Шуховский гиперболоид вращения. Гиперболоид вращения

- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка

гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия

Книги

• , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
• Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…

И некоторая линия, которая проходит через начало координат. Если гиперболу начать вращать вокруг этой оси, возникнет полое тело вращения, которое гиперболоидом. Существует два вида гиперболоидов: однополостный и двуполостный. Однополостный гиперболоид задается уравнением вида:x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1Если рассматривать данную пространственную фигуру относительно плоскостей Oxz и Oyz, можно заметить, что ее сечениями гиперболы. Однако, сечением однополостного гиперболоида плоскостью Oxy является эллипс. Самый маленький эллипс гиперболоида называется горловым эллипсом. В этом случае, z=0, а эллипс проходит через начало координат. Уравнение горлового при z=0 записывается следующим образом:x^2/a^2 +y^2/b^2=1Остальные эллипсы имеют следующего вида:x^2/a^2 +y^2/b^2=1+h^2/c^2, где h - высота однополостного гиперболоида.

Построение гиперболоида начните с изображения гиперболы в плоскости Xoz. Начартите действительную полуось, которая совпадает с осью y и мнимую полуось, совпадающую с z. Постройте гиперболу, а затем задайте некоторую высоту h гиперболоида. После этого, на уровне заданной высоты проведите прямые, параллельные Ox и пересекающие график гиперболы в нижних и верхних точках.Затем аналогичным образом в плоскости Oyz постройте гиперболу, где b - действительная полуось, проходящая через ось y, а с - мнимая полуось, также совпадающая с c.Постройте в плоскости Oxy параллелограмм, который получается путем соединения точек графиков гипербол. Начертите горловой эллипс таким образом, чтобы он был вписан в этот параллелограмм. Аналогичным образом постройте остальные эллипсы. В результате получится тела вращения - однополостного гиперболоида, изображенного на рис.1

Двуполостный гиперболоид получил свое из-за двух разных поверхностей, которые образованы осью Oz. Уравнение такого гиперболоида имеет следующий вид:x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Две полости получаются при построении гиперболы в плоскости Oxz и Oyz. У двуполостного гиперболоида сечения - эллипсы:x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1Также, как и в случае с однополостным гиперболоидом, постройте в плоскостях Oxz и Oyz гиперболы, которые будут располагаться таким образом, как показано на 2. Постройте внизу и наверху параллелограммы для построения эллипсов. Построив эллипсы, уберите все построения, а затем начертите двуполостный гиперболоид.

Однополосный гиперболоид представляет собой фигуру вращения. Чтобы построить его, нужно следовать определенной методики. Сначала вычерчиваются полуоси, затем, гиперболы и эллипсы. Соединение всех этих элементов поможет составить уже саму пространственную фигуру.

Вам понадобится

• - карандаш,
• - бумага,
• - математический справочник.

Инструкция

Изобразите гиперболу в Xoz. Для этого начертите две полуоси, совпадающие с осью y (действительная полуось) и с осью z (мнимая полуось). Постройте на базе них гиперболу. После этого задайте определенную высоту h а. В завершении на уровне этой заданной проведите прямые, будут параллельны Ox и пересекают при этом график гиперболы в двух : нижней и верхней.

Повторите вышеописанные действия при построении остальных эллипсов. В конечном итоге сформируется чертеж однополостного гиперболоид а.

Однополостный гиперболоид описывается изображенным

Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.

Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.

При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями будут получаться окружности

В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями

в которых а, b и с - полуоси однополостного гиперболоида, a k - произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение

т. е. уравнение однополостного гиперболоида.

Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где - произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.

Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.

Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы

вокруг той оси, которая ее пересекает (вокруг действительной оси).

Для того, чтобы перейти от уравнения линии (43) к уравнению поверхности вращения, заменимх на
, получим уравнение двуполостного гиперболоида вращения

.

В результате сжатия этой поверхности получается поверхность, задаваемая уравнением

. (44)

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (44), называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность (рис. 60).

Асимптотический конус для двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного (рис. 61).

Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида (44) с плоскостями, параллельными координатным.

Плоскость z = h при |h | < c пересекает поверхность (44) по мнимым эллипсам, при |h | > c по вещественным. Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а гиперболоид – есть гиперболоид вращения. При |h | = c получаем

,

т. е. пару сопряженных прямых с одной вещественной точкой (0; 0; с ) (или (0; 0; –с ) соответственно).

Плоскости x = α и y = β пересекают гиперболоид (44) по гиперболам

и
.

8. эллиптический параболоид

При вращении параболы x 2 = 2pz вокруг ее оси симметрии получим поверхность с уравнением

x 2 + y 2 = 2pz ,

называемуюпараболоидом вращения . Сжатие к плоскости у = 0 переводит параболоид вращения в поверхность с уравнением

. (45)

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.

Внешний вид эллиптического параболоида ясен из способа его построения. Он весь расположен по одну сторону от плоскости z = 0, в полупространстве z > 0 (рис. 62). Сечения плоскостями z = h , h > 0 имеют уравнение:

и являются эллипсами.

Сечения эллиптического параболоида (45) плоскостями у = 0 и х = 0 являются параболами

x 2 = 2a 2 z , y = 0; (46)

y 2 = 2b 2 z , x = 0. (47)

Эти параболы называют главными параболами эллиптического параболоида, при этом параболу (46) условно назовем неподвижной , а параболу (47) – подвижной .

Можно дать следующее очень наглядное построение эллиптического параболоида посредством скольжения одной параболы вдоль другой (система координат предполагается прямоугольной).

Возьмем сечение параболоида (45) плоскостью x = α, получим в этой плоскости, содержащей систему координат O 0 e 2 e 3 , где O 0 = (α, 0, 0), кривую, уравнение которой будет

, x = α

y 2 = 2b 2 (z – γ), x = α, (48)

где
.

Перейдем в плоскости x = α от системы координат O e 2 e 3 к системе координат O ′e 2 e 3 , где O ′ = (α, 0, γ) есть точка пересечения плоскости x = α с неподвижной параболой x 2 = 2a 2 z , y = 0.

Перенеся начало координат системы O 0 e 2 e 3 в точку O ′, произвели следующее преобразование координат:

y = y ′, z = z ′ + γ.

В результате этого преобразования уравнение (48) получает вид:

y ′ 2 = 2pz ′, x = α.

Кривая (48) – это та же «подвижная» парабола, но перенесенная параллельно себе в плоскость x = α. Этот перенос можно осуществить следующим образом. Вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе из точки О в точку O ′, а сама парабола при этом перемещается, как твердое тело, оставаясь все время в плоскости, параллельной плоскости yOz .

Этот результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Эллиптический параболоид есть поверхность, описываемая при движении одной («подвижной») параболы (47) вдоль другой, неподвижной (46), так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе, причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвижная) обращены вогнутостью в одну и ту же сторону (а именно в положительную сторону оси Oz ).

Заметим, что эллиптический параболоид прямолинейных образующих не имеет. Действительно, прямая, параллельная плоскости xOy , может пересекать лишь сечение параболоида некоторой плоскостью z = h , а это сечение, как уже было отмечено, представляет собой эллипс. И значит, у прямой не более двух общих точек с параболоидом.

Если же прямая не параллельна плоскости xOy , то ее полупрямая лежит в полупространстве z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. гиперболический параболоид

По аналогии с уравнением (45) можем записать уравнение

. (49)

Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида (49) назовем гиперболическим параболоидом .

Исследуем внешний вид гиперболического параболоида с помощью сечений (рис. 63). Сечение плоскостью z = h представляет собой гиперболу, которая в этой плоскости имеет уравнение:

или
.

Для больших значений h полуоси гиперболы
и
велики и уменьшаются с уменьшениемh . При этом ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 1 .

При h = 0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

=>

,
.

Если h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 2 . Полуоси растут с увеличением |h |. Отношение полуосей для всех гипербол при одном знаке h одно и то же. Поэтому, если мы нарисуем все сечения гиперболического параболоида на одной и той же плоскости, то получим семейство всех гипербол, имеющих в качестве асимптот пару пересекающихся прямых с уравнениями

,
.

Сечения гиперболического параболоида с плоскостями у = 0 и х = 0 являются двумя «главными параболами»:

x 2 = 2a 2 z , y = 0 (50)

– неподвижная парабола, и

y 2 = –2b 2 z , x = 0 (51)

– подвижная парабола.

Эти параболы обращены вогнутостью в противоположные стороны: неподвижная – «вверх» (т.е. в положительном направлении оси Oz ), а подвижная – «вниз» (т.е. в отрицательном направлении оси Oz ). Сечение в плоскости x = α имеет в системе координат O 0 e 2 e 3 , где O 0 = (α, 0, 0), уравнение

, x = α

y 2 = –2b 2 (z – z 0), x = α, (52)

где
.

После перенесения начала координат в точку O ′ = (α, 0, z 0), уравнение (51) примет вид:

y ′ 2 = –2b 2 z ′, x = α,

где y = y ′, z = z ′ + z 0 . Последнее уравнение показывает, что кривая (52) – это та же подвижная парабола (51), только сдвинутая параллельно себе при скольжении ее вершины вдоль неподвижной параболы из точки О в O ′.

Отсюда вытекает следующее утверждение. Гиперболический параболоид, заданный (в прямоугольной системе координат) уравнением (49) есть поверхность, описываемая параболой y 2 = –2b 2 z , х = 0 при ее движении вдоль неподвижной параболы (50) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными себе самим, при этом обе параболы вогнутостью все время обращены в противоположные стороны: неподвижная – вогнутостью «вверх», т. е. в положительном направлении оси Oz , а подвижная – «вниз».

Из этого построения видно, что гиперболический параболоид имеет вид седла.

Гиперболический параболоид, как и однополостной гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 64). Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямые, которые всеми точками лежат на этой плоскости.

Найдем уравнения прямолинейных образующих. Перепишем уравнение (49) в виде

.

Рассмотрим прямую, заданную как пересечение двух плоскостей

(53)

Очевидно, что любая точка, удовлетворяющая уравнениям (53), удовлетворяет и уравнению (49), которое является произведением уравнений (53)

.

А это значит, что каждая точка прямой (53) принадлежит гиперболическому параболоиду (49).

Аналогично рассматривается прямая

Прямая (54) также всеми своими точками лежит на гиперболическом параболоиде.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

(краткая информация)

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.

Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.

Поверхности, образуемые вращением прямой линии:

1. - цилиндр вращенияобразуется вращением прямой, параллельной оси;

2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;

3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;

Параллелями поверхности являются окружности.

Меридианом поверхности является гипербола.

Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфераобразуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

где a, b, c – положительные числа.

Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому

Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.

Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.

Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида

Уравнения этих линий:

Первое уравнение преобразуем к виду

Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a 1 и b 1 . Нарисуем полученные сечения (рис. 2).

Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.

Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения

Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.

Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).

Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,