Рассмотрю материальную точку, движение которой ограничено таким образом, что она имеет лищь одну степень свободы.
Это означает, что ее положение может быть определено с помощью одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно, изогнутой в вертикальной плоскости проволоке (рис. 26.1, а).
Другим примером может служит прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий без трения до горизонтальной направляющей (рис. 26.2, а).
На шарик действует консервативная сила: в первом случае это сила тяжести, во втором - упругая сила деформированной пружины. Графики потенциальной энергии показаны на рис. 26.1, б и 26.2, б.
Поскольку шарики движутся по проволоке без трения, сила, с которой проволока действует на шарик, в обоих случаях перпендикулярна к скорости шарика и, следовательно, работы над шариком не совершает. Поэтому имеет место сохранение энергии:
Из (26.1) следует, что, кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потешдаалыюй энергии. Поэтому, если шарик находится в таком состоянии, что его скорость равна нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне он не сможет прийти в движение, т. е. будет находиться в равновесии.
Минимумам U соответствуют на графиках значения равные (на рис. 26.2 есть длина недеформированной дружины) Условие минимума потенциальной энергии имеет вид
В соответствии t (22.4) условие (26.2) равнозначно тому, что
(в случае, когда U является функцией только одной переменной, ). Таким образом, положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что сила, действующая на тело, равна нулю.
В случае, - изображенном на рис. 26.1, условия (26.2) и (26.3) выполняются также для х, равного (т. е. для максимума U). Определяемое этим значением положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при будет неустойчивым: достаточно слегка вывести, шарик из этого положения как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения . Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого ), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.
Зная вид t функции, которой выражается потенциальная энергия, можно сделать ряд заключений о характере движения частищл. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. 26.1, б. Если полная энергия имеет значение, указанное На рисунке, то частица может совершать движение либо в пределах от до либо в пределах от до бесконечности. В области частица проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может, стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). Такрм образом, область представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Область называется потенциальной ямой.
Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, движение называется финитным. Если же частица может уходить сколь угодно далеко, движение называют инфинитным. Частица в потенциальной яме совершает финитное движение. Финитным будет также движение частицы с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения (предполагается, что потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности).
Механическое равновесие
Механи́ческое равнове́сие - состояние механической системы , при котором сумма всех сил , действующих на каждую её частицу, равна нулю и сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно любой произвольно взятой оси вращения, также равна нулю.
В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.
Определение через энергию системы
Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями , это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.
Виды равновесия
Приведём пример для системы с одной степенью свободы . В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной . Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:
- неустойчивое равновесие;
- устойчивое равновесие;
- безразличное равновесие.
Неустойчивое равновесие
В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво . Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.
Устойчивое равновесие
Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво (см. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.
Безразличное равновесие
Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным . Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.
Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы
Если система имеет несколько степеней свободы, то может оказаться, что в сдвигах одних направлениях равновесие устойчиво, а в других - неустойчиво. Простейшим примером такой ситуации является "седловина" или "перевал" (в этом месте хорошо бы разместить картинку).
Равновесие системы с несколькими степенями свободы будет устойчивым только в том случае, если оно устойчиво во всех направлениях .
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Механическое равновесие" в других словарях:
механическое равновесие - mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mechanical equilibrium vok. mechanisches Gleichgewicht, n rus. механическое равновесие, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas
- … Википедия
Фазовые переходы Статья я … Википедия
Состояние термодинамической системы, в которое она самопроизвольно приходит через достаточно большой промежуток времени в условиях изоляции от окружающей среды, после чего параметры состояния системы уже не меняются со временем. Изоляция… … Большая советская энциклопедия
РАВНОВЕСИЕ - (1) механическое состояние неподвижности тела, являющееся следствием Р. сил, действующих на него (когда сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. не сообщает ускорения). Различают Р.: а) устойчивое, когда при отклонении от… … Большая политехническая энциклопедия
Состояние механич. системы, при к ром все её точки неподвижны по отношению к данной системе отсчёта. Если эта система отсчёта является инерциальной, то Р. м. наз. абсолютным, в противном случае относительным. В зависимости от поведения тела после … Большой энциклопедический политехнический словарь
Термодинамическое равновесие состояние изолированной термодинамической системы, при котором в каждой точке для всех химических, диффузионных, ядерных, и других процессов скорость прямой реакции равна скорости обратной. Термодинамическое… … Википедия
Равновесие - наиболее вероятное макросостояние вещества, когда переменные величины независимо от выбора остаются постоянными при полном описании системы. Различают равновесие: механическое, термодинамическое, химическое, фазовое и др.: Смотри… … Энциклопедический словарь по металлургии
Содержание 1 Классическое определение 2 Определение через энергию системы 3 Виды равновесия … Википедия
Фазовые переходы Статья является частью серии «Термодинамика». Понятие фазы Равновесие фаз Квантовый фазовый переход Разделы термодинамики Начала термодинамики Уравнение состояния … Википедия
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Условия равновесия механических систем.
2. Устойчивость равновесия.
3. Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости.
Изучение данных вопросов необходимо для изучения колебательных движений механической системы относительно положения равновесия в дисциплине «Детали машин», для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Сопротивление материалов».
Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания - это повторяющиеся движения механической системыотносительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного).
Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.
Условия равновесия механических систем.
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:
где - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;
s - число обобщенных координат в механической системе.
Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.
Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:
Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
Устойчивость равновесия
Определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX века в работах русского ученого А. М. Ляпунова. Рассмотрим это определение.
Для упрощения выкладок условимся в дальнейшем обобщенные координаты q 1 , q 2 ,..., q s отсчитывать от положения равновесия системы:
где
Положение равновесия называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого числа можно найти такое другое число , что в том случае, когда начальные значения обобщенных координат и скоростей не будут превышать :
значения обобщенных координат и скоростей при дальнейшем движении системы не превысят .
Иными словами, положение равновесия системы q 1 = q 2 = ...= q s = 0 называется устойчивым , если всегда можно найти такие достаточно малые начальные значения , при которыхдвижение системы не будет выходить из любой заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия . Для системы с одной степенью свободы устойчивое движение системы можно наглядно изобразить в фазовой плоскости (рис.1). Для устойчивого положения равновесия движение изображающей точки, начинающееся в области [ ] , не будет в дальнейшем выходить за пределы области .
Рис.1
Положение равновесия называется асимптотически устойчивым , если с течением времени система будет приближатьсякположению равновесия, то есть
Определение условий устойчивости положения равновесия представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому ограничимся простейшим случаем: исследованием устойчивости равновесия консервативных систем .
Достаточные условия устойчивости положений равновесия для таких системопределяются теоремой Лагранжа - Дирихле : положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум .
Потенциальная энергия механической системы определяется с точностью до постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия равнялась нулю:
П (0)=0.
Тогда для системы с одной степенью свободы достаточным условием существования изолированного минимума, наряду с необходимым условием (2), будет условие
Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум и П (0)=0, то в некоторой конечной окрестности этого положения
П (q )=0.
Функции, имеющие постоянный знак и равные нулю только при нулевых значениях всех своих аргументов, называются знакоопределенными . Следовательно, для того, чтобы положение равновесия механической системы было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этого положения потенциальная энергия была положительно определенной функцией обобщенных координат.
Для линейных систем и для систем, которые можно свести к линейным при малых отклонениях от положения равновесия (линеаризовать), потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы обобщенных координат
где - обобщенные коэффициенты жесткости.
Обобщенные коэффициенты являются постоянными числами, которые могут быть определены непосредственно из разложения потенциальной энергии в ряд или по значениям вторых производных от потенциальной энергии по обобщенным координатам в положении равновесия:
Из формулы (4) следует, что обобщенные коэффициенты жесткости симметричны относительно индексов
Для того, чтобы выполнялись достаточные условия устойчивости положения равновесия, потенциальная энергия должна быть положительно определенной квадратичной формой своих обобщенных координат.
В математике существует критерий Сильвестра , дающий необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичных форм: квадратичная форма (3) будет положительно определенной, если определитель, составленный из ее коэффициентов, и все его главные диагональные миноры будут положительными, т.е. если коэффициенты будут удовлетворять условиям
.....
В частности, для линейной системы с двумя степенями свободы потенциальная энергия и условия критерия Сильвестра будут иметь вид
Аналогичным образом можно провести исследование положений относительного равновесия, если вместо потенциальной энергии ввести в рассмотрение потенциальную энергию приведенной системы.
П ример определения положений равновесия и исследования их устойчивости
Рис.2
Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB , которая стержнем OO 1 соединена с горизонтальной осью вращения, и шарика, который перемещается по трубке без тренияи связан с точкой A трубки пружиной (рис.2). Определим положения равновесия системы и оценим их устойчивость при следующих параметрах: длина трубки l 2 = 1 м, длина стержня l 1 = 0,5 м. длина недеформированной пружины l 0 = 0,6 м , жесткость пружины c = 100 Н/м. Масса трубки m 2 = 2 кг, стержня - m 1 = 1 кг и шарика - m 3 = 0,5 кг. Расстояние OA равно l 3 = 0,4 м.
Запишем выражение для потенциальной энергии рассматриваемой системы. Она складывается из потенциальной энергии трех тел, находящихся в однородном поле силы тяжести, и потенциальной энергии деформированной пружины.
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна произведению веса тела на высоту его центра тяжести над плоскостью, в которой потенциальная энергия считается равной нулю. Пусть потенциальная энергия равна нулю в плоскости, проходящей через ось вращения стержня OO 1 , тогда для сил тяжести
Для силы упругости потенциальная энергия определяется величиной деформации
Найдем возможные положения равновесия системы. Значения координат в положениях равновесия есть корни следующей системы уравнений.
Подобную систему уравнений можно составить для любой механической системы с двумя степенями свободы. В некоторых случаях можно получить точное решение системы. Для системы (5) такого решения не существует, поэтому корни надо искать с помощью численных методов.
Решая систему трансцендентных уравнений (5), получаем два возможных положения равновесия:
Для оценки устойчивости полученных положений равновесия найдем все вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам и по ним определим обобщенные коэффициенты жесткости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Устойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение.
Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. Например, шарик, лежащий на дне сферического углубления (рис.1 а).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неустойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.
В данном случае при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Примером может служить шарик, находящийся в верхней точке выпуклой сферической поверхности (ри.1 б).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Безразличное равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения (состояния).
В этом случае при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю. Например, шарик, лежащий на плоской поверхности (рис.1,в).
Рис.1. Различные типы равновесия тела на опоре: а) устойчивое равновесие; б) неустойчивое равновесие; в) безразличное равновесие.
Статическое и динамическое равновесие тел
Если в результате действия сил тело не получает ускорения, оно может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно прямолинейно. Поэтому можно говорить о статическом и динамическом равновесии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Статическое равновесие - это такое равновесие, когда под действием приложенных сил тело находится в состоянии покоя.
Динамическое равновесие - это такое равновесие, когда по действием сил тело не изменяет своего движения.
В состоянии статического равновесия находится подвешенный на тросах фонарь, любое строительное сооружение. В качестве примера динамического равновесия можно рассматривать колесо, которое катится по плоской поверхности при отсутствии сил трения.
Представим уравнения (16) из § 107 и (35) или (38) в виде:
Покажем, что из этих уравнений, являющихся следствиями законов, изложенных в § 74, получаются все исходные результаты статики.
1. Если механическая система находится в покое, то скорости всех ее точек равны нулю и, следовательно, где О - любая точка. Тогда уравнения (40) дают:
Таким образом, условия (40) являются необходимыми условиями равновесия любой механической системы. Этот результат содержит в себе, в частности, сформулированный в § 2 принцип отвердевания.
Но для любой системы условия (40), очевидно, достаточными условиями равновесия не являются. Например, если изображенные на рис. 274 точки и являются свободными, то под действием сил они могут двигаться навстречу друг другу, хотя условия (40) для этих сил будут выполняться.
Необходимые и достаточные условия равновесия механической системы будут изложены в § 139 и 144.
2. Докажем, что условия (40) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями равновесия для сил, действующих на абсолютно твердое тело. Пусть на свободное твердое тело, находящееся в покое, начинает действовать система сил, удовлетворяющая условиям (40), где О любая точка, т. е., в частности, и точка С. Тогда уравнения (40) дают , а так как тело вначале было в покое, то При точка С неподвижна и тело может иметь только вращение с угловой скоростью со вокруг некоторой мгновенной оси (см. § 60). Тогда по формуле (33) у тела будет . Но есть проекция вектора на ось , а так как то и откуда следует, что и т. е. что при выполнении условий (40) тело остается в покое.
3. Из предыдущих результатов вытекают, в частности, исходные положения 1 и 2, сформулированные в § 2, так как очевидно, что две силы, изображенные на рис. 2, удовлетворяют условиям (40) и являются уравновешенными и что если к действующим на тело силам прибавить (или от них отнять) уравновешенную систему сил, т. е. удовлетворяющую условиям (40), то ни эти условия, ни уравнения (40), определяющие движение тела, не изменятся.
