Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл
Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):
. (5)
Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).
Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .
Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство
.
Следствие
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).
Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить связь между неопределенным и определенным интегралами:
,
где С – произвольная постоянная.
Вопрос 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной связи между неопределенным и определенным интегралами.
Т.4.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - любая первообразная для функции f(x) на , то справедлива формула
. (6)
Формула (6) называется формулой Ньютона – Лейбница .
Если ввести обозначение 
то формулу Ньютона-Лейбница (6) можно переписать в виде
.
Формула Ньютона – Лейбница дает удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти любую первообразную функцию F(x) для f(x) и взять разность F(b) ‒ F(a) на концах отрезка .
Пример
Вопрос 5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
Метод замены переменной
При вычислении определенных интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной.
Т.5.1. (замена переменной в определенном интеграле)
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Тогда, если:
1) функция x = j(t) и ее производная x′ = j′(t) непрерывны на отрезке ;
2) множеством значений функции x = j(t) является отрезок ;
3) j(a) = a, j(b) = b,
то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле :
.
Замечание
1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.
2. Часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).
3. При использовании формулы необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.
Пример . Вычислить
Интегрирование по частям
Т.5.2. (интегрирование по частям в определенном интеграле)
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле :
.
Пример . Вычислить интеграл
Пусть функция f
(t
) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a.
Тогда каждому числу x
из этого промежутка можно поставить в соответствие число 
,
определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая принято называть определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx :
DI
(x
) = I
(x +
Dx
) – I
(x
) =
.
Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения бывают и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x
. Отсюда следует, что функция 
является первообразной для функции f
(x
), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a
значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая принято называть формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f
(x
) по промежутку [a
;b
], нужно найти какую-либо первообразную F
(x
) функции f
(x
) и подсчитать разность значений первообразной в точках b
и a
. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , ᴛ.ᴇ. 
.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Пример 1
. 
.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной:
.
Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j (a ) = a ; j (b ) = b , а функции f , j , j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример 2. .
Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:
.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменных нет крайне важности возвращаться к прежней переменной интегрирования. Достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования.
Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число
I (x ) = I (x + x ) – I (x ) =
Как показано на рисунке 23, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )x . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная
определенного интеграла по верхнему
пределу в точке
x
равна
значению подынтегральной функции в
точке
x
.
Отсюда следует, что функция
является первообразной для функцииf
(x
),
причем такой первообразной, которая
принимает в точке x = a
значение, равное нулю. Этот факт дает
возможность представить определенный
интеграл в виде
. (9)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (9) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (10)
Из формул (9) и (10) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для
того, чтобы вычислить определенный
интеграл от функции f
(x
)
по промежутку [a
;b
],
нужно найти какую-либо первообразную
F
(x
)
функции f
(x
)
и подсчитать разность значений
первообразной в точках b
и a
.
Разность этих значений первообразной
принято обозначать символом 
.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры.
1.
.
2.
.
Сначала
вычислим неопределенный интеграл от
функции f
(x
) = xe
x
.
Используя метод интегрирования по
частям, получаем:
.
В качестве первообразной функцииf
(x
)
выберем функцию e
x
(x
– 1)
и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = e x (x – 1)= 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле :
.
Здесь и определяются, соответственно, из уравнений ( ) = a ; ( ) = b , а функции f , , должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:
.
Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Лекция № 15.
Определенный интеграл
Пусть
на отрезке
задана функция
.
Разобьем отрезок
точкамина
элементарных отрезков
длины
.
В каждом из этих отрезков
возьмем произвольную точку
и составим сумму
,
называемуюинтегральной
суммой (Римана)
для функции
на отрезке
.
Определение
37.1.
Пусть
предел последовательности интегральных
сумм при стремлении
к нулю существует, конечен и не зависит
ни от способа разбиения отрезка
,
ни от выбора точек
.
Этот предел называется
определенным
интегралом
от
функции
на отрезке
и обозначается
(1)
При этом число
называетсянижним
пределом
,
число
– еговерхним
пределом;
функция
–подынтегральной
функцией
,
выражение
–подынтегральным
выражением
,
а задача о нахождении
–интегрированием
функции
на отрезке
.
Все непрерывные
на отрезке
функции
интегрируемы на этом отрезке. Интегрируемыми
будут и ограниченные функции, имеющие
на
конечное
число точек разрыва.
Свойства определенного интеграла
1.
Определённый интеграл – это число! Его
значение зависит только от вида функции
и пределов интегрирования, но не от
переменной интегрирования, которую
можно обозначать любой буквой:
.
Интеграл
был введен в предположении, что
.
Обобщим понятие определенного интеграла
на случай, когда
и
.
2.
.3.
Рассмотрим свойства определённого интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределённого.
4.
Если
,
то
.
5.
Интеграл
от алгебраической суммы двух функций
равен такой же сумме интегралов от этих
функций:
.
Перейдем теперь к свойствам определённого интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределённого интеграла.
6.
Если
отрезок интегрирования разбит на части,
то интеграл на всём отрезке равен сумме
интегралов для каждой из возникших
частей, т.е. при любых
,
,
.
.
7.
Если
на отрезке
,
то
.
8.
Пусть
на отрезке
,
где
,
.
Тогда
.
9. Теорема о
среднем.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то найдется такое число
,
что
.
10.
Если
функция
интегрируема на отрезке
,
то функция
также интегрируема на отрезке
и имеет место неравенство
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного
интеграла введено таким образом, что в
случае, когда функция
неотрицательна на отрезке
,
где
,
численно равен площади
под кривой
на
.
Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
, 
,
и т.д.
(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса.)
Определенный интеграл как функция верхнего предела
Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.
Если
интегрируема на отрезке
,
то, очевидно, она интегрируема также на
любом отрезке
,
вложенном в
.
Положим по определению
,
где
,
а функция
называетсяинтегралом
с переменным верхним пределом.
Пусть
на отрезке
.
Тогда значение функции
в точке
равно площади
под кривой
на отрезке
.
Это позволяет по
новому взглянуть на некоторые известные
функцию Например,
,
где
,
поэтому значение функции
в точке
численно равно площади
под гиперболой
на отрезке
.
Рассмотрим теперь
свойства функции
.
Теорема 1.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда в каждой точке
отрезка
производная функции
по переменному верхнему пределу равна
подынтегральной функции
,
т.е.
. (2)
Доказательство .
Покажем, что функция
(3)
является
первообразной функции
.
Согласно определению производной,
.
Применяя теорему
о среднем к промежутку
,
представим интеграл в числителе в виде
,
где
и
при
.
Следовательно,
.
Теорема 2.
Если
функция
непрерывна на отрезке
,
то функция
также непрерывна на
.
Вычисление
определенного интеграла возможно с
применением первообразной для функции
по формулеНьютона-Лейбница
.
Теорема 3.
Если
функция
непрерывна на отрезке
и
– первообразная функции
,
то
.
(4)
Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница .
Доказательство .
Возвратимся к
уравнению (3). Полагая
,
находим значение постоянной
:
.
Полагая в этом же
уравнении
,
получаем:
.
Нахождение
определённых интегралов с использованием
формулы (4) осуществляется в два шага:
на первом шаге находят первообразную
для подынтегральной функции
;
на втором – применяется собственно
формула (3) – находится приращение
первообразной, равное искомому интегралу.
Введем обозначение для приращения
первообразной
.
Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.
Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:
1) функция
непрерывна на отрезке
;
2) отрезок
является множеством значений функции
,
определенной на отрезке
и имеющей на нем непрерывную производную
;
3)
и
,
то справедлива формула
.
Пример 1
.
Вычислить
.
Решение.
Положим
.
Тогда
и
.
Если
,
то
,
и если
,
то
.
Следовательно,
Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.
Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема 5.
Если
функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
,
то справедлива формула
.
Пример 2
.
Вычислить
.
Решение.
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление
площадей плоских фигур.
Если
непрерывная кривая задана в прямоугольных
координатах уравнением
,
где
на отрезке
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя
вертикалями
;
и отрезком оси абсцисс
,
вычисляется по формуле
.
Пример 3.
Вычислить площадь, ограниченную параболой
,
прямыми
,
и осью абсцисс.
Решение.
Пример 4.
Вычислить
площадь, ограниченную кривой
и осью ординат.
Решение. Здесь изменены роли осей координат, поэтому искомая площадь будет выражаться интегралом
.
В общем случае,
если площадь
ограничена двумя непрерывными кривыми
;
и двумя вертикалями
;
,
где
,
для вычисления площади фигуры имеем
формулу
Пример 5.
Вычислить площадь
,
заключенную между кривыми
и
.
Р
ешение.
Найдем точки
пересечения кривых:
,
,
.
На отрезке
.
Значит,
.
Параметрическое задание верхней границы криволинейной трапеции
При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями
,
в формуле
надо сделать замену переменной, положив
,
,
тогда получим
,
гдеa
и b
-
значения параметра
,
соответствующие значениям
и
,
т. е.
;
.
Пример 6.
Найти площадь фигуры, ограниченной
одной
аркой циклоиды
и осью
.
Решение. Искомая площадь
Площадь фигуры в полярной системе координат
Пусть
в полярной
системе координат задана функция
,
где
–
полярный радиус,
– полярный угол. Пусть, далее, функция
непрерывна при изменении угла
в пределах
(
и
– в радианах). Фигура, ограниченная
линией
,
с которой любой луч, исходящий из полюса
,
пересекается не более чем в одной точке,
и двумя лучами
и
,
называетсякриволинейным
сектором
.
|
|
и двумя полярными радиусами
и
(
),
находится по формуле
.
Пример 7.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой
.
Решение.
Найдем область определения угла
из условия, что
.
Имеем:
,
т. е.
Соответственно
величина угла
меняется в следующих пределах:
в
зависимости от значения
.
Найдем границы изменения величины угла
:
|
при
|
|
|
при
|
|
|
при
|
|
|
при
|
|
:
;
:
;
:
;
где
– область определения
-го
лепестка.
Достаточно вычислить площадь одного лепестка
Следовательно,
площадь всех лепестков
HTML-версии работы пока нет.
Подобные документы
Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация , добавлен 18.09.2013
Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация , добавлен 11.04.2013
Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.
презентация , добавлен 18.09.2013
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат , добавлен 30.10.2010
Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.
презентация , добавлен 11.09.2011
Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа , добавлен 21.10.2011
Понятие и свойства отражающей функции. Первый интеграл дифференциальной системы и условия существования. Условия возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. Определение связи между первым интегралом и эквивалентными системами.
курсовая работа , добавлен 21.08.2009
Понятие и исследование функции четной, нечетной и симметричной относительной оси. Понятие интервалов знакопостоянства. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Наименьшее и наибольшее значения функции и интеграла.
практическая работа , добавлен 25.03.2011
Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока , добавлен 23.10.2013
Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
