Нечётные функции
Нечётная степень где - произвольное целое число.
· Синус .
· Тангенс .
Чётные функции
Чётная степень где - произвольное целое число.
· Косинус .
· Абсолютная величина (модуль) .
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
· Говоря более формально, функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .
· Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где - любое целое число.
· Все тригонометрические функции являются периодическими.
3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :
· если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
· если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная асимптота - прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела
Наклонная
Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x ) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x ) 0, функция f (x )убывает.
Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
1.Найти производную функции: f (x ). 2.Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0 x 1, x 2 ,... 3.Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1 a ;b , а x 2 a ;b . 4.Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка:f (x 1), f (x 2),..., f (x a ),f (x b ), 5.Выбор наибольшего и наименьшего значений функции из найденных. Замечание. Если на отрезке [a ; b ] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции. |
7) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости . Это делается с помощью исследования знака второй производной f (x ). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f (x ) , мы решаем неравенство f (x ) 0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f (x ) 0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).
Устранимый разрыв.
Определение . Точка a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x) , если предел функции f(x) в этой точке существует, но в точке a функция f(x) либо не определена, либо имеет частное значение f(a) , отличное от предела f(x) в этой точке.
Пример . Например, функция
имеет в точке x=0 устранимый разрыв. Действительно, предельное значение этой функции в точке х=0 равно 1. Частное же значение равно 2.
Если функция f(x) имеет в точке a устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от a . Для этого достаточно положить значение функции в точке a равным ее предельному значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить f(0)=1 и тогда , т.е. функция f(x) станет непрерывной в точке x=0 .
Разрыв первого рода.
Определение . Точка a называется точкой разрыва, первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы
Приведем некоторые примеры.
Пример . Функция y=sgn x имеет в точке x=0 разрыв первого рода. Действительно, и, таким образом, эти пределы не равны между собой.
Пример . Функция , определенная всюду, кроме точки x=1 , имеет в точке x=1 разрыв первого рода. В самом деле, .
Разрыв второго рода.
Определение . Точка a называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример . Функция f(x)=tg x , очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек x k =π/2+π k , k=0, ± 1, ± 2,… , ибо в каждой такой точке
Пример . Функция имеет разрыв второго рода в точке x=0 , ибо в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов.
Непрерывность функции на отрезке
Определение . Функция, определенная на отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.
При этом под непрерывность в точке a понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке b - непрерывность слева.
Будем говорить, что функция y=f(x) , определенная на множестве {x} достигает на нем своей верхней (нижней) грани , если существует такая точка x 0 ∈{x} , что f(x 0)=β (f(x 0)=α ).
Теорема [Вейерштрасса] . Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.
Теорема [Больцано-Коши] . Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(a)=A , f(b)=B , то для любого C , заключенного между A и B , существует такая точка ξ∈ , что f(ξ)=C .
Другими словами, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.
Следствие . Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Следствие . Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке и , . Тогда функция f(x) принимает все значения из отрезка и только эти значения.
Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.
Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции . Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.
Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции . График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.
Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва . Разрывы бывают первого рода и второго рода .
Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы , поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.
Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:
- у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f (x )= );
- в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.
Точки разрыва первого рода
Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).
Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.
Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.
Точки разрыва второго рода
Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).
Пример 3.
Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.
Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .
Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции
Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке.
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-
рывной в точке x 0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;
2) существует предел lim f (x ) ;
→ x 0
3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) . |
||
x→ x0 |
||
Последнее условие равносильно условию lim | y = 0 , гдеx = x − x 0 – при- |
|
x→ 0 | ||
ращение аргумента, y = f (x 0 + | x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст- |
|
вующее приращению аргумента | x , т.е. функция | f (x ) непрерывна в точкеx 0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-
ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]
и lim f (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 − 0
Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
Функция y = f (x ) | непрерывна в точке x 0 | тогда и только тогда, когда она |
||||||
непрерывна | ||||||||
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) . | ||||||||
x→ x0 + 0 | x→ x0 − 0 | x→ x0 |
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-
прерывной на отрезке [ a; b] , если она
1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;
2) непрерывна справа в точке a ;
3) непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и
x→ x0 − 0
f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) , | f (x 0 ) равны |
||
x→ x0 + 0 | |||
между собой, то x 0 | называется точкой разрыва I рода. | ||
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0 | равны меж- |
||
собой, но | не равны значению функции в этой точке: |
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
f (x) | и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции |
||
f (x )± g (x ) , | f (x )g (x ) и | f (x) | (где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx . |
g(x) | |||
2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна
в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .
3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного
между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .
2) (теорема Больцано – Коши
рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке | [ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ] | |||||
наибольшего | наименьшего | значений, т.е. | существуют | |||
x1 , x2 [ a; b] , | для любой | точки x [ a ;b ] | справедливы | неравенства |
f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2 | − 5. |
||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | ||||
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2 | − 5 . |
||||||
Сравнивая полученные результаты, видим, | lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно |
||||||
x→ x0 |
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .
2 способ: Пусть | x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот- |
|||
ветствующее | приращение | y = f(x0 + x) − f(x0 ) = |
||
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5) | ||||
6 x x+ (x) 2 | 2x = (6x + 2)x + (x )2 . | |||
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
стремится |
y = lim (6x + 2) | x + (x )2 = (6x + 2) lim | x + (limx )2 = 0 . |
|||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 |
||
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→ 0
функции для любого x 0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1) f (x ) = 1− x 2 приx < 3;
5x приx ≥ 3
2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;
x + 1
f (x) = | |||||
x4 (x− 2) |
|||||
f (x )= arctg | |||||
(x − 5) |
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
x →3 −0
f (3+ 0)= lim 5x = 15.
x →3 +0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 | |||||
разрыва I | f (x ) . Скачок функции в | ||||
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 . | |||||
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке | x = 3 |
f (x ) непрерывна справа.
2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель
дроби на множители: | f (x) = | 4 x +3 | (x + 1)(x + 3) | X + 3 приx ≠ − 1. |
|||||
x + 1 | x + 1 |
||||||||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1: |
|||||||||
f (x )= lim | f (x )= lim(x + 3)= 2 . | ||||||||
x →−1 −0 | x →−1 +0 | x →−1 |
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-
прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .
Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .
3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0:
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim | = −∞ = f (+0) | Т.е. точка |
|||
(x − 2) |
|||||
x →−0 | |||||
x = 0 является точкой разрыва II рода функции | f (x ) . |
Рассмотрим теперь точку x = 2:
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому | f (2− 0)= | = −∞, |
||||||
x4 (x− 2) |
||||||||
x →2 −0 | ||||||||
f (2+ 0)= lim | = +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2 | |||||||
(x − 2) |
||||||||
x →2 +0 |
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
x = 5 . | ||||||||||||||||||
f (5− 0)= lim arctg | π ,f (5+ 0)= lim arctg | x = 5 | ||||||||||||||||
(x − 5) | (x − 5) | |||||||||||||||||
x →5 −0 | x →5 +0 | |||||||||||||||||
ка разрыва | ||||||||||||||||||
f (5+ 0)− f (5− 0)= | π − (− | π )= π (см. рис. 5.2). | ||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в
каждой точке x 0 R :
а) f(x) = c= const; | б) f (x )= x ; | ||
в) f (x )= x 3 ; | г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1; |
||
д) f (x )= sinx . | |||
5.175. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | является непрерывной на |
1 при x < 0 | |||
всей числовой оси. Построить график этой функции. | |||
5.176. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | не является непрерывной |
0 при x < 0 |
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .
рывной в точке x = | Но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
|||||||||||||
функции f (x ) . | ||||||||||||||
5.178. Построить графики функций | ||||||||||||||
а) y = | x + 1 | б) y= x+ | x + 1 | |||||||||||
x + 1 | x + 1 | |||||||||||||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x | При x ≠ 0 | ||
при x = 0 | |||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
Определение. Пусть на некотором промежутке определена функция f(x) и x 0 – точка этого промежутка. Если , то f(x) называется непрерывной в точке x 0 .Из определения следует, что о непрерывности можно говорить лишь по отношению к тем точкам, в которых f(x) определена (при определении предела функции такого условия не ставилось). Для непрерывных функций , то есть операции f и lim перестановочны. Соответственно двум определениям предела функции в точке можно дать два определения непрерывности – «на языке последовательностей» и «на языке неравенств» (на языке ε-δ). Предлагается это сделать самостоятельно.
Для практического использования иногда более удобно определение непрерывности на языке приращений.
Величина Δx=x-x 0 называется приращением аргумента, а Δy=f(x)-f(x 0) – приращением функции при переходе из точки x 0 в точку x.
Определение. Пусть f(x) определена в точке x 0 . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть Δy→0 при Δx→0.
Пример 1.
Доказать, что функция y=sinx непрерывна при любом значении x.
Решение.
Пусть x 0 – произвольная точка. Придавая ей приращение Δx, получим точку x=x 0 +Δx. Тогда . Получаем .
Определение.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если
.
Функция, непрерывная во внутренней точке, будет одновременно непрерывной справа и слева. Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна в точке слева и справа, то она будет непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только с одной стороны. Например, для , , f(1)=1, следовательно, эта функция непрерывна только слева (график этой функции см. выше в пункте 5.7.2).
Определение.
Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В частности, если промежутком является отрезок , то на его концах подразумевается односторонняя непрерывность.
Свойства непрерывных функций
1. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.2. Если f(x) и φ(x), заданные на некотором промежутке, непрерывны в точке x 0 этого промежутка, то в этой точке будут также непрерывны функции .
3. Если y=f(x) непрерывна в точке x 0 из X, а z=φ(y) непрерывна в соответствующей точке y 0 =f(x 0) из Y, то и сложная функция z=φ(f(x)) будет непрерывной в точке x 0 .
Разрывы функции и их классификация
Признаком непрерывности функции f(x) в точке x 0 служит равенство , которое подразумевает наличие трех условий:1) f(x) определена в точке x 0 ;
2) ;
3) .
Если хотя бы одно из этих требований нарушено, то x 0 называют точкой разрыва функции. Другими словами, точкой разрыва называется точка, в которой эта функция не является непрерывной. Из определения точек разрыва следует, что точками разрыва функции являются:
а) точки, принадлежащие области определения функции, в которых f(x) теряет свойство непрерывности,
б) точки, не принадлежащие области определения f(x), которые являются смежными точками двух промежутков области определения функции.
Например, для функции точка x=0 есть точка разрыва, так как функция в этой точке не определена, а функция имеет разрыв в точке x=1, являющейся смежной для двух промежутков (-∞,1) и (1,∞) области определения f(x) и не существует.
Для точек разрыва принята следующая классификация.
1) Если в точке x 0 имеются конечные и , но f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), то x 0 называется точкой разрыва первого рода
, при этом называют скачком функции
.
Пример 2.
Рассмотрим функцию
Разрыв функции возможен только в точке x=2 (в остальных точках она непрерывна как всякий многочлен).
Найдем , . Так как односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, то в точке x=2 функция имеет разрыв первого рода. Заметим, что , следовательно функция в этой точке непрерывна справа (рис. 2).
2) Точками разрыва второго рода
называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
Пример 3.
Функция y=2 1/ x непрерывна для всех значений x, кроме x=0. Найдем односторонние пределы: , , следовательно x=0 – точка разрыва второго рода (рис. 3).
3) Точка x=x 0 называется точкой устранимого разрыва
, если f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или переопределить) значение функции в этой точке, положив , и функция станет непрерывной в точке x 0 .
Пример 4.
Известно, что , причем этот предел не зависит от способа стремления x к нулю. Но функция в точке x=0 не определена. Если доопределим функцию, положив f(0)=1, то она окажется непрерывной в этой точке (в остальных точках она непрерывна как частное непрерывных функций sinx и x).
Пример 5.
Исследовать на непрерывность функцию .
Решение.
Функции y=x 3 и y=2x определены и непрерывны всюду, в том числе и в указанных промежутках. Исследуем точку стыка промежутков x=0:
, , . Получаем, что , откуда следует, что в точке x=0 функция непрерывна.
Определение.
Функция, непрерывная на промежутке за исключением конечного числа точек разрыва первого рода или устранимого разрыва, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке.
Примеры разрывных функций
Пример 1. Функция определена и непрерывна на (-∞,+∞) за исключением точки x=2. Определим тип разрыва. Поскольку и , то в точке x=2 разрыв второго рода (рис. 6).Пример 2. Функция определена и непрерывна при всех x, кроме x=0, где знаменатель равен нулю. Найдем односторонние пределы в точке x=0:
Односторонние пределы конечны и различны, следовательно, x=0 – точка разрыва первого рода (рис. 7).
Пример 3. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция
Эта функция определена на [-2,2]. Так как x 2 и 1/x непрерывны соответственно в промежутках [-2,0] и , то разрыв может быть только на стыке промежутков, то есть в точке x=0. Поскольку , то x=0 является точкой разрыва второго рода.
Пример 4.
Можно ли устранить разрывы функций:
а) в точке x=2;
б) в точке x=2;
в) в точке x=1?
Решение.
О примере а) сразу можно сказать, что разрыв f(x) в точке x=2 устранить невозможно, так как в этой точке бесконечные односторонние пределы (см. пример 1).
б) Функция g(x) хотя имеет конечные односторонние пределы в точке x=2
(,),
но они не совпадают, поэтому разрыв также устранить нельзя.
в) Функция φ(x) в точке разрыва x=1 имеет равные односторонние конечные пределы: . Следовательно, разрыв может быть устранен переопределением функции в точке x=1, если положить f(1)=1 вместо f(1)=2.
Пример 5. Показать, что функция Дирихле
разрывна в каждой точке числовой оси.
Решение. Пусть x 0 – любая точка из (-∞,+∞). В любой ее окрестности найдутся как рациональные, так и иррациональные точки. Значит, в любой окрестности x 0 функция будет иметь значения, равные 0 и 1. В таком случае не может существовать предела функции в точке x 0 ни слева, ни справа, значит функция Дирихле в каждой точке числовой оси имеет разрывы второго рода.
Пример 6. Найти точки разрыва функции
и определить их тип.
Решение. Точками, подозрительными на разрыв, являются точки x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3.
В точке x 1 =2 f(x) имеет разрыв второго рода, так как
.
Точка x 2 =5 является точкой непрерывности, так как значение функции в этой точке и в ее окрестности определяется второй строкой, а не первой: .
Исследуем точку x 3 =3: , , откуда следует, что x=3 – точка разрыва первого рода.
Для самостоятельного решения.
Исследовать функции на непрерывность и определить тип точек разрыва:
1) ; Ответ: x=-1 – точка устранимого разрыва;
2) ; Ответ: Разрыв второго рода в точке x=8;
3) ; Ответ: Разрыв первого рода при x=1;
4)
Ответ: В точке x 1 =-5 устранимый разрыв, в x 2 =1 – разрыв второго рода и в точке x 3 =0 - разрыв первого рода.
5) Как следует выбрать число A, чтобы функция
была бы непрерывной в точке x=0?
Ответ: A=2.
6) Можно ли подобрать число A так, чтобы функция
была бы непрерывной в точке x=2?
Ответ: нет.