Площадь и периметр – две численные характеристики, часто используемые в геометрии. Для их вычисления применяют одни и те же параметры, но смысл конечных величин имеет принципиальные различия. На упаковке многих товаров указывается площадь или размеры сторон в виде A х B (если речь идет о товаре, одна из сторон которого имеет форму прямоугольника).
Определение
Площадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура.
Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры.
Понятия применимы для каждой геометрической фигуры и выражаются в различных единицах. Расчет периметра и площади определяется единицами измерения параметров, используемых для их вычисления: длин сторон, диаметра, высоты. В геометрии указанные параметры чаще всего измеряются в мм, см, м.
Сравнение
Периметр обозначается заглавной буквой P , используется при измерении многоугольников и определяется как сумма длин его сторон. Площадь обозначается буквой S и может быть использована как численная характеристика поверхности, имеющей различный контур, в том числе искривленный. Понятие «квадратура» частично отражает смысл площади, в основе которой положено измерение квадрата поверхности.
Простейший случай – квадрат. Длины его сторон равны, поэтому для вычисления периметра достаточно умножить одну сторону на 4. Формула выглядит так:
Р = a + a + a + a = a х 4, где а – сторона квадрата.
Для вычисления площади квадрата используется другая формула:
S = a х a = a 2 .
Выводы сайт
- В случае с периметром речь идет о размерах контура, в случае площади – о размерах поверхности.
- Единица измерения S определяется как квадрат единицы измерения характеристик поверхности, для периметра она равна единице измерения сторон многоугольника.
- Периметр характеризует размеры многоугольника, площадь – более широкое понятие, применимое для поверхностей с различным контуром.
- Формулы для определения площадей сильно различаются, а для определения периметра достаточно просто сложить стороны многоугольника.
Определение периметра и площади геометрических фигур - важная задача, которая возникает при решении многих практических или бытовых задач. Если вам требуется поклеить обои, установить забор, рассчитать расход краски или кафеля, то вам обязательно придется иметь дело с геометрическими расчетами.
Для решения перечисленных бытовых вопросов вам потребуется работать с самыми разными геометрическими фигурами. Мы представляем вам каталог онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить параметры наиболее популярных плоских фигур. Рассмотрим их.
Круг
Частные случаи
Четырехугольник с одинаковыми сторонами. Параллелограмм становится ромбом в случаях, если его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и являются биссектрисами своих углов.
Это параллелограмм с прямыми углами. Кроме того, параллелограмм считается прямоугольником, если его стороны и диагонали отвечают условиям теоремы Пифагора.
Это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Диагонали квадрата полностью повторяют свойства диагоналей прямоугольника и ромба, что делает квадрат уникальной фигурой, которая характеризуется максимальной симметрией.
Многоугольник
Правильный полигон - это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы. В зависимости от количества сторон многоугольники имеют собственные названия:
- - пентагон;
- - гексагон;
- восемь - октагон;
- двенадцать - додекагон.
И так далее. Геометры шутят, что круг - это многоугольник с бесконечным количеством углов. Наш калькулятор запрограммирован на определение периметров и площадей только правильных многоугольников. Он использует общие формулы для всех правильных полигонов. Для вычисления периметра используется формула:
где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны.
Для определения площади используется выражение:
S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n).
Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.
Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США - Пентагон, гексагона - пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона - дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.
Примеры из реальной жизни
Давайте рассмотрим пару примеров использования нашего калькулятора в реальных расчетах.
Покраска забора
Покраска поверхностей и расчет краски - это одни из самых очевидных бытовых задач, в которых требуются минимальные математические расчеты. Если нам нужно покрасить забор, высота которого составляет 1,5 метра, а длина 20 метров, то сколько потребуется банок краски? Для этого нужно узнать суммарную площадь забора и расход лакокрасочных материалов на 1 квадратный метр. Мы знаем, что расход эмали составляет 130 грамм на метр. Теперь определим площадь забора, используя калькулятор для вычисления площади прямоугольника. Она составит S = 30 квадратных метров. Естественно, что забор мы будем красить с обеих сторон, поэтому площадь для покраски увеличится до 60 квадратов. Тогда нам понадобится 60 × 0,13 = 7,8 килограмм краски или три стандартных банки по 2,8 килограмма.
