Рациональные числа 2. Как определить, является ли число рациональным

Рациональные числа – это числа вида , где
– целое число, а– натуральное. Множество рациональных чисел обозначают буквой. При этом выполняется соотношение
, так как любое целое число
можно представить в виде. Таким образом, можно сказать, что рациональные числа – это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

Десятичные дроби – это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель – единица с нулями, то есть 10; 100; 1000 и т.д. Десятичные дроби записывают без знаменателей. Сначала пишется целая часть числа, справа от нее ставится запятая; первая цифра после запятой означает число десятых, вторая – сотых, третья – тысячных и т.д. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической , если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, .

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Перечислим некоторые сведения о периодических дробях.

1. Если период дроби начинается сразу после запятой, то дробь называется чисто-периодической , если не сразу после запятой – смешанно-периодической .

Например, 1,(58) – чисто-периодическая дробь, а 2,4(67) – смешанно-периодическая.

2. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся лишь числа 2 и 5, то запись числав виде десятичной дроби представляет собой конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть другие простые множители, то получится бесконечная десятичная периодическая дробь.

3. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители не содержатся числа 2 и 5, то запись числав виде десятичной дроби представляет собой чисто-периодическую десятичную дробь; если в указанном разложении, наряду с другими простыми множителями, есть 2 или 5, то получится смешанно-периодическая десятичная дробь.

4. У периодической дроби период может быть любой длины, то есть содержать любое количество цифр.

1.3. Иррациональные числа

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Примерами иррациональных чисел служат корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел. Например,
,
. Иррациональными являются числа
;
. Множество иррациональных чисел обозначают буквой.

Пример 1.10. Доказать, что
– иррационально число.

Решение. Предположим, что
– рациональное число. Очевидно, оно не является целым, а поэтому
, где
и– несократимая дробь; значит, числа
ивзаимно простые. Так как
, то
, то есть
.

Старшие школьники и студенты математических специальностей, вероятно, с легкостью ответят на этот вопрос. А вот тем, кто по профессии далек от этого, будет сложнее. Что же это на самом деле такое?

Сущность и обозначение

Под рациональными числами подразумевают такие, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби. Положительные, отрицательные, а также ноль тоже входят в это множество. Числитель дроби при этом должен быть целым, а знаменатель - представлять собой

Это множество в математике обозначается как Q и называется "полем рациональных чисел". Туда входят все целые и натуральные, обозначающиеся соответственно как Z и N. Само же множество Q входит в множество R. Именно этой буквой обозначают так называемые вещественные или

Представление

Как уже было сказано, рациональные числа - это множество, в которое входят все целые и дробные значения. Они могут быть представлены в разных формах. Во-первых, в виде обыкновенной дроби: 5/7, 1/5, 11/15 и т. д. Разумеется, целые числа также могут быть записаны в подобном виде: 6/2, 15/5, 0/1, -10/2 и т. д. Во-вторых, еще один вид представления - десятичная дробь с конечной дробной частью: 0,01, -15,001006 и т. д. Это, пожалуй, одна из наиболее часто встречающихся форм.

Но есть еще и третья - периодическая дробь. Такой вид встречается не очень часто, но все же используется. Например, дробь 10/3 может быть записана как 3,33333... или 3,(3). При этом различные представления будут считаться аналогичными числами. Так же будут называться и равные между собой дроби, например 3/5 и 6/10. Похоже, что стало ясно, что такое рациональные числа. Но почему для их обозначения используют именно этот термин?

Происхождение названия

Слово "рациональный" в современном русском языке в общем случае несет немного другое значение. Это скорее "разумный", "обдуманный". Но математические термины близки к прямому смыслу этого В латыни "ratio" - это "отношение", "дробь" или "деление". Таким образом, название отражает сущность того, что такое рациональные числа. Впрочем, и второе значение

недалеко ушло от истины.

Действия с ними

При решении математических задач мы постоянно сталкиваемся с рациональными числами, сами не зная этого. И они обладают рядом интересных свойств. Все они следуют либо из определения множества, либо из действий.

Во-первых, рациональные числа обладают свойством отношения порядка. Это означает, что между двумя числами может существовать только одно соотношение - они либо равны друг другу, либо одно больше или меньше другого. Т. е.:

либо a = b ; либо a > b, либо a < b.

Кроме того, из этого свойства также вытекает транзитивность соотношения. То есть если a больше b , b больше c , то a больше c . На языке математики это выглядит следующим образом:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Во-вторых, существуют арифметические действия с рациональными числами, то есть сложение, вычитание, деление и, разумеется, умножение. При этом в процессе преобразований можно также выделить ряд свойств.

• a + b = b + a (перемена мест слагаемых, коммутативность);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (дистрибутивность);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (при этом a не равно 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Когда же речь идет об обыкновенных, а не или целых числах, действия с ними могут вызывать определенные трудности. Так, сложение и вычитание возможны только при равенстве знаменателей. Если они изначально различны, следует найти общий, используя умножение всей дроби на те или иные числа. Сравнение также чаще всего возможно только при соблюдении этого условия.

Деление и перемножение обыкновенных дробей производятся в соответствии с достаточно простыми правилами. Приведение к общему знаменателю не нужно. Отдельно перемножаются числители и знаменатели, при этом в процессе выполнения действия по возможности дробь нужно максимально сократить и упростить.

Что касается деления, то это действие аналогично первому с небольшой разницей. Для второй дроби следует найти обратную, то есть

"перевернуть" ее. Таким образом, числитель первой дроби нужно будет перемножить со знаменателем второй и наоборот.

Наконец, еще одно свойство, присущее рациональным числам, называют аксиомой Архимеда. Часто в литературе также встречается название "принцип". Он действителен для всего множества действительных чисел, однако не везде. Так, этот принцип не действует для некоторых совокупностей рациональных функций. По сути же, эта аксиома означает, что при существовании двух величин a и b всегда можно взять достаточное количество a, чтобы превзойти b.

Область применения

Итак, тем, кто узнал или вспомнил, что такое рациональные числа, становится ясно, что они используются повсеместно: в бухгалтерии, экономике, статистике, физике, химии и других науках. Естественно, также место им есть в математике. Не всегда зная, что имеем дело с ними, мы постоянно используем рациональные числа. Еще маленькие дети, учась считать предметы, разрезая на части яблоко или выполняя другие простые действия, сталкиваются с ними. Они буквально нас окружают. И все же для решения некоторых задач их недостаточно, в частности, на примере теоремы Пифагора можно понять необходимость введения понятия

Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков.

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ...

Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: , где m, n - целые числа;

Дроби со знаменателем 10n , где n - целое число, называются десятичными : .

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби : - чистая периодическая дробь, - смешанная периодическая дробь.

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа .

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел . Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - введение действительных (вещественных) чисел - присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре - при извлечении корней , примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e .

Числа натуральные (1, 2, 3,...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рациональные (представимые в виде дроби) и иррациональные (не представимые в виде дроби) образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Отдельно в математике выделяют комплексные числа.

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: z=a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Свойства:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0i или a – 0i . Например 5 + 0i и 5 – 0i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Действия:

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d )i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c ) + (b – d )i . Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

(ac – bd ) + (ad + bc )i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.

П р и м е р. (a+ bi )(a – bi )= a 2 + b 2 . Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi . Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i и выполнив все преобразования, получим:

Задание 1: Сложите, вычтите, умножьте и разделите z 1 на z 2

Извлечение корня квадратного: Реши уравнение x 2 = -a. Для решения данного уравнения мы вынуждены воспользоваться числами нового типа – мнимые числа . Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным . Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу :

Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Задание 2: Реши уравнение:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B –число 2, и O –ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b . Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или) буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

е
диницу по действительной оси; Re z

мнимую единицу по мнимой оси. Im z

Задание 3. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , , , , ,

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 - точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяженность.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата;

3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

2. Округление. Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Покажем это на примерах. Округлить:

а) до десятых 12,34;

б) до сотых 3,2465; 1038,785;

в) до тысячных 3,4335.

г) до тысяч 12375; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 * .

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом Δa . Запись

x ≈a (±Δa )

следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числамиа – Δa иа + Δа , которые называют соответственно нижней и верхней границейх и обозначают НГx ВГх .

Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2<x < 2,4.

Наоборот, если 7,3< х < 7,4, тох ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояниех между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случаех ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная

На этом уроке мы познакомимся с множеством рациональных чисел. Разберем основные свойства рациональных чисел, научимся переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.

Мы уже говорили про множества натуральных и целых чисел. Множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел .

Теперь мы узнали, что такое дроби, научились с ними работать. Дробь , например, не является целым числом. Значит, нужно описать новое множество чисел, куда будут входить все дроби, и этому множеству нужно название, четкое определение и обозначение.

Начнем с названия. Латинское слово ratio переводится на русский язык как отношение, дробь. Название нового множества «рациональные числа» и происходит от этого слова. То есть «рациональные числа» можно перевести как «дробные числа».

Разберемся, из каких чисел состоит это множество. Можно предположить, что оно состоит из всех дробей. Например, таких - . Но такое определение было бы не совсем корректным. Дробь - это не само число, а форма записи числа. В примере, представленном ниже, две разные дроби обозначают одно и то же число:

Тогда точнее будет сказать, что рациональные числа - это те числа, которые можно представить в виде дроби. И это в самом деле уже почти то самое определение, которое и используют в математике.

Обозначили это множество буквой . А как связаны множества натуральных и целых чисел с новым множеством рациональных чисел? Натуральное число можно записать в виде дроби, причем бесконечным числом способов . А раз его можно представить в виде дроби, то оно тоже является рациональным.

С отрицательными целыми числами аналогичная ситуация. Любое целое отрицательное число можно представить в виде дроби . А можно ли число ноль представить в виде дроби? Конечно, можно, тоже бесконечным числом способов .

Таким образом, все натуральные и все целые числа тоже являются рациональными числами. Множества натуральных и целых чисел являются подмножествами множества рациональных чисел ().

Замкнутость множеств относительно арифметических операций

Необходимость введения новых чисел - целых, затем рациональных - м ожно объяснять не только задачами из реальной жизни. Сами арифметические операции подсказывают нам это. Сложим два натуральных числа: . Получим снова натуральное число.

Говорят, множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения ( замкнуто относительно сложения). Самостоятельно подумайте, замкнуто ли множество натуральных чисел относительно умножения.

Как только мы пытаемся вычесть из числа равное ему или большее, то натуральных чисел нам не хватает. Введение нуля и отрицательных целых чисел исправляет ситуацию:

Множество целых чисел замкнуто относительно вычитания. Мы можем складывать и вычитать любые целые числа, не опасаясь, что у нас не будет числа, чтобы записать результат ( замкнуто относительно сложения и вычитания).

Замкнуто ли множество целых чисел относительно умножения? Да, произведение любых двух целых чисел дает в результате целое число ( замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения).

Осталось еще одно действие - деление. Замкнуто ли множество целых чисел относительно деления? Ответ очевиден: нет. Поделим на . Среди целых чисел нет такого, чтобы записать ответ: .

Но с помощью дробного числа мы почти всегда можем записать результат деления одного целого числа на другое. Почему почти? Вспомним, что, по определению, делить на ноль нельзя.

Таким образом, множество рациональных чисел (которое возникает при введении дробей) претендует на роль множества, замкнутого относительно всех четырех арифметических операций.

Давайте проверим.

То есть множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления, исключая деление на ноль. В этом смысле можно говорить, что множество рациональных чисел устроено «лучше», чем предшествующие множества натуральных и целых чисел. Означает ли это, что рациональные числа - последнее числовое множество, которое мы изучаем? Нет. Впоследствии у нас появятся другие числа, которые нельзя записать в виде дробей, например иррациональных.

Числа как инструмент

Числа - это инструмент, которые человек создавал по мере необходимости.

Рис. 1. Использование натуральных чисел

Дальше, когда понадобилось вести денежные расчеты, перед числом стали ставить знаки плюс или минус, показывая, нужно увеличить или уменьшить исходную величину. Так появились отрицательные и положительные числа. Новое множество назвали множеством целых чисел ().

Рис. 2. Использование дробных чисел

Поэтому появляется новый инструмент, новые числа - дроби. Мы их записываем разными эквивалентными способами: обыкновенными и десятичными дробями ().

Все числа - «старые» (целые) и «новые» (дробные) - объединили в одно множество и назвали его множеством рациональных чисел ( - рациональные числа )

Итак, рациональное число - это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Но это определение в математике еще немного уточняют. Любое рациональное число можно представить в виде дроби с положительным знаменателем, то есть отношением целого числа к натуральному: .

Тогда получаем определение: число называется рациональным, если его можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем ().

Кроме обыкновенных дробей, мы используем и десятичные. Посмотрим, как они связаны с множеством рациональных чисел.

Десятичные дроби бывают трех видов: конечные, периодические и непериодические.

Бесконечные непериодические дроби: у таких дробей тоже бесконечное количество цифр после запятой, но периода нет. Примером является десятичная запись числа ПИ:

Любая конечная десятичная дробь по определению - это обыкновенная дробь со знаменателем и т.д.

Прочитаем десятичную дробь вслух и запишем в виде обыкновенной: , .

При обратном переходе от записи в виде обыкновенной дроби к десятичной могут получаться конечные десятичные дроби или бесконечные периодические дроби.

Переход от обыкновенной дроби к десятичной

Самый простой случай, когда знаменатель дроби - это степень десятки: и т.д. Тогда мы пользуемся определением десятичной дроби:

Есть дроби, у которых знаменатель легко приводится к такому виду: . Перейти к такой записи возможно, если в разложение знаменателя входят только двойки и пятерки.

Знаменатель состоит из трех двоек и одной пятерки. Каждая и образуют десятку. Значит, нам не хватает двух . Домножим на и числитель, и знаменатель:

Можно было поступить по-другому. Поделить столбиком на (см. рис. 1).

Рис. 2. Деление в столбик

В случае с знаменатель не удастся превратить в или другое разрядное число, так как в его разложение входит тройка. Остается один способ - делить в столбик (см. рис. 2).

Такое деление на каждом шаге будет давать в остатке и в частном. Этот процесс бесконечен. То есть получили бесконечную периодическую дробь с периодом

Давайте потренируемся. Переведем обыкновенные дроби в десятичные.

Во всех этих примерах мы получили конечную десятичную дробь, так как в разложении знаменателя были только двойки и пятерки.

(проверим себя делением в столик - см. рис. 3).

Рис. 3. Деление в столбик

Рис. 4. Деление в столбик

(см. рис. 4)

В разложение знаменателя входит тройка, значит, привести знаменатель к виду , и т.д. не получится. Делим на в столбик. Ситуация будет повторяться. В записи результата будет бесконечное число троек. Таким образом, .

(см. рис. 5)

Рис. 5. Деление в столбик

Итак, любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби. Это его определение.

А любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Виды записи дробей:

запись десятичной дроби в виде обыкновенной: ; ;

запись обыкновенной дроби в виде десятичной: (конечная дробь); (бесконечная периодическая).

То есть любое рациональное число можно записать конечной или периодической десятичной дробью. При этом конечную дробь тоже можно считать периодической с периодом ноль.

Иногда рациональному числу дают именно такое определение: рациональное число - это число, которое можно записать периодической десятичной дробью.

Преобразование периодической дроби

Рассмотрим сначала дробь, у которой период состоит из одной цифры и нет предпериода. Обозначим это число буквой . Метод заключается в том, чтобы получить еще одно число с таким же периодом:

Это можно сделать, умножив исходное число на . Итак, число имеет такой же период. Вычтем из само число :

Чтобы убедиться, что мы правильно все сделали, давайте теперь сделаем переход в обратную сторону, уже известным нам способом - делением в столбик на (см. рис. 1).

В самом деле получаем число в исходной форме с периодом .

Рассмотрим число с предпериодом и более длинным периодом: . Метод остается точно таким же, как и в предыдущем примере. Надо получить новое число с таким же периодом и предпериодом такой же длины. Для этого нужно, чтобы запятая сдвинулась вправо на длину периода, т.е. на два знака. Умножим исходное число на :

Вычтем из полученного выражения исходное:

Итак, каков алгоритм перевода. Периодическую дробь нужно умножить на число вида и т.д., в котором столько нулей, сколько цифр в периоде десятичной дроби. Получим новую периодическую. Например:

Вычтем из одной периодической дроби другую, получим конечную десятичную дробь:

Остается выразить исходную периодическую дробь в виде обыкновенной.

Для тренировки самостоятельно запишите несколько периодических дробей. По данному алгоритму приведите их к виду обыкновенной дроби. Для проверки на калькуляторе поделите числитель на знаменатель. Если все верно, то получится исходная периодическая дробь

Итак, любую конечную или бесконечную периодическую дробь мы можем записать как обыкновенную дробь, как отношение натурального и целого чисел. Т.е. все такие дроби являются рациональными числами.

А как обстоит дело с непериодическими дробями? Оказывается, непериодические дроби невозможно представить в виде обыкновенных (этот факт мы примем без доказательства). А значит, они не являются рациональными числами. Их называют иррациональными.

Бесконечные непериодические дроби

Как мы уже сказали, рациональное число в десятичной записи - это или конечная, или периодическая дробь. Значит, если мы сможем построить бесконечную непериодическую дробь, то мы получим нерациональное, то есть иррациональное число.

Вот один из способов такого построения: Дробная часть этого числа состоит только из нулей и единиц. Количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на . Здесь невозможно выделить повторяющуюся часть. То есть дробь не является периодической.

Потренируйтесь самостоятельно конструировать непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа

Известный нам пример иррационального числа - это число пи (). Периода в этой записи нет. Но, кроме числа пи, существует бесконечно много других иррациональных чисел. Подробнее об иррациональными числами мы поговорим позже.

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2013.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана - Граф, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

Домашнее задание

Данная статья посвящена изучению темы "Рациональные числа". Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби a b , отрицательной обыкновенной дроби - a b или числа ноль.

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1 n .
2. Любое целое число, включая число 0 , является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь a b является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом.
6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5 , 105 , 358 , 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа - 2 , - 358 , - 936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 3 5 , 8 7 , - 35 8 также являются примерами рациональных чисел.

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациональные числа

Рациональные числа - это такие числа, которые можно представить в виде дроби ± z n , где z - целое число, n - натуральное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Таким образом, можно записать:

z n = z n , п р и z > 0 0 , п р и z = 0 - z n , п р и z < 0

Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 и - 1 3 5 . Все эти числа являются рациональными, так как их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Определение 3. Рациональные числа

Рациональное число - это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

1. Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
2. Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель - натуральным числом.
3. Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос "рационально ли число?" является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения - рациональное число.

Например, значение выражения 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) является рациональным числом и равно 18 .

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

Оказывается, что число m n , заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n -ой степенью какого-то натурального числа.

Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9 , 81 - рациональные числа. 9 и 81 - полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199 , 28 , 15 1 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел.

Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 243 5 ? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243 , поэтому исходное выражение можно переписать так: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 121 5 . Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121 .

Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log 2 5 . Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log 2 5 = m n .По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.

Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2 · 2 = 2 .

Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2 log 2 3 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2 log 2 3 = 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter