Среднеквадратичное отклонение эксель. Excel

Стандартное отклонение - классический индикатор изменчивости из описательной статистики.

Стандартное отклонение , среднеквадратичное отклонение, СКО, выборочное стандартное отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) - очень распространенный показатель рассеяния в описательной статистике. Но, т.к. технический анализ сродни статистике, данный показатель можно (и нужно) использовать в техническом анализе для обнаружения степени рассеяния цены анализируемого инструмента во времени. Обозначается греческим символом Сигма «σ».

Спасибо Карлам Гауссу и Пирсону за то, что мы имеем возможность пользоваться стандартным отклонением.

Используя стандартное отклонение в техническом анализе , мы превращаем этот «показатель рассеяния » в «индикатор волатильности «, сохраняя смысл, но меняя термины.

Что представляет собой стандартное отклонение

Но помимо промежуточных вспомогательных вычислений, стандартное отклонение вполне приемлемо для самостоятельного вычисления и применения в техническом анализе. Как отметил активный читатель нашего журнала burdock, «до сих пор не пойму, почему СКО не входит в набор стандартных индикаторов отечественных диллинговых центров «.

Действительно, стандартное отклонение может классическим и «чистым» способом измерить изменчивость инструмента . Но к сожалению, этот индикатор не так распространен в анализе ценных бумаг .

Применение стандартного отклонения

Вручную вычислить стандартное отклонение не очень интересно , но полезно для опыта. Стандартное отклонение можно выразить формулой STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , что звучит как корень из суммы квадратов разниц между элементами выборки и средним, деленной на количество элементов в выборке.

Если количество элементов в выборке превышает 30, то знаменатель дроби под корнем принимает значение n-1. Иначе используется n.

Пошагово вычисление стандартного отклонения :

1. вычисляем среднее арифметическое выборки данных
2. отнимаем это среднее от каждого элемента выборки
3. все полученные разницы возводим в квадрат
4. суммируем все полученные квадраты
5. делим полученную сумму на количество элементов в выборке (или на n-1, если n>30)
6. вычисляем квадратный корень из полученного частного (именуемого дисперсией )

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение . Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

• Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
• Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности ).
• Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение . Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего :

Наконец, чтобы вычислить дисперсию , каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм 2 .

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

Мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = мм 2 .

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал , Сергей Валерьевич

Стандартное отклонение является одним из тех статистических терминов в корпоративном мире, которое позволяет поднять авторитет людей, сумевших удачно ввернуть его в ходе беседы или презентации, и оставляет смутное недопонимание тех, кто не знает, что это такое, но стесняется спросить. На самом деле большинство менеджеров не понимают концепцию стандартного отклонения и, если вы один из них, вам пора перестать жить во лжи. В сегодняшней статье я расскажу вам, как эта недооцененная статистическая мера позволит лучше понять данные, с которыми вы работаете.

Что измеряет стандартное отклонение?

Представьте, что вы владелец двух магазинов. И чтобы избежать потерь, важно, чтобы был четкий контроль остатков на складе. В попытке выяснить, кто из менеджеров лучше управляет запасами, вы решили проанализировать стоки последних шести недель. Средняя недельная стоимость стока обоих магазинов примерно одинакова и составляет около 32 условных единиц. На первый взгляд среднее значение стока показывает, что оба менеджера работают одинаково.

Но если внимательнее изучить деятельность второго магазина, можно убедится, что хотя среднее значение корректно, вариабельность стока очень высокая (от 10 до 58 у.е.). Таким образом, можно сделать вывод, что среднее значение не всегда правильно оценивает данные. Вот где на выручку приходит стандартное отклонение.

Стандартное отклонение показывает, как распределены значения относительно среднего в нашей . Другими словами, можно понять на сколько велик разброс величины стока от недели к неделе.

В нашем примере, мы воспользовались функцией Excel СТАНДОТКЛОН, чтобы рассчитать показатель стандартного отклонения вместе со средним.

В случае с первым менеджером, стандартное отклонение составило 2. Это говорит нам о том, что каждое значение в выборке в среднем откланяется на 2 от среднего значения. Хорошо ли это? Давайте рассмотрим вопрос под другим углом – стандартное отклонение равное 0, говорит нам о том, что каждое значение в выборке равно его среднему значению (в нашем случае, 32,2). Так, стандартное отклонение 2 ненамного отличается от 0, и указывает на то, что большинство значений находятся рядом со средним значением. Чем ближе стандартное отклонение к 0, тем надежнее среднее. Более того, стандартное отклонение близкое к 0, говорит о маленькой вариабельности данных. То есть, величина стока со стандартным отклонением 2, указывает на невероятную последовательность первого менеджера.

В случае со вторым магазином, стандартное отклонение составило 18,9. То есть стоимость стока в среднем отклоняется на величину 18,9 от среднего значения от недели к неделе. Сумасшедший разброс! Чем дальше стандартное отклонение от 0, тем менее точно среднее значение. В нашем случае, цифра 18,9 указывает на то, что среднему значению (32,8 у.е. в неделю) просто нельзя доверять. Оно также говорит нам о том, что еженедельная величина стока обладает большой вариабельностью.

Такова концепция стандартного отклонения в двух словах. Хотя оно не дает представление о других важных статистических измерениях (Мода, Медиана…), фактически стандартное отклонение играет решающую роль в большинстве статистических расчетов. Понимание принципов стандартного отклонения прольет свет на суть многих процессов вашей деятельности.

Как рассчитать стандартное отклонение?

Итак, теперь мы знаем, о чем говорит цифра стандартного отклонения. Давайте разберемся, как она считается.

Рассмотрим набор данных от 10 до 70 с шагом 10. Как видите, я уже рассчитал для них значение стандартного отклонения с помощью функции СТАНДОТКЛОН в ячейке H2 (оранжевым).

Ниже описаны шаги, которые предпринимает Excel, чтобы прийти к цифре 21,6.

Обратите внимание, что все расчеты визуализированы, для лучшего понимания. На самом деле в Excel расчет происходит мгновенно, оставляя все шаги за кулисами.

Для начала Excel находит среднее значение выборки. В нашем случае, среднее получилось равным 40, которое на следующем шаге отнимают от каждого значения выборки. Каждую полученную разницу возводят в квадрат и суммируют. У нас получилась сумма равная 2800, которую необходимо разделить на количество элементов выборки минус 1. Так как у нас 7 элементов, получается необходимо 2800 разделить на 6. Из полученного результата находим квадратный корень, это цифра будет стандартным отклонением.

Для тех, кому не совсем ясен принцип расчета стандартного отклонения с помощью визуализации, привожу математическую интерпретацию нахождения данного значения.

Функции расчета стандартного отклонения в Excel

В Excel присутствует несколько разновидностей формул стандартного отклонения. Вам достаточно набрать =СТАНДОТКЛОН и вы сами в этом убедитесь.

Стоит отметить, что функции СТАНДОТКЛОН.В и СТАНДОТКЛОН.Г (первая и вторая функция в списке) дублируют функции СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП (пятая и шестая функция в списке), соответственно, которые были оставлены для совместимости с более ранними версиями Excel.

Вообще разница в окончаниях.В и.Г функций указывают на принцип расчета стандартного отклонения выборки или генеральной совокупности. Разницу между двумя этими массивами я уже объяснял в предыдущей .

Особенностью функций СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОНПА (третья и четвертая функция в списке), является то, что при расчете стандартного отклонения массива в расчет принимаются логические и текстовые значения. Текстовые и истинные логические значения равняются 1, а ложные логические значения равняются 0. Мне трудно представить ситуацию, когда бы мне могли понадобится эти две функции, поэтому, думаю, что их можно игнорировать.

Функция СТАНДОТКЛОН.В возвращает значение стандартного отклонения, рассчитанного для определенного диапазона числовых значений.

Функция СТАНДОТКЛ.Г используется для определения стандартного отклонения генеральной совокупности числовых значений и возвращает величину стандартного отклонения с учетом, что переданные значения являются всей генеральной совокупностью, а не выборкой.

Функция СТАНДОТКЛОНА возвращает значение стандартного отклонения для некоторого диапазона чисел, которые являются выборкой, а не всей генеральной совокупностью.

Функция СТАНДОТЛОНПА возвращает значение стандартного отклонения для всей генеральной совокупности, переданной в качестве ее аргументов.

Примеры использования СТАНДОТКЛОН.В, СТАНДОТКЛОН.Г, СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОНПА

Пример 1. На предприятии работают два менеджера по привлечению клиентов. Данные о количестве обслуженных клиентов в день каждым менеджером фиксируются в таблице Excel. Определить, какой из двух сотрудников работает эффективнее.

Таблица исходных данных:

Вначале рассчитаем среднее количество клиентов, с которыми работали менеджеры ежедневно:

СРЗНАЧ(B2:B11)

Данная функция выполняет расчет среднего арифметического значения для диапазона B2:B11, содержащего данные о количестве клиентов, принимаемых ежедневно первым менеджером. Аналогично рассчитаем среднее количество клиентов за день у второго менеджера. Получим:

На основе полученных значений создается впечатление, что оба менеджера работают примерно одинаково эффективно. Однако визуально виден сильный разброс значений числа клиентов у первого менеджера. Произведем расчет стандартного отклонения по формуле:

СТАНДОТКЛОН.В(B2:B11)

B2:B11 – диапазон исследуемых значений. Аналогично определим стандартное отклонение для второго менеджера и получим следующие результаты:

Как видно, показатели работы первого менеджера отличаются высокой вариабельностью (разбросом) значений, в связи с чем среднее арифметическое значение абсолютно не отражает реальную картину эффективности работы. Отклонение 1,2 свидетельствует о более стабильной, а, значит, и эффективной работе второго менеджера.

Пример использования функции СТАНДОТКЛОНА в Excel

Пример 2. В двух различных группах студентов колледжа проводился экзамен по одной и той же дисциплине. Оценить успеваемость студентов.

Таблица исходных данных:

Определим стандартное отклонение значений для первой группы по формуле:

СТАНДОТКЛОНА(A2:A11)

Аналогичный расчет произведем для второй группы. В результате получим:

Полученные значения свидетельствуют о том, что студенты второй группы намного лучше подготовились к экзамену, поскольку разброс значений оценок относительно небольшой. Обратите внимание на то, что функция СТАНДОТКЛОНА преобразует текстовое значение «не сдал» в числовое значение 0 (нуль) и учитывает его в расчетах.

Пример функции СТАНДОТКЛОН.Г в Excel

Пример 3. Определить эффективность подготовки студентов к экзамену для всех групп университета.

Примечание: в отличие от предыдущего примера, будет анализироваться не выборка (несколько групп), а все число студентов – генеральная совокупность. Студенты, не сдавшие экзамен, не учтены.

Заполним таблицу данных:

Для оценки эффективности будем оперировать двумя показателями: средняя оценка и разброс значений. Для определения среднего арифметического используем функцию:

СРЗНАЧ(B2:B21)

Для определения отклонения введем формулу:

СТАНДОТКЛОН.Г(B2:B21)

В результате получим:

Полученные данные свидетельствует об успеваемости немного ниже среднего (<4), величина разброса характеризует довольно большое количество студентов, получивших 5 и 3 соответственно (учитывая, что анализировались только данные из диапазона от 3 до 5).

Пример функции СТАНДОТКЛОНПА в Excel

Пример 4. Проанализировать успеваемость студентов по результатам сдачи экзамена с учетом тех студентов, которым не удалось сдать этот экзамен.

Таблица данных:

В данном примере также анализируем генеральную совокупность, однако некоторые поля данных содержат текстовые значения. Для определения стандартного отклонения используем функцию:

СТАНДОТКЛОНПА(B2:B21)

В результате получим:

Высокий разброс значений в последовательности свидетельствует о большом числе не сдавших экзамен студентов.

Особенности использования СТАНДОТКЛОН.В, СТАНДОТКЛОН.Г, СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОНПА

Функции СТАНДОТКЛОНА И СТАНДОТКЛОНПА имеют идентичную синтаксическую запись типа:

ФУНКЦИЯ (значение1; [значение2];…)

Описание:

• ФУНКЦИЯ – одна из двух рассмотренных выше функций;
• значение1 – обязательный аргумент, характеризующий одно из значений выборки (либо генеральной совокупности);
• [значени2] – необязательный аргумент, характеризующий второе значение исследуемого диапазона.

Примечания:

1. В качестве аргументов функций могут быть переданы имена, числовые значения, массивы, ссылки на диапазоны числовых данных, логические значения и ссылки на них.
2. Обе функции игнорируют пустые значения и текстовые данные, содержащиеся в диапазоне переданных данных.
3. Функции возвращают код ошибки #ЗНАЧ!, если в качестве аргументов были переданы значения ошибок или текстовые данные, которые не могут быть преобразованы в числовые значения.

Функции СТАНДОТКЛОН.В и СТАНДОТКЛОН.Г имеют следующую синтаксическую запись:

ФУНКЦИЯ(число1;[число2];…)

Описание:

• ФУНКЦИЯ – любая из функций СТАНДОТКЛОН.В или СТАНДОТКЛОН.Г;
• число1 – обязательный аргумент, характеризующий числовое значение, взятое из выборки или всей генеральной совокупности;
• число2 – необязательный аргумент, характеризующий второе числовое значение исследуемого диапазона.

Примечание: обе функции не включают в процесс вычисления числа, представленные в виде текстовых данных, а также логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ.

Примечания:

1. Стандартное отклонение широко используется в статистических расчетах, когда нахождение среднего значения диапазона величин не дает верное представление о распределении данных. Оно демонстрирует принцип распределения величин относительно среднего значения в конкретной выборке или всей последовательности целиком. В Примере 1 будет наглядно рассмотрено практическое применение данного статистического параметра.
2. Функции СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОН.В следует использовать для анализа только части генеральной совокупности и производят расчет по первой формуле, а СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОНПА должны принимать на вход данные о всей генеральной совокупности и производят расчет по второй формуле.
3. В Excel содержатся встроенные функции СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП, оставленные для совместимости с более старыми версиями Microsoft Office. Они могут быть не включены в более поздние версии программы, поэтому их использование не рекомендуется.
4. Для нахождения стандартного отклонения используются две распространенные формулы: S=√((∑_(i=1)^n▒(x_i-x_ср)^2)/(n-1)) и S=√((∑_(i=1)^n▒(x_i-x_ср)^2)/n), где:

• S – искомое значение стандартного отклонения;
• n – рассматриваемый диапазон значений (выборка);
• x_i – отдельно взятое значение из выборки;
• x_ср – среднее арифметическое значение для рассматриваемого диапазона.

Андрей Липов

Если говорить простым языком, то стандартное отклонение показывает насколько сильно цена инструмента колбасится во времени. То есть чем больше этот показатель, тем сильнее волатильность или изменчивость ряда значений.

Стандартное отклонение можно и нужно использовать для анализа наборов значений, так как два набора с, казалось бы, одинаковым средним могут оказаться совершенно разными по разбросу величин.

Пример

Возьмем два ряда чисел.

a) 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Среднее - 5. Ст. отклонение = 2,7386

б) 20,1,7,1,15,-1,-20,4,18,5 . Среднее - 5. Ст. отклонение = 12,2066

Если не держать перед глазами всего ряда чисел, то по показателю стандартного отклонения видно, что в случае «б» величины гораздо сильнее разбрасываются вокруг своего среднего значения.

Грубо говоря, в ряде «б» значение равно 5 плюс-минус 12 (в среднем) - не точно, но раскрывает смысл.

Как посчитать стандартное отклонение

Для расчета стандартного отклонения можно использовать формулу, позаимствованную из расчета стандартного отклонения доходности ПИФов :

Здесь N - количество величин,
ДОХсредн - среднее всех величин,
ДОХпериода - величина N.

В экселе соответствующая функция называется СТАНДОТКЛОН (или STDEV в английской версии программы).

Пошаговая инструкция такова:

1. Рассчитайте среднее значение для ряда чисел.
2. Для каждого значения определите разницу между средним и этим значением.
3. Вычислите сумму квадратов этих разниц.
4. Разделите получившуюся сумму на количество чисел в ряде.
5. Возьмите квадратный корень от получившегося в прошлом пункте числа.

Вашим друзьям будет полезна эта информация. Поделитесь с ними!