Правило сложения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Вычитание смешанных дробей

Исследование, проведенное Алышевой Т.В. 1 , свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся

Алышева Т. В. Изучение арифметических действий с обыкновенными дробями учащимися вспомогательной школы //Дефектология. -1992.- № 4.- С. 25-27.

исел, полученных в результате измерения величин, и проводить ручение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к част­ому».

Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наимено-»аниями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к.

Лри выполнении устного сложения и вычитания нужно склады-

3 м 45 см ± 2 м 24 см - сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.

; При сложении и вычитании дробей рассматривается общий случай: выполнение этих действий со смешанными дробями (зна­менатели одинаковые): 3-?- ± 1-г. В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные слу­чаи: сложение смешанного числа с дробью 1у + -= = \-= \, потом

(1 1\ ^ "

смешанного числа с целым \-= + 4 = 5у. После этого рассматри­ваются более трудные случаи вычитания: 1) из смешанного числа дроби: 4д~п=4д-; 2) из смешанного числа целого: 4д-2=2-д-.

После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой едини­цы или из нескольких единиц, например:

\ О О О 2, л О <-)Э О п~

1 ~Ь-~Ь~Ь-~5" 6 ~~5~ 2 Ь~"5- 2 "5-

В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором слу­чае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по обще­му правилу.

Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше

числителя в вычитаемом: 5^-^. В этом случае надо уменьшае­мое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т. е. в уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить

в пятые доли, получим 1=-г, да еще -г, получится -г, прим<-|>

примет такой вид: 4^~^, к его решению уже можно применим

общее правило.

Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычп танию дробей будет способствовать развитию у учащихся умении обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные слу­чаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.

2. Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел с разными знаменателями*.

а) больший знаменатель является НОЗ:

о?+|, Н; 2) 1|+", 4-ш" 3 > 4+4 4-4

б) больший знаменатель не является НОЗ:

п 3 4 7 2. 9 г.3 , 7 ,3 2. 04^2.. 1 гЗ 9 2 1} Б-+7" 8-9" 2) %+8" 1 5-5" 3) %+%" 5 Т- 2 3"

Выполнение сложения и вычитания дробей, имеющих разные з менатели, представляет значительные трудности для умственно -сталых школьников, так как, прежде чем выполнять действия, тре­буется привести дроби к наименьшему знаменателю, в связи с чем внимание учащихся переключается на дополнительную операцию (удлиняется запись выражения - требуется несколько раз перепи­сывать выражение, ставя знак равенства). Это требует от учащихся сосредоточенности внимания. А внимание учащихся с нарушением ин­теллекта характеризуется, как известно, отвлекаемостью, рассеяннос­тью. Это нередко приводит к потере целых, знака равенства, а то и ком­понента. Чтобы избежать подобных ошибок, можно на первых порах предложить учащимся запись выражения проговорить устно, а именно сказать, какие операции надо выполнить и в какой последовательности: 1) привести дроби к наименьшему знаменателю; 2) выполнить дейст­вие; 3) произвести, если нужно, преобразование в ответе.

При выполнении сложения дроби со смешанным числом надо обратить внимание учащихся на значение суммы и каждого слагаемого, сравнив со свойством суммы целых чисел.

То же самое необходимо сделать и при знакомстве с вычитанием дро­бей, подчеркнув общность свойств разности целых и дробных чисел.

Для этого целесообразно решить и сравнить пары примеров на нахождение суммы и разности целых и дробных чисел: 310

4,3 . 3 , -1 5 + 5" 1 ТО +5 ТО

Вывод: сумма больше каждого из слагаемых, разность меньше или равна уменьшаемому.

Сложение и вычитание дробей необходимо связать с жизненно-практическими заданиями и упражнениями, которые могут быть мыполнены и устно. Например:

«На отделку блузки отрезали -^ м белой и -^ м синей тесьмы.

Сколько тесьмы пошло на отделку блузки?»

ъ - - о -3

«От рейки длиной 2 м отпилили один кусок длиной -% м и

второй - длиной 4" м. Какова длина оставшейся рейки?»

Отметим, что в этих задачах даны числа, полученные от изме­рения величин. Это позволяет закрепить в памяти учащихся наи­более употребительные в повседневной жизни соотношения: к- м - это 50 см, -^ м - это 25 см, -? м - это 20 см, -^ ч - это 15 мин и т. д.

В этот период следует решать с учащимися примеры на нахож­дение неизвестных компонентов сложения и вычитания, сопостав­ляя нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания дробных и целых чисел.

Учащиеся должны убедиться, что переместительный и сочета­тельный закон арифметических действий над целыми числами рас­пространяются и на действия над дробными числами. Так же как и при изучении действий с целыми числами, учащиеся получают

лишь практическое знакомство с законами - их использование

3 для рационализации вычислений. Например, решить пример -^+2

удобнее, переставив местами слагаемые, т. е. использовав пере­местительный закон сложения.

Решение примеров с предварительным обдумыванием порядка вы­полнения действий развивает сообразительность, смекалку, предуп­реждает шаблонность и имеет большое корригирующее значение.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ*

В школе VIII вида рассматривается только умножение и деле­ние дробей и смешанных чисел на целое число. Изучение этих

действий, так же как и изучение сложения и вычитания, дает параллельно.

Для удобства изложения мы сначала рассмотрим методику зь комства с умножением дроби на целое число, а затем с деление дроби на целое число.

Прежде чем знакомить учащихся с умножением дроби на цел^ число, необходимо повторить умножение целых чисел.

При рассмотрении умножения дроби на целое число необхоД| мо соблюдать определенную последовательность разных случае] которая определяется степенью их трудности.

Умножение дроби на целое число.

Умножение смешанного числа на целое. Подготовительными заданиями к объяснению умножения дрой

на целое число являются задания на умножение целых чисел | последующей заменой действия умножения действием сложений например: заменить умножение 7-3=21 сложением 7+7+7=21| заменить действие умножения (первый множитель - дробь второй множитель - целое число) действием сложен» д-хЗ=д-+д-4-д-=-д. При этом обращается внимание на числитель знаменатель произведения и первого множителя. С помощью во просов: «Изменился ли знаменатель дроби при умножении? Чт| произошло с числителем дроби?» - учащиеся приходят к выводу^ что числитель увеличился в 3 раза, а знаменатель не изменился.. Для вывода правила умножения дроби на целое число недостаточ­но ограничиться рассмотрением только одного примера, нужно, рассмотреть еще несколько примеров:

2

2,2,2 2+2+2 =++ 7 = ~7~

- ~- 7 ;

3 2 6 3~

Правильность ответов в этих примерах необходимо подтвер­дить демонстрацией рисунков.

В рассмотренных примерах внимание учащихся надо обратить на то, что в числителе сумму одинаковых слагаемых (трех двоек) можно заменить произведением (2 3). Это позволит подвести их

л » 2 о 2 3 6

к более сокращенной записи: у 3= - ^ - =у, а следовательно, и к

выводу правила. Кроме того, при умножении дроби на целое число получается произведение, большее первого множителя. После усвоения правила умножения дроби на целое число необхо­димо показать учащимся, что до умножения числителя на целое 312

Исло надо сопоставить эти числа со знаменателем и, если у них Ьть общий делитель, разделить на него и только потом произвес-умножение. Такой прием предварительного сокращения чисел,

писанных в числителе и знаменателе, облегчает вычисления, пример: -г-10=-?-=-г-=8. Это же действие выполним с пред-рительным сокращением числителя и знаменателя на общий |делитель:

I Дети с интеллектуальным недоразвитием редко прибегают к | рациональным приемам вычисления, используя, как правило, толь­ко те приемы, которые стали стереотипными. Поэтому учителю надо иногда просто требовать, чтобы учащиеся использовали ра­циональные способы действий.

Перед объяснением умножения смешанного числа на целое необходимо повторить умножение чисел, полученных при измере­нии величин, вида 15 р. 32 к.-3. Сначала следует дать подробную запись при решении этого примера: 1 р. = 100 к.

15 р. = 100 к.-15=1500 к. 1500 к.+32 к. = 1532 к.

Однако тут же надо показать, что некоторые примеры легче решать в уме, умножая отдельно число рублей и копеек.

При умножении смешанного числа на целое обращается внима­ние на то, что смешанное число надо выразить (записать) в виде неправильной дроби, а затем выполнять умножение по правилу умножения дроби на целое число, например:

-

(Сопоставить с умножением 15 р. 32 к. на целое число 3.)