Отделка бахромой
Пошив одежды - еще одна отрасль, в которой необходимы обширные геометрические познания. Пусть нам надо отделать бахромой платок, который представляет собой равнобедренную трапецию со сторонами 150, 100, 75 и 75 см. Для вычисления расхода бахромы нам потребуется узнать периметр трапеции. В этом нам и пригодится онлайн-калькулятор. Введем эти данные ячейки и получим ответ:
Таким образом, нам понадобится 4 м бахромы для отделки платка.
Заключение
Плоские фигуры составляют реальный мир вокруг. Мы часто задавались в школе вопросом, пригодится ли нам геометрия в будущем? Выше приведенные примеры показывают, что математика постоянно используется в повседневной жизни. И если площадь прямоугольника для нас привычна, то вычислить площадь додекагона может оказаться трудной задачей. Используйте наш каталог калькуляторов для решения школьных заданий или бытовых вопросов.
На этом занятии мы познакомимся с новым понятием - периметр прямоугольника. Мы сформулируем определение этого понятия, выведем формулу для его вычисления. Также повторим сочетательный закон сложения и распределительный закон умножения.
На данном уроке мы познакомимся с периметром прямоугольника и его вычислением.
Рассмотрим следующую геометрическую фигуру (рис. 1):
Рис. 1. Прямоугольник
Данная фигура - прямоугольник. Вспомним, какие отличительные особенности прямоугольника мы знаем.
Прямоугольник - это четырехугольник, у которого четыре прямых угла и стороны попарно равны.
Что в нашей жизни может иметь прямоугольную форму? Например, книга, крышка стола или земельный участок.
Рассмотрим следующую задачу:
Задача 1 (рис. 2)
Вокруг земельного участка строителям понадобилось поставить забор. Ширина этого участка - 5 метров, длина - 10 метров. Забор какой длины получится у строителей?
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1
Забор ставят по границам участка, поэтому, чтобы узнать длину забора, нужно знать длину каждой из сторон. У данного прямоугольника стороны равны: 5 метров, 10 метров, 5 метров, 10 метров. Составим выражение для подсчета длины забора: 5+10+5+10. Воспользуемся переместительным законом сложения: 5+10+5+10=5+5+10+10. В данном выражении есть суммы одинаковых слагаемых (5+5 и 10+10). Заменим суммы одинаковых слагаемых произведениями: 5+5+10+10=5·2+10·2. Теперь воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: 5·2+10·2=(5+10)·2.
Найдем значение выражения (5+10)·2. Сначала выполняем действие в скобках: 5+10=15. А затем повторяем число 15 два раза: 15·2=30.
Ответ: 30 метров.
Периметр прямоугольника - сумма длин всех его сторон. Формула для подсчета периметра прямоугольника : , здесь a - длина прямоугольника, а b - ширина прямоугольника. Сумма длины и ширины называется полупериметром . Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, то есть умножить на 2.
Воспользуемся формулой периметра прямоугольника и найдем периметр прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см: (7+3)·2=20 (см).
Периметр любой фигуры измеряется в линейных единицах.
На данном уроке мы познакомились с периметром прямоугольника и формулой его вычисления.
Произведение числа и суммы чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых.
Если периметр - это сумма длин всех сторон фигуры, то полупериметр - сумма одной длины и одной ширины. Мы находим полупериметр, когда работаем по формуле нахождения периметра прямоугольника (когда мы выполняем первое действие в скобках - (a+b)).
Список литературы
- Александрова Э.И. Математика. 2 класс. - М.: Дрофа, 2004.
- Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. - М.: Астрель, 2006.
- Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Nsportal.ru ().
- Math-prosto.ru ().
Домашнее задание
- Найти периметр прямоугольника, у которого длина 13 метров, а ширина - 7 метров.
- Найти полупериметр прямоугольника, если его длина - 8 см, а ширина - 4 см.
- Найти периметр прямоугольника, если его полупериметр - 21 дм.
Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.
Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.
Определение периметра
Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.
Измеряем периметр
Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.
Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.
Круг, квадрат, равносторонний треугольник
Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).
