По теории вероятности. Простейшие понятия теории вероятностей

Преамбула
Простой народ рассматривает Россию через нематериальную призму исторической миссии

Одной из ключевых линий раскола в российском обществе является ценностный разрыв между элитой и остальным населением . На первый взгляд, отрыв элиты от населения связан главным образом с ее привилегированным положением в отношении материального достатка, статуса и властных полномочий. Однако есть более глубокое и парадоксальное отличие: если сформулировать его кратко, то оно заключается в том, что население все еще считает свою страну великой и имеющей миссию в масштабах всего мира, а российские элиты рассматривают положение России в мире исключительно функционально, полагая максимальным успехом встраивание России в глобализированный мир как развивающейся страны «не первого эшелона».

Россия должна отказаться от амбиций основателя глобальной мировоззренческой повестки дня, сосредоточившись на своих внутренних проблемах.

Элита вовсе не горит желанием видеть Россию как одного из ключевых международных игроков, так как считает себя прогрессивной и прагматичной, а потому мессианские идеи ей кажутся нерациональными и наивными. Можно вспомнить, что идея «нормальной страны вместо сверхдержавы» была одной из мантр развала СССР. Именно она казалась столь привлекательной советской интеллигенции. И сегодня российские либералы не устают призывать к отказу от державных амбиций в пользу хороших дорог и честных чиновников, которые якобы сразу же откуда-то возьмутся после этого признания себя «нормальными».

Либералы не устают призывать Россию к отказу от державных амбиций

Недавно было опубликовано исследование экспертов Валдайского клуба «Российская элита – 2020». В данном проекте уже на протяжении многих лет изучаются взгляды представителей властных структур, политических объединений, бизнеса – тех, кто влияет или будет влиять на политическую повестку дня в стране. Авторы отмечают тренд, который не может не вызывать разочарования с точки зрения сужения горизонта мышления респондентов – с каждым годом все большее их число полагают, что национальные интересы России должны быть ограничены только нынешней ее территорией . На 2012 год такое мнение имеют 60% опрошенных. На графике 7 видно, как уменьшается доля считающих, что интересы России шире ее границ («широкие национальные интересы»).

Если в середине 2000-х годов половина респондентов считала, что сфера национальных интересов России включает территорию СНГ, то к 2012 году количество таких ответов резко упало, до 15%. Что касается приграничных стран (и других ограниченных регионов), то их считают сферой интересов России сегодня 14%. А меньше всех число сторонников концепции, которая предполагает, что сфера российских интересов распространяется почти на весь мир – это лишь 11%.

Авторы доклада отмечают не только факт снижения доли респондентов, которые считают, что сфера национальных интересов России шире ее государственных границ, – более того, динамика изменений ускоряется с течением времени: самое резкое снижение численности сторонников «широкого» определения сферы национальных интересов пришлось на период между 2008 и 2012 годами.При этом, чем младше респонденты, тем уже они определяют сферу национальных интересов страны.

Российские элиты «наелись» и отказываются от геополитических амбиций

Наблюдаемые тенденции к снижению геополитических амбиций элит в значительной мере расходятся с декларируемыми претензиями России на одну из ведущих ролей в международных отношениях, после «Мюнхенской речи», задекларировавшей, что Российская Федерация претендует на статус одного из ключевых акторов мировой политики. Причем Россия неоднократно это уже подтвердила – в южноосетинском конфликте, в реализующемся проекте Евразийского союза, в жесткой позиции недопущения военной агрессии в Сирии.

Как же все это может сочетаться с вышеописанными настроениями элит? Эксперты объясняют это тем, что сейчас вопросы внешней политики курируют представители старших поколений, которые «по советской инерции» склонны более широко рассматривать сферу национальных интересов России. А им на смену идут молодые прагматики , которые полагают, что Россия должна сосредоточиться на решении внутренних задач. Позиция молодой элиты не совпадает со стратегией нынешнего президента, явно сегодня демонстрирующего курс на усиление международной роли России.

При этом, в то время как количество сторонников широкого определения сферы национального интереса России падает, по данным доклада, увеличивается число людей, считающих военную силу ключевым фактором международных отношений.

Элиты чувствуют, что вокруг России – вовсе не друзья и соратники , и что свои интересы нужно как-то защищать. А вот понимания, что выстраивание стратегий только защиты, без стратегии рывка и экспансии – это позиция проигрывающего, у них нет. Или есть, но они считают соотношение «прибылей и убытков» для такого проекта не в свою пользу. Подобная позиция стратегически бесперспективна – пусть даже российского оборонного ресурса и в будущем хватит для того, чтобы избежать любых прямых посягательств на ее территории, если Россия прекратит отстаивать свои интересы в других регионах, ее просто медленно и вполне мирно «выдавят» со всех территорий, где она ранее имела влияние.

Истоки подобных настроений российской элиты следует искать в недавнем прошлом. Концепция «нормальная страна вместо сверхдержавы » была ключевой для оправдания распада СССР в глазах интеллигенции. Вот как это описывает в своей книге директор Московского Центра Карнеги Дмитрий Тренин: «К середине 1980-х годов не только интеллигенцией, но и широкими кругами общества овладело стремление открыться внешнему миру и "жить в нормальной стране". Общее стремление "стать нормальной страной", "стать как все", естественно, поднимало вопрос о том, что такое "нормальная страна" и "кто есть все". … Либеральная интеллигенция мечтала, чтобы Россия, перестав быть советской, стала "нормальной европейской страной ". Диапазон моделей простирался от Германии (как исторически и эмоционально наиболее близкого примера) до Швеции или Швейцарии (как наиболее желательного)».

Сегодня очевидно, насколько наивны и безумны были чаяния этих «широких кругов». Впрочем, и сегодня, как в России, так и на Западе, кто-то еще надеется на подобные сценарии. Эксперт European Council on Foreign Relations (ECFR) Яна Кобзева недавно написала : «После окончания холодной войны многие думали, что Россия превратится в большую Польшу и надо просто помочь ей с демократическими реформами». И оказались разочарованы тем, что Россия превратилась во что-то другое, а точнее – вернулась вновь к притязаниям на независимое поведение, несмотря на не вызывающий на Западе сомнения проигрыш в холодной войне.

Для кого-то в России подобный отказ от геополитической миссии мирового масштаба был философией, потому что, в полном соответствии с духом постмодерна, «большие смыслы» должны закончиться и должен был наступить фукуямовский конец истории. А всякая мировая миссия по определению – тоталитарна (разумеется, за одним исключением – кроме миссии демократических перемен).

Другие действительно ограничили уровень своего мышления рациональным и правильным, как им кажется, прагматизмом. Зачем нам миссия, когда есть торговля, военное сотрудничество и прочая конкретика. И вообще, у нас нет врагов, у нас кругом «партнеры». Увы, хотя такое мышление не является каким-то демоническим предательством национальных интересов , оно ущербно в силу своей ограниченности.

Особенно на фоне других государств, которые вовсе не считают нужным ограничивать себя дилеммами «или мировая миссия, или нормальная жизнь». Особенно смехотворно тезисы о необходимости отказа от «сверхдержавности» выглядят на фоне действий и деклараций США, которые не собирались и не собираются отказываться от мессианства. Также и ЕС пытается позиционировать себя как геополитического субъекта с уникальной цивилизационной идентичностью, которую считает вполне вправе (если не силой как США, то моральным давлением) продвигать в другие государства. Заметим, что эти мировые игроки не сомневаются, что их геополитическое мессианство вполне совместимо, и более того, неразрывно связано, с благополучием их граждан.

В отличие от элит основное население России имеет другое мнение

Очень интересные результаты два года назад получили Институт социологии РАН и Фонд Эберта в своем исследовании «Двадцать лет реформ глазами россиян» (2011). Уже 15 лет остаются стабильными представления о том, какая идея могла бы объединить российское общество. Лидирует бессменно идея единения народов России в целях ее возрождения как великой державы, далее идут идея России как правового государства и идея объединения народов для решения глобальных проблем, стоящих перед человечеством. Можно считать такие воззрения россиян наивными или ностальгическими, но получается, что, несмотря на свой критический и даже порой пессимистичный взгляд на настоящее России, в качестве идеала они видят сильную страну, где главенствует закон и справедливость, которая заботится не только о своих гражданах, но и помогает создавать мирное и уверенное будущее для всего мира.

Социологические опросы вновь и вновь показывают, что россияне гордятся достижениями России в мировых масштабах , такими как победа над Гитлером и полет Юрия Гагарина. Именно державой, а не просто «нормальной страной» они хотят ее видеть и сейчас: недавний опрос ВЦИОМ показал, что к 2020 году россияне хотят видеть свою страну великой процветающей державой (43%).

То есть население России, по сути, гораздо более «мессиански» настроено, чем ее элита. Авторы доклада об элитах Валдайского клуба дали нам комментарий о том, чем они объясняют подобное различие. По их мнению, народ рассматривает Россию во многом через нематериальную призму ее исторической миссии, в то время как элиты прагматически оценивают, во что им обойдется эта миссия, и полагают, что сегодня Россия не может себе позволить такую роскошь – на это нет ресурсов.

Мобилизационные стратегии для нынешней элиты не привлекательны

Таким образом, одним из важнейших компонентов размежевания между элитой и остальным обществом, является вопрос о роли и месте собственной страны в мире. Это определяет очень важное направление общественного раскола, ведь отношение к данному вопросу представляет собой важную, принципиальную часть идентичности любого народа.

Выводы

Этот разрыв в видении страны имеет два ключевых негативных последствия.

1. Все большее число россиян укрепляется в мысли о том, что элиты мотивированы лишь своим сиюмитнутным обогащением, и что речь сегодня идет, по сути, о «предательстве элит».
2. Опасность такого отчуждения состоит в том, что, имея ресурс мобилизационного проекта в виде настроений населения, и не используя его для реализации «большого проекта России» как государства-миссии, элиты своим псевдоэффективным прагматизмом хаотического «решения проблем по мере их поступления» без единой стратегии диктуют России стратегию слабого.

Но этот «слабый» рано или поздно окажется перед фактом, что он все равно в «Большой игре» участвует – но уже не в качестве субъекта, а в качестве объекта, судьбу которого будут решать те, кто от своих амбиций не отказывается.

Жан-Сильвестр Монгренье, доктор геополитики и научный сотрудник Института Томаса Мора говорит, что сегодня «Путинская Россия не размахивает над головой знаменем возвышенных представлений о человеке и его отношения к космосу. Таким образом, ее нельзя считать носителем некой вселенской миссии, … "белой Мекки", то есть политического и идеологического центра консервативной философии». А ведь такую «Россию с миссией» ждут в мире многие. Но строить ее способна будет только другая элита, с другими горизонтами мышления. Которая будет признана народом легитимной и соответствующей масштабам такого государства, как Россия.

Актуальность выбранной темы обосновывается тем, что для современных государств все острее встает проблема становления квалифицированной, высокопрофессиональной политической элиты, которой могло бы доверять население. Такую элиту необходимо обществу создавать, прилагая значительные усилия для того, чтобы с помощью демократических и юридических норм и механизмов, в том числе и посредством законных и обоснованных привилегий, проводить своеобразную «селекцию» новых политиков, имеющих государственное мышление и способных взять персональную ответственность за преобразования в стране.

Целью данной работы является изучить сущность политической элиты, ее роль и значение в политической жизни демократического общества.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Дать определение понятия «элита»;

Рассмотреть типы политической элиты;

Выявить способы рекрутирования политических элит;

Раскрыть характерные черты политической элиты и особенности политической элиты современной России;

Объектом исследования является политическая система.

Предметом исследования выступает правящая элита, являющаяся вершиной государственной пирамиды и контролирующая главные ресурсы власти.

Термин «элита» ведет свое происхождение от латинского eligere – «выбирать». Непосредственно же этот термин получил широкое хождение, будучи взятым из французского elite – «лучший», «отборный», «избранный».

Философы Древней Греции считали, что править обществом должны лучшие, специально предназначенные для этого люди.

Политическая элита – это относительно небольшая социальная группа, концентрирующая в своих руках значительный объем политической власти, обеспечивающая интеграцию, субординацию и отражение в политических установках интересов различных слоев общества и создающая механизм воплощения политических замыслов.

Основы современных концепций элит заложены в трудах итальянских социологов Гаэтано Моска (1858 - 1941 гг.) и Вильфремо Парето (1848 - 1923 гг.) и немецкого политолога Роберта Михельса (1876 - 1936 гг.).

Моска Г. пытался доказать неизбежное деление любого общества на две неравные по социальному положению и роли группы. В "Основах политической науки" (1896 г.) он писал: "Во всех обществах, начиная с самых среднеразвитых и кончая современными передовыми и мощными обществами, существуют два класса лиц: класс управляющих и класс управляемых. Первый, всегда более малочисленный, осуществляет все политические функции, монополизирует власть и пользуется присущими ему преимуществами, в то время как второй, более многочисленный, управляется и регулируется первым и поставляет материальные средства для жизнеобеспечения политического организма".

Моска Г. считал господство меньшинства неотвратимым, ибо это господство организованного меньшинства над неорганизованным большинством.

Парето В. неизбежность деления общества на управляющую элиту и управляемые массы выводил из неравенства индивидуальных способностей людей, проявляющегося во всех сферах социальной жизни. Он, прежде всего, выделял элиту политическую, экономическую, военную, религиозную. В. Парето выделял два главных типа элит: "львы" и "лисы".

Для "львов " характерен консерватизм, грубые силовые методы управления. Общество, где преобладает элита "львов", обычно застойно.

"Лисы" - мастера обмана, политических комбинаций. Элита "лис" динамична, она обеспечивает преобразования в обществе.

Наряду со сходством исходных положений Парето и Моски в их концепциях есть и различия:

Парето делал упор на замене одного типа элиты другим, а Моска - на постепенном проникновении в элиту "лучших" представителей масс.

Моска абсолютизирует действие политического фактора, а Парето объясняет динамику элит скорее психологически; элита властвует потому, что насаждает политическую мифологию, возвышаясь над обыденным сознанием.

Для Моски элита - политический класс. У Парето понимание элиты шире, оно антропологично.

Суть концепции Р. Михельса состоит в том, что "демократия, чтобы сохранить себя и достичь известной стабильности", вынуждена создавать организацию. А это связано с выделением элиты - активного меньшинства, которому народная масса вверяет свою судьбу ввиду невозможности ее прямого контроля над крупной организацией. Лидеры никогда не уступают свою власть "массам", а только другим, новым лидерам. Необходимость управления организацией требует создания аппарата, и власть концентрируется в его руках.

Характерными чертами политической элиты являются следующие:

Это небольшая, достаточно самостоятельная социальная группа;

Высокий социальный статус;

Значительный объем государственной и информационной власти;

Непосредственное участие в осуществлении власти;

Организаторские способности и талант.

На основе концепции Г. Моски, В. Парето и Р. Михельса возникли современные направления: макиавеллистская школа, ценностные концепции элит, концепция демократического элитизма, концепция множественности, плюрализма элит, концепция элиты как авангардной партии рабочего класса.

Макиавеллистская школа элит имеет следующие черты:

Признание элитарности любого общества, его разделение на властвующее меньшинство и пассивное большинство.

Особые психологические качества элиты. Принадлежность к ней связана в первую очередь с природными дарованиями и воспитанием.

Групповая сплоченность.

Легитимность элиты, более или менее широкое признание массами ее права на политическое руководство.

Структурное постоянство элиты, ее властных отношений.

Формирование и смена элит происходит в борьбе за власть.

Для ценностной теории элиты характерны утверждения:

Элита – наиболее ценный элемент общества, обладающий высокими способностями.

Господствующее положение элиты отвечает интересам всего общества. Элита - мотор, а массы - колесо истории, проводник в жизнь решений элит.

Формирование элиты - процесс естественного отбора обществом наиболее ценных представителей.

Элитарность закономерно вытекает из равенства возможностей. Демократия должна обеспечить примерно одинаковые стартовые условия. На финише неизбежно проявляются социальные чемпионы и аутсайдеры.

Концепции демократического элитизма имеют следующие черты:

Демократия понимается как конкуренция между потенциальными руководителями за доверие и голоса избирателей.

Элита не только обладает необходимыми управленческими качествами, но и защищает демократические ценности.

Концепции множественности, плюрализма элит базируются на следующих постулатах:

Отрицание элиты как единой привилегированной группы. Существует множество элит.

Элиты возможно удерживать под влиянием масс.

Существует конкуренция элит, что предотвращает складывание единой господствующей элитарной группы.

Различия между элитой и массой относительны, условны и часто достаточно размыты. Доступ к лидерству открывает не только богатство и высокий социальный статус, но, прежде всего личные способности, знания, активность и т.п.

Концепция политической элиты как авангардной партии рабочего класса, всех трудящихся, разработана в учении В. И. Ленина, несмотря на его негативное отношение к элитизму. Ее основополагающие черты таковы:

Глобальный характер политической элиты, ее историческое призвание руководить процессом перехода человечества от капитализма к коммунизму.

Всеобъемлющий характер политического руководства. Коммунистическая партийно-государственная элита руководит всеми сферами общества.

Происхождение элиты из социальных низов - "кто был никем, тот станет всем".

Идеологичность. Обладание единственно верной идеологией определяет передовые качества элиты, служит важнейшей гарантией успешного руководства обществом. Все другие идеологии - заблуждения или происки классового врага.

Жестокая иерархия политической элиты. Сама правящая элита уподобляется армейским структурам, делится на вождя, "генералов", "офицеров", "унтер-офицеров" (Сталин).

Факты реальной жизни и многочисленные исследования подтверждают, что политическая элита - реальность сегодняшнего (и, вероятно, завтрашнего) этапа развития общества и обусловлена действием следующих основных факторов:

Психологическое и социальное неравенство людей, их неодинаковые способности, возможности и желания участвовать в политике.

Закон разделения труда требует профессионального занятия управленческим трудом.

Высокая значимость управленческого труда и его соответствующее стимулирование.

Широкие возможности использования управленческой деятельности для получения различного рода социальных привилегий.

Практическая невозможность осуществления всеобъемлющего контроля за политическими руководителями.

Политическая пассивность широких масс населения.

Элиты типологизируются по ряду оснований:

По отношению к власти выделяют: правящую элиту; неправящую, или контрэлиту.

По уровню компетенции: высшая (общенациональная); средняя (региональная); местная.

По результатам деятельности (эффективности): элита; псевдоэлита; антиэлита.

Сторонники однополой любви входят в список Forbes, управляют банками, заводами, аэропортами и верфями

Отбиваясь от нападок западных журналистов, упрекающих его в нетерпимости к секс-меньшинствам, президент Владимир Путин неоднократно заявлял, что относится к ним со всем уважением. В частности, в интервью «Первому каналу» и агентству Associated Press перед сочинской Олимпиадой он подчеркнул , что российские сторонники гомосексуализма - «полноценные и равные в правах граждане», а лично у него с геями «абсолютно нормальные отношения». Путин прав, и тому имеется множество подтверждений. Среди чиновников и миллиардеров Российской Федерации наблюдается множество ценителей однополой любви , некоторые из которых сделали головокружительные карьеры. Изучив их биографии, редакция агентства «Руспрес» составила рейтинг, который включает десять наиболее ярких представителей гей-сообщества из российского бизнеса.

Могли ли помешать Грефу сделать эти приобретения слухи о его половой ориентации, или даже её оглашение, сделанное на радио Finafm основателем правозащитного портала GayRussia.Ru Николаем Алексеевым ? Ни в коей мере! Как и постоянное обсуждение в офисах Сбербанка персоны молодого и симпатичного референта Т., пользующегося особым доверием начальства.

Но если судить исключительно по личным деньгам, среди геев России Прохоров до сих самый состоятельный. По данным Forbes, в 2008-2009 гг. он являлся богатейшим олигархом России, в 2010-2011 гг. входил в их первую тройку, ещё в прошлом году располагал капиталом в $13 млрд.

Немало красавиц пытались подвести под венец старого холостяка Прохорова, но безуспешно. Он настолько равнодушен к женским прелестям, что, пригласив к себе в куршевельские номера пятерых барышень, попросил их лишь почитать вслух русскую классику.

В октябре 2011 года Тиньков был отмечен журналом «Forbes » как один из 9 самых необычных российских бизнесменов - сумасбродов, чудаков и эксцентриков. В начале марта 2013 года сообщил о запуске новой авиакомпании Tinkoff Airlinesна самом деле являющимся маркетинговым названием нового карточного продукта All Airlines банка Тинькофф. Кредитные Системы . В декабре 2013 года по версии «Forbes» был признан «Пионером года» за IPO ТКС-банка.

В прошлом Тиньков считался строгим гетеросексуалом, но недавно признался в своей нетрадиционной ориентации. Правда, вскоре последовало опровержение, но от имени анонимного сотрудника пресс-службы банка «Тинькофф. Кредитные системы», что позволяет считать владельца бизнеса по крайней мере бисексуальным.

5 место. Борис Шпигель. Следующую за Тиньковым, пятую позицию занимает бывший секретарь Хмельницкого горкома комсомола, председатель Конгресса еврейских организаций России и сенатор от Пензенской области, основатель фармацевтической корпорации «Биотэк» (годовой доход до $400 млн.) Борис Шпигель . Если поверить в подлинность опубликованного в сети копии приговора Первомайского районного народного суда города Москвы, господин Шпигель в 1982 году был осуждён за растление юных комсомольцев. Впоследствии, будучи продюсером своего зятя - считающегося геем певца Николая Баскова , Шпигель стал фигурантом семейного скандала.

Когда реалии современной российской политики изменились, бизнесмен не пожелав отказываться от зарубежных вкладов и терять израильское гражданство. Поэтому покинул Совет Федерации и продолжил активно заниматься общественной деятельностью во главе существующей за его счёт общественной организации «Мир без нацизма» , передвигаясь между своими виллами в Италии и Израилем.

В отличии успехов в бизнесе, с сокрытием своей сексуальной ориентации предприниматель явно потерпел фиаско. Раскрытие эротических пристрастий получилось куда более доказательным, чем у остальных героев нашего рейтинга. В интернете появился ролик с любовными играми Валерия Когана и некоего юноши, то ли на грани совершеннолетия, то ли чуть-чуть за гранью. Первая реакция была крайне нервной, но скоро выяснилось, что наверху эротические пристрастия старшего партнера ролика никому неинтересны - скандал замялся сам собой.

9 место. Евгений Ромаков.

На девятом месте финансовый директор и заместитель председателя правления банка «ТРАСТ» Евгений Ромаков, который также известен своей нетрадиционной ориентацией. По некоторым сведениям, Ромаков обзавёлся ею ещё в Финансовой академии при правительстве РФ , которую закончил в 1997 году. Неоднократно посещавшие Академию министры финансового блока обратили внимание на симпатичного студента. Он начинал карьеру в должности экономиста в банке «Российский кредит», а с 1998 г. по 2007 г. занимал руководящие позиции в «Импэксбанке» - от начальника отдела по управлению активами и пассивами казначейства до заместителя председателя правления –финансового директора. Дослужившись до зампреда правления банков «Инвестсбербанк» и «Юниаструм» , как говорят бывшие коллеги, не вполне скромно вёл с себя с подчинёнными, и потому приходилось менять работу. С начала 2013 г. он вошел в банк «Траст». Сейчас у «Траста» проблемы – он не справляется с оттоком вкладов, что и привело к санации, стоимость которой сейчас оценена в 30 млрд руб. Управление банком временно передано Агентству по страхованию вкладов. Останется ли Ромаков на своей должности после грядущих оздоровительных процедур, пока неясно. Если члены «голубого лобби» и особенно Герман Греф его поддержат, шансы неплохие.

10 место. Андрей Макаров. Замыкает великолепную десятку старожил российского гей-движения – известный юрист Андрей Макаров, сделавшего себе имя ещё в горбачёвские времена, когда защищал зятя Брежнева Юрия Чурбанова. По воспоминаниям коллеги Макарова по Госдуме 1995 года созыва - Александра Невзорова, у нетолерантных коммунистов любимым развлечением было подождать, когда адвокат проходит мимо, и позвать: «Таня!» А потом с ухмылкой смотреть, как коллега дёргается и оглядывается. Даже такой коммунистический троллинг не помешал Макарову быть одним из самых успешных адвокатов своего времени, хотя, конечно, его основные успехи в прошлом. Состоит учредителем московского адвокатского бюро «Андрей Макаров и Александр Тобак», другой бизнес он переписал на супругу . По информации газеты «Ведомости », в Испании Макарову принадлежит два земельных участка площадью 2,9 тыс. м.

Подводя итоги нашего рейтинга, можно прийти к заключению, что представителям сексуальных меньшинств в России живётся отнюдь не плохо . Их экономические права не ограничены, а бизнес-успехам некоторых могут позавидовать иные гетеросексуалы. Как всегда, президент Путин верно обрисовал положение вещей. Сторонники нетрадиционной ориентации - «полноценные и равные в правах граждане», а, может быть, даже и «равнее и полноценнее» других.

Мама мыла раму

Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – . Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.

Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика

Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.

ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы , но это только местами.

Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (теорем-теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику. Ну, а кто хочет научиться решать задачи по теории вероятностей и математической статистике в самые короткие сроки , следуйте за мной!

Для начала хватит =)

По мере прочтения статей целесообразно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике будут размещаться соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также значительную помощь окажут ИДЗ 18.1 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).

1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны , последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .

Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или событие .

Примеров масса:

События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка .

Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков.

Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).

Чуть занятнее дело с совместными событиями:

Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).

Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий , а именно:

– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.

То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.

Второй столп алгебры событий:

2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
и на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.

Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет) . Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И , а сложение – ИЛИ . Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »

Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания , когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.

…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

Вероятность события

Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:

;
Геометрическое определение вероятности ;
Статистическое определение вероятности .

В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.

Обозначения . Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики::

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.

Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:

Классическое определение вероятности :

Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу , таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен . Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: .

Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: .ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы , и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным , если – достоверным , а если , то речь идёт о случайном событии.

! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!

При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:

в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт .

Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. ...Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)

Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.

Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.

Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:

Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице . Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:

– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.

По теореме:

Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы .

По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными . А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)

Пример с кубиком: события противоположны, поэтому .

Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:

Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
. Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.

! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.

В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:

– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?

Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

• Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
• Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
• Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

• А = «студенты пришли на лекцию».
• Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

• А = «студентка пришла на лекцию».
• В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

• А = «фирма получит первый контракт».
• А 1 = «фирма не получит первый контракт».
• В = «фирма получит второй контракт».
• В 1 = «фирма не получит второй контракт»
• С = «фирма получит третий контракт».
• С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

• К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

• М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

• классическое;
• статистическое;
• геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

• Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.