Недостатком этого способа вычислений является его громозд­кость: большие числа, которые получаются в числителе, затрудня­ют вычисления. Однако у этого способа есть и преимущество: в дальнейшем, когда учащиеся будут знакомиться с делением сме­шанного числа на целое, перед выполнением действия им потребу­ется выразить смешанное число неправильной дробью.

Наиболее сильным учащимся можно показать и второй сп| умножения смешанного числа на целое (без записи смешан| числа неправильной дробью), например:

(

В этом случае умножается целое число на целое, получен», произведение записывается целым числом, затем умножаете!, дробная часть числа по правилу умножения дроби на целое число,.

При изучении темы «Умножение дроби на целое число» следу*! ет решать примеры и задачи на увеличение дроби в несколько!

2 раз. Необходимо показать учащимся, что пример у 3 можно про*

произведение у и 3; множители у и 3, найти произведение. После!

решения примера уЗ=у следует сравнить произведение и пер-

выи множитель: у больше у в 3 раза, = меньше у в 3 раза.

Надо решать примеры и с неизвестным числителем или знаме­нателем в первом множителе вида: -~--2=-г, т=г-2=-я-.

Можно предложить и более трудные примеры вида:

А, 4 1 ,-, 3 П г-, 2

1 -а- 4 =Ъи" а =Г> П" П =5

2. Дробь тг увеличить в 3 раза.

Деление дроби на целое число дается в следующей последо­вательности:

Деление дроби на целое число без предварительного сокра­ щения.

Деление смешанного числа на целое число без предваритель­ ного сокращения.

Деление с предварительным сокращением.

Учащимся необходимо показать и такие случаи деления дроби или смешанного числа на целое, когда предварительное сокраще­ние облегчает процесс выполнения действия. Например:

5- 2= 7^- = 5" 3 4- 9 = Т" :9 = 4^ = Т2-

На основе наблюдений и конкретной деятельности учащиеся

н"мнодятся к выводу: при делении дроби на целое число доли

1.ПЮВЯТСЯ мельче, число же долей не изменяется. Например,

| гни взять половину яблока и разделить эту половину на 2 рав-

ц.к" части (-я- : 2 ] , то получится по -т яблока. Записываем: -к\2=-^.

Каждый ученик должен самостоятельно половину круга (полоски, Отрезки) разделить на 2 равные части и записать результат деле-

Части: -^:3=к- Учащиеся видят, что получились при делении девя­тые доли, а число их не изменилось. Сравниваются числитель и знаменатель частного и делимого: знаменатель увеличился в 3 раза, а числитель не изменился. Отсюда можно сделать вывод: чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель умно­жить на это число, а числитель оставить тот же. На основе правила решается пример:Затем на предметах уча-

щиеся должны еще раз показать процесс деления и убедиться, что пример решен верно.

Деление дроби на целое число необходимо сопоставить с умно­жением дроби на целое число, решая взаимно обратные примеры видаПри этом следует сравнить

произведение и частное соответственно с первым множителем и делимым. Это надо для того, чтобы учащихся подвести к обобще­нию: при умножении дроби на целое число произведение во столь­ко раз больше первого множителя, сколько единиц содержится во втором множителе. Аналогичный вывод нужно сделать и для част­ного.

Деление смешанного числа на целое дается по аналогии со вторым способом умножения смешанного числа на целое, напри­мер:Смешанное число обращается в непра-

вильную дробь и деление производится по правилу деления дроби на целое число.

Наиболее сильных учащихся нужно познакомить и с особыми случаями деления. Если целая часть смешанного числа нацело делится на делитель, то смешанное число не обращается в непра-

вильную дробь, например: 2-^".2=\-^. Нужно делить сначала

часть, результат записать в частное, затем делить дробную част

правилу деления дроби на целое число: 12^:3=47^=4-^. В

случае деление смешанного числа нужно показать на предметиц пособиях. После изучения всех четырех действий с обыкновений ми дробями предлагаются сложные примеры со скобками и порядок действий.

НАХОЖДЕНИЕ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТЕЙ ОТ ЧИСЛА

Данная тема изучается сразу же после изучения темы чение дроби».

