Урок по математике на тему "прямоугольник". Построение прямоугольника

Прямоугольником называется такой параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны. Ясно, что параллелограмм будет прямоугольником уже в том случае, когда хотя бы один из его углов прямой, так как тогда будут прямыми и остальные его углы. Если же заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то придется проверить-, что три угла его прямые, тогда, конечно, и четвертый угол будет прямой, так как сумма углов любого четырехугольника равна четырем прямым. Важно также следующее отличительное свойство прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABD и ACD (рис. 235). Эти треугольники прямоугольные, катет AD у них общий и катеты АВ и CD равны, следовательно, равны и гипотенузы: BD = AC, что и требовалось доказать.

Если известно, что данный четырехугольник - параллелограмм, то данное свойство будет для прямоугольника характеристическим:

Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Доказательство. Из равенства диагоналей BD и АС (рис. 235) в свою очередь следует равенство треугольников и,значит, равенство углов BAD и ADC; но, составляя в сумме два прямых и будучи равными, эти углы должны быть прямыми; значит, параллелограмм - прямоугольник.

195. Ромб. Квадрат. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Для того чтобы проверить, что данный параллелограмм является ромбом, достаточно показать, что две его смежные стороны равны; тогда равенство всех сторон будет вытекать из свойства 1 п. 193. Если заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то достаточно проверить равенство всех сторон, чтобы убедиться, что мы имеем ромб:

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

(Заметим, что это уже утверждение, требующее доказательства, а не определение!)

Доказательство. Если у четырехугольника все стороны равны, то, в частности, попарно равны и противоположные стороны и четырехугольник является параллелограммом (свойство 1 п. 193). Но параллелограмм с равными сторонами будет ромбом (в силу определения ромба). Укажем еще одно свойство ромба:

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и СОВ (рис. 236); они равны в силу того, что катет ОВ у них общий, а катеты АО и СО равны по свойству диагоналей параллелограмма. Значит, АВ = ВС, и потому все четыре стороны параллелограмма равны, т. е. он будет ромбом.

Предлагается читателю доказать теорему:

Диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны. Прямоугольник, стороны которого равны, называется квадратом. Таким образом, квадрат является также и ромбом (стороны равны!) с прямыми углами. Можно иначе сказать: квадрат - это четырехугольник, одновременно являющийся ромбом и прямоугольником. Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Задача 1. Доказать, что диагонали ромба служат биссектрисами его углов.

Решение. Возвращаясь к рис. 236, напомним, что мы обнаружили равенство треугольников АОВ и СОВ, следовательно, углы АВО и ОВС равны, т. е. диагональ BD - биссектриса угла В. Для второй диагонали применяем те же рассуждения.

Задача 2. Высота ромба составляет восьмую часть его периметра. Определить углы ромба.

Решение. Если высота ромба составляет восьмую часть его периметра, то она равна половине стороны ромба. Таким образом, в треугольнике АВМ (рис. 237), отсеченном от ромба его высотой ВМ, проведенной через вершину тупого угла, катет ВМ равен половине гипотенузы АВ и угол А содержит 30°. Тупой угол будет равен 150°.

Упражнения

1. Построить параллелограмм по стороне АВ, острому углу А и высоте ВН, перпендикулярной к стороне CD.

2. Доказать, что параллелограмм, имеющий равные высоты - ромб.

3. Построить прямоугольник по диагонали и стороне.

4. Построить ромб по малой диагонали и острому углу.

5. Показать, что середины сторон ромба служат вершинами прямоугольника, а середины сторон прямоугольника - вершинами ромба.

Цели:

развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;
формирование знаний о прямоугольнике и умений применять его определение и свойства на уровне обязательной подготовки;
воспитание уважительного отношения к сверстникам.

Оборудование:

переносные доски с готовыми чертежами;
каркасные модели четырехугольников.

Структура урока:

Знакомство с темой урока, постановка его целей (2 мин).
Проверка домашнего задания (5 мин).
Актуализация знаний учащихся по пройденному материалу (6 мин).
Определение понятий прямоугольника и доказательство его свойств (10 мин).
Первичное закрепление изученного (12 мин).
Домашнее задание (2 мин).
Подведение итогов урока (3 мин.).
Резерв: дифференцированные задания.

Ход урока

1. Знакомство с темой урока, постановка его целей.

Проверка готовности класса к уроку, напоминание учащимся, что на этом занятии продолжается изучение темы «Четырехугольники». Сообщение учащимся, что на данном уроке будет рассматриваться один из частных видов параллелограмма, его определение и свойства, их применение при решении задач.

2. Проверка домашнего задания.

Вызываются 2 ученика к доске для решения задач №14, 20 §6 из домашнего задания. В это время учитель опрашивает остальных учащихся о выполнении домашнего задания, отвечает на вопросы учащихся по домашнему заданию и осуществляет устную проверку знаний по изученному материалу о четырехугольниках по вопросам:

Какая фигура называется четырехугольником?
Какие стороны четырехугольника называются противолежащими?
Что такое параллелограмм?
Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма?

Ученики у доски переходят к объяснению решений своих задач. Остальные учащиеся вместе с учителем контролируют их ответы, оформление записей, корректируют и дополняют записи в своих тетрадях. Отвечавшим у доски задаются дополнительные вопросы:

Что такое диагонали четырехугольника?

(Ответ: отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются его диагоналями).

Учитель оценивает знания отвечавших у доски и подводит итоги выполнения классом домашнего задания.

3. Актуализация знаний учащихся по пройденному материалу.

Для подготовки учащихся к усвоению нового материала повторяются и систематизируются их знания и умения в процессе устного решения упражнений на готовых чертежах. Выставляется переносная доска с первой группой задач, оформленных в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Учитель предлагает учащимся по желанию решить эти задачи.

Один из учеников разъясняет решение первой задачи:

Решение 1 задачи: У треугольников ABC и DBC AC=CD и AB=BD по условию, а ВС - общая сторона. Поэтому они равны по трем сторонам.

Другой ученик решает вторую задачу:

Решение 2 задачи: У треугольников DEC и DKC равны стороны DE и; DK и углы EDC и CDK, а сторона DC общая. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними.

Решение 3 задачи объясняет третий ученик:

У прямоугольных треугольников ОРК и МРК равны катеты ОР и РМ, а катет КР общий. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними (или по двум катетам, если этот признак равенства прямоугольных треугольников был сформулирован в процессе обучения).

Выставляется другая переносная доска с готовыми чертежами (см. табл. 2).

Таблица 2

Учитель также предлагает учащимся по желанию решить данные задачи.

Один из учащихся решает первую задачу:

Решение 1 задачи: У четырехугольника ABCD диагонали пересекаются в точке О и делятся ею пополам, поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по теореме 6.1.

Другой ученик объясняет решение второй задачи:

Решение 2 задачи: Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам, отсюда углы ВСА и CAD равны. Поэтому прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых, а значит, параллельны и стороны ВС и AD. Аналогично параллельны стороны АВ и CD. Тогда четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению.

Решение третьей задачи поясняется третьим учеником:

Решение 3 задачи: У четырехугольника ABCD противолежащие стороны ВС и AD равны по условию и параллельны, так как прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых. Поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по задаче 18 § 6.

Учитель подчеркивает, что повторенный материал будет использован также при изучении одного из известных им четырехугольников и записывает вместе с учащимися тему урока: «Прямоугольник».

4. Определение понятий прямоугольника и доказательство его свойств.

Для введения определения понятия прямоугольника рассматриваются следующие три каркасные модели четырехугольников (рис.1,2,3).

Учитель задает вопросы учащимся:

Найдите по виду этих четырехугольников их общие свойства.

(Ответ: у каждого из них противолежащие стороны параллельны, поэтому они все являются параллелограммами).

Как еще называют средний из этих параллелограммов?

(Ответ: прямоугольником).

Чем отличается прямоугольник от двух других параллелограммов?

(Ответ: у него все углы прямые).

Учитель диктует, а учащиеся записывают определение прямоугольника:

«Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые».

Учитель спрашивает у учеников, какими свойствами параллелограмма обладает прямоугольник?

(Ответ: у прямоугольника противолежащие стороны равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам, диагонали прямоугольника равны – теорема 6.4).

Для доказательства теоремы 6.4 на доске изображается прямоугольник ABCD и его диагонали (рис.4).

Учитель повторяет формулировку теоремы и предлагает одному из учеников продиктовать, что дано и что нужно доказать.

Если ученики затрудняются ответить, тогда учитель начинает переводить формулировку теоремы из категоричной формы в условную:

Сформулируем теорему в другом виде, а именно:

если ABCD - прямоугольник, то... (Учитель предлагает закончить предложение одному из учеников).

Ответ ученика:. ..Его диагонали равны.

Учитель снова предлагает учащемуся определить, что нам дано и что нужно доказать?

Ответ: ABCD - прямоугольник, AC и BD - его диагонали. Надо доказать, что диагонали АС и BD равны. Доказательство проводится с использованием метода восходящего анализа.

Учитель говорит детям, что для того, чтобы доказать равенство диагоналей АС и BD сначала необходимо выяснить, являются ли они, например, сторонами треугольников BAD и CDA.

Один из учеников подтверждает этот факт.

Учитель задает наводящий вопрос: - Для того, чтобы доказать равенство диагоналей, достаточно доказать равенство, например, каких фигур?

Ответ учащегося: - Треугольников BAD и CDA.

Учитель спрашивает у одного из учащихся: - Для того чтобы доказать равенство треугольников BAD и CDA, что достаточно установить?

Ответ учащегося: - Что они прямоугольные, катет AD общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны прямоугольника.

Учитель подводит итог: - Треугольники BAD и CDA равны по двум катетам, а из их равенства следует и равенство гипотенуз. Гипотенузы же есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.

Записи на доске при этом оформляются в следующем виде (см. табл. 3).

Таблица 3

5. Первичное закрепление изученного.

Для закрепления изученного учащимся предлагается сначала прочитать содержание п.54 учебника. Затем учитель отвечает на возникшие у ребят вопросы и предлагает записать результат решенной в учебнике задачи №24 в виде признака прямоугольника:

Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

С помощью дополнительных вопросов к отвечающим учащимся повторяются и закрепляются изученные определение, свойства и признаки прямоугольника.

6. Домашнее задание.

На дом задается изучить содержание п.54 и решить задачи №27, 28 §6. Обращается внимание на то, что необходимо знать определение, свойства и признаки прямоугольника и уметь доказывать теорему 6.4.

Учащимся дается возможность ознакомиться с условиями задач №27 и 28, а также выяснить вопросы, связанные с выполнением домашнего задания.

7. Подведение итогов урока.

Итоги урока подводятся оценкой знаний отвечавших учеников и ответами на вопросы типа:

Что такое прямоугольник?
Какими свойствами параллелограмма обладает прямоугольник?
Какое свойство прямоугольника доказывается в теореме 6.4?
Сформулируйте признаки прямоугольника.

8. Резерв: дифференцированные задания.

После выполнения программы отмеченных выше этапов урока и при наличии времени могут быть использованы следующие дифференцированные задания:

Постройте прямоугольник по двум смежным сторонам.
Постройте прямоугольник по стороне и диагонали.
Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.
Постройте прямоугольник по заданным серединам всех его сторон.
Постройте прямоугольник, если заданы точка пересечения его диагоналей и две соседние вершины.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат - это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника , а длина наиболее коротких - шириной прямоугольника .

Свойства прямоугольника

1. Прямоугольник - это параллелограмм.

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )

2. Противоположные стороны равны.

\(AB = CD,\enspace BC = AD \)

3. Противоположные стороны параллельны.

\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Диагонали прямоугольника равны.

\(AC = BD \)

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \(AB = CD \) .

Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\(AB = CD \) и \(AD \) - совместный).

Если обе фигуры - \(ABC \) и \(DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \(BD \) и \(AC \) тоже тождественны.

Значит, \(AC = BD \) .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) по условию. \(\Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.

Получается, что \(\angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

Выводим, что \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D \) . Все они по \(90^{\circ} \) . В сумме - \(360^{\circ} \) .

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности.

Сначала вспомним, какая фигура называется прямоугольником (Рис. 1).

Рис. 1. Определение прямоугольника

Посмотрите на изображенные фигуры (Рис. 2).

Рис. 2. Фигуры

Нам нужно определить, есть ли среди них прямоугольник.

Для этого нам понадобится угольник. Найдем прямой угол у угольника и приложим его к каждому из углов наших фигур. Приложив угольник ко всем углам первой фигуры, мы видим, что он совпал со всеми углами. Это значит, что фигура под номером 1 - это прямоугольник.

Прикладываем прямой угол угольника к фигуре № 2 и видим, что угол не совпадает с прямым углом. Это значит, что фигура № 2 не прямоугольник.

Прикладываем прямой угол угольника к фигуре № 3. Первый угол прямой. Второй угол фигуры прямой. Третий угол фигуры тоже прямой. И четвертый угол тоже прямой. Третья фигура является прямоугольником.

Фигура № 4. Прикладываем прямой угол угольника, и он совпадает с углом фигуры. Прикладываем его ко второму углу фигуры, и он тоже совпадает. Прикладываем прямой угол угольника к третьему углу. Третий угол тоже совпадает. Четвертый угол тоже совпадает. Это значит, что фигура № 4 является прямоугольником.

Фигура № 5. Прикладываем прямой угол угольника к первому углу. Этот угол не совпадает с прямым углом угольника. Это значит, что фигура № 5 не является прямоугольником.

У нас получается, что прямоугольники - фигуры под номерами 1, 3, 4 (Рис. 4).

Рис. 3. Прямоугольники

Мы установили, что прямые углы есть у фигур 1, 3 и 4.

Угольник - это чертежный инструмент для построения углов. Угольники изготовляют из металла, пластмассы или дерева (Рис. 3).

Рис. 4. Угольник

У фигур 1 и 3 равны стороны, которые лежат напротив друг друга. А у фигуры № 4 равны все стороны. Такие фигуры имеют специальное название.

Четырехугольник, у которого стороны попарно равны, называется прямоугольник.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Давайте построим прямоугольник с помощью угольника и линейки.

Для этого сначала поставим на плоскости точку. Затем