Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решениеРешение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Показать решениеРешение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решениеРешение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.
Правило 1
Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.
По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2
Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.
Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Правило 3
Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).
Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:
Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:
F(x) = 5*sin(x).
Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5
Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.
Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .
Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .
Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.
1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.
2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.
Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.
Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:
F (x)+C , где С — любое действительное число.
Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .
Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».
f (x) dx — подынтегральное выражение,
f (x) — подынтегральная функция,
х — переменная интегрирования.
F (x) — первообразная для функции f (x) ,
С — некоторая постоянная величина.
Теперь рассмотренные примеры можно записать так:
1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.
Что же означает знак d?
d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.
Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
3) После значка дифференциала d стоит х х , а р
∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).
Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).
4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.
∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).
Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).
Проверочный тест:
1. Верно ли, что функция y= sinx + x4 -7 первообразная для функции y = cosx + 4x3 на промежутке (-?; ?)?
2. Найдите первообразную функции f(x) = x 2 , график которой проходит через точку (3; 6).
3. Найдите первообразную функции а) f(x) = x 10 ; б) f(x) = x 8 - cosx;
в) f(x) = 3sinx; г) f(x) = sin(7x+2);
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = x 2 +4, y=0, x = 2, x =4.
5. Вычислите определенный интеграл: а) б); в) .
3. a);б)F(x) =; в)F(x)=-3cosx+c; г) F(x) = -
4. 26? ;5. а)2?; б) 0; в) -1;
Улучшите свои знания
1. Понятие первообразной функции
Функция F(x)(например,5x 2) называется первообразной для функции f(x) (10x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x)= f(x)((5x 2)" =10x).
Верно ли, что функция Y(x)= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?)
Решение: Проверим, будет ли функция Y= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразной для функции y = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?).
Для этого:
1. Найдем область определения функцииY: D(Y)= (-?; ?).
2. Найдем производную функции Y= 0,5sin2x + x 5 -3:(0,5sin2x + x 5 -3)" = cos2x + 5x 4 ;
3. Получили: Y"(x) =y(x) для всех x из промежутка (-?; ?), значит, функция Y(x)= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?).
2. Основное свойство первообразной
Если функция F(x) первообразна для функции f(x)на некотором промежутке, то любая другая первообразная для функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+С, где С - произвольная постоянная величина.
Найдите первообразную функции f(x) = x 2 , график которой проходит через точку (3; 6).
Общий вид первообразных функции f(x) = x 2 - это F(x) =, так как график функции F(x) = проходит через точку(3; 6), то F(3) =6, т.е. 6=9+С, откуда С=-3.
Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку (3;6) имеет вид F(x) =.
3. Основные правила нахождения первообразной
а) Первообразная степени x n равна +С
Например первообразная x 6 равна +С.
б) Первообразная суммы двух функций равна сумме первообразных этих функций
Например, первообразная функции x 2 +sinx равна сумме первообразных функций x 2 и sinx, т. е.
в) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной
Например, первообразная 5 x 6 равна 5+С.
г) Первообразная функции f(kx+c) равна, где к?0.
Например, первообразная функции sin(5x+2) равна -cos(5x+2)+C.
4. Площадь криволинейной трапеции
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, надо:
1. Найти одну из первообразных функции f(x), например, F(x);
2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке b ,т.е. F(b);
3. Вычислить значение первообразной F(x) в точке a, т.е. F(a);
4. Найти разность (приращение первообразной) F(b)- F(a)=S -это и будет площадь криволинейной трапеции.
Например,
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = x 2 +4, x = 2, x =4,у=0.
Построим фигуру, ограниченную линиями
у = x 2 +4 - парабола, x = 2, x =4 - - прямые, параллельные оси OY, у=0 - ось OX. Фигура, ограниченная этими линиями, является криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.
2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке 4, т.е.
3. Вычислить значение первообразной F(x) в точке 2, т.е.
4. Найдем S=21? - 10? =10?.
5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл функции f(x), непрерывной на отрезке , записывается в виде, читается « интеграл от a до b функции f(x)dx».
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:
Обычно для удобства вычисления записывают так:
символ читается: « двойная подстановка от a до b», f(x) - называется подинтегральной функцией, f(x)dx- подинтегральным выражением.
Чтобы вычислить определенный интеграл, надо
1. Проверить, является ли функция f(x) непрерывной на отрезке;
2. Для непрерывной функции найти ее первообразную F(x);
3. Вычислить значения первоообразной в точках a и b: F(b)и F(a);
4. Вычислить разность F(b)- F(a).
Например,
1. Функция f(x)=x 2 непрерывна на отрезке ;