Распределение максвелла больцмана по импульсам и координатам. Распределения Максвелла и Больцмана

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей  в. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

или

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож­но найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до  (математические подробности опущены):

где М = т 0 N A - молярная масса газа, R = k N A - универсальная газовая постоянная, N A - число Авогадро.

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекулпо  видоизменяется (рис. 2.6; Т 1 < Т 2 ). Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле­кул, скорости которых лежат в определенном интервале. Полу­чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро­ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле­кул, скорости которых заключены в некотором интервале d  , к общему числу N молекул:

Из (2.34) и (2.37) следует, что

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от и: до i> 2 . Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от  1 до  2 (рис. 2.7).

Если интервал скоростей d  достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основаниемd  .

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю(d  = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана. Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ ловых полях -гравитационном, электрическом и др. -называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высотыh над уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы mgh :

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо­положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическоедвижение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен­циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

В первом распределении в показателе степени отношение кине­тической энергии молекулы к kT , во втором - отношение потен­циальной энергии к kT .

Скорость каждой конкретной молекулы газа все время меняется. Это обусловлено столкновениями молекул и происходящими в результате изменениями их энергии. Однако в каждый момент времени распределение молекул по скорости остается неизменным, если поддерживаются прежние условия. Ведь число молекул газа чрезвычайно велико!

Скорости молекул газа имеют самые разнообразные значения. Закономерность распределения частиц по скорости называется распределением Максвелла - Больцмана. На рис. 3.7 представлены графики распределения молекул по скорости при двух разных температурах. Следует обратить внимание, что при повышении температуры распределение становится более широким и в целом смещается в сторону более высоких скоростей.

Распределение Максвелла-Больцмана существует не только применительно к молекулярным скоростям, но и к молекулярным энергиям. Типичная кривая такого распределения молекулярных энергий показана на рис. 3.8.

Рис. 3.7. Распределение молекул по скорости.

Рис. 3.8. Распределение молекул по энергии.

Измерение распределения молекул по скорости.

Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы , где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение о применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая Де-Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов.

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

где является числом молекул имеющих энергию при температуре системы , является общим числом молекул в системе и , - постоянная Больцмана . (Отметьте, что иногда вышеупомянутое уравнение записывается с множителем , обозначающим степень вырождения энергетических уровней. В этом случае сумма будет по всем энергиям, а не всем состояниям системы). Поскольку скорость связана с энергией, уравнение (1) может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель в уравнении (1) известен как каноническая статистическая сумма .

Распределение Максвелла

Распределение по вектору импульса

Представленное ниже очень сильно отличается от вывода, предложенного Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом .

В случае идеального газа , состоящего из не взаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом

где - квадрат вектора импульса .

Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:

где - статсумма , соответствующая знаменателю в уравнении (1), - молекулярная масса газа, - термодинамическая температура, и - постоянная Больцмана . Это распределение пропорционально функции плотности вероятности нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:

Константа нормировки c , определяется из условия, в соответствии с которым суммарная вероятность того, что молекулы имеют какой-либо импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям и должен быть равен единице. Можно показать, что:

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы

Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что , мы получим

Распределение по вектору скорости

Учитывая, что плотность распределения по скоростям пропорциональна плотности распределения по импульсам:

и используя мы получим:

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе около скорости равна

Распределение по абсолютной величине импульса

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса

Распределение по энергии

Наконец, используя соотношения и , мы получаем распределение по кинетической энергии:

Распределение по проекции скорости

Распределение Максвелла для вектора скорости - является произведением распределений для каждого из трех направлений:

где распределение по одному направлению:

Это распределение имеет форму нормального распределения . Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально , то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если - функция плотности вероятности для модуля скорости, то:

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

В равновесном состоянии параметры газа (давле-ние, объем и температура) остаются неизменными, однако микро-состояния — взаимное расположение молекул, их скорости — не-прерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак-тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной слу-чайной величиной, указать распределение молекул по скоростям.

Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости u x молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл , плотность вероятности записывается следующим образом:

аналогично для других осей

Используя (2.28), из (2.31) получаем:

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ-цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож-но найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ¥ (математические подробности опущены):

где М = т 0 N A — молярная масса газа, R = k N A — универсальная газовая постоянная, N A — число Авогадро.

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по u видоизменяется (рис. 2.6; Т 1 < Т 2 ). Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле-кул, скорости которых лежат в определенном интервале Du. Полу-чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро-ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле-кул, скорости которых заключены в некотором интервале du, к общему числу N молекул:

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от u 1 до u 2 (рис. 2.7).

Если интервал скоростей du достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием du.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како-му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер-вал скоростей равен нулю (du = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан-ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос-тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны-ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде-ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана.

Если молекулы находятся в ка-ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не-которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си-ловых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле-кул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энер-гии молекулы mgh:

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи-чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка-чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо-положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен-циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

В первом распределении в показателе степени отношение кине-тической энергии молекулы к kT, во втором — отношение потен-циальной энергии к kT.

Максвелл

В состоянии теплового равновесия, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной . Это объясняется тем, что в газе, устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла.

рис.1 рис. 2 Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f(u), называемой функ­ци­ей распределения молекул по скоростям. , где N – общее число молекул, dN(u)- число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от u до u + du. Функция Максвелла f(u) равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей. Явный вид функции f(u) был получен теоретически Максвеллом . функции распределения-рис.1. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при u®0 и u®¥ и проходит через максимум при некоторой скорости u В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно u В.Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f(u). .На рис.2 показано смещение u В с измен-ем темп-ры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла . Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости . .