке ложиться, но увидал скоро, что он не может спать. Он то, зажжа свечку, сидел в постели, то вставал, то опять ложился, нисколько не тяготясь бессонницей: так радостно и ново ему было на душе, как будто он из душной комнаты вышел на вольный свет Божий. Ему и в голову не приходило, чтобы он был влюблен в Ростову; он не думал о ней; он только воображал ее себе, и вследствие этого вся жизнь его представлялась ему в новом свете. «Из чего я бьюсь, из чего я хлопочу в этой узкой, замкнутой рамке, когда жизнь, вся жизнь со всеми ее радостями открыта мне?» говорил он себе. И он в первый раз после долгого времени стал делать счастливые планы на будущее. Он решил сам собою, что ему надо заняться воспитанием своего сына, найдя ему воспитателя и поручив ему; потом надо выйти в отставку и ехать за границу, видеть Англию, Швейцарию, Италию. «Мне надо пользоваться своей свободой, пока так много в себе чувствую силы и молодости, говорил он сам себе. Пьер был прав, говоря, что надо верить в возможность счастия, чтобы быть счастливым, и я теперь верю в него. Оставим мертвым хоронить мертвых, а пока жив, надо жить и быть счастливым», думал он.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку , которая принадлежит множеству.

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества и обозначим через множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству . Ясно, что если есть внешняя точка для , то она является внутренней точкой для множества и обратно.

4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть - замкнутое множество. Интервал , обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству , а точки и принадлежат , называется смежным интервалом множества . К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или , если точка или точка принадлежит множеству , а сами интервалы с не пересекаются. Покажем, что если точка не принадлежит замкнутому множеству , то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества , расположенную правее точки . Так как сама точка не принадлежит множеству , то можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству . Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале , то оно ограничено снизу. Обозначим через его нижнюю грань. Согласно предложению 3, , а значит . Далее, так как есть нижняя грань множества , то полуинтервал , лежащий левее точки , не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества . Итак, мы построили полуинтервал , не содержащий точек множества , причем либо , либо точка принадлежит множеству . Аналогично строится полуинтервал , не содержащий точек множества , причем либо , либо . Теперь ясно, что интервал содержит точку и является смежным интервалом множества . Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества , то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества . Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой .

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество называется совершенным , если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество совершенно. Действительно, если бы некоторая точка была изолированной точкой множества , то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества не имеют общих концов.

Множество не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству . Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на -м шаге построения множества . Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к нулю.

Можно показать, что множество имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа. Пусть - непрерывная функция, заданная на отрезке . Зафиксируем число и рассмотрим множество тех точек , для которых . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке . Точно так же множество точек , для которых , может быть каким угодно открытым множеством . Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке , то множество тех точек , где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств . Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам - Н.Н. Лузину и его ученикам П.С. Александрову, М.Я. Суслину, А.Н. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новикову, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунову и др.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х - метрическое пространство, МÌ Х, аÎХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.

Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.

2. Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1 - изолированная точка множества (-1,0)È{1}.

3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек х n ÎM, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .

Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.

Опишем некоторые свойства замыкания множеств.

1. МÌ . Это следует непосредственно из определения замыкания.

2. Если М Ì N, то Ì . Действительно, если a Î , a ÏМ, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому aÎ . Для точек из М это ясно по определению.

4. .

5. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M Ì X называется замкнутым, если = M.

Множество M Ì X называется открытым, если замкнуто множество X\M.

Множество M Ì X называется всюду плотным в X, если = X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)ÌM при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)ÌХ/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.

Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.

Примерами замкнутых множеств на прямой являются , }