Тождественное преобразование выражений содержащих квадратные корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся в приведении подобных слагаемых выражений, содержащих квадратные корни. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, делать выводы. Побуждать учеников к взаимоконтролю.

Оборудование: карточки с числами, проектор, презентация.

Этапы урока:

1. Организация начала занятия. Постановка цели. Повторение пройденного материала.
2. Устные упражнения. Получи картинку.
3. Историческая справка.
4. Изучение нового материала.
5. Самостоятельная работа с взаимоконтролем.
6. Подведение итогов.
7. Домашнее задание.
8. Рефлексия.

Ход урока

I. Организация начала занятия. Сообщение темы и постановка цели.

Учитель. Если мы откроем Большой Энциклопедический словарь, то сможем прочитать, что обозначает слово “преобразование”. Итак, “Преобразование – замена одного математического объекта аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам”.

В Толковом словаре С. И. Ожегова читаем: “Преобразовать – … совершенно переделать, превратить из одного вида в другой, изменить к лучшему”.

Цель математических преобразований – приведения выражения к виду более удобному для численных расчетов или дальнейших преобразований.

До сих пор мы с вами выполняли преобразования только рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами. Несколько уроков назад мы ввели новую операцию – операцию извлечения квадратного корня.

Повторим основные сведения об арифметическом квадратном корне.

Приготовьте карточки с номерами 1, 2, 3 для устных упражнений. Для ответа поднимаем карточку с номером верного утверждения.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется:

1) Число, квадрат которого равен a .
2) Число, равное a .
3) Неотрицательное число, квадрат которого равенa .

„ Чтобы внести множитель под знак корня, надо:

1) Перемножить подкоренные выражения;
2) Возвести множитель в квадрат;
3) Квадрат множителя записать под корень.

… Чтобы вынести множитель за знак корня, надо:

1) Представить подкоренное выражение в виде произведения нескольких
множителей;
2) Применить правило квадратный корень из произведения неотрицательных
множителей.

II. Получи картинку.

Решите примеры и закрасьте клеточку с правильным ответом. Если все правильно выполнено, то получится картинка. Приложение 1 .

Ответ: знак квадратного корня. Приложение 2.

III. Историческая справка.

Знак квадратного корня был введен практической необходимостью. Зная площадь, наши предки в 16 веке пытались вычислять сторону квадрата. Так появилась операция извлечения квадратного корня. Но современная форма знака определилась не сразу.
Начиная с 13 века итальянские и многие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R x . В 15 веке писали R 2 12 вместо . В 16 веке писали V‚ вместо Ö . Нидерландский математик А. Жирар ввел близкое к современному обозначение корня.
Лишь в 1637 году французский математик Рене Декарт применил в своей “Геометрии” современный знак корня. Этот знак вошел во всеобщее употребление лишь в начале 18 века.

IV. Изучение нового материала.

Упростите выражение:

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1.	Вариант 2.

VI. Подведение итогов.

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Новоникольская средняя общеобразовательная школа»

Быковского муниципального района Волгоградской области

Урок алгебры в 8 классе

Выполнила : учитель математики

Новоникольское – 2015

Урок алгебры в 8 классе

по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»

Цели урока:

повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;

закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;

научить освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби;

воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.

Оборудование : мультимедийный проектор, интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.

Ход урока:

I . Организационный момент

Сегодня на уроке мы с вами продолжим преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.

В математике есть нечто,

вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф

II . Устная работа

1) Фронтальный опрос.

Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).

Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).

Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х| ).

Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? хх. –х ).

2) Устный счёт: Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

Вычислите устно:

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

2. Внесите множитель под знак корня:

3. Возведите в квадрат:

4. Приведите подобные слагаемые:

III . Диктант:

IV .ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

V . Историческая справка

Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»

Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались

точкой ·5

Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨5

Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.

VI этап. Работа над новым материалом.

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность.

Ставится проблема: « Какое выражение проще вычислить: или ? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)

Сегодня на уроке мы и будем изучать тему

« Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби». Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:

а); б) ; в); г).

На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения.

г)=

Сделаем вывод.

Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе:

VII . Закрепление темы : Учебник. Стр.98 № 431(а,б,ж,з), №433(а,б,в)

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ; б) в); г) .

VII I . Тест (работа в парах )

Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста. (тест прилагается )

Самопроверка:

Код правильных ответов: I вариант – 12312 , II вариант - 32132.

Домашнее задание: №431(з,и), №432, №433(г,д,е)

IX . Итог урока:

Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.

Небо покроется черною мглой,

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?

- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Расширили свой кругозор и узнали, кто впервые ввёл современный знак корня во всеобщее употребление.

Все работали плодотворно, активно и коллективно в течении урока.

Урок окончен. Всем спасибо за урок!

ЛИСТ-ОПРОСНИК

Ф.И. ученика____________________________

1. Настроение в начале урока: а) б) в)

2. Мое восприятие темы урока:

а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.

3.Оценка за диктант:

4. Количество неправильных ответов теста: _________

5. Я работал(а) на уроке:

а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.

6. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)

7. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)

8. Настроение в конце урока: а) б в)

Тест I вариант 1. Упростите выражение 1) 2) 3) 2. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Упростите: 1); 2) ; 3) . 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4)

Тест II вариант 1. Упростите выражение 1); 2) ; 3) 2. Раскройте скобки и упростите 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Упростите: 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1) ; 2); 3) . 5. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ; 2) ; 3) Чему равен квадратный корень из произведения неотрицательных множителей?. Чему равен квадратный корень из дроби? Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? Ни костяшек, ни ручек, ни мела. Ну-ка, в сторону карандаши! "Устный счёт!" Мы творим это дело Только силой ума и души. Цифры сходятся где-то во тьме, И глаза начинают светиться, И кругом только умные лица. Потому что считаем в уме! Устный счёт Вынесите множитель из-под знака корня: Немного подумайте Устный счёт Внесите множитель под знак корня: Внесите множитель под знак корня: Внесите множитель под знак корня: Внесите множитель под знак корня: Немного подумайте Устный счёт Возведите в квадрат: Немного подумайте Устный счёт Приведите подобные слагаемые: Немного подумайте III . Диктант: Вариант-1 Вариант- 2 Ответы: Ответы: Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)» Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал») Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5 Позднее вместо точки стали ставить ромбик  5 Затем  5 . Затем знак  и черту стали соединять. Взаимопроверка I вариант II вариант п.19, стр. 96, пример 3 № 431 (з, и), №432, №433 (г, д, е) Если в жизни ты хоть на мгновенье Истину в сердце своем ощутил, Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Что бы в решенье твоем неизменном Рок ни назначил тебе впереди, Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной, Небо покроется черною мглой, С ясной решимостью, с верой спокойной Бурю ты встреть и померься с грозой.

Урок алгебры в 8 классе

Тема : Обобщающий урок.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Учитель математики : Байтурова А.Р. ш кола-гимназия №31, г.Астана

2012-2013 учебный год

Цель: повторение понятия квадратного корня, его свойств; развитие умения упрощать выражения, вычислять квадратные корни.

Задачи:

закрепить ранее приобретенные знания, умения и навыки учащихся по изучаемой теме;

закрепить навыки преобразования выражений, содержащие квадратные корни;

способствовать формированию самостоятельного выбора способа решения.

Тип урока: Совершенствование ЗУН учащихся

Методы работы:

Деятельный (процесс познания идет от учеников),

Наглядно – демонстративный,

Частично – поисковый (учим детей наблюдать, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения под руководством учителя),

Практический

Формы работы : общеклассная, индивидуальная..

Оборудование: интерактивная доска, слайды в PowerPoint., оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.

Инновационные технологии:

Компьютерного обучения,

Деятельностного подхода в обучении (познание идет от ученика),

Словесно – продуктивной (на этапе рефлексия),

Личностно – ориентированного обучения (каждый ребенок сможет ответить).

Ход урока.

I. Организационный момент

- Hello , sit down (Здравствуйте, садитесь). Look at the topic of our lesson and tell that it would mean (Посмотритенатемунашегоурокаискажи, чтобыэтозначило).

Правильно, сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни, преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. The estimated page will help to sum up a today"s lesson (Подвестиитогисегодняшнегоурокапоможетоценочныйлист).

Sign the sheets of paper and answer the first question "Mood at the beginning of a lesson", having chosen one of smilies.(Подпишитесвоилистыиответьтенапервыйвопрос « Настроениевначалеурока», выбраводинизсмайликов).

II. Сообщение темы урока

Topic of our lesson (Тема нашего урока) «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». (Слайд №1)

В математике есть нечто,

вызывающее человеческий восторг. Ф. Хаусдорф (Слайд №2)

III. Oral work (Устная работа)

1) Frontal poll (Фронтальный опрос). (Слайд №3)

1.Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а).

2.Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя).

3.Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х|).

4.Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х).

2) Oral account ( Устный счёт ) (Слайд №4)

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

(Слайд №5-8)

1. Вынесите множитель из-под знака корня: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

2. Внесите множитель под знак корня: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

3. Square (Возведите в квадрат) : 2, 6, 7, 9, 11, 13,15, 18, 22, 25

4. Приведите подобные слагаемые:

IV. Работа по теме урока

1) Individual work (Индивидуальная работа) (Слайд №9)

The green correspond to tasks of a basic level, yellow – to tasks of the raised level, red – to tasks of high level. (Зеленые соответствуют заданиям базового уровня, желтые – заданиям повышенного уровня, красные – заданиям высокого уровня). Учащиеся выбирают задание на свое усмотрение. Трое учащихся, получив задание, решают его в тетрадях

уровень

Вынесите множитель из-под знака корня:
1)
2)
3)

Внесите множитель под знак корня:
1)
; 2)
; 3)
;

Сравните числа:
1) и ; 2) и ;

уровень

Упростите выражение:
1) ; 2) ; 3)

Найдите сумму:
1)
2)

1) ; 2)

3- уровень

Упростите выражение:
1) ; 2) .
Преобразуйте выражение:
1) ; 2) ;

Раскройте скобки и упростите выражение:
1) ;

2) ; 3) ;

2) Work with an interactive board (Работа с интерактивной доской). (Слайд №10-13)

Остальные обучающиеся решают следующие задания:

1. Найдите значение выражения:
1)
2)

3)

2. Преобразуйте выражение:
1)
; 2)
; 3)
.

3. Упростите выражение:
1)
; 2)
; 3)
.

4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.

VI. Historical information ( Историческая справка ) (Слайд 14-26)

Radix- имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»

Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5

Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5

Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.

VI. Test ( Тест )

Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы». (Слайд №27)

At this stage of a lesson it is necessary to apply the knowledge to the solution of exercises during implementation of the test. (На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста).

VII. Mutual testing ( Взаимопроверка ) (Слайд №28)

Код правильных ответов: I вариант – 3124111, II вариант - 2131222

VIII. Homework (Домашнее задание). (Слайд №29)

Какое число меньше
или
?

B 2. Упростите выражение:
,

при
.

B 3. Выполнить действия:
.

Подробные и обоснованные решения заданий этой части напишите аккуратно и разборчиво на листе.

С 1. Сократите дробь:
.

С 2. Извлечь квадратный корень из выражения:
.

VIII. Итог урока

Заполните до конца оценочный лист. Marks for a lesson (Оценкизаурок).

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской. (Слайд №30)

Если в жизни ты хоть на мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Что бы в решенье твоем неизменном

Рок ни назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется черною мглой,

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути.

The lesson is ended. Thanks for a lesson! (Урококончен. Спасибо за урок!) (Слайд №31)

Приложение

ЛИСТ-ОПРОСНИК

Ф.И. ученика____________________________

1. Настроение в начале урока: а) в)

2. Мое восприятие темы урока:

а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.

3. Количество неправильных ответов теста: _________

4. Я работал(а) на уроке:

а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.

5. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)

6. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)

7. Настроение в конце урока:

а) б) в)

Тест 1 вариант

A 1. Вычислите
.

1) 7; 2)
; 3) 5; 4)
.

А 2. Вычислите
.

1) 7; 2)
; 3)
; 4) 4.

Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» - наглядное пособие, с помощью которого учителю легче сформировать умения и навыки в решении задач, содержащих выражения с квадратным корнем. В ходе урока напоминаются теоретические основы, служащие основанием для проведения операций над числами и переменными, имеющимися в подкоренном выражении, описывается решение множества видов задач, которые могут потребовать умения пользоваться формулами преобразования выражений, содержащих квадратный корень, даются методы избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

Видеоурок начинается с демонстрации названия темы. Отмечается, что ранее на уроках выполнялись преобразования рациональных выражений. При этом использовались теоретические сведения об одночленах и многочленах, методы работы с многочленами, алгебраическими дробями, а также формулы сокращенного умножения. В данном видеоуроке рассматривается введение операции по извлечению квадратного корня для преобразования выражений. Ученикам напоминаются свойства операции по извлечению квадратного корня. Среди таких свойств указано, что после извлечения квадратного корня из квадрата числа получается само число, корень произведения двух чисел равен произведению двух корней от этих чисел, корень частного двух чисел равен частному корней от членов частного. Последнее рассмотренное свойство - извлечение квадратного корня из числа, возведенного в четную степень √a 2 n , которое в результате образует число в степени a n . Рассмотренные свойства действительны для любых неотрицательных чисел.

Рассматриваются примеры, в которых требуются преобразования выражений, содержащих квадратный корень. Указано, что в данных примерах предусмотрено, что aи b являются неотрицательными числами. В первом примере необходимо упростить выражения √16a 4 /9b 4 и √a 2 b 4 . В первом случае применяется свойство, определяющее, что корень квадратный произведения двух чисел равен произведению корней из них. В результате преобразования получается выражение ab 2 . Во втором выражении используется формула преобразования квадратного корня частного в частное корней. Итогом преобразования является выражение 4a 2 /3b 3 .

Во втором примере необходимо вынести из-под знака квадратного корня множитель. Рассматривается решение выражений √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 . На примере преобразования четырех выражений показывается, как применяется формула преобразования корня произведения нескольких чисел для решения подобных задач. При этом отдельно отмечаются случаи, когда выражения содержат числовые коэффициенты, параметры в четной, нечетной степени. В результате преобразования получаются выражения √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

В третьем примере необходимо произвести операцию, противоположную той, что в предыдущей задаче. Для внесения множителя под знак квадратного корня также необходимо уметь пользоваться изученными формулами. Предлагается в выражениях 2√2 и 3a√b/√3a внести множитель перед скобками под знак корня. Используя известные формулы, множитель, стоящий перед знаком корня, возводится в квадрат и помещается в виде множителя в произведение под знаком корня. В первом выражении в результате преобразования получается выражение √8. Во втором выражении сначала применяется формула коня произведения для преобразования числителя, а затем формула корня частного - для преобразования всего выражения. После сокращения числителя и знаменателя в подкоренном выражении, получается √3ab.

В примере 4 необходимо выполнить действия в выражениях (√a+√b)(√a-√b). Для решения данного выражения вводятся новые переменные, заменяющие одночлены, содержащие знак корня √a=х и √b=у. после подстановки новых переменных, очевидна возможность использования формулы сокращенного умножения, после чего выражение получает вид х 2 -у 2 . Возвращаясь к исходным переменным, получаем a-b. Второе выражение (√a+√b) 2 также можно преобразовать с помощью формулы сокращенного умножения. После раскрытия скобок получаем результат a+2√ab+b.

В примере 5 производится разложение на множители выражений 4a-4√ab+b и х√х+1. Для решения данной задачи необходимо выполнить преобразования, выделить общие множители. После применения свойств квадратного корня для решения первого выражения сумма преобразуется в квадрат разности (2√а-√b) 2 . Для решения второго выражения необходимо занести под корень множитель перед знаком корня, а затем применить формулу для суммы кубов. Результатом преобразования становится выражение (√х+1)(х 2 -√х+1).

Пример 6 демонстрирует решение задачи, где нужно упростить выражение (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Решение задания выполняется в четыре действия. В первом действии числитель преобразуется в произведение с помощью формулы сокращенного умножения - суммы кубов двух чисел. Во втором действии преобразуется знаменатель выражения, который получает вид а-√3а+3. После преобразования становится возможным сокращение дроби. В последнем действии применяется также формула сокращенного умножения, которая помогает получить окончательный результат а-3.

В седьмом примере необходимо избавиться от квадратного корня в знаменателях дробей 1/√2 и 1/(√3-√2). При решении задания используется основное свойство дроби. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, числитель и знаменатель умножаются на одинаковое число, с помощью которого подкоренное выражение возводится в квадрат. В результате вычислений получаем 1/√2=√2/2 и 1/(√3-√2)=√3+√2.

Указываются особенности математического языка при работе с выражениями, содержащими корень. Отмечается, что содержание квадратного корня в знаменателе дроби означает содержание иррациональности. А об избавлении от знака корня в таком знаменателе говорят как об избавлении от иррациональности в знаменателе. Описываются методы, как можно избавиться от иррациональности - для преобразования знаменателя вида √а необходимо умножить числитель одновременно со знаменателем на число √а, а для устранения иррациональности для знаменателя вида √а-√b, числитель и знаменатель умножаются на сопряженное выражение √а+√b. Отмечается, что избавление от иррациональности в таком знаменателе очень части облегчает решение задачи.

В конце видеоурока рассматривается упрощение выражения 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Чтобы упростить выражение, применяются рассмотренные выше способы избавления от иррациональности в знаменателе дробей. Полученные выражения складываются, после чего упрощенный вид выражения имеет вид √5-2√3.

Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для формирования навыков решения заданий, в которых содержится квадратных корень. С этой же целью видео может быть использовано учителем в ходе дистанционного обучения. Также материал может быть рекомендован ученикам для самостоятельной работы дома.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры в 8 классе

по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»

Учитель математики : Кирюхина Ю.А.

МОУ СОШ им. А.И. Панкова с. Головинщино

2010-2011 учебный год

Цели:

1. повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;
2. закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;
3. обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме;
4. воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.

Оборудование : мультимедийный проектор , интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.

Ход урока.

I. Организационный момент

Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни, преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.

II. Сообщение темы урока

Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». (Слайд №1)

В математике есть нечто,

Вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф (Слайд №2)

III. Устная работа

1) Фронтальный опрос. (Слайд №3)

1. Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
2. Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
3. 2 ? (|х| ).
4. Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х х. –х ).

2) Устный счёт (Слайд №4)

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

(Слайд №5-9)

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

2. Внесите множитель под знак корня:

3. Возведите в квадрат:

4. Приведите подобные слагаемые:

IV. Работа по теме урока

1 ) Индивидуальная работа (Слайд №10)

На «божьей коровке» есть красные, желтые и зеленые пятнышки. Зеленые соответствуют заданиям базового уровня, желтые – заданиям повышенного уровня, красные – заданиям высокого уровня. Учащиеся выбирают задание на свое усмотрение. Трое учащихся, получив задание, решают его в тетрадях. (Слайд №11-13)

2) Работа с интерактивной доской.

Остальные обучающиеся решают следующие задания:

1. Упростите выражение: а) 4b+4b-4b ; б) 9a+49a-64a;

В) 63-175+97 ; г) 28а+0,345с-418а+0,01500с.

2. Выполните действия и соотнесите с верным ответом: 15-1215-23 , 4+22-2 , 2-32+3 , 3-422 .

Ответы: -1; 6 - 22 ; 27-125;41-242 .

3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.

а) b5 ; б) 23; в) 737 ; г) ax+a .

4. Сократите дробь.

а) 5-x2 5+х ; б) а -2а2-2 ; в) 3-33; г) а+ba-b.

VI. Историческая справка (Слайд 14-16)

Radix- имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»

Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5

Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨ 5

Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.

VII. Тест (Слайд №17, 18)

Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста.

VI. Взаимопроверка (Слайд №19)

Код правильных ответов: I вариант – 12312, II вариант - 32132.

VIII. Физкультминутка для глаз (Слайд №20, 21)

VII. Домашнее задание. (Слайд №22)

VIII. Итог урока

Заполните до конца оценочный лист. (Слайд №23). Оценки за урок.

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской. (Слайд №24, 25)

Если в жизни ты хоть на мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Что бы в решенье твоем неизменном

Рок ни назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется черною мглой,

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. Урок окончен. Спасибо за урок! (Слайд №26)

Приложение

ЛИСТ-ОПРОСНИК

Ф.И. ученика____________________________

1. Настроение в начале урока: а) б) в)

2. Мое восприятие темы урока:

а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.

3. Количество неправильных ответов теста: _________

4. Я работал(а) на уроке:

а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.

5. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)

6. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)

7. Настроение в конце урока: а) б в)