Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.
Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.
Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.
Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.
Изменение импульса тела
Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.
1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры , сила тяжести .
Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.
Импульс... Понятие, довольно часто используемое в физике. Что понимают под этим термином? Если задать этот вопрос простому обывателю, в большинстве случаев мы получим ответ, что импульс тела - это определенное воздействие (толчок или удар), оказываемое на тело, благодаря чему оно получает возможность двигаться в заданном направлении. В целом довольно верное объяснение.
Импульс тела - определение, с которым мы впервые сталкиваемся в школе: на уроке физики нам показывали, как по наклонной поверхности скатывалась небольшая тележка и сталкивала со стола металлический шарик. Именно тогда мы рассуждали, что может оказать влияние на силу и длительность этого Из подобных наблюдений и умозаключений много лет назад и родилось понятие импульса тела как характеристики движения, напрямую зависящей от скорости и массы объекта.
Сам термин в науку ввел француз Рене Декарт. Произошло это в начале XVII века. Ученый объяснял импульс тела не иначе как «количество движения». Как говорил сам Декарт, если одно движущееся тело сталкивается с другим, оно теряет столько своей энергии, сколько отдает другому объекту. Потенциал тела, по мнению физика, никуда не исчезал, а лишь передавался от одного предмета другому.
Основной характеристикой, которой обладает импульс тела, является его направленность. Иначе говоря, он представляет собой Отсюда следует и такое утверждение, что всякое тело, находящееся в движении, обладает определенным импульсом.
Формула воздействия одного объекта на другой: p = mv, где v - скорость тела (векторная величина), m - масса тела.
Однако импульс тела - не единственная величина, определяющая движение. Почему одни тела, в отличие от других, не теряют его продолжительное время?
Ответом на этот вопрос стало появление еще одного понятия - импульса силы, который определяет величину и продолжительность воздействия на предмет. Именно он позволяет нам определять, как изменяется импульс тела за определенный промежуток времени. Импульс силы представляет собой произведение величины воздействия (собственно силы) на продолжительность его приложения (время).
Одним из наиболее примечательных особенностей ИТ является его сохранение в неизменном виде при условии замкнутой системы. Иначе говоря, при отсутствии иных воздействий на два предмета, импульс тела между ними будет оставаться стабильным сколько угодно долго. Принцип сохранения можно учитывать и в ситуации, когда внешнее воздействие на объект присутствует, но его векторное воздействие равно 0. Также импульс не изменится и в том случае, когда воздействие этих сил незначительно или действует на тело весьма непродолжительный период времени (как, например, при выстреле).
Именно этот закон сохранения не одну сотню лет не дает покоя изобретателям, ломающим голову над созданием пресловутого «вечного двигателя», так как именно он лежит в основе такого понятия, как
Что касается применения знаний о таком явлении, как импульс тела, то их используют при разработке ракет, вооружения и новых, пусть и не вечных, механизмов.
В повседневной жизни для того, чтобы охарактеризовать человека, совершающего спонтанные поступки, иногда используют эпитет «импульсивный». При этом некоторые люди даже не помнят, а значительная часть и вовсе не знает, с какой физической величиной связано это слово. Что скрывается под понятием «импульс тела» и какими свойствами он обладает? Ответы на эти вопросы искали такие великие ученые, как Рене Декарт и Исаак Ньютон.
Как и всякая наука, физика оперирует четко сформулированными понятиями. На данный момент принято следующее определение для величины, носящей название импульса тела: это векторная величина, которая является мерой (количеством) механического движения тела.
Предположим, что вопрос рассматривается в рамках классической механики, т. е. считается, что тело движется с обычной, а не с релятивистской скоростью, а значит, она хотя бы на порядок меньше скорости света в вакууме. Тогда модуль импульса тела рассчитывается по формуле 1 (см. фото ниже).
Таким образом, по определению, эта величина равна произведению массы тела на его скорость, с которой сонаправлен ее вектор.
В качестве единицы измерения импульса в СИ (Международной системе единиц) принимается 1 кг/м/с.
Откуда появился термин «импульс»
За несколько веков до того, как в физике появилось понятие количества механического движения тела, считалось, что причиной любого перемещения в пространстве является особая сила — импетус.
В 14 веке в это понятие внес коррективы Жан Буридан. Он предположил, что летящий булыжник обладает импетусом, прямо пропорциональным скорости, который был бы неизменным, если бы отсутствовало сопротивления воздуха. В то же время, по мнению этого философа, тела с большим весом обладали способностью «вмещать» больше такой движущей силы.
Дальнейшее развитие понятию, позднее названного импульсом, дал Рене Декарт, который обозначил его словами «количество движения». Однако он не учитывал, что скорость имеет направление. Именно поэтому выдвинутая им теория в некоторых случаях противоречила опыту и не нашла признания.
О том, что количество движения должно иметь еще и направление, первым догадался английский ученый Джон Валлис. Произошло это в 1668 году. Однако понадобилась еще пара лет, чтобы он сформулировал известный закон сохранения количества движения. Теоретическое доказательство этого факта, установленного эмпирическим путем, было дано Исааком Ньютоном, который использовал открытые им же третий и второй законы классической механики, названные его именем.
Импульс системы материальных точек
Рассмотрим сначала случай, когда речь идет о скоростях, намного меньших, чем скорость света. Тогда, согласно законам классической механики, полный импульс системы материальных точек представляет векторную величину. Он равен сумме произведений их масс на скорости (см. формулу 2 на картинке выше).
При этом за импульс одной материальной точки принимают векторную величину (формула 3), которая сонаправлена со скоростью частицы.
Если речь идет о теле конечного размера, то сначала его мысленно разбивают на малые части. Таким образом, снова рассматривается система материальных точек, однако ее импульс рассчитывают не обычным суммированием, а путем интегрирования (см. формулу 4).
Как видим, временная зависимость отсутствует, поэтому импульс системы, на которую не воздействуют внешние силы (или их влияние взаимно компенсировано), остается неизменным во времени.
Доказательство закона сохранения
Продолжим рассматривать тело конечного размера как систему материальных точек. Для каждой из них Второй закон Ньютона формулируется согласно формуле 5.
Обратим внимание на то, что система замкнутая. Тогда, суммируя по всем точкам и применяя Третий закон Ньютона, получаем выражение 6.
Таким образом, импульс замкнутой системы является постоянной величиной.
Закон сохранения справедлив и в тех случаях, когда полная сумма сил, которые действуют на на систему извне, равна нулю. Отсюда следует одно важное частное утверждение. Оно гласит, что импульс тела является постоянной величиной, если воздействие извне отсутствует или влияние нескольких сил скомпенсировано. Например, в отсутствие трения после удара клюшкой шайба должна сохранять свой импульс. Такая ситуация будет наблюдаться даже невзирая на то, что на это тело действуют сила тяжести и реакции опоры (льда), так как они, хотя и равны по модулю, однако направлены в противоположные стороны, т. е. компенсируют друг друга.
Свойства
Импульс тела или материальной точки является аддитивной величиной. Что это значит? Все просто: импульс механической системы материальных точек складывается из импульсов всех входящих в систему материальных точек.
Второе свойство этой величины заключается в том, что она остается неизменной при взаимодействиях, которые изменяют лишь механические характеристики системы.
Кроме того, импульс инвариантен по отношению к любому повороту системы отсчета.
Релятивистский случай
Предположим, что речь идет о невзаимодействующих материальных точках, имеющих скорости порядка 10 в 8-й степени или чуть меньше в системе СИ. Трехмерный импульс рассчитывается по формуле 7, где под с понимают скорость света вакууме.
В случае, когда она замкнутая, верен закон сохранения количества движения. В то же время трехмерный импульс не является релятивистски инвариантной величиной, так как присутствует его зависимость от системы отсчета. Есть также четырехмерный вариант. Для одной материальной точки его определяют по формуле 8.
Импульс и энергия
Эти величины, а также масса тесно связаны друг с другом. В практических задачах обычно применяются соотношения (9) и (10).
Определение через волны де Бройля
В 1924 году была высказана гипотеза о том, что корпускулярно-волновым дуализмом обладают не только фотоны, но и любые другие частицы (протоны, электроны, атомы). Ее автором стал французский ученый Луи де Бройль. Если перевести эту гипотезу на язык математики, то можно утверждать, что с любой частицей, имеющей энергию и импульс, связана волна с частотой и длиной, выражаемыми формулами 11 и 12 соответственно (h — постоянная Планка).
Из последнего соотношения получаем, что модуль импульса и длина волны, обозначаемая буквой «лямбда», обратно пропорциональны друг другу (13).
Если рассматривается частица со сравнительно невысокой энергией, которая движется со скоростью, несоизмеримой со скоростью света, то модуль импульса вычисляется так же, как в классической механике (см. формулу 1). Следовательно, длина волны рассчитывается согласно выражению 14. Иными словами, она обратно пропорциональна произведению массы и скорости частицы, т. е. ее импульсу.
Теперь вы знаете, что импульс тела — это мера механического движения, и познакомились с его свойствами. Среди них в практическом плане особенно важен Закон сохранения. Даже люди, далекие от физики, наблюдают его в повседневной жизни. Например, всем известно, что огнестрельное оружие и артиллерийские орудия дают отдачу при стрельбе. Закон сохранения импульса наглядно демонстрирует и игра в бильярд. С его помощью можно предсказать направления разлета шаров после удара.
Закон нашел применение при расчетах, необходимых для изучения последствий возможных взрывов, в области создания реактивных аппаратов, при проектировании огнестрельного оружия и во многих других сферах жизни.
В некоторых случаях удается исследовать взаимодействие тел, не используя выражения для сил, действующих между телами. Это возможно благодаря тому, что существуют физические величины, которые остаются неизменными (сохраняются) при взаимодействии тел. В этой главе мы рассмотрим две такие величины – импульс и механическую энергию.
Начнем с импульса.
Физическую величину , равную произведению массы тела m на его скорость , называют импульсом тела (или просто импульсом):
Импульс – векторная величина. Модуль импульса p = mv, а направление импульса совпадает с направлением скорости тела. Единицей импульса является 1 (кг * м)/с.
1. По шоссе в направлении на север со скоростью 40 км/ч едет грузовик массой 3 т. В каком направлении и с какой скоростью должен ехать легковой автомобиль массой 1 т, чтобы его импульс был равен импульсу грузовика?
2. Мяч массой 400 г свободно падает без начальной скорости с высоты 5 м, После удара мяч отскакивает вверх, причем модуль скорости мяча в результате удара не изменяется.
а) Чему равен и как направлен импульс мяча непосредственно перед ударом?
б) Чему равен и как направлен импульс мяча сразу после удара?
в) Чему равно и как направлено изменение импульса мяча в результате удара? Найдите изменение импульса графически.
Подсказка. Если импульс тела был равен 1 , а стал равен 2 , то изменение импульса ∆ = 2 – 1 .
2. Закон сохранения импульса
Важнейшим свойством импульса является то, что при определенных условиях суммарный импульс взаимодействующих тел остается неизменным (сохраняется).
Поставим опыт
Две одинаковые тележки могут катиться по столу вдоль одной прямой практически без трения. (Этот опыт можно поставить при наличии современного оборудования.) Отсутствие трения – важное условие нашего опыта!
Установим на тележках защелки, благодаря которым тележки после столкновения движутся как одно тело. Пусть правая тележка вначале покоится, а левой толчком сообщим скорость 0 (рис. 25.1, а).
После столкновения тележки движутся вместе. Измерения показывают, что их общая скорость в 2 раза меньше, чем начальная скорость левой тележки (25.1, б).
Обозначим массу каждой тележки m и сравним суммарные импульсы тележек до и после столкновения.
Мы видим, что суммарный импульс тележек остался неизменным (сохранился).
Может быть, это справедливо только тогда, когда тела после взаимодействия движутся как единое целое?
Поставим опыт
Заменим защелки на упругую пружину и повторим опыт (рис. 25.2).
На этот раз левая тележка остановилась, а правая приобрела скорость, равную начальной скорости левой тележки.
3. Докажите, что и в этом случае суммарный импульс тележек сохранился.
Может быть, это справедливо только тогда, когда массы взаимодействующих тел равны?
Поставим опыт
Закрепим на правой тележке еще одну такую же тележку и повторим опыт (рис. 25.3).
Теперь после столкновения левая тележка стала двигаться в противоположном направлении (то есть влево) со скоростью, равной –/3, а сдвоенная тележка стала двигаться вправо со скоростью 2/3.
4. Докажите, что и в этом опыте суммарный импульс тележек сохранился.
Чтобы определить, при каких условиях суммарный импульс тел сохраняется, введем представление о замкнутой системе тел. Так называют систему тел, которые взаимодействуют только друг с другом (то есть не взаимодействуют с телами, не входящими в эту систему).
В точности замкнутых систем тел в природе не существует – хотя бы потому, что невозможно «отключить» силы всемирного тяготения.
Но во многих случаях систему тел с хорошей точностью можно считать замкнутой. Например, когда внешние силы (силы, действующие на тела системы со стороны других тел) уравновешивают друг друга или ими можно пренебречь.
Именно так и было в наших опытах с тележками: действующие на них внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции) уравновешивали друг друга, а силой трения можно было пренебречь, Поэтому скорости тележек изменялись только вследствие их взаимодействия друг с другом.
Описанные опыты, как и многие другие, подобные им, свидетельствуют о том, что выполняется
закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не изменяется при любых взаимодействиях между телами системы
:
Закон сохранения импульса выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Закон сохранения импульса как следствие законов Ньютона
Покажем на примере замкнутой системы двух взаимодействующих тел, что закон сохранения импульса – следствие второго и третьего законов Ньютона.