Объяснение нового понятия следует начать с решения практ! ческой задачи, например: «От доски длиной 80 см отпилили -^ част Какой длины доску отпилили?» Эту задачу нужно показать,-, щимся на предметных пособиях. Взять планку длиной 80 ск

проверить ее длину с помощью метровой линейки, а затем спре

I сить, как найти -т часть этой планки. Учащиеся знают, что план

нужно разделить на 4 равные части и отпилить одну четверту! часть. Отпиленный кусок планки измеряется. Его длина оказыв* ется равной 20 см. «Как получили число 20 см?» - спрашивав учитель. Ответ на этот вопрос вызывает у некоторых учащихс затруднение, поэтому надо показать, что раз планку делили на равные части, то, следовательно, делили 80 см на 4 равные часп Запишем решение этой задачи: -% от 80 см составляет 80 см:4- =20 см.

Нахождение нескольких частей от числа в школе VIII шадв производится с помощью двух арифметических действий. В пер­вом действии определяется одна часть от числа, а во вто-

ром - несколько частей. Например, надо найти -5- от 15. Находим 1 21

Д- от 15, 15:3=5; -? больше -о- в 2 раза, поэтому 5 нужно умно­жить на 2. Находим * от 15, 5-2 = 10.

3 от 15 15:3=5; | от 15 5-2=10.

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ОДНОЙ ЕГО ЧАСТИ*

|Работу над данной темой следует связать с задачами чисто ] I

|ктического содержания, например: «Известно, что ^ р. со-

|вляет 50 к. Чему равно все число? (Сколько копеек в целом бле?)» Учащиеся знают, что целый рубль - это 100 к. I Если это известно, то зная, чему равна его * часть, они опре-1лят неизвестное число, * часть рубля, т. е. 50 к., умножаем на! (знаменатель дроби).

Таким образом рассматриваем решение еще ряда задач, связан-йх с определенным жизненным опытом и наблюдениями учащих-К: «-т- м составляет 25 см. Сколько сантиметров в 1 м?»

Решение. 25 см-4= 100 см.

«На платье израсходовали 3 м материи, что составляет -з- всей пленной материи. Сколько материи купили?» Решение. 3 мхЗ=9 м - это вся купленная материя. Теперь надо убедиться, что -^ от 9 м составляет 3 м, т, е. выполнить проверку, -д- от 9 м мы находить умеем. Нужно 9 м:3=3 м. 3 м - это -т часть всей купленной материи. Значит, задача решена верно.

Когда учащиеся научатся решать задачи на нахождение числа по одной части, необходимо сопоставить решение этих задач с уже известными, т. е. с задачами на нахождение одной части от числа, выявляя сходство, различие в условии, вопросе и решении задач.

Только прием сравнительного анализа позволит отдифференциро­вать задачи этих двух видов и сознательно подойти к их решению. Для сопоставления эффективнее всего, как показывает опыт, предлагать задачи с одинаковой фабулой:

«В классе 16 учащихся. Девочки составляют -т- часть всех учащихся. Сколько девочек в классе?» Решение Найти -г от 16 учеников. 16 уч.:4=4 уч.

Ответ. В классе 4 девочки.

«В классе 4 девочки, что составляет -у часть всех учащи}! класса. Сколько всего учащихся в классе?»

4 уч. -4=16 уч.

Ответ. В классе 16 учащихся.

Открытый урок

по математике 6б классе (коррекционый класс VIII вида)

на тему:

Сложение дробей

с одинаковыми знаменателями.

Вид урока: изучение нового материала.

Тип урока: урок – сказка.

Класс: 6,7«Б».

Цели:

Ознакомить учащихся с действиями с действиями сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;

Задачи:

Коррекционные - образовательные:

Обрабатывание навыков сложения дробей с одинаковыми знаменателями;

Коррекционные - развивающие:

Коррегировать развитие логического и математического мышления в ходе проговаривания алгоритма сложения дробей с одинаковыми знаменателями и при выполнении письменной работы в тетради;

Коррекция развития познавательной активности учащихся через выполнение заданий ы нестандартных ситуациях;

Формировать навыки внимания и самоконтроля.

Коррекционно - воспитательные:

Прививать интерес к предмету на основе связи с жизнью и практикой;

Формирование математической культуры речи (правильное произношение дробей);

Формировать навыки самооценки;

Ход урока

Орг. Момент.

1.Приветствие

«Рада вас видеть, ребята. Как ваше настроение? Помните, если что-то кажется трудным и не получается, то это не беда, мы вместе всему научимся!

2.настрой на работу

Ребята, готовы вы к уроку?

На вас надеюсь я, друзья!

Вы хороший, дружный класс,

Всё получится у нас!

Наш урок сегодня необычный, мы совершим путешествие с вами по знакомой и любимой нами сказке.

В мире много сказок

Грустных и смешных.

И прожить на свете

Нам нельзя без них!

Пусть герои сказок

Дарят нам тепло,

Пусть добро навеки

Побеждает зло!

Устный счет.

В Тридевятом царстве жил был Царь и дочь его Василиса – Премудрая, а в Тридесятом государстве жил Иван – Царевич. А, кстати, какое число вы видите на доске? Давайте я вам помогу:

Каждый может за версту

Видеть дробную черту.

Над чертой – числитель , знайте,

Под чертою – знаменатель.

Дробь такую непременно

Надо звать обыкновенной.

Но царь не хотел отдавать свою Василису за первого встречного. Решил он Ивану такое задание, с которым бы он не справился. И говорит Ивану: «Иди туда – не знаю куда, принеси то, не знаю что». Иван потужил, погоревал и отправился на поиски. Но куда идти, где искать?

Иван, вместе с Серым Волком, отправился в путь. Решили они первым делом обратиться к Бабе Яге. А Баба Яга приготовила задание.

Задания на устный счет. Но, ребята, Иван Царевич не силен был в математике, поможем ему?

Назовите числитель и знаменатель дроби

Что показывает числитель, а что знаменатель? (Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель – сколько таких долей взято.)

Сравнение дробей:

и 1 и и 1

и
5/5 и
и .

Молодцы вы справились с заданием. А теперь проследуем за волшебным клубком дальше, к самому Кощею бессмертному.

III . Актуализация опорных знаний.

До Кощея нужно добраться по лабиринту дробных чисел.

Выпишите данные дроби в две строчки: ,, , , , . Правильные: , , .

Неправильные: , , .

Молодцы справились вы и с этим заданием.

Вот и привел волшебный клубочек Ивана и Серого Волка к Кощею. А Кощей говорит: «Скучно мне жить здесь одному вот если вы меня позабавите, тогда помогу. Выполните мои задания».

1. Задание №1 . Физические упражнения.

Физминутка :

Вышел мишка из берлоги.

Раз и два поднял он ноги.

Сел, встал. Сел, встал.

Лапки за спину убрал.

Покачнулся, повернулся

И немножко потянулся.

1.Начертите окружность радиуса r =2 см.

2. Закрасьте

круга – желтым

круга – синим.

Запишите какая часть круга оказалась закрашенной, а какая – не закрашенной.

Закрашено- __________

Не закрашено - _________

Подумайте, как с помощью знаков действий можно из чисел и , получить число . А ?

Задание №2. Карточка №1(Проблемная задача).

Значит, чем мы будем сегодня заниматься на уроке? Запишем в тетрадях число и тему урока «Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем». Наша с вами цель: научиться складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример:

Алгоритм сложения дробей с одинаковыми знаменателями : чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковым знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.

VI . Формирование умений и навыков учащихся.

Вот и привел волшебный клубочек Ивана и Серого Волка к Змею Горынычу. У него хранилась шкатулка, и никто не знал, что в ней находится. Но шкатулку Змей Горыныч Ивану просто так не отдаст. Надо помочь Ивану-Царевичу, а для этого нужно поработать каждому самостоятельно, а задания для самостоятельной работы находятся в шкатулке (подходят к шкатулке и берут задания). Карточка №2 (самостоятельная работа) . Когда вы справитесь с заданиями, мы с вами проверим ответы, и узнаем помогли ли мы Ивану- Царевичу или нет.

Работа в тетрадях: домашнее задание : решите задачу из другой сказки.

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сказка на этом закончилась. Скажите, чем мы сегодня занимались? Повторим правило еще раз.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство и труд,
К успеху в жизни приведут!

VI . Рефлексия.

Ребята, понравился ли вам урок? Выберете соответствующий смайлик и приклейте его на доску. Спасибо за урок. До свидания

Предмет: математика

Класс: 5

Тема урока: Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Базовый учебник: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика. 5 класс»

Тип урока: Урок изучения нового материала

Цели урока:

• Обучающая : научить выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; повторить понятия “Правильная, неправильная дробь”, обобщить и закрепить знания учащихся по сравнению дробей.
• Развивающая: развивать внимание; познавательную активность.
• Воспитательная: в оспитывать аккуратность при записи примеров и задач с обыкновенными дробями.

Задачи: обобщить и систематизировать знания: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; учиться работать самостоятельно, делать выводы.

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

Познавательные УУД: формировать навыки сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; научить правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби; формировать умение решать задачи на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; применять полученные знания при решении задач.

Коммуникативные УУД: воспитывать любовь к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Регулятивные УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения

Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, беседа

Организация деятельности учащихся на уроке:

• самостоятельно выходят на проблему и решают её;
• самостоятельно определяют тему, цели урока;
• выводят определение и правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
• работают с текстом учебника;
• отвечают на вопросы;
• решают самостоятельно задачи;
• оценивают себя и друг друга;
• рефлектируют.

Методы обучения: словесный, наглядно-иллюстративный, практический

Участники: обучающиеся 5 класса

Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация.

Учебно-методическое обеспечение : учебник “Математика. 5 класс” авторов И.И. Зубарева А.Г.Мордкович

Этапы урока:

1. Определение потребностей и мотивов.

1.1. Орг. Момент

1.2. Мотивация к учебной деятельности

Мотивационная беседа.

Слайд 1

Великий педагог Василий Александрович Сухомлинский говорил:«У мственный труд на уроках математики - пробный камень мышления" Поэтому мы с вами сегодня на уроке будем пробовать размышлять, ставит пере собой цели, решать поставленные задачи

Чем же мы будем сегодня с вами заниматься? О чем пойдет беседа на уроке? Для это мы устно посчитаем, а затем из полученных ответов составим ключевые слова

Правильно, о дробях. Но, каких? Узнаете позже.

1.3. Актуализация знаний, постановка проблемы и ее решение.

Слайд 2 -4.

2. Принятие учебных целей и условий их достижения.

2.1. Организация познавательной деятельности.

Работа со слайдом 4: не глядя на рисунок, мы можем сказать, какая часть закрашена красным и зеленым цветом? Каким образом?

Какая часть закрашена красным и зеленым?

Работа со слайдом 5: глядя на рисунок, мы можем сказать, какая часть останется не закрашена, если закрасить синим цветом 4 части, 2 части, 1 часть, 3 части. Какие действия нам пришлось выполнять?

2.2. Побуждение учащихся к выдвижению гипотезы.

А вот теперь скажите: “Как по- вашему, какая сегодня тема урока?”

Правильно. Слайд 6 Запишите тему урока.

Слайд 7-9 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями? Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями?

3. Проверка принятой гипотезы.

3.1. Организация познавательной деятельности. Первичное закрепление. Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

• Слайд 8
• Слайд 10

Решение проверяют друг у друга.

Молодцы! Хорошее начало.

Работа с учебником № 422, № 426

3.2Динамическая пауза слайд 11

Пока занимались мы, тихо, но прытко

В класс к нам пробралась сеньора ошибка.

Чтоб убралась она без оглядки

Сделать придется

математическую зарядку.

Правильно – вверх, неверно – вперед,

Ответ посчитаем- ошибка уйдет .

На экране будут появляться математические выражения, если вы считаете, что выражение верное, то руки вверх, если нет, то вперед

4. Итоговый самоконтроль и самооценка.

4.1. Организация первичного контроля.

Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.

Самостоятельно по вариантам решите примеры.

Проверка друг у друга по ключу. Слайд 14

4.2. Подведение итогов урока. Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. Слайд № 15

4.3. Информация о домашнем задании. Слайд 16

1)с. 118-119 (правила),

№ № 425, № 427

2).Найти загадки про дроби(по желанию)

4.4. Рефлексия. Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе. Слайд 17

• Если вы считаете, что поняли тему урока, то нарисуйте улыбающийся смайлик
• Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то нарисуйте неулыбающийся смайлик.
• Если вы считаете, что не поняли тему урока, то нарисуйте грустный смайлик

Закончить урок словами

"Человек подобен дроби:

• в знаменателе – то, что он о себе думает,
• в числителе – то, что он есть на самом деле.

