Продолжаем рассматривать задачи на движение. Есть группа задач, которая отличается от обычных задач на движение – это задачи на круговое движение (круговая трасса, движение стрелок часов). В этой статье мы с вами такие задачи и рассмотрим. Принципы решения те же самые, та же (формула закона прямолинейного движения). Но есть небольшие нюансы в подходах к решению.
Рассмотрим задачи:
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
На первый взгляд, кому-то задачи на круговое движение могут показаться сложными и какими-то запутанными в сравнении с обычными задачами на прямолинейное движение. Но это только на первый взгляд. Данная задача легко превращается в задачу на прямолинейное движение. Как?
Мысленно развернём круговую трассу в прямую. На ней стоят два мотоциклиста. Один из них отстаёт от другого на 11 км, так как сказано в условии, что длина трассы 22 километра.
Скорость отстающего на 20 километров в час больше (он догоняет того, кто впереди). Вот вам и задача на прямолинейное движение.
Итак, искомую величину (время, через которое они поравняются) примем за х часов. Скорость первого (находящегося впереди) обозначим у км/ч, тогда скорость второго (догоняющего) будет у + 20.
Занесем скорость и время в таблицу.
Заполняем графу «расстояние»:
Второй проезжает расстояние (до встречи) на 11 км больше, значит
11/20 часа это то же, что и 33/60 часа. То есть, до их встречи прошло 33 минуты. Как переводить часы в минуты, и наоборот, можете посмотреть в статье « » .
Как видим, сама скорость мотоциклистов в данном случае не имеет значения.
Ответ: 33
Решите самостоятельно:
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Данную задачу так же можно интерпретировать, то есть представить её, как задачу на прямолинейное движение. Как? Просто …
Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 112 км/ч. Через 25 минут он опережает второго на 25 км (т.к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в задачах на движение представить сам процесс этого движения.
Сравнение произведем по расстоянию, так как нам известно, что один опередил другого на 25 километров.
За x принимаем искомую величину – скорость второго. Время движения 25 минут (25/60 часа) для обоих.
Заполним графу «расстояние»:
Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 25 км. То есть:
Скорость второго автомобиля 52 (км/ч).
Ответ: 52
Решите самостоятельно:
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Данная задача представляет относительную сложность. Что сразу стоит отметить? Это то, что мотоциклист проходит с велосипедистом одинаковое расстояние, догоняя его первый раз. Затем он снова догоняет его второй раз, при чём разница пройденных расстояний после первой встречи составляет 30 километров (длина круга). Таким образом, можно будет составить два уравнения и решить их систему. Нам не даны скорости участников движения, поэтому можно будет ввести две переменные. Система из двух уравнений с двумя переменными решается.
Итак, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч.
Сорок минут это 2/3 часа, 8 минут это 8/60 часа, 36 минут это 36/60 часа.
Скорости участников обозначим за х км/ч (у велосипедиста) и у км/ч (у мотоциклиста).
В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 8 минут, то есть через 8/60 часа после старта.
До этого момента велосипедист был в пути уже 40+8=48 минут, то есть 48/60 часа.
Запишем эти данные в таблицу:
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть
Затем мотоциклист второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 36 минут, то есть через 36/60 часа после первого обгона.
Составим вторую таблицу, заполним графу «расстояние»:
Так как сказано, что через 36 минут мотоциклист снова догнал велосипедиста. Значит, он (мотоциклист) проехал расстояние равное 30 километрам (один круг) плюс расстояние, которое за это время проехал велосипедист. Это ключевой момент для составления второго уравнения.
Один круг - это длина трассы, она равна 30 км.
Получаем второе уравнение:
Решаем систему их двух уравнений:
Значит у = 6 ∙10 = 60.
То есть скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.
Ответ: 60
Решите самостоятельно:
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Следующий тип задач на круговое движение, можно сказать, «уникален». Есть задания, которые решаются устно. И есть такие, которые без понимания и внимательности при рассуждениях решить крайне сложно. Речь идёт о задачах про стрелки часов.
Вот пример простейшей задачи:
Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
Ответ очевиден, через 40 минут, когда будет ровно двенадцать. Даже если сразу не смогли понять, то нарисовав циферблат (сделав эскиз) на листке, вы без труда определите ответ.
Примеры других задач (непростых):
Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой? Ответ: 325
Часы со стрелками показывают 2 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой? Ответ: 600
Решить самостоятельно:
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Вы убедились, что запутаться очень легко?
Вообще, я не сторонник давать подобные советы, но здесь он нужен, так как на ЕГЭ с такой задачей можно легко запутаться, вычислить неверно или просто потерять много времени на решение.
Вы можете решить данную задачу за одну минуту. Как? Просто!
*Дальнейшая информация в статье закрыта и доступна только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.
На этом всё. Успехов Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
1. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.
3. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
4. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезд, скорости которых равны соответственно 40 км/ч и 100 км/ч. Длина товарного поезда равна 750 м. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда равно 1 минуте.
5. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
6. Решение задач на движение.
7. Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 8 км. Пешеход прошел путь из А в В за 2 часа 45 минут. Время его движения на спуске составило 1 час 15 минут. С какой скоростью пешеход шел не спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 2 км/ч. Ответ выразите в км/ч.
8. От города до поселка автомобиль доехал за 3 часа. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, он затратил бы на этот путь на 1 час меньше. Скольким километрам равно расстояние от города до поселка?
http://youtu.be/x64JkS0XcrU
9. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?
10. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 18 км/ч больше скорости другого?
Задачи на движение от Анны Денисовой. Сайт http://easy-physic.ru/
11. Видеолекция. 11 задач на движение.
1. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтом на путь в 120 км он затрачивает на 2 часа больше. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
2. Мотоциклист остановился для заправки горючим на 12 минут. После этого, увеличив скорость на 15 км/ч, он наверстал потерянное время на расстоянии 60 км. С какой скоростью он двигался после остановки?
3. Два мотоциклиста отправляются одновременно навстречу друг другу из пунктов А и Б, расстояние между которыми 600 км. В то время, как первый проходит 250 км, второй успевает преодолеть 200 км. Найти скорости движения мотоциклистов, если первый приходит в Б на на три часа раньше, чем второй в А.
4. Самолет летел со скоростью 220 км/ч. Когда ему оставалось пролететь на 385 км меньше, чем он уже преодолел, самолет увеличил скорость до 330 км/ч. Средняя скорость самолета на всем пути оказалась равной 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет до момента увеличения скорости?
5. По железной дороге расстояние от А до Б равно 88 км, водным путем оно увеличивается до 108 км. Поезд из А выходит на 1 час позже теплохода и прибывает в Б на 15 минут раньше. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что она на 40 км/ч больше, средней скорости теплохода.
6. Два велосипедиста выехали из двух мест, отстоящих друг от друга на 270 км, и едут навстречу друг другу. Второй проезжает в час на 1,5 км меньше, чем первый, и встречается с ним через столько часов, сколько километров в час делает первый. Определить скорости каждого велосипедиста.
7. Два поезда отправляются из пунктов А и Б навстречу друг другу. Если поезда из А выедет на два часа раньше, чем поезд из Б, то они встретятся на половине пути. Если же они выйдут одновременно, то через два часа расстояние между ними составит 0,25 расстояния между пунктами А и Б. За сколько часов каждый поезд проходит весь путь?
8. Поезд прошел мимо неподвижно стоящего на платформе человека за 6 с, а мимо платформы длиной 150 м - за 15 с. Найдите скорость движения поезда и его длину.
9. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошел мимо столба за 1 мин, а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости - за 3 мин. Какова дина туннеля (в км)?
10. От станций А и Б, расстояние между которыми 75 км, отправились одновременно товарный и скорый поезда, и встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в Б на 25 минут позже, чем скорый в А. Какова скорость каждого поезда?
11. Пристани А и Б расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от А до Б и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
12. Видеолекция. 8 задач на движение по кругу
12. По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 сек скорее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Найти скорости точек.
13. Сколько времени проходит между двумя последовательными совпадениями часовой и минутной стрелок на циферблате часов?
14. Два бегуна стартуют из одной точки кольцевой дорожки стадиона, а третий - из диаметрально противоположной точки одновременно с ними в том же направлении. Пробежав три круга, третий бегун догнал второго. Через две с половиной минуты после этого первый бегун догнал третьего. Сколько кругов в минуту пробегает второй бегун, если первый обгоняет его один раз через каждые 6 минут?
