При испарении жидкость остывает. Испарение

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

aij - элемент матрицы, который находится в i -ой строке и j -м столбце.

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

Примеры:

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

назад в содержание

(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры.

Во всех случаях, когда вводятся новые математические объекты, необходимо договариваться о правилах действийнад ними, а также определить - какие объекты считаются равнымимежду собой.

Природа объектов не имеет никакого значения. Это могут быть вещественные или комплексные числа, векторы, матрицы, строки или что-то иное.

К числу стандартных действий относятся линейные операции, а именно: умножение на число и сложение; в данном конкретном случае - умножкние матрицы на число и сложение матриц.

При умножении матрицы на число каждый матричный элемент умножается на это число, а сложение матриц подразумевает попарное сложение элементов, расположенных в эквивалентных позициях.

Терминологическое выражение " линейная комбинация<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матрицы A = || a i j || и B = || a i j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

Сложение матриц Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || a i j || и B = || b i j || является матрица C = || c i j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов.

Опр . Прямоугольная таблица, состоящая из т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей размера т×п . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют круглыми или квадратными скобками.

Числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы и обозначаются малыми латинскими буквами с двойным индексом , гдеi – номер строки, j – номер столбца, на пресечении которых расположен элемент. В общем виде матрица записывается так:

Две матрицы считаются равными , если равны их соответствующие элементы.

Если число строк матрицы т равно числу ее столбцов п , то матрица называется квадратной (в противном случае – прямоугольной).

Матрица размера
называется матрицей-строкой. Матрица размера

называется матрицей-столбцом.

Элементы матрицы, имеющие равные индексы (
и т.д.), образуютглавную диагональ матрицы. Другая диагональ называется побочной.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и имеет стандартное обозначение Е:

Если все элементы матрицы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, говорят, что матрица имеет треугольный вид:

§2. Операции над матрицами

1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:

.

2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:

3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:

.

4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.

Следствие . Возведение матрицы в степень к >1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.

Пример .

Свойства операций над матрицами.

1. (А+В)+С=А+(В+С);

   к(А+В)=кА+кВ;

   А(В+С)=АВ+АС;

   (А+В)С=АС+ВС;

   к(АВ)=(кА)В=А(кВ);

   А(ВС)=(АВ)С;

2. (кА) Т =кА Т;

   (А+В) Т =А Т +В Т;

   (АВ) Т =В Т А Т;

Перечисленные выше свойства аналогичны свойствам операций над числами. Есть и специфические свойства матриц. К ним относится, например, отличительное свойство умножения матриц. Если произведение АВ существует, то произведение ВА

Может не существовать

Может отличаться от АВ.

Пример . Предприятие выпускает продукцию двух видов А и В и использует при этом сырье трех типов S 1 , S 2 , и S 3 . Нормы расхода сырья заданы матрицей N=
, гдеn ij – количество сырья j , расходуемого на производство единицы продукции i . План выпуска продукции задан матрицей С=(100 200), а стоимость единицы каждого вида сырья – матрицей . Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты сырья определим как произведение матриц С и N:

Общую стоимость сырья вычислим как произведение S и Р.

Точки в пространстве, произведение Rv даёт другой вектор, который определяет положение точки после вращения. Если v - вектор-строка , такое же преобразование можно получить, используя vR T , где R T - транспонированная к R матрица.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олимпиада - Квадратная спираль

Матрица: определение и основные понятия

Где брать силы и вдохновения Подзарядка 4 квадратной матрицы

Сумма и разность матриц, умножение матрицы на число

Транспонована матриця / Транспонированная матрица

Субтитры

Главная диагональ

Элементы a ii (i = 1, ..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицы. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной .

Специальные виды

Диагональные и треугольные матрицы

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной . Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей .

Единичная матрица

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те, и другие). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределена.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны. Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму , связанную с A :

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица - это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т. е. ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная которой равна транспонированной:

откуда вытекает

Ортогональная матрица A всегда обратима (A −1 = A T), унитарна (A −1 = A *), и нормальна (A *A = AA *). Определитель любой ортонормальной матрицы равен либо +1, либо −1. В качестве линейного отображения любая ортонормальная матрица с определителем +1 является простым поворотом , в то время как любая любая ортонормальная матрица с определителем −1 является либо простым отражением , либо композицией отражения и поворота.

Операции

След

Определитель det(A ) или |A | квадратной матрицы A - это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда , когда её определитель ненулевой.

При испарении жидкость покидают молекулы, кинетическая энергия которых больше их средней кинетической энергии. Поэтому среднее значение кинетической энергии остающихся молекул жидкости уменьшается. А это означает понижение температуры испаряющейся жидкости. Вот почему вы чувствуете, что в жаркий летний день становится прохладно сразу после купания. Испарение воды с поверхности тела приводит к охлаждению его. Известно также, что в мокрой одежде холоднее, чем в сухой, особенно при ветре. Очень сильное охлаждение получается, если испарение происходит быстро. При быстром испарении эфира при атмосферном давлении может произойти охлаждение ниже О °С. Это можно обнаружить так. В вогнутое очковое стекло надо налить немного эфира и поставить его на стол, смоченный водой. При быстром испарении эфира (испарение ускоряют продуванием воздуха над эфиром) стеклышко примерзает к поверхности стола. Охлаждением при испарении летучих жидкостей пользуются врачи, когда нужно заморозить кожу больного, чтобы сделать ее нечувствительной к боли.

В жарких странах для охлаждения воды ее обычно содержат в пористых глиняных сосудах. Вода, просачивающаяся через поры сосуда, испаряется, охлаждая воду в сосуде.

Если лишить жидкость возможности испаряться, то охлаждение ее будет происходить гораздо медленнее. Вспомните, как долго остывает жирный суп. Слой жира на его поверхности мешает выходу быстрых молекул воды. Жидкость почти не испаряется, и ее температура падает медленно (сам жир испаряется крайне медленно, так как его большие молекулы более прочно сцеплены друг с другом, чем молекулы воды).

Испарение твердых тел

Испаряются не только жидкости, но и твердые тела. Молекулы, которые расположены у поверхности твердого тела и имеют достаточную кинетическую энергию, способны покинуть тело. Процесс перехода вещества из твердого состояния непосредственно в газообразное называется сублимацией или возгонкой.

Например, нафталин или камфара испаряются при комнатной температуре и нормальном давлении, минуя жидкое состояние. Точно так же испаряются кристаллы брома или иода, особенно если их подогреть. Испаряется также лед. Если влажное белье развесить на морозе, то вода замерзает, а затем лед испаряется, и белье высыхает.

При испарении жидкостей они охлаждаются, так как жидкость покидают наиболее быстрые молекулы.

§ 6.2. Равновесие между жидкостью и паром

Самое интересное состояние газа - это насыщенный пар. Он находится в равновесии с жидкостью.

Насыщенный пар

Количество жидкости в открытом сосуде вследствие испарения непрерывно уменьшается. Но если сосуд плотно закрыт, то этого не происходит, что можно объяснить следующим образом.

В первый момент, после того как мы нальем жидкость в сосуд и закроем его, жидкость будет испаряться и плотность пара над жидкостью будет увеличиваться. Однако одновременно с этим будет расти и число молекул, возвращающихся в результате хаотического теплового движения обратно в жидкость. Чем больше плотность пара, тем большее число его молекул возвращается в жидкость. В открытом сосуде картина иная: покинувшие жидкость молекулы могут не возвращаться в жидкость.

В закрытом сосуде в конце концов устанавливается равновесное состояние: число молекул, покидающих поверхность жидкости, становится равным числу молекул пара, возвращающихся за то же время в жидкость. Такое равновесие называется динамическим или подвижным. При динамическом равновесии между жидкостью и ее паром одновременно происходит и испарение жидкости, и конденсация пара, и оба процесса в среднем компенсируют друг друга (рис. 6.2).

Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным паром. Это название подчеркивает, что в данном объеме при данной температуре не может находиться большее количество пара. Если воздух из сосуда с жидкостью откачан, то над поверхностью жидкости будет находиться только ее насыщенный пар.

Насыщенный пар имеет при данной температуре наибольшее количество молекул в единице объема (а значит, и наибольшую плотность) и оказывает наибольшее давление.

Происходящее со свободной поверхности жидкости.

Сублимацию, или возгонку, т.е. переход вещества из твердого состояния в газообразное, так-же называют испарением.

Из повседневных наблюдений известно, что количество любой жидкости (бензина, эфира, воды), находящейся в открытом сосуде, постепенно уменьшается. Жидкость не исчезает бесследно — она превращается в пар. Испарение — это один из видов парообразования . Другой вид — это кипение.

Механизм испарения.

Как происходит испарение? Молекулы любой жидкости находятся в не-прерывном и беспорядочном движении, причем, чем выше температура жидкости, тем больше кинетическая энергия молекул. Среднее значение кинетической энергии имеет определенную величину. Но у каждой молекулы кинетическая энергия может быть как больше, так и меньше средней. Если вблизи поверхности окажется молекула с кинетической энергией , достаточной для преодоления сил межмолекулярного притяжения, она вылетит из жидкости. То же самое пов-торится с другой быстрой молекулой, со второй, третьей и т. д. Вылетая наружу, эти молекулы образуют над жидкостью пар. Образование этого пара и есть испарение.

Поглощение энергии при испарении.

Поскольку при испарении из жидкости вылетают более быстрые молекулы, средняя кинетическая энергия оставшихся в жидкости молекул становится все меньше и меньше. Это значит, что внутренняя энергия испаряющейся жидкости уменьшает-ся. Поэтому если нет притока энергии к жидкости извне, температура испаряющейся жидкости понижается, жидкость охлаждается (именно поэтому, в частности, человеку в мокрой одежде холоднее, чем в сухой, особенно при ветре).

Однако при испарении воды, налитой в стакан, мы не замечаем понижения ее температуры. Чем это объяснить? Дело в том, что испарение в данном случае происходит медленно, и темпера-тура воды поддерживается постоянной за счет теплообмена с окружающим воздухом, из которого в жидкость поступает необходимое количество теплоты. Значит, чтобы испарение жидкости про исходило без изменения ее температуры, жидкости необходимо сообщать энергию.

Количество теплоты, которое необходимо сообщить жидкости для образования единицы массы пара при постоянной температуре, называется теплотой парообразования.

Скорость испарения жидкости.

В отличие от кипения , испарение происходит при любой темпе-ратуре, однако с повышением температуры жидкости скорость испарения возрастает. Чем выше температура жидкости, тем больше быстро движущихся молекул имеет достаточную кинетичес-кую энергию , чтобы преодолеть силы притяжения соседних частиц и вылететь за пределы жид-кости, и тем быстрее идет испарение.

Скорость испарения зависит от рода жидкости. Быстро испаряются летучие жидкости, у кото-рых силы межмолекулярного взаимодействия малы (например, эфир, спирт, бензин). Если кап-нуть такой жидкостью на руку, мы ощутим холод. Испаряясь с поверхности руки, такая жид-кость будет охлаждаться и отбирать у нее некоторое количество теплоты.

Скорость испарения жидкости зависит от площади ее свободной поверхности. Это объясняется тем, что жидкость испаряется с поверхности, и чем больше площадь свободной поверхности жид-кости, тем большее количество молекул одновременно вылетает в воздух.

В открытом сосуде масса жидкости вследствие испарения постепенно уменьшается. Это свя-зано с тем, что большинство молекул пара рассеивается в воздухе, не возвращаясь в жидкость (в отличие от того, что происходит в закрытом сосуде). Но небольшая часть их возвращается в жидкость, замедляя тем самым испарение. Поэтому при ветре, который уносит молекулы пара, испарение жидкости происходит быстрее.

Применение испарения в технике.

Испарение играет важную роль в энергетике, холодильной технике, в процессах сушки, испарительного охлаждения. Например, в космической технике быстроиспаряющимися веществами покрывают спускаемые аппараты. При прохождении через атмосферу планеты корпус аппарата в результате трения нагревается, и покрывающее его вещество начи-нает испаряться. Испаряясь, оно охлаждает космический аппарат, спасая его тем самым от пере-грева.

Конденсация.

Конденсация (от лат. condensatio — уплотнение, сгущение) — переход вещества из газообраз-ного состояния (пара) в жидкое или твердое состояние.

Известно, что при наличии ветра жидкость испаряется быстрее. Почему? Дело в том, что од-новременно с испарением с поверхности жидкости идет и конденсация. Конденсация происходит из-за того, что часть молекул пара, беспорядочно перемещаясь над жидкостью, снова возвраща-ется в нее. Ветер же выносит вылетевшие из жидкости молекулы и не дает им возвращаться.

Конденсация может происходить и тогда, когда пар не соприкасается с жидкостью. Именно конденсацией объясняется, например, образование облаков: молекулы водяного пара, поднима-ющиеся над землей, в более холодных слоях атмосферы группируются в мельчайшие капельки воды, скопления которых и представляют собой облака . Следствием конденсации водяного пара в атмосфере являются также дождь и роса.

При испарении жидкость охлаждается и, став более холодной, чем окружающая среда, начи-нает поглощать ее энергию. При конденсации же, наоборот, происходит выделение некоторого количества теплоты в окружающую среду, и ее температура несколько повышается. Количество теплоты, выделяющееся при конденсации единицы массы, равно теплоте испарения.