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь".

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

" Умственный труд на уроках математики - пробный камень мышления" Сухомлинский В. А.

37 ? -12 +47: 9 -20 25 72 100 120 8 140 ? : 7 +134 -94 20 8 240 60 154 Решите правильно примеры и составьте слова 8 - О 154 - И 25 - Д 240 - Л 120 - Б 100 - Ь 72 - Р 20 - Ч 60 - С Д Р О Б Ь Ч И С Л О

Как называется? 1. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя 2. Дробь, в которой числитель больше знаменателя 3. Число, стоящее над чертой 4. Число, стоящее под чертой дроби

Какая часть фигуры закрашена зеленым закрашена красным закрашена красным и зеленым 6 1 6 3 6 2 6 2 6 2 6 1 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5

Какая часть фигуры останется не закрашена, если закрасить синим цветом: 4 части 3 части 1 часть 2 части 6 2 6 3 6 5 6 4

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 03.12.14 г.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель оставляют без изменения. Буквенная запись Запомни правило

Кот Леопольд приготовил торт на свой День рождения. И позвал в гости мышат. Сначала на тарелку он положил 9 долей, а потом еще 2 доли. На тарелке оказалось 11 долей, то есть торта: 17 частей

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют без изменения. Буквенная запись

Кот Леопольд разрезал торт на 17 долей. На тарелку положил 11 долей, а потом 9 долей съели мышата. Осталось 2 доли, то есть торта:

Выполнение упражнений из учебника № 422; № 426

Динамическая пауза Пока занимались мы, тихо, но прытко В класс к нам пробралась сеньора ошибка. Чтоб убралась она без оглядки Сделать придется математическую зарядку. Правильно – вверх, неверно – вперед, Ответ посчитаем- ошибка уйдет.

Самостоятельная работа I вариант II вариант 15 22 7 22 18 33 13 33 44 65 37 65 12 19 5 19 6 19 11 18 5 18 13 27 6 27 33 58 26 58 15 21 7 21 5 21 "5" - без ошибок; "4" - 1 ошибка; "3" - 2 ошибки

Какую тему мы сегодня изучали? Какие задачи мы сегодня ставили? Наши задачи выполнены?

Домашнее задание № 425 № 427, учить правила с. 118-119 Найти загадки про дроби (по желанию)

Нарисуйте смайлик Если вы считаете, что усвоили тему урока Если вы считаете, что не достаточно усвоили тему урока Если вы считаете, что не поняли тему урока

Мальчик играл в компьютер 3 часа. Какую часть суток играл мальчик? Ответ: Масса яблока 300 г. Какую часть килограмма составляет масса яблока? Ответ:

Петя в июне и июле был у бабушки в деревне. Какую часть года провел Петя у бабушки? Лена читала книгу 15 мин. Какую часть часа Лена читала? Ответ: Ответ:

В доме окон. Вечером, в окнах загорелся свет. А потом ещё в. Какая часть окон осталась без света?

Проверим решение 1 способ 2 способ

Восстановите таблицу так, чтобы дроби не повторялись в строках и столбцах таблицы Какую часть таблицы составляют неправильные дроби? Сравните дроби

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 5 класс на тему:

1005 Из помидоров массой 5/16 кг и огурцов массой 9/16 кг сделали салат. Какова масса салата?
РЕШЕНИЕ

1006 Масса станка равна 73/100 т, а масса его упаковки 23/100 т. Найдите массу станка вместе с упаковкой.
РЕШЕНИЕ

1007 В первый день картофель посадили на 2/7 участка, а во второй день на 3/7 участка. Какая часть участка была засажена картофелем за эти два дня?
РЕШЕНИЕ

1008 Одна бригада получила 7/10 т гвоздей, а вторая на 3/10 т меньше. Сколько гвоздей получила вторая бригада?
РЕШЕНИЕ

1009 За два дня засеяли 10/11 поля. В первый день засеяли 4/11 поля. Какую часть поля засеяли во второй день?
РЕШЕНИЕ

1010 Цистерна на 3/5 наполнена бензином,1/5 цистерны перелили в бочку. Какая часть цистерны осталась заполненной бензином?
РЕШЕНИЕ

1012 Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ

1013 Из 11 теплиц овощеводческого хозяйства 4 засажены помидорами, а 2 огурцами. Какая часть теплиц занята огурцами и помидорами? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ

1014 Для посадки леса выделили участок площадью 300 га. Ель высадили на 3/10 участка, а сосну на 4/10 участка. Сколько гектаров занято елью и сосной вместе?
РЕШЕНИЕ

1015 Бригада решила изготовить 175 изделий сверх плана. В первый день она изготовила 9/25 этого количества, во второй день 13/25 этого количества. Сколько изделий изготовила бригада за эти два дня? Сколько изделий ей осталось изготовить?
РЕШЕНИЕ

1016 Картофелем засажено 11/17 поля овощеводческого хозяйства. Огурцами засеяно на 1/17 поля больше, чем морковью, и на 8/17 поля меньше, чем картофелем. Какая часть поля засеяна огурцами и какая морковью? Какая часть поля занята картофелем, огурцами и морковью вместе?
РЕШЕНИЕ

1019 В палатке было 2 ц 70 кг фруктов. Яблоки составляли 5/9 всех фруктов, а груши 1/9 всех фруктов. На сколько масса яблок больше массы груш? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ

1020 В первый день турист прошел 5/14 всего пути, а во второй день 7/14. Известно, что за эти два дня турист прошел 36 км. Сколько километров составляет весь путь туриста?
РЕШЕНИЕ

1021 Первый рассказ занимал 5/13 книги, а второй рассказ 2/13 книги. Известно, что первый рассказ занимал на 12 страниц больше, чем второй. Сколько страниц во всей книге?
РЕШЕНИЕ

1022 Воспользовавшись равенством 4/25 + 12/25= 16/25 найдите значения выражении и решите уравнения
РЕШЕНИЕ

1024 На экскурсию отправляются 260 человек. Сколько нужно заказать автобусов, если в каждом автобусе должно быть не более 30 пассажиров?
РЕШЕНИЕ

1025 Начертите отрезок. Затем начертите отрезок, длина которого равна
РЕШЕНИЕ

1026 Найдите координаты точек A, B, C, D, E, M, К (рис. 128) и сравните эти координаты с 1.
РЕШЕНИЕ

1027 Вычислите периметр и площадь треугольника ABC (рис. 129)
РЕШЕНИЕ

1030 Найдите все значения x, при которых дробь x/15 будет правильной, а дробь 8/x неправильной.
РЕШЕНИЕ

1031 Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
РЕШЕНИЕ

1033 Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней этого параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ

1034 Для изготовления 750 м вискозной ткани требуется 10 кг целлюлозы. Из 1 м3 древесины можно получить 200 кг целлюлозы. Сколько метров вискозной ткани можно получить из 20 м3 древесины?
РЕШЕНИЕ

1035 Кодовый замок имеет шесть кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определенной последовательности набрать код. Сколько существует вариантов кода для этого замка?
РЕШЕНИЕ

1036 Решите уравнение: а) (x - 111) · 59 = 11 918; б) 975(x - 615) = 12 675; в) (30 901 - a) : 605 = 51; г) 39 765: (b - 893) = 1205.
РЕШЕНИЕ

1037 Решите задачу: 1) Из 30 высаженных семян взошли 23. Какая часть высаженных семян взошла? 2) На пруду плавали 40 лебедей. Из них 30 были белыми. Какую часть всех лебедей составляли белые лебеди?
РЕШЕНИЕ

1038 Найдите значение выражения: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24 078 + 30 785); 2) (43 512-43 006) · 805 - (48 987 + 297 305)
РЕШЕНИЕ

1039 За первый час было расчищено от снега 5/17 всей дороги, а за второй час 9/17 всей дороги. Какая часть дороги была расчищена от снега за эти два часа? На какую часть дороги было расчищено меньше в первый час, чем во второй?
РЕШЕНИЕ

1040 На платье для первой куклы было израсходовано 6/25 м ткани, а на платье для второй куклы 9/25 ткани. Сколько ткани было израсходовано на оба платья? На сколько больше ткани было израсходовано на платье второй куклы, чем на платье первой куклы?