Подписаться на сайт
Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook
и ВКонтакте
Периметр – это геометрический термин, который часто встречается в задачах. Чтобы понять, что такое периметр, следует нарисовать произвольный многоугольник и вооружиться линейкой. В переводе с греческого языка этот термин обозначает «измеряю вокруг».
Как вычислить периметр
Периметр обозначается латинской буквой P . Его можно измерить в сантиметрах, миллиметрах, метрах или дециметрах. Чтобы узнать периметр, следует измерить длину всех сторон многоугольника. Полученные значения нужно сложить. Итоговая сумма и станет ответом на вопрос: «Чему равен периметр многоугольника».
Периметр – это длина линий, которые ограничивают замкнутую фигуру (квадрат, прямоугольник, треугольник и др.).
Например, перед вами многоугольник со сторонами 10, 12, 13 и 11 см. Складываем вышеназванные числа (10+12+13+11) и получаем сумму 46. Это и есть периметр многоугольника.
Для удобства вычисления периметра в геометрии существует ряд формул. Каждая формула соответствует определенной фигуре.
Периметр и площадь квадрата
Это сумма его четырех сторон. Как мы знаем, все стороны квадрата имеют равный размер. Поэтому мы можем узнать периметр квадрата, умножив длину его стороны на четыре:
P= a+a+a+a
Например, перед нами квадрат со стороной 10 см.
Ответ: 40 см
P = 10+10+10+10
P =40
Ответ: 40 см
Чтобы разобраться, что такое периметр и площадь, следует уяснить, что периметр вычисляет длину контура фигуры, а площадь – размер всей ее поверхности.
Чтобы узнать площадь квадрата, необходимо воспользоваться простой формулой:
S – это площадь, а – сторона квадрата.
Например, в задаче указано, что длина стороны квадрата составляет 10см.
S= 100 см 2
Ответ: 10 0 см 2
Периметр и площадь прямоугольника
Стороны прямоугольника, находящиеся друг напротив друга и имеющие одинаковую длину, называются противолежащими. Это длина и ширина, они условно обозначаются латинскими буквами a и b. Формула для вычисления периметра прямоугольника выглядит так:
P= (a+b)*2
Используя эту формулу, мы сначала находим сумму ширины и длины, а затем умножаем ее на два.
Например, перед нами прямоугольник, имеющий длину 6 см и ширину 2 см.
P = (6+2) * 2
P = 16
Ответ: 16 см
Чтобы узнать площадь прямоугольника, следует длину умножить на ширину. Формула выглядит так:
Например, в условиях задачи сказано, что прямоугольник имеет длину 5 см и ширину 2см. Меняем буквы a и b на указанные числа.
S = 5*2
S =10см 2
Ответ: 10 см 2
Периметр круга (длина окружности)
Каждый круг имеет центр. Расстояние от центра круга до любой точки, расположенной на окружности, имеет название радиус круга. Часто ученики путают понятия «круг» и «окружность» и пытаются определить площадь окружности. Это серьезная ошибка. Следует разделить в голове понятия «круг» и «окружность». У окружности нет и не может быть площади, у нее есть только длина.
Чтобы найти периметр круга, следует вычислить длину его окружности. Существует формула для нахождения длины окружности:
L = 2πr
L – длина окружности
π – это число «пи», математическая константа. Она равна отношению длины окружности к длине ее диаметра. Древнее название числа «пи» – лудольфово число. Это число иррационально, его десятичное представление после точки никогда не заканчивается.
π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502
Для удобства вычислений обычно используют значение 3.14
R – это радиус окружности
D – Диаметр окружности
Итак, чтобы определить периметр круга, надо найти произведение радиуса и 2π. Если в задаче указан диаметр, то
Например, перед нами круг с радиусом 3 см. Найдем его периметр.
L = 2*3,14*3
L =6 π
L=6*3.14
L = 18.84 см
P к = 18,84 см
Ответ: 18.84 см
Отличие периметра от площади
Площадь – это размер поверхности фигуры, а периметр – это сумма ее границ.
Площадь всегда измеряется в квадратных единицах (см 2 , м 2 , мм 2). Периметр измеряется в единицах длины – в сантиметрах, миллиметрах, метрах, дециметрах.
