Тема: «Вычитание натуральных чисел. Вычитание натуральных чисел

Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством . Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45 .

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.

Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1 . Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1) .

А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого - еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1 .

Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4 , следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое .

Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.

С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c , где a , b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c .

Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел , позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа .

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.

Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5 . Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2 .

Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5 .

В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2) .

Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .

Если бы нам пришлось отдать не 2 , а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4 . Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4) . Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4) .

Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое . Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a , b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b , а при выполнении условия, что b больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c) . Если и a и b больше или равно c , то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.

Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.

Приведем пример. Пусть a , b , c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d , то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c . Если b>d или b=d , то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Если же c>d или c=d , то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .

Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.

В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Ясно, что добавить и отнять - это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание - это взаимопротивоположные действия.

Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 - это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание - это нахождение неизвестного числа разложения.

Еще раз рассмотрим пример. Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

Если из числа нужно вычесть число :

Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Или еще вот такое рассуждение: вычесть - значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.

Но пока договоренность следующая: из числа вычитаем число , только если не меньше, чем . Результатом будет новое число .

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 - это и есть разница между ними.

Таким образом, с одной стороны разность - это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны - это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа и .

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков - неизвестное количество.

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого - это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.

В классе 11 мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.

Синим цветом выделены известные и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого - это и есть вычитание.

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач - задачи на сравнение.

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

Петя взял 4, Маша - 3, всего они взяли яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму - это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание - это нахождение неизвестного числа разложения.

Если из числа нужно вычесть число :

Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков - неизвестное количество.

В классе 11 мальчиков.

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач - задачи на сравнение.

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

Петя взял 4, Маша - 3, всего они взяли яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

А теперь вычтем из 140 число 60 . Имеем 140−60=(100+40)−60 . Так как 60 больше, чем 40 , то вычитание нужно проводить следующим образом: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .

Отнимем от 10 432 число 300 . Раскладываем уменьшаемое по разрядам и дальше применяем свойство вычитания числа из суммы трех и большего количества чисел:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300= 10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132 .

В заключении этого пункта вычислим разность 231 112−7 000 . Имеем
231 112−7 000= (200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000= 200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2 .

Все свелось к нахождению разности 30 000−7 000 . Так как 30 000=20 000+10 000 , то 30 000−7 000= (20 000+10 000)−7 000= 20 000+(10 000−7 000)= 20 000+3 000=23 000 . Воспользуемся этим результатом и закончим вычисления:
200 000+(30 000−7 000)+ 1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2= 224 112 .

Вычитание произвольных натуральных чисел.

Осталось рассмотреть вычитание натуральных чисел, когда вычитаемое раскладывается в сумму разрядных слагаемых. В этом случае вычитание проводится следующим образом: после представления вычитаемого в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа необходимое количество раз. Причем сначала удобнее вычитать единицы, затем – десятки, далее – сотни и т.д.

Для примера вычислим разность 45−32 . Раскладываем вычитаемое 32 по разрядам: 32=30+2 . Имеем 45−32=45−(30+2) . Для удобства в скобках переставим слагаемые местами 45−(30+2)=45−(2+30) (это мы можем делать в силу переместительного свойства сложения). Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45−(2+30)=(45−2)−30 . Осталось вычислить разность 45−2 , после чего от полученного результата отнять число 30 . Выполнение этих действий не вызовет затруднений, если Вы хорошо усвоили материал предыдущих пунктов. Итак, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . Тогда (45−2)−30=43−30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
45−32=45−(2+30)= (45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30= (40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Немного усложним пример. Вычтем из числа 85 число 18 . Раскладываем по разрядам число 18 , при этом получаем 18=10+8 . Меняем местами слагаемые: 10+8=8+10 . Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85 и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .

Вычисляем разность в скобках:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5= ((70+10)−8)+5= (70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77 .

Тогда (85−8)−10=77−10= (70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Отнимем от числа 23 555 число 715 . Так как 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , то 23 555−715=23 555−(5+10+700) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555−(5+(10+700))= (23 555−5)−(10+700) .

Вычислим разность в скобках:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5= 20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0= 20 000+3 000+500+50=23 550 .

Тогда (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .

Опять вычисляем разность в скобках:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10= 20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540 .

Имеем
(23 550−10)−700= 23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40 .

Вычтем из 3 000 число 700 и этот результат подставим в последнюю сумму: 3 000−700=(2 000+1 000)−700= 2 000+(1 000−700)= 2 000+300=2 300 , тогда 20 000+(3 000−700)+500+40= 20 000+2 300+500+40=22 840 .

В заключение этого пункта необходимо отметить, что для вычитания двух натуральных чисел удобно использовать специальный метод, который получил название вычитание столбиком .

Вычитание натуральных чисел на координатном луче.

Посмотрим, что представляет собой вычитание натуральных чисел с точки зрения геометрии. Для этого нам понадобится . Для удобства будем считать, что он расположен горизонтально и вправо.

Вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче можно истолковать следующим образом. Находим точку, координатной которой является уменьшаемое a . Теперь из этой точки в направлении точки O последовательно друг за другом будем откладывать единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Эти действия нас приведут в точку на координатном луче, координата которой равна разности a−b . Другими словами вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче представляет собой перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , при этом мы попадаем в точку с координатой a−b .

Приведенный ниже рисунок иллюстрирует вычитание на координатном луче из натурального числа 6 натурального числа 4 . После всех необходимых действий мы попадаем в точку с координатой 2 , и убеждаемся, что 6−4=2 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел сложением.

Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением, о которой мы уже упоминали в первом пункте этой статьи. Там мы выяснили, что если c+b=a , то a−b=c и a−c=b . Также достаточно легко показать справедливость следующих обратных утверждений: если a−b=c , то c+b=a ; если a−c=b , то b+c=a . Покажем справедливость первого из них (для второго можно провести аналогичные рассуждения).

Пусть мы из a имеющихся предметов отложили в сторону b предметов, после чего у нас осталось c предметов. Этому действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство a−b=c . Если после этого мы вернем отложенные b предметов на место (добавим их к c предметам), то понятно, что у нас окажется исходное количество предметов, то есть, a . Тогда, обратившись к смыслу сложения натуральных чисел, можно говорить о справедливости равенства c+b=a .

Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее осуществить проверку результата вычитания посредством сложения: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому . Если же получится число, не равное уменьшаемому, то это будет свидетельствовать о том, что при вычитании где-то была допущена ошибка.

Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.

Пример.

Из натурального числа 50 было вычтено натуральное число 42 1 024−11=1 024−(1+10)= (1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .

Теперь выполняем проверку результата вычитания: 1 013+11=(1 000+10+3)+(10+1)= 1 000+10+10+3+1= 1 000+20+4=1 024 . Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно.

Ответ:

1 024−11=1 023 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел вычитанием.

Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность, при этом должно получиться число, равное вычитаемому . Если же получается число, отличное от вычитаемого, то где-то была допущена ошибка.

Немного поясним озвученное правило, позволяющее осуществлять проверку результата вычитания натуральных чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим все яблоки в сторону, то у нас останется только c груш, при этом имеем a−b=c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a−c=b .

Пример.

От натурального числа 543 было отнято натуральное число 343 , в результате было получено число 200 . Выполните проверку полученного результата.

Решение.

Конечно же, проверить результат вычитания можно с помощью сложения: 200+343=543 . Так как полученное число равно уменьшаемому, то вычитание было проведено правильно.

Также можно выполнить проверку вычитания натуральных чисел с помощью вычитания. Для этого от уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543−200=(500+43)−200= (500−200)+43=30+43=343 . Это число равно вычитаемому, поэтому вычитание выполнено верно.

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.