В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными . Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник. Для существования в системе гармонических колебаний необходимо, чтобы у нее было положение устойчивого равновесия, то есть такое положение, при выведении из которого на систему начала бы действовать возвращающая сила.
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .
Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями . Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω 0 задаётся следующим образом:
Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний , которое имеет вид:
где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π /T ), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ 0 , называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).
Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Если же количество колебаний N , а их время t , то период находится как:
Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :
Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:
Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:
Максимальные по модулю значения скорости υ m = ωA достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:
Максимальное значение ускорения при механических гармонических колебаниях:
Знак минус в предыдущем выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, возвращает тело в начальное положение (x = 0), т.е. заставляет тело совершать гармонические колебания.
Следует обратить внимание на то, что:
- физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T .
- Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда A = x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени, т.е. начальными условиями.
- При колебательном движении тело за время, равное периоду, проходит путь, равный 4 амплитудам. При этом тело возвращается в исходную точку, то есть перемещение тела будет равно нулю. Следовательно, путь равный амплитуде тело пройдет за время равное четверти периода.
Чтобы определить, когда в уравнение колебаний подставлять синус, а когда косинус, нужно обратить внимание на следующие факторы:
- Проще всего, если в условии задачи колебания названы синусоидальными или косинусоидальными.
- Если сказано, что тело толкнули из положения равновесия – берем синус с начальной фазой, равной нулю.
- Если сказано, что тело отклонили и отпустили – косинус с начальной фазой, равной нулю.
- Если тело толкнули из отклоненного от положения равновесия состояния, то начальная фаза не равна нолю, а брать можно и синус и косинус.
Математический маятник
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором , то есть системой, способной совершать гармонические (по закону sin или cos) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:
Период колебаний математического маятника:
Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна . Важно запомнить, что период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Такое свойство маятника называется изохронностью . Как и для любой другой системы, совершающей механические гармонические колебания, для математического маятника выполняются следующие соотношения:
- Путь от положения равновесия до крайней точки (или обратно) проходится за четверть периода.
- Путь от крайней точки до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну шестую периода.
- Путь от положения равновесия до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну двенадцатую долю периода.
Пружинный маятник
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Таким свойством обладает сила упругости.
Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником .
Циклическая частота колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле:
Период колебаний пружинного маятника:
При малых амплитудах период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (как и у математического маятника). При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную:
А колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Таким образом, полученная формула для периода колебаний груза на пружине остается справедливой во всех случаях, независимо от направления колебаний, движения опоры, действия внешних постоянных сил.
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией (как правило, потенциальную энергию в положении равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом, максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:
Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:
Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):
Механические волны
Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной .
Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной . Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной .
Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.
Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).
- Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
- Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.
Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной волны λ . Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ .
Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ , волна пробегает за время равное периоду T , следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле:
где: υ – скорость распространения волны. При переходе волны из одной среды в другую длина волны и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.
Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l рассчитывается по формуле:
Электрический контур
В электрических цепях, так же, как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный LC-контур . В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Энергетические характеристики и их взаимосвязь при колебаниях в электрическом контуре:
Период гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре определяется по формуле:
Циклическая частота колебаний в электрическом колебательном контуре:
Зависимость заряда на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре описывается законом:
Зависимость электрического тока протекающего через катушку индуктивности от времени при колебаниях в электрическом контуре:
Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре:
Максимальное значение силы тока при гармонических колебаниях в электрическом контуре может быть рассчитано по формуле:
Максимальное значение напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях в электрическом контуре:
Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R . Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в теплоту, выделяющуюся на резисторе, и колебания становятся затухающими.
Переменный ток. Трансформатор
Основная часть электроэнергии в мире в настоящее время вырабатывается генераторами переменного тока, создающими синусоидальное напряжение. Они позволяют наиболее просто и экономно осуществлять передачу, распределение и использование электрической энергии.
Устройство, предназначенное для превращения механической энергии в энергию переменного тока, называется генератором переменного тока . Он характеризуется переменным напряжением U (t ) (индуцированной ЭДС) на его клеммах. В основу работы генератора переменного тока положено явление электромагнитной индукции.
Переменным током называется электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону. Величины U 0 , I 0 = U 0 /R называются амплитудными значениями напряжения и силы тока. Значения напряжения U (t ) и силы тока I (t ), зависящие от времени, называют мгновенными .
Переменный ток характеризуется действующими значениями силы тока и напряжения. Действующим (эффективным) значением переменного тока называется сила такого постоянного тока, который, проходя по цепи, выделил бы в единицу времени такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Для переменного тока действующее значение силы тока может быть рассчитано по формуле:
Аналогично можно ввести действующее (эффективное) значение и для напряжения , рассчитываемое по формуле:
Таким образом, выражения для мощности постоянного тока остаются справедливыми и для переменного тока, если использовать в них действующие значения силы тока и напряжения:
Обратите внимание, что если идет речь о напряжении или силе переменного тока, то (если не сказано иного) имеется в виду именно действующее значение. Так, 220В – это действующее напряжение в домашней электросети.
Конденсатор в цепи переменного тока
Строго говоря, конденсатор ток не проводит (в том смысле, что носители заряда через него не протекают). Поэтому, если конденсатор подключен в цепь постоянного тока, то сила тока в любой момент времени в любой точке цепи равна нулю. При подключении в цепь переменного тока из-за постоянного изменения ЭДС конденсатор перезаряжается. Ток через него по-прежнему не течет, но ток в цепи существует. Поэтому условно говорят, что конденсатор проводит переменный ток. В этом случае вводится понятие сопротивления конденсатора в цепи переменного тока (или емкостного сопротивления
Обратите внимание, что емкостное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Оно в корне отличается от привычного нам сопротивления R. Так, на сопротивлении R выделяется теплота (поэтому его часто называют активным), а на емкостном сопротивлении теплота не выделяется. Активное сопротивление связано со взаимодействием носителей заряда при протекании тока, а емкостное – с процессами перезарядки конденсатора.
Катушка индуктивности в цепи переменного тока
При протекании переменного тока в катушке возникает явление самоиндукции, и, следовательно, ЭДС. Из-за этого напряжение и сила тока в катушке не совпадают по фазе (когда сила тока равна нулю, напряжение имеет максимальное значение и наоборот). Из-за такого несовпадения средняя тепловая мощность, выделяющаяся в катушке, равна нулю. В этом случае вводится понятие сопротивления катушки в цепи переменного тока (или индуктивного сопротивления ). Это сопротивление определяется выражением:
Обратите внимание, что индуктивное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Как и емкостное сопротивление, оно отличается от сопротивления R. Как и на емкостном сопротивлении, на индуктивном сопротивлении теплота не выделяется. Индуктивное сопротивление связано с явлением самоиндукции в катушке.
Трансформаторы
Среди приборов переменного тока, нашедших широкое применение в технике, значительное место занимают трансформаторы . Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении электромагнитной индукции. Простейший трансформатор состоит из сердечника замкнутой формы, на который намотаны две обмотки: первичная и вторичная . Первичная обмотка подсоединяется к источнику переменного тока с некоторым напряжением U 1 , а вторичная обмотка подключается к нагрузке, на которой появляется напряжение U 2 . При этом, если число витков в первичной обмотке равно n 1 , а во вторичной n 2 , то выполняется следующее соотношение:
Коэффициент трансформации вычисляется по формуле:
Если трансформатор идеальный, то выполняется следующее соотношение (мощности на входе и выходе равны):
В неидеальном трансформаторе вводится понятие КПД:
Электромагнитные волны
Электромагнитные волны – это распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы электрической напряженности и магнитной индукции перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью, которая может быть рассчитана по формуле:
где: ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε 0 и μ 0 – электрическая и магнитная постоянные: ε 0 = 8,85419·10 –12 Ф/м, μ 0 = 1,25664·10 –6 Гн/м. Скорость электромагнитных волн в вакууме (где ε = μ = 1) постоянна и равна с = 3∙10 8 м/с, она также может быть вычислена по формуле:
Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных. Если электромагнитная волна распространяется в какой-либо среде, то скорость ее распространения также выражается следующим соотношением:
где: n – показатель преломления вещества – физическая величина, показывающая во сколько раз скорость света в среде меньше чем в вакууме. Показатель преломления, как видно из предыдущих формул, может быть рассчитан следующим образом:
- Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии.
- Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной скоростью, не являются источником электромагнитных волн. А вот цепи, в которых протекает переменный ток, т.е. такие цепи в которых носители заряда постоянно меняют направление своего движения, т.е. двигаются с ускорением – являются источником электромагнитных волн. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.
В качестве конкретного примера тела, вращающегося вокруг оси, рассмотрим движение маятников.
Физическим маятником называется твердое тело, обладающее горизонтальной осью вращения, вокруг которой оно совершает колебательные движения под действием своего веса (рис. 119).
Положение маятника полностью определяется углом его отклонения от положения равновесия, и поэтому для определения закона движения маятника достаточно найти зависимость этого угла от времени.
Уравнение вида:
называется уравнением (законом) движения маятника. Он зависит от начальных условий, т. е. от угла и угловой скорости Таким образом,
Предельным случаем физического Маятника является математический маятник, представляющий (как указывалось ранее - глава 2, § 3) материальную точку, соединенную с горизонтальной осью, вокруг которой она вращается, жестким невесомым стержнем (рис. 120). Расстояние материальной точки от оси вращения называется длиной математического маятника.
Уравнения движения физического и математического маятников
Выберем систему осей координат так, чтобы плоскость ху проходила через центр тяжести тела С и совпадала с плоскостью качания маятника, как это показано на чертеже (рис. 119). Ось направим перпендикулярно к плоскости чертежа на нас. Тогда на основании результатов предыдущего параграфа уравнение движения физического маятника запишем в виде:
где через обозначен момент инерции маятника относительно его оси вращения и
Поэтому можно написать:
Активной силой, действующей на маятник, является его вес момент которого относительно оси привеса будет:
где - расстояние от оси вращения маятника до его центра масс С.
Следовательно, приходим к следующему уравнению движения физического маятника:
Так как математический маятник является частным случаем физического, то записанное выше дифференциальное уравнение справедливо и для математического маятника. Если длина математического маятника равна а вес его то момент инерции его относительно оси вращения равен
Так как расстояние центра тяжести математического маятника от оси равно то окончательно дифференциальное уравнение движения математического маятника можно написать в виде:
Приведенная длина физического маятника
Сравнивая уравнения (16.8) и (16.9), можно заключить, что если параметры физического и математического маятников связаны соотношением
то законы движения физического и математического маятников одинаковы (при одинаковых начальных условиях).
Последнее соотношение указывает на ту длину, которую должен иметь математический маятник, чтобы двигаться так же, как соответствующий физический маятник. Эта длина называется приведенной длиной физического маятника. Смысл этого понятия заключается в том, что изучение движения физического маятника можно заменить изучением движения математического маятника, представляющего собой простейшую механическую схему.
Первый интеграл уравнения движения маятника
Уравнения движения физического и математического маятников имеют один и тот же вид, следовательно, уравнение их движения будет
Так как единственной силой, которая учитывается в этом уравнении, будет сила тяжести, принадлежащая потенциальному силовому полю, то имеет место закон сохранения механической энергии.
Последний можно получить простым приемом, именно умножим уравнение (16.10) на тогда
Интегрируя это уравнение, получим
Определяя постоянную интегрирования Си из начальных условий найдем
Решив последнее уравнение относительно получим
Это соотношение представляет собой первый интеграл дифференциального уравнения (16.10).
Определение опорных реакций физического и математического маятников
Первый интеграл уравнений движения позволяет определить опорные реакции маятников. Как указывалось в предыдущем параграфе, реакции опор определяются из уравнений (16.5). В случае физического маятника составляющие активной силы по осям координат и моменты ее относительно осей будут:
Координаты центра масс определяются формулами:
Тогда уравнения для определения реакций опор принимают вид:
Центробежные моменты инерции тела и расстояния между опорами должны быть известны по условиям задачи. Угловое ускорение в и угловая скорость со определяются из уравнений (16.9) и (16.4) в виде:
Таким образом, уравнения (16.12) полностью определяют составляющие опорных реакций физического маятника.
Уравнения (16.12) еще упрощаются, если рассматривать математический маятник. Действительно, так как материальная точка математического маятника расположена в плоскости то Кроме того, так как закреплена одна точка, то Следовательно, уравнения (16.12) обращаются в уравнения вида:
Из уравнений (16.13) с использованием уравнения (16.9) следует, что реакция опоры направлена вдоль нити I (рис. 120). Последнее представляет собой очевидный результат. Следовательно, проектируя составляющие равенств (16.13) на направление нити, найдем уравнение для определения реакции опоры вида (рис. 120):
Подставляя сюда значение и учитывая, что запишем:
Последнее соотношение определяет динамическую реакцию математического маятника. Заметим, что статическая реакция его будет
Качественное исследование характера движения маятника
Первый интеграл уравнения движеиия маятника позволяет провести качественное исследование характера движения его. Именно, запишем этот интеграл (16.11) в виде:
В процессе движения подкоренное выражение должно быть либо положительным, либо обращаться в некоторых точках в нуль. Допустим, что начальные условия таковы, что
В этом случае подкоренное выражение нигде не обращается в нуль. Следовательно, при движении маятник будет пробегать все значения угла и угловая скорость со маятника имеет один и тот же знак, который определяется направлением начальной угловой скорости, или угол будет либо все время возрастать, либо все время убывать, т. е. маятник будет вращаться в одну сторону.
Направления движения будут соответствовать тому или иному знаку в выражении (16.11). Необходимым условием реализации такого движения является наличие начальной угловой скорости, так как из неравенства (16.14) видно, что если то ни при каком начальном угле отклонения получить такое движение маятника невозможно.
Пусть теперь начальные условия таковы, что
В этом случае найдутся два таких значения угла при которых подкоренное выражение обращается в нуль. Пусть они соответствуют углам, определяемым равенством
Причем будет где-то в диапазоне изменения от 0 до . Далее, очевидно, что при
подкоренное выражение (16.11) будет положительным и при сколь угодно мало превышающем оно будет отрицательным.
Следовательно, при движении маятника его угол изменяется в диапазоне:
При угловая скорость маятника обращается в нуль и угол начинает уменьшаться до значения . При этом изменится знак угловой скорости или знак перед радикалом в выражении (16.11). Когда достигает значения угловая скорость маятника вновь обращается в нуль и угол опять начинает увеличиваться до значения
Таким образом, маятник будет совершать колебательные движения
Амплитуда колебаний маятника
При колебательных движениях маятника максимальная величина его отклонения от вертикали называется амплитудой колебания. Она равна которое определяется из равенства
Как следует из последней формулы, амплитуда колебания зависит от начальных данных основных характеристик маятника или его приведенной длины.
В частном случае, когда маятник отклонен от равновесного положения и отпущен без начальной скорости то будет равно , следовательно, амплитуда не зависит от приведенной длины.
Уравнение движения маятника в конечной форме
Пусть начальная скорость маятника равна нулю, тогда первый интеграл уравнения движения его будет:
Интегрируя это уравнение, находим
Будем вести отсчет времени от положения маятника, соответствующего тогда
Преобразуем подынтегральное выражение с помощью формулы:
Тогда получим:
Полученный интеграл называется эллиптическим интегралом первого рода. Он не может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций.
Обращение эллиптического интеграла (16.15) относительно его верхнего предела представляет уравнение движения маятника:
Это будет хорошо изученная эллиптическая функция Якоби.
Период колебания маятника
Время одного полного колебания маятника называется периодом его колебания. Обозначим его Т. Так как время движения маятника от положения до положения такое же, как время движения от то Т определится формулой:
Сделаем замену переменных, положив
При изменяющихся в пределах от 0 до будет меняться от 0 до . Далее,
и, следовательно,
Последний интеграл называется полным эллиптическим интегралом первого рода (значения его даются специальными таблицами).
При подынтегральная функция стремится к единице и .
Приближенные формулы малых колебаний маятника
В случае когда колебания маятника имеют небольшую амплитуду (практически не должно превышать 20°), можно положить
Тогда дифференциальное уравнение движения маятника преобретает вид:
Определение
Математический маятник - это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник - классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]
где $\varphi $ - угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$
\[\varphi (t)={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ }\]
где $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора - это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
\[\ {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(3\right).\]
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
где $E_k$ - кинетическая энергия маятника; $E_p$ - потенциальная энергия маятника; $v$ - скорость движения маятника; $x$ - линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол - смещение связан с $x$ как:
\[\varphi =\frac{x}{l}\left(6\right).\]
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
где $h_m$ - максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={\omega }_0x_m$ - максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
\[\frac{mv^2}{2}=mgh\ \left(1.1\right).\]
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Ответ. $h=\frac{v^2}{2g}$
Пример 2
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
Ответ. $g=9,87\ \frac{м}{с^2}$
Что собой представляет математический маятник?
Из предыдущих уроков вы уже должны знать, что под маятником, как правило, подразумевают тело, которое совершает колебания под действием гравитационного взаимодействия. То есть, можно сказать, что в физике, под этим понятием, принято считать твердое тело, которое под действием силы тяжести совершает колебательные движения, которые происходят вокруг неподвижной точки или оси.
Принцип действия математического маятника
А теперь давайте рассмотрим принцип действия математического маятника и узнаем, в чем он заключается.
Принципом действия математического маятника является то, что при отклонении от положения равновесия материальной точки на незначительный угол a, то есть такой угол, при котором бы выполнялось условие sina=a, то на тело будет действовать сила F = -mgsina = -mga.
Мы с вами видим, что сила F имеет отрицательный показатель, а из этого следует, что знак минус говорит нам о том, что данная сила направлена в ту сторону, которая является противоположной смещению. А так как сила F пропорциональна смещению S, то из этого следует, что под действием такой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания.
Свойства маятника
Если взять любой другой маятник, то у него период колебаний зависит от очень многих факторов. К таким факторам можно отнести:
Во-первых, размер и форму тела;
Во-вторых, расстояние, которое существует между точкой подвеса и центром тяжести;
В-третьих, также и распределение массы тела относительно данной точки.
Вот в связи с этими различными обстоятельствами маятников, определить период висящего тела, довольно таки сложно.
А если брать математический маятник, то он обладает всеми теми свойствами, которые можно доказать с помощью известных физических законов и его период можно легко рассчитать с помощью формулы.
Проведя много различных наблюдений над такими механическими системами, физикам удалось определить такие закономерности, как:
Во-первых, период маятника не зависит от массы груза. То есть, если при одинаковой длине маятника, мы будем к нему подвешивать грузы, которые имеют разную массу, то период их колебаний все равно получится одинаковым, даже если их массы будут иметь довольно таки разительные отличия.
Во-вторых, если мы будем при запуске системы отклонять маятник на небольшие, но при этом разные углы, то его колебания будут иметь одинаковый период, но амплитуды будут разными. При небольших отклонениях от центра равновесия, колебания по своей форме будут иметь почти гармонический характер. То есть, можно сказать, что период такого маятника не зависит от амплитуды колебаний. В переводе с греческого языка такое свойство этой механической системы носит название изохронизма, где «изос» обозначает равный, ну, а «хронос» - это время.
Практическое использование колебаний маятника
Математический маятник для различных исследований используют физики, астрономы, геодезисты и другие научные работники. С помощью такого маятника занимаются поиском полезных ископаемых. Наблюдая за ускорением математического маятника и подсчитав число его колебаний можно найти залежи каменного угля и руды в недрах нашей Земли.
К. Фламмарион, знаменитый французский астроном и естествоиспытатель, утверждал, что с помощью математического маятника ему удалось совершить много важных открытий, среди которых появление Тунгусского метеорита и открытие новой планеты.
В наше время многие экстрасенсы и оккультисты используют такую механическую систему для поиска пропавших людей и пророческих предсказаний.
