Уравнения как их решать. Старт в науке

Уравнение, представляющее собой квадратный трехчлен, обыкновенно называется квадратным уравнением. С точки зрения алгебры оно описывается формулой a*x^2+b*x+c=0. В данной формуле х - это неизвестное, которое требуется найти (его называют свободной переменной); a, b и c - числовые коэффициенты. В отношении компонентов указанной существует ряд ограничений: так, коэффициент а не должен быть равен 0.

Решение уравнения: понятие дискриминанта

При этом следует иметь в виду, что понятие требует, чтобы лишь коэффициент а был строго отличающимся от 0. Следовательно, коэффициент b может быть равным 0, а само уравнение в этом случае вид a*x^2+c=0. В такой ситуации следует использовать значение коэффициента, равное 0, и в формулах расчета дискриминанта и корней. Так, дискриминант в этом случае будет рассчитываться как D=-4ac.

Решение уравнения при положительном дискриминанте

Решение уравнения при нулевом и отрицательном дискриминанте

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

С. Коваль

Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.

Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.

В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.

Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:

Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

Какие вы используете чаще всего?

По результатам анкетирование были получены следующие результаты:

Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.

Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.

Мы поставили перед собой цель : изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.

Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:

собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,

освоить найденные способы решения,

составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,

разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,

провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 - 9 классов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.

Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 - 9 классов с данных материалом.

ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. 1. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:

Если a+b+c=0, то = 1, =

Пример:

-6х 2 + 2х +4=0, то = 1, = = .

Если a - b+c=0, то = -1, = -

Пример:

2017х 2 + 2001х +16 =0, то = -1, -.

1. 1. ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:

Если b=a 2 +1, c=a, то х 1 =-а; x 2 = - .

Если b=-(a 2 +1), a=c, то x 1 =a; x 2 =.

Если b=a 2 -1, c=-a, то x 1 =-a; x 2 = .

Если b=-(a 2 -1), -a=c, то x 1 =a; x 2 = - .

Решим следующие уравнения:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. «ПЕРЕБРОС» ГЛАВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.

Пример:

2х 2 - 3х + 1 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 - 3у + 2 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 2 , х 1 = 2/2 , x 1 = 1,

у 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Ответ: 0,5; 1.

1. 1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Если в уравнении аx 2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax 2 = -bx -c .

Построим графики зависимостей у = aх 2 и у = -bx -c в одной системе координат.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим следующие уравнения:

1) х 2 + 2х - 3 = 0

х 2 = - 2х + 3

В одной системе координат построим график функции у =х 2 и график функции у = - 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.

Ответ: х 1 = - 3, х 2 =1.

2) х 2 + 6х +9 = 0

х 2 = - 6х - 9

В одной системе координат построим график функции у = х 2 и график функции у = -6х - 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.

Ответ: х= - 3.

3) 2х 2 + 4х +7=0

2х 2 = - 4х - 7

В одной системе координат построим график функции у =2х 2 и график функции

Парабола у =2х 2 и прямая у = - 4х - 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

1. 1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Решим уравнение aх 2 +bх+c=0:

Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).

Провести окружность радиуса SA.

Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.

При этом возможны три случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK , или R> ), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х 1 ; 0) и D(х 2 ;0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ , или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х 1 ; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ , или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

а) AS > SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS < SВ, или R < .

Два решения х 1 и х 2 . Одно решение х 1.. Не имеет решения.

Пример 1: 2х 2 - 8х + 6 = 0.

Решение:

Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х 1 = 1 , х 2 = 3.

Пример 2: х 2 - 6х + 9 = 0.

Решение : Найдём координаты S: x=3, y=5.

Ответ: x=3.

Пример 3: х 2 + 4 х + 5 = 0.

Решение: Координаты центра окружности: х= - 2 и y = 3.

Ответ: нет корней

1. 1. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММЫ

Номограмма (от греческого «nomos» - закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». - М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример 1 : z 2 - 9z + 8 = 0 .

На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.

Ответ: 1; 8.

Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).

Пример 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма даёт корни z 1 = 4 иz 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

Пример 3: x 2 - 25x + 66 = 0

Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z , получим уравнение:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы.

Получим z 1 = 0,6 и z 2 = 4,4,

откудаx 1 = 5 z 1 = 3,0 иx 2 = 5 z 2 = 22,0.

Ответ: 3; 22.

Пример 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Ответ: 1; -6.

Пример 5: z 2 - 2z - 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z 1 =4, а отрицательный равен z 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Ответ: 4; -2.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL

Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel - это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.

Лист программы Excel, где отображены формулы:

Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x 2 - 14x - 15 = 0 :

ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Уолтер Варвик Сойер

В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.

Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие - помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.

Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.

Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.

Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).

Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.

ЛИТЕРАТУРА

Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.

Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.

Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.

Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.

Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.

Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.

Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. - 2000.- № 40.

Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.

Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,

М.: Педагогика, 1989.

Интернет ресурсы:

http://revolution.allbest.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»

Исходноеуравнение: 4х 2 +3х -1 = 0.

1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D

4х 2 +3х -1 = 0

D = b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2.Теорема Виета

4х 2 +3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым

х 2 +х -=0

х 1 = -1

х 2 =

3. Метод выделения полного квадрата

4х 2 +3х -1 = 0

(4х 2 +2*2х *+)-1=0

(2х +) 2 -=0

(2х + -)(2х + +)=0,

(2х -)=0 (2х +2)=0

х 1 = х 2 = -1

4. Способ группировки

4х 2 +3х -1 = 0

4х 2 +4х-1х-1=0

4х(х+1)-1(х+1)=0

(4х-1)(х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0

(4х-1)=0 (х+1)=0

х 1 = х 2 = -1

5. Свойства коэффициентов

4х 2 +3х -1 = 0

Если a - b+c=0, то = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Метод «переброски» главного коэффициента

4х 2 +3х -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Теорема Виета:

y 1 = -4

y 2 = 1

Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:

х 1 = -1

х 2 =

7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

4х 2 +3х -1 = 0

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х 1 = -1

х 2 =

8. Графический способ решения

4х 2 +3х -1 = 0

4х 2 = - 3x + 1

В одной системе координат построим график функции у = 4х 2 и график функции

у = - 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:

х 1 = -1

9. С помощью номограммы

4х 2 +3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение

х 2 +х -= 0.

Номограмма даёт положительный корень = ,

а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Решение данного уравнения в EXCEL

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ

“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ” »

10х 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10х 2 + 7х + 3 = 0 -1 0,3

354х 2 -52х -302 = 0 1 -

100х 2 -99х-1 = 0 1 -0,01

5х 2 + 9х + 4 = 0 -1 -0,8

2017х 2 + х -2016 = 0 -1

22х 2 +10х-12 = 0 -1

5432х 2 -3087х-2345 = 0 1 -

4х 2 + 2х -6с = 0 1 -1,5

55х 2 -44х -11= 0 1 -0,2

6х 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5

4х 2 -17х-15 = 0 -0,75, 5

4271х 2 -4272х + 1 = 0 1,

3х 2 +10х + 7 = 0 -1, - 2

5х 2 - 11х + 2 = 0 2, 0,2

2х 2 - 11х + 15 = 0 2,5, 3

4х 2 + 4х -3= 0 -1,5, 0,5

5х 2 -12х + 7 = 0 1,4, 1

2х 2 + 13х + 15 = 0 -1,5 -5

3х 2 -7х + 2 = 0 1/3 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

«РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ»

И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

• единственный корень при a≠0 ,
• не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
• имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

• перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
• а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

• Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
• Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
• Если же a отлично от нуля, то
• коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
• после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

• Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
• Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Пример.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .

Решение.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?

Решение.

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.

Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

Гимназия № 12

сочинение

на тему: Уравнения и способы их решения

Выполнил: ученик 10 "А" класса

Крутько Евгений

Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001

План................................................................................................................................... 1

Введение........................................................................................................................... 2

Основная часть................................................................................................................. 3

Заключение..................................................................................................................... 25

Приложение................................................................................................................... 26

Список использованной литературы.......................................................................... 29

План.

Введение.

Историческая справка.

Уравнения. Алгебраически уравнения.

а) Основные определения.

б) Линейное уравненение и способ его решения.

в) Квадратные уравнения и способы его решения.

г) Двучленные уравнения способ их решения.

д) Кубические уравнения и способы его решения.

е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

абсолютной величины и способ его решения.

Трансцендентные уравнения.

а) Показательные уравнения и способ их решения.

б) Логарифмические уравнения и способ их решения.

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

Основные определения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв ). Для записи тождества наряду со знаком

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:

В общем виде уравнение может быть записано так:

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин "уравнение". Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.

Математика. Уравнения

Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение - это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.

Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:

• температура воздуха;
• рост ребенка;
• вес и так далее.

В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с... Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.

Разновидности

Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:

• линейные;
• квадратные;
• кубические;
• алгебраические;
• трансцендентные.

Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.

Линейное уравнение

Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.

Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.

Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.

Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.

Квадратные уравнения

Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax 2 +bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.

Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b 2 -4ac. Есть три варианта исхода решения:

• дискриминант больше нуля;
• меньше нуля;
• равен нулю.

В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.

Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.

Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.

Особые случаи в квадратных уравнениях

Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.

Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х 2 =0. В итоге получаем х=0.

Другой случай 16х 2 -9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х 2 =9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х 2 = девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.

Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х 2 +80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х 2 =-80, теперь каждую часть делим на пять: х 2 = минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.

Разложение трехчлена

Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х 1)(х-х 2). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.

Рассмотрим следующий пример: 3х 2 -14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).

Уравнения сводящиеся к квадратному

В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x 2 - 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а 2 -2а-3=0. Наш следующий шаг - это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.

Кубические уравнения

Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.

Рассмотрим пример: 3х 3 +4х 2 +2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х 2 +4х+2)=0. Все что нам остается сделать - это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.

Алгебра. Уравнения

Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: разложить на множетели 3х 4 +2х 3 +8х 2 +2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х 4 +3х 2)+(2х 3 +2х)+(5х 2 +5). Заметим, что 8х 2 из первого выражения мы представили в виде суммы 3х 2 и 5х 2 . Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х 2 (х2+1)+2х(х 2 +1)+5(х 2 +1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х 2 +1)(3х 2 +2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.

Трансцендентные уравнения

Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin 2 x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.

Функция

Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.