15. Три гонщика стартуют одновременно из одной точки трека, имеющего форму окружности и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной старту, а через полчаса после этого он вторично, не считая момента старта, обогнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал третьего через три часа после старта. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее, чем за 20 мин.?
16. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
17. Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин. после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
18. Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?
18.1 Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяженностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик впервые обогнал второго на круг через 15 минут?
13. Видеолекция. 6 задач на движение по воде.
19. Города А и Б расположены на берегу реки, причем город Б ниже по течению. В 9 часов утра из города А в город Б отправляется плот. В этот же момент из Б в А отправляется лодка, которая встречает плот через 5 часов. Доплыв до города А, лодка поворачивает обратно и приплывает в Б одновременно с плотом. Успеют ли лодка и плот прибыть в город Б к девяти часам вечера того же дня?
20. Из пункта А в пункт Б против течения реки выехала моторная лодка. В пути сломался мотор, и, пока его 20 минут чинили, лодку сносили вниз по реке. Определить, насколько позднее прибыла лодка в пункт Б, если обычно путь из А в Б занимает в полтора раза больше времени, чем из Б в А?
21. Города А и Б расположены на берегу реки, причем город А ниже по течению. Из этих городов одновременно навстречу друг другу выходят две лодки, которые встречаются посередине между городами. После встречи лодки продолжают свой путь, и, достигнув городов А и В соответственно, разворачиваются, и встречаются вновь на расстоянии 20 км от места первой встречи. Если бы лодки изначально поплыли бы против течения, то лодка, вышедшая из А, догнала бы лодку, вышедшую из Б, в 150 км от Б. Найти расстояние между городами.
22. Два парохода, скорость которых в стоячей воде одна и та же, отправляются от двух пристаней: первый от А вниз по течению, второй от Б вверх по течению. Каждый пароход стоит в пункте назначения 45 мин и возвращается обратно. Если пароходы отправляются одновременно от начальных пунктов, то встреча их происходит в точке К, которая в два раза ближе к А, чем к Б. Если первый пароход отходит от А на 1 час позже, чем второй отходит от Б, то на обратном пути пароходы встречаются в 20 км от А. Если первый пароход отходит от А на 30 минут раньше, чем второй от Б, то на обратном пути они встречаются в 5 км выше К. Найти скорость течения реки и время, за которое второй пароход доходит от А до К.
23. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения?
24. Пристани А и Б расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от А до Б и обратно со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
«Учитель начальной школы» - Тема. Анализ работы ШМО учителей начальных классов. Разработать индивидуальные маршруты, способствующие профессиональному росту педагогов. Укрепление учебно – материальной базы. Организационно – педагогические мероприятия. Продолжить поиск новых технологий, форм и методов обучения и воспитания. Направления работы начальной школы.
«Молодёжь и выборы» - Развитие политического правосознания у молодежи: Молодежь и выборы. Развитие политического правосознания в школах и среднеспециальных учреждениях: Комплекс мероприятий по привлечению молодежи к выборам. Почему мы не голосуем? Развитие политического правосознания в дошкольных образовательных учреждениях:
«Афганская война 1979-1989» - Советское руководство приводит к власти в Афганистане нового президента Бабрака Кармаля. Результаты войны. Советско-афганская война 1979-1989 гг. 15 февраля 1989 г. из Афганистана были выведены последние советские войска. Повод к войне. После вывода Советской Армии с территории Афганистана просоветский режим президента Наджибуллы просуществовал еще 3 года и, лишившись поддержки России, был свергнут в апреле 1992 г. командирами-моджахедами.
«Признаки делимости натуральных чисел» - Актуальность. Признак Паскаля. Признак делимости чисел на 6. Признак делимости чисел на 8. Признак делимости чисел на 27. Признак делимости чисел на 19. Признак делимости чисел на 13. Выявить признаки делимости. Как научиться быстро и правильно вычислять. Признак делимости чисел на 25. Признак делимости чисел на 23.
«Теория Бутлерова» - Предпосылками создания теории явились: Изомерия-. Значение теории строения органических веществ. Наука о пространственном строении молекул- стереохимия. Роль создания теории химического строения веществ. Выучить основные положения теории химического строения А. М. Бутлерова. Основное положение современной теории строения соединений.
«Конкурс по математике для школьников» - Математические термины. Часть прямой, соединяющая две точки. Знания учащихся. Конкурс веселых математиков. Задача. Луч, делящий угол пополам. Углы все прямые. Отрезок времени. Конкурс. Самая привлекательная. Скорость. Радиус. Готовилась к зиме. Попрыгунья стрекоза. Фигура. Игра со зрителями. Сумма углов треугольника.
Всего в теме 23688 презентаций
В статье рассмотрены задачи в помощь учащимся: для отработки навыков решения текстовых задач при подготовке к ЕГЭ, при обучении решению задач на составление математической модели реальных ситуаций во всех параллелях основной и старшей школы. В ней представлены задачи: на движение по окружности; на нахождение длины движущегося объекта; на нахождение средней скорости.
I. Задачи на движение по окружности.
Задачи на движение по окружности оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них также применяется формула . Но есть момент, на который обратим внимание.
Задача 1. Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Скорости участников примем за х км/ч и у км/ч. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 мин, то есть через ч после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 мин, то есть ч. Участники движения проехали одинаковые расстояния, то есть y =x. Внесем данные в таблицу.
Таблица 1
Мотоциклист затем второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 мин, то есть через ч после первого обгона. Какие расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. А это значит, он проехал на один круг больше. Вот тот момент,
на который надо обратить внимание. Один круг – это длина трассы, Она равна 30 км. Составим другую таблицу.
Таблица 2
Получим второе уравнение: y - x = 30. Имеем систему
уравнений: 
В ответе укажем скорость мотоциклиста.
Ответ: 80 км/ч.
Задачи (самостоятельно).
I.1.1. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч.
I.1. 2. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 12 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.
I.1. 3. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 18 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?
Решение.
Рисунок 1
При одновременном старте мотоциклист, стартовавший из “А”, проехал на полкруга больше, стартовавший из “В”. То есть на 10 км. При движении двух мотоциклистов в одном направлении скорость удаления v = -. По условию задачи v= 15 км/ч =км/мин = км/мин – скорость удаления. Находим время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз.
10:= 40(мин).
Ответ: 40 мин.
Задачи (самостоятельно).
I.2.1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 27 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 27 км/ч больше скорости другого?
I.2.2. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 9 км/ч больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 89 км/ч, и через 16 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
х км/ч – скорость второго автомобиля.
(89 – х) км/ч – скорость удаления.
8 км – длина круговой трассы.
Уравнение.
(89 – х) = 8,
89 – х = 2· 15,
Ответ: 59 км/ч.
Задачи (самостоятельно).
I.3.1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 103 км/ч, и через 48 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
I.3.2 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 9 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
I.3.3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 20 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 105 км/ч, и через 48 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
I.3.4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 9 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 93 км/ч, и через 15 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Часы со стрелками показывают 8 ч 00 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Решение. Предполагаем, что экспериментально не решаем задачу.
За один час минутная стрелка проходит один
круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны 1
(круг в час) и 
Старт - в 8.00. Найдем время, за которое
минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на больше, поэтому получим уравнение
Значит, в первый раз стрелки поравняются через
Пусть во второй раз стрелки поравняются через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1·z, а часовая причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
Решив его, получим, что .
Итак, через стрелки поравняются во второй раз, еще через – в третий, и ещё через – в четвертый раз.
Следовательно, если старт был в 8.00., то в четвертый раз стрелки поравняются через
4ч = 60 * 4 мин = 240 мин.
Ответ: 240 минут.
Задачи (самостоятельно).
I.4.1.Часы со стрелками показывают 4 ч 45 мин. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
I.4.2.Часы со стрелками показывают 2 ч ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
I.4.3. Часы со стрелками показывают 8 ч 20 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? четвертый
II. Задачи на нахождение длины движущегося объекта.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 с. Найдите длину состава поезда в метрах.
Решение. Так как скорость поезда указана в часах, то переведем секунды в часы.
1) 36 сек = 
2) найдем длину состава поезда в километрах.
80·
Ответ: 800м.
Задачи (самостоятельно).
II.2.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 69 с. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 1150м.
II.3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 200 м, за 1мин 21 с. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 1150м.
III. Задачи на среднюю скорость.
На экзамене по математике может встретиться задача о нахождении средней скорости. Надо запомнить, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Средняя скорость находится по специальной формуле:
Если участков пути было два, то
.
Расстояние между двумя селами 18 км. Велосипедист ехал из одного села в другое 2ч, а возвращался по той же дороге 3ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста на всем участке пути?
Решение:
2 ч+3 ч = 5 ч - затратил на всё движение,
.Турист шел со скоростью 4км/ч, потом точно такое же время со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?
Пусть турист шел t ч со скоростью 4 км/ч и t ч со скоростью 5 км/ч. Тогда за 2t ч он прошел 4t + 5t = 9t (км). Средняя скорость движения туриста равна = 4,5 (км/ч).
Ответ: 4,5 км/ч.
Замечаем, средняя скорость движения туриста оказалась равной среднему арифметическому двух данных скоростей. Можно убедиться в том, что если время движения на двух участках пути одинаково, то средняя скорость движения равна среднему арифметическому двух данных скоростей. Для этого решим эту же задачу в общем виде.
Турист шел со скоростью км/ч, потом точно такое же время со скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?
Пусть турист шел t ч со скоростью км/ч и t ч со скоростью км/ч. Тогда за 2t ч он прошел t + t = t (км). Средняя скорость движения туриста равна
= (км/ч).Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы – со скоростью 56 км/ч.
.
Средняя скорость движения равна 2 s: (км/ч).
Ответ: 48 км/ч.
Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью км/ч, а с горы – со скоростью км/ч.
Какова средняя скорость движения автомобиля на всем участке пути?
Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба
конца автомобиль проехал 2 s км, затратив на весь
путь 
.
Средняя скорость движения равна 2 s: 
(км/ч).
Ответ:км/ч.
Рассмотрим задачу, в которой средняя скорость задана, а одну из скоростей нужно определить. Потребуется применение уравнения.
В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы – с некоторой другой постоянной скоростью. Как он подсчитал, средняя скорость движения оказалась равной 12 км/ч.
.III.2. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III.3.На пути из одного поселка в другой автомобиль некоторое время шел со скоростью 60 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 40км/ч, потом точно такое же время со скоростью, равной средней скорости движения на двух первых участках пути. Какова средняя скорость движения на всем пути из одного поселка в другой?
III.4. Велосипедист едет от дома до места работы со средней скоростью 10 км/ч, а обратно – со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до места работы и обратно..
III.5. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В порожняком с постоянной скоростью, а возвращался по той же дороге с грузом со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью он ехал порожняком, если средняя скорость движения оказалась равной 70 км/ч?.
III.6. Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 90 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III.7. Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 140 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III.8. Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
III. 9. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути..
В видеолекции "Решение текстовых задач на движение по кругу и воде" рассмотрены все типы задач на движение по кругу и воде из Открытого банка заданий ЕГЭ по математике.
Вы можете познакомиться с содержанием видеолекции и посмотреть ее фрагмент.
Задачи на движение по кругу:
1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 7 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?
2. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 20 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.
3. Часы со стрелками показывают 6 часов 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
4. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут?
Задачи на движение по воде:
5. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
6. Расстояние между пристанями A и B равно 72 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 39 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
7. Расстояние от пристани M до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани M, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 2 км/ч.
8. Из пункта A одновременно отплыли вниз по течению реки катер и плот. Пройдя 40/3 км катер повернул обратно и, пройдя 28/3 км, встретился с плотом. Требуется найти собственную скорость катера, если известно, что скорость течения 4 км/ч.
9. Моторная лодка проплыла по озеру, а потом спустилась вниз по реке, вытекающей из озера. Путь по озеру на 15% меньше пути по реке. Время движения лодки по озеру на 2% больше, чем по реке. На сколько процентов скорость течения меньше собственной скорости лодки?
10. Весной катер идет против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее, поэтому летом катер идет против течения реки в 1 1/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Фрагмент видеолекции:
