Типы аттракторов. Синергетический подход к анализу и управлению электоральным поведением

Странный Старушка Харина захватила Наташу в плен. Так она сама объявила. Наташа помогала няне по хозяйству и выслушивала старушку, которая никак не могла наговориться «напоследок». Сергей что-то где-то прибил, выправил и направился в храм.Только прикрыл за собой калитку,

Аттракторы классифицируют по:

1. Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
2. Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество ; динамика на них обычно хаотична).
3. Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца , Плыкина , соленоид Смейла-Вильямса , гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна : инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» - иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор

Пусть для динамической системы задана область $U$, которая переводится строго внутрь себя динамикой:

$\backslash overline\{f(U)\}\backslash subset\; U$

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

A_{max}=\bigcap_{n=1}^{\infty} f^n(U).

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными .

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно - скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания - то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами - это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество

Точка x динамической системы называется блуждающей , если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

\forall n>0 \quad f^n(U)\bigcap U =\emptyset. Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор

Статистический аттрактор $A\_\{stat\}$, в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности $U$ для почти любой (в смысле меры Лебега) точки $x$ выполнено

\frac{1}{N}\# \{j\le N \mid f^j(x)\in U \} \to 1, \quad N\to\infty.

Минимальный аттрактор

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество $A\_\{min\}$, в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности $U$ выполнено

\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} (f_*^j (Leb))(U) \to 1, \quad N\to\infty.

Примеры несовпадений

Локальность, минимальность и глобальность

Регулярные и странные аттракторы

Регулярные аттракторы

Притягивающая неподвижная точка

(пример: маятник с трением)

Предельный цикл

Странные аттракторы

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор - это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . В отличие от аттрактора, не является многообразием , то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна . Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция .

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической : прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом , отличая его от стохастического хаоса , возникающего в стохастических динамических системах . Это явление также называют эффектом бабочки , подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки не создает торнадо обыкновенно, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца .

Именные примеры

Аттрактор Лоренца

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

\dot x = \sigma (y - x)

\dot y = x (r - z) - y

\dot z = x y - b z

Соленоид Смейла-Вильямса

Соленоид Смейла-Вильямса - пример обратимой динамической системы , аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории , и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Аттрактор Плыкина

Пример Боуэна, или гетероклинический аттрактор

Аттрактор Эно

www.ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Гипотезы

Гипотеза Палиса

Гипотезы Рюэля

См. также

Напишите отзыв о статье "Аттрактор"

Примечания

Ссылки и литература

• A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko. Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 6, no. 6 (1996), pp. 1177-1183.
• А. С. Городецкий. Минимальные аттракторы и частично гиперболические множества динамических систем. Дисс. к. ф.-м. н., МГУ, 2001.
• Статья Дж. Милнора , Scholarpedia.
• . LENTA.RU. Проверено 28 марта 2013. .
• Е. В. Никульчев. Геометрический метод реконструкции систем по экспериментальным данным // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. Вып. 6. С. 83-89.
• Е. В. Никульчев.

Отрывок, характеризующий Аттрактор

Полк князя Андрея был в резервах, которые до второго часа стояли позади Семеновского в бездействии, под сильным огнем артиллерии. Во втором часу полк, потерявший уже более двухсот человек, был двинут вперед на стоптанное овсяное поле, на тот промежуток между Семеновским и курганной батареей, на котором в этот день были побиты тысячи людей и на который во втором часу дня был направлен усиленно сосредоточенный огонь из нескольких сот неприятельских орудий.
Не сходя с этого места и не выпустив ни одного заряда, полк потерял здесь еще третью часть своих людей. Спереди и в особенности с правой стороны, в нерасходившемся дыму, бубухали пушки и из таинственной области дыма, застилавшей всю местность впереди, не переставая, с шипящим быстрым свистом, вылетали ядра и медлительно свистевшие гранаты. Иногда, как бы давая отдых, проходило четверть часа, во время которых все ядра и гранаты перелетали, но иногда в продолжение минуты несколько человек вырывало из полка, и беспрестанно оттаскивали убитых и уносили раненых.
С каждым новым ударом все меньше и меньше случайностей жизни оставалось для тех, которые еще не были убиты. Полк стоял в батальонных колоннах на расстоянии трехсот шагов, но, несмотря на то, все люди полка находились под влиянием одного и того же настроения. Все люди полка одинаково были молчаливы и мрачны. Редко слышался между рядами говор, но говор этот замолкал всякий раз, как слышался попавший удар и крик: «Носилки!» Большую часть времени люди полка по приказанию начальства сидели на земле. Кто, сняв кивер, старательно распускал и опять собирал сборки; кто сухой глиной, распорошив ее в ладонях, начищал штык; кто разминал ремень и перетягивал пряжку перевязи; кто старательно расправлял и перегибал по новому подвертки и переобувался. Некоторые строили домики из калмыжек пашни или плели плетеночки из соломы жнивья. Все казались вполне погружены в эти занятия. Когда ранило и убивало людей, когда тянулись носилки, когда наши возвращались назад, когда виднелись сквозь дым большие массы неприятелей, никто не обращал никакого внимания на эти обстоятельства. Когда же вперед проезжала артиллерия, кавалерия, виднелись движения нашей пехоты, одобрительные замечания слышались со всех сторон. Но самое большое внимание заслуживали события совершенно посторонние, не имевшие никакого отношения к сражению. Как будто внимание этих нравственно измученных людей отдыхало на этих обычных, житейских событиях. Батарея артиллерии прошла пред фронтом полка. В одном из артиллерийских ящиков пристяжная заступила постромку. «Эй, пристяжную то!.. Выправь! Упадет… Эх, не видят!.. – по всему полку одинаково кричали из рядов. В другой раз общее внимание обратила небольшая коричневая собачонка с твердо поднятым хвостом, которая, бог знает откуда взявшись, озабоченной рысцой выбежала перед ряды и вдруг от близко ударившего ядра взвизгнула и, поджав хвост, бросилась в сторону. По всему полку раздалось гоготанье и взвизги. Но развлечения такого рода продолжались минуты, а люди уже более восьми часов стояли без еды и без дела под непроходящим ужасом смерти, и бледные и нахмуренные лица все более бледнели и хмурились.
Князь Андрей, точно так же как и все люди полка, нахмуренный и бледный, ходил взад и вперед по лугу подле овсяного поля от одной межи до другой, заложив назад руки и опустив голову. Делать и приказывать ему нечего было. Все делалось само собою. Убитых оттаскивали за фронт, раненых относили, ряды смыкались. Ежели отбегали солдаты, то они тотчас же поспешно возвращались. Сначала князь Андрей, считая своею обязанностью возбуждать мужество солдат и показывать им пример, прохаживался по рядам; но потом он убедился, что ему нечему и нечем учить их. Все силы его души, точно так же как и каждого солдата, были бессознательно направлены на то, чтобы удержаться только от созерцания ужаса того положения, в котором они были. Он ходил по лугу, волоча ноги, шаршавя траву и наблюдая пыль, которая покрывала его сапоги; то он шагал большими шагами, стараясь попадать в следы, оставленные косцами по лугу, то он, считая свои шаги, делал расчеты, сколько раз он должен пройти от межи до межи, чтобы сделать версту, то ошмурыгывал цветки полыни, растущие на меже, и растирал эти цветки в ладонях и принюхивался к душисто горькому, крепкому запаху. Изо всей вчерашней работы мысли не оставалось ничего. Он ни о чем не думал. Он прислушивался усталым слухом все к тем же звукам, различая свистенье полетов от гула выстрелов, посматривал на приглядевшиеся лица людей 1 го батальона и ждал. «Вот она… эта опять к нам! – думал он, прислушиваясь к приближавшемуся свисту чего то из закрытой области дыма. – Одна, другая! Еще! Попало… Он остановился и поглядел на ряды. „Нет, перенесло. А вот это попало“. И он опять принимался ходить, стараясь делать большие шаги, чтобы в шестнадцать шагов дойти до межи.

Архетип коллективного бессознательного - странный аттрактор

Итак, архетипы коллективного бессознательного являются двигателями политических процессов. Как пишет В. Одайник, «архетип - организующий принцип, стоящий за психологическими феноменами» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.27..

В предыдущем разделе было приведено достаточно доводов в пользу того, что коллективное бессознательное вполне является нелинейной системой (средой). А в открытых нелинейных системах (средах) организующими принципами выступают аттракторы. Напомним, что аттрактор - это точка или множество в фазовом пространстве, к которым притягиваются все траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также областью, или бассейном, притяжения. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Аттрактор обозначает активные устойчивые центры потенциальных путей эволюции системы, способные притягивать и организовывать окружающую среду.

Мы уже рассматривали, что существуют несколько типов (классов) аттракторов: точечные, периодические, квазипериодические (аттрактор тора) и странные. Попытаемся уточнить, какой из этих типов больше подходит для моделирования архетипов.

Обратимся еще раз к трактовке странного аттрактора применительно к социальной среде, предложенной Капустиным В.С. в работе «Введение в теорию социальной самоорганизации».

Явление аттрактора в социальной системе можно определить как такое будущее состояние изменяющейся системы, которого еще не знает настоящее, но прошлое уже там присутствует и распоряжается. Это означает, что в различных временных рядах нелинейности отдельные события прошлого могут опережать настоящее и подстерегать нас из будущего.

Любой акт деятельности всегда полифункционален и многозначен, но субъектом действия осознается только с точки зрения его цели, оставляя вне внимания иные проявления, каждое из которых существует в своей логике. Результаты, находящиеся за пределами осознания субъекта деятельности, как правило, не принадлежат ему, а значит, не интересны ему и не контролируются им (пространство эпифеноменов). Эпифеномен - явление, сопутствующее в качестве побочного продукта другим, фундаментальным явлениям, но не оказывающее на них прямого воздействия. Это самостоятельное пространство эпифеноменов можно сравнить с безбрежным морем бесчисленных смыслов: мудрец - рыбак в безбрежном море бытия, как рыб вылавливает смыслы. Каждый этнос, исходя из условий своего проживания и в соответствии с национальными особенностями мышления, кодирует смысл по-своему, что бы он был понятен, узнаваем, что бы его можно было передавать, т.е. декодировать при коммуникации, запустить в «эстафету поведения».

Аттрактор - это проявившийся из эвентуального будущего вектор последующих изменений, - это или мобилизующий и структурирующий образ будущего, или образ грядущей катастрофы, ускоряющий процессы распада. Понять аттрактор, значит, создать условия для прогнозирования развития, моделирования поведения и оптимального управления процессами. Бездумная, эгоистичная или коррумпированная власть может предлагать из своего настоящего любые векторы развития, но все они будут формальны. Аттрактор неумолимо «назначит» свой сценарий развития. Империи, державы, династии стремительно рушились, когда пространство эпифеноменов не транслировало или транслировало в социумы негативные образы будущего. Мировая практика показывает, что видение позитивного будущего - один из важнейших источников социальной энергии. Капустин В.С. Введение в теорию социальной самоорганизации: учебное пособие. Web: http://spkurdyumov.narod.ru/Kapustin12.htm

Пространство эпифеноменов это та же действительность, только нелинейно-целостно мыслимая. Там та же реальность действий (практик), только они не завершаются, как в мире феноменов с достижением ожидаемых результатов, которые, впрочем, всегда есть иллюзия достижения, а продолжают делиться, размножаться каждое мгновение и в каждой точке, разлетаясь в континуумы будущих альтернатив. Это не параллельный и даже не виртуальный мир, а инобытие нашего же мира, в котором обитают смыслы, обладающие свойством безвременности и бесконечности. В этом пространстве спрятана вечная тайна вневременного сопряжения практик, формирования будущих векторов движения социумов, там пишутся черновики бесчисленных сценариев для постановки их в мире феноменов.

Данные положения в первую очередь реализовались в психологии, речь идет о таком ее направлении, как трансперсональная психология, изучающая трансперсональные переживания и связанные с ними явления. Только здесь понятие эпифеноменов преобразовано в понятие коллективного бессознательного, социального бессознательного. Мифологические мотивы активно используются в политике и ПР, но не до конца и не всеми технологами осознается действительная мощь мифа, коллективного бессознательного, архетипа.

К.Г. Юнг неоднократно подчеркивал, что «Содержимое коллективного бессознательного, представленное архетипами, с которыми мы сталкиваемся при любом контакте с массовыми феноменами, всегда биполярно: оно имеет как положительную, так и отрицательную стороны. Любое проявление архетипа делает ситуацию критической, так что невозможно предвидеть ее развитие» Одайник В. Психология политики. Политические и социальные идеи Карла Густава Юнга. М.: Ювента, 1996. С.321.. Таким образом, прослеживаются явные параллели между архетипами и странными аттракторами. Странные аттракторы определяют хаотические режимы. Предсказать поведение траекторий хаотических систем на длительное время невозможно. Странные аттракторы в противоположность циклам или точечным аттракторам описывают движение, которое не станет периодическим (а значит предсказуемым), сколько бы мы ни ждали.

Академик Е.А. Файдыш выстраивает такую логическую цепочку: «Одной из особенностей архетипа является невозможность его однозначного описания или определения. Сколько бы мы не пытались выразить его в виде текста, он всегда будет несоизмеримо сложнее и глубже. Именно поэтому могут быть осознаны только отдельные «тени», проекции, но никогда - он весь целиком.

В недавнее время математиками были открыты объекты очень сходные с ними. Это фрактальные множества и странные аттракторы. Как архетип невозможно задать перечислением его элементов, также и фрактал. Каждый элемент архетипа обладает не меньшей сложностью, чем целое, то же можно сказать и о фрактале. И наконец - самоподобие. Каждый элемент несет и информацию о целом. Этим свойством обладают как архетип, так и фрактал. И еще одно интересное свойство. Фракталы обычно имеют дробную размерность, т.е. как бы находятся между разными пространственными измерениями. Как уже говорилось, об аналогичных свойствах архетипов догадывались в глубокой древности. Интересно, что даже геометрические образы, использовавшиеся для изображения архетипов в древности, очень напоминают фракталы. Это янтры и мандалы» Файдыш Е.А. Сверхсознание. М.: Прогресс, 1993. С. 62-63..

Таким образом, развертывание политической ситуации, особенно если речь идет о динамичных массовых процессах, часто объясняется и обеспечивается действием архетипической модели. Как было нами выяснено, в теории нелинейных динамических систем архетипам соответствуют странные (фрактальные) аттракторы. Следовательно, моделирование политических процессов, в том числе динамики общественного сознания и электорального поведения, «субъектом» самоорганизации которых выступает архетип, оптимально с использованием фрактальных объектов (странных аттракторов, фрактальных временных рядов). Эта аналогия намечает сближение обычно разнесенных синергетического и психологического подходов к пониманию, интерпретации политических процессов. Если политический процесс движим архетипическими силами (моделируемыми странными аттракторами), это означает, что до определенной степени (в математике - внутри области странного аттрактора) процесс иррационален, неподвластен логике, непредсказуем. То есть, иррациональность - имманентное свойство многих политических явлений. Однако иррациональность не означает полную неуправляемость, точнее, иррациональность подразумевает невозможность полной управляемости, невозможность предсказуемо навязывать свою волю, манипулировать человеком и обществом. Понимание сути иррационального политического процесса позволяет «подталкивать» его в некотором направлении, но не более того.

Можно сформулировать следующие гипотезы, расширяющие синергетическую теорию аттракторов:

1. Нахождение в зоне притяжения определенного аттрактора сопровождается совершенно определенными событиями, качественно характеризующими параметры состояния аттрактора.

2. Эти события с логической точки зрения могут быть никак не связаны между собой.

3. События, обязанные своим происхождением пребыванию человека в зоне некоторого аттрактора, несмотря на отсутствие логической каузальности, все-таки достаточно сильно коррелированы, то есть фрактальны. Когда мы говорили о фрактальных объектах, мы проводили аналогию с твердыми телами, в которых (в отличие от газа) молекулы жестко связаны между собой.

4. По мере приближения к аттрактору компоненты, характеризующие ключевые свойства аттрактора, усиливаются в происходящих с человеком событиях.

5. Человек регулярно попадает в точки (зоны) потери устойчивости. В этих точках эволюционирующие системы испытывают на себе влияние со стороны различных аттракторов той нелинейной среды, в которой они находятся. Об этом свидетельствуют происходящие в течение небольшого отрезка времени разноплановые (порожденные бассейнами разных аттракторов) события - упрощенно, радостные и грустные. В таких точках человек делает выбор, к какому аттрактору он двинется дальше. По всей видимости, выбор осуществляется посредством резонансного возбуждения структур, близких к одному из аттракторов.

6. Вероятно, существуют некоторый набор действий, позволяющий выйти из зоны притяжения неблагоприятного аттрактора.

Мы предполагаем, что эти закономерности применимы и в политической практике. Внимательно наблюдая за событиями, сопутствующими деятельности в политической сфере, можно постоянно получать информацию о том, в каком направлении движется ситуация и, возможно, предпринимать меры по ее корректировке; уловить еле заметное, но способное изменить всю картину, перестроиться на правильный аттрактор, то есть направить к лучшему из возможных вариантов, - остальное самоорганизуется. Таким образом, можно существенно повысить эффективность и снизить «издержки» политической жизни. Подчеркнем, что в отличие от традиционного мониторинга ситуации, здесь идет речь о более широком взгляде, когда мы принимаем во внимание не только события, объединенные логической цепочкой.

Констатируя кредо синергетики как новое мировидение, Е.Н. Князева, в частности, подчеркивает, что она «не только синтезирует фрагменты обыденного и отчасти научного дисциплинарно разбросанного знания, но даже связывает эпохи - древность с современностью, с современными достижениями науки - принципиально различные, восточный и западный способы мышления мировосприятия (от Востока она берет идею целостного мира, от Запада - традицию анализа, эксперимент)». Шалаев В.П. Синергетика человека, общества, природы: управленческий аспект: Учебное пособие. Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2000. С.26.

При этом мифологические мотивы, также воздействующие на политический расклад, вполне адекватно вписываются в синергетическое мировоззрение. То есть процессы, развивающиеся с использованием таких мотивов, подчинены закономерностям, обнаруженными синергетикой.