Умножение двоично-десятичных чисел. Дробь

Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.

Решение:

Как работать с математическим калькулятором

Клавиша	Обозначение	Пояснение
5	цифры 0-9	Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
.	точка (запятая)	Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 - будет записано 0.5
+	знак плюс	Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
-	знак минус	Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
÷	знак деления	Деление чисел (целые, десятичные дроби)
х	знак умножения	Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
√	корень	Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку "корня" производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x 2	возведение в квадрат	Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку "возведение в квадрат" производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1 / x	дробь	Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
%	процент	Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка "%"
(	открытая скобка	Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
)	закрытая скобка	Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
±	плюс минус	Меняет знак на противоположный
=	равно	Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле "Решение" выводится промежуточные вычисления и результат.
←	удаление символа	Удаляет последний символ
С	сброс	Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение "0"

Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах

Сложение.

Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }

Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }

Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Вычитание.

Вычитание целых натуральных чисел { 7 - 5 = 2 }

Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 - (-2) = 7 }

Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 - 1,2 = 4,3 }

Умножение.

Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }

Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }

Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }

Деление.

Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }

Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }

Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }

Извлечение корня из числа.

Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }

Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }

Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }

Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }

Возведение числа в квадрат.

Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }

Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }

Перевод в десятичные дроби.

Вычисление процентов от числа

Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }

Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }

18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }

Как известно, умножение чисел сводится к суммированию частичных произведений, полученных при умножении текущего разряда множителя В на множимое Л. Для двоичных чисел частичные произведения равны множимому или нулю. Поэтому умножение двоичных чисел сводится к последовательному суммированию частичных произведений со сдвигом. Для десятичных чисел частичные произведения могут принимать 10 различных значений, включая нуль. Поэтому для получения частичных произведений вместо умножения может быть использовано многократное последовательное суммирование множимого Л. Для иллюстрации алгоритма умножения десятичных чисел воспользуемся примером.

Пример 2.26. Па рис. 2.15, а приведено умножение целых десятичных чисел Л х б = 54 х 23, начиная с младшего разряда множителя. Для умножения используется следующий алгоритм:

За исходное состояние принимается 0. Первая сумма получается прибавлением к нулю множимого Л = 54. Затем к первой сумме снова прибавляется множимое А = 54. И наконец, после третьего суммирования получается первое частичное произведение, равное 0"+ 54 + 54 + 54 = 162;

Рис. 2.15. Алгоритм умножения целых десятичных чисел 54 х 23 (а) и принцип его реализация (б)

выполняется сдвиг первого частичного произведения на один разряд вправо (или множимого влево);
к старшим разрядам первого частичного произведения дважды прибавляется множимое: 16 + 54 + 54 = 124;
после объединения полученной суммы 124 с младшим разрядом 2 первого частичного произведения находится произведение 1242.

Рассмотрим на примере возможность схемной реализации алгоритма с использованием операций суммирования, вычитания и сдвига.

Пример 2.27. Пусть в регистре R t постоянно хранится множимое А = 54. В исходном состоянии в регистр R 2 помещаем множитель В = 23, а регистр R 3 загружаем нулями. Для получения первого частичного произведения (162) к содержимому регистра трижды прибавляем множимое А = 54, уменьшая при этом каждый раз на единицу содержимое регистра R T После того как младший разряд регистра R., станет равным нулю, произведем сдвиг вправо на один разряд содержимого обоих регистров /?., и R.,. Наличие 0 в младшем разряде R 2 в свидетельствует о том, что формирование частичного произведения завершено и необходимо произвести сдвиг. Затем выполним две операции сложения множимого А = 54 с содержимым регистра и вычитания единицы из содержимого регистра R 0. После второй операции младший разряд регистра R., станет равным нулю. Поэтому, выполнив сдвиг вправо на один разряд содержимого регистров R 3 и R Y получим искомое произведение Р = 1242.

Реализация алгоритма умножения десятичных чисел в двоично-десятичных кодах (рис. 2.16) имеет особенности, связанные с выполнением операций сложения и вычитания

Рис. 2.16.

(см. параграф 2.3), а также сдвига тетрады на четыре разряда. Рассмотрим их в условиях примера 2.27.

Пример 2.28. Умножение чисел с плавающей точкой. Для получения произведения чисел А и В с плавающей точкой необходимо определить М с = М л х М н, Р с = Р { + Р н. При этом используются правила умножения и алгебраического сложения чисел с фиксированной точкой. Произведению присваивается знак "+", если множимое и множитель имеют одинаковые знаки, и знак "-", если их знаки разные. При необходимости выполняется нормализация результирующей мантиссы с соответствующей коррекцией порядка.

Пример 2.29. Умножение двоичных нормализованных чисел:

При выполнении операции умножения могут иметь место особые случаи, которые обрабатываются специальными командами процессора. Например, если один из сомножителей равен нулю, операция умножения не выполняется (блокируется) и сразу формируется нулевой результат.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для умножения двоичных чисел. Пример №1 . Умножить двоичные числа 111 и 101 .
Решение .

		1	1	1
		1	0	1
=	=	=	=	=
		1	1	1
	0	0	0
1	1	1
=	=	=	=	=
0	0	0	1	1

При суммировании в разрядах 2, 3, 4 возникло переполнение. Причем переполнение возникло и в старшем разряде, поэтому записываем 1 впереди полученного числа, и получаем: 100011
В десятичной системе счисления данное число имеет следующий вид:
Для перевода необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
100011 = 2 5 *1 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35
Проверим результат умножения в десятичной системе счисления. Для этого переводим числа 111 и 101 в десятичное представление.
111 2 = 2 2 *1 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 4 + 2 + 1 = 7
101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
7 x 5 = 35

Пример №2 . Найти двоичное произведение 11011*1100 . Перевести ответ в десятичную систему.
Решение . Умножение начинаем с младших разрядов: если текущий разряд второго числа равен 0, то везде записываем нули, если 1 - то переписываем первое число.

			1	1	0	1	1
				1	1	0	0
=	=	=	=	=	=	=	=
			0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0
	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1
=	=	=	=	=	=	=	=
0	1	0	0	0	1	0	0

При суммировании в разрядах 3, 4, 5, 6, 7 возникло переполнение. Причем переполнение возникло и в старшем разряде, поэтому записываем 1 впереди полученного числа, и получаем: 101000100

101000100 = 2 8 *1 + 2 7 *0 + 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 324
Проверим результат умножения в десятичной системе счисления. Для этого переводим числа 11011 и 1100 в десятичное представление.
11011 = 2 4 *1 + 2 3 *1 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
1100 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12
27 x 12 = 324

Пример №3 . 1101.11*101
Будем умножать числа без учета плавающей точки: 110111 x 101
Умножение начинаем с младших разрядов: если текущий разряд второго числа равен 0, то везде записываем нули, если 1 - то переписываем первое число.

		1	1	0	1	1	1
					1	0	1
=	=	=	=	=	=	=	=
		1	1	0	1	1	1
	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	1	1
=	=	=	=	=	=	=	=
0	0	0	1	0	0	1	1

При суммировании в разрядах 2, 3, 4, 5, 6, 7 возникло переполнение. Причем переполнение возникло и в старшем разряде, поэтому записываем 1 впереди полученного числа, и получаем: 100010011
Поскольку умножали без учета плавающей запятой, то окончательный результат запишем как: 1000100.11
В десятичной системе счисления данное число имеет следующий вид:
1000100 = 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 68
Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
В итоге получаем число 68.75
Проверим результат умножения в десятичной системе счисления. Для этого переводим числа 1101.11 и 101 в десятичное представление.
1101 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
В итоге получаем число 13.75
Переводим число: 101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
13.75 x 5 = 68.75

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа - без всяких знаменателей и десятичных точек;
Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

0,28 · 12,5;

6,3 · 1,08;

132,5 · 0,0034;

0,0108 · 1600,5;

5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
Их произведение: 28 · 125 = 3500;
В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй - еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

Выпишем значащие части: 63 и 108;
Их произведение: 63 · 108 = 6804;
Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего - снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

Значащие части: 1325 и 34;
Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй - на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди - дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

Пишем значащие части: 108 и 16 005;
Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором - 1. Всего - снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

Значащие части: 525 и 1;
Умножаем их: 525 · 1 = 525;
В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй - на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей »);
Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

Задача. Найдите значение выражения:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.