Обозначим массы тел m 1 и m 2 , а их начальные скорости 1 и 2 . Тогда векторная сумма импульсов тел
Пусть в течение промежутка времени ∆t взаимодействующие тела двигались с ускорениями 1 и 2 .
5. Объясните, почему изменение суммарного импульса тел можно записать в виде
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что для каждого тела ∆ = m∆, а также тем, что ∆ = ∆t.
6. Обозначим 1 и 2 силы, действующие соответственно на первое и второе тело. Докажите, что
Подсказка. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона и тем, что система замкнута, вследствие чего ускорения тел обусловлены только силами, с которыми эти тела действуют друг на друга.
7. Докажите, что
Подсказка. Воспользуйтесь третьим законом Ньютона.
Итак, изменение суммарного импульса взаимодействующих тел равно нулю. А если изменение некоторой величины равно нулю, то это означает, что эта величина сохраняется.
8. Почему из приведенного рассуждения следует, что закон сохранения импульса выполняется только в инерциальных системах отсчета?
3. Импульс силы
Есть такая поговорка: «Знать бы, где упадешь, – соломки постелил бы». А зачем нужна «соломка»? Почему спортсмены на тренировках и соревнованиях падают или прыгают на мягкие маты, а не на твердый пол? Почему после прыжка надо приземляться на согнутые ноги, а не на выпрямленные? Зачем в автомобилях нужны ремни и подушки безопасности?
Мы сможем ответить на все эти вопросы, познакомившись с понятием «импульс силы».
Импульсом силы называют произведение силы на промежуток времени ∆t, в течение которого действует эта сила.
Название «импульс силы» не случайно «перекликается» с понятием «импульс». Рассмотрим случай, когда на тело массой m в течение промежутка времени ∆t действует сила .
9. Докажите, что изменение импульса тела ∆ равно импульсу действующей на это тело силы:
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что ∆ = m∆, и вторым законом Ньютона.
Перепишем формулу (6) в виде
Эта формула представляет собой другую форму записи второго закона Ньютона. (Именно в таком виде сформулировал этот закон сам Ньютон.) Из нее следует, что на тело действует большая сила, если его импульс существенно изменяется за очень краткий промежуток времени ∆t.
Вот почему при ударах и столкновениях возникают большие силы: удары и столкновения характеризуются как раз малым интервалом времени взаимодействия.
Чтобы ослабить силу удара или уменьшить силы, возникающие при столкновении тел, надо удлинить промежуток времени, в течение которого происходит удар или столкновение.
10. Объясните смысл поговорки, приведенной в начале этого раздела, а также ответьте на другие вопросы, помещенные в том же абзаце.
11. Мяч массой 400 г ударился о стену и отскочил от нее с той же по модулю скоростью, равной 5 м/с. Перед самым ударом скорость мяча была направлена горизонтально. Чему равна средняя сила давления мяча на стену, если он соприкасался со стеной в течение 0,02 с?
12.Чугунная болванка массой 200 кг падает с высоты 1,25 м в песок и погружается в него на 5 см.
а) Чему равен импульс болванки непосредственно перед ударом?
б) Чему равно изменение импульса болванки за время удара?
в) Сколько времени длился удар?
г) Чему равна средняя сила удара?
Дополнительные вопросы и задания
13. Шарик массой 200 г движется со скоростью 2 м/с влево. Как должен двигаться другой шарик массой 100 г, чтобы суммарный импульс шариков был равен нулю?
14. Шарик массой 300 г равномерно движется по окружности радиусом 50 см со скоростью 2 м/с. Чему равен модуль изменения импульса шарика:
а) за один полный период обращения?
б) за половину периода обращения?
в) за 0,39 с?
15. Первая доска лежит на асфальте, а вторая такая же – на рыхлом песке. Объясните, почему в первую доску легче забить гвоздь, чем во вторую?
16. Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 700 м/с, пробила доску, после чего скорость пули стала равной 300 м/с. Внутри доски пуля двигалась в течение 40 мкс.
а) Чему равно изменение импульса пули вследствие прохождения сквозь доску?
б) С какой средней силой пуля действовала на доску при прохождении сквозь нее?
Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.
С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.
Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.
Импульс силы равен изменению импульса тела:
Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:
Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:
Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.
Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:
Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:
Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
- Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.
Домашнее задание
- Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
- Как связаны импульс тела с импульсом силы?
- Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?
- Интернет-портал Questions-physics.ru ().
- Интернет-портал Frutmrut.ru ().
- Интернет-портал Fizmat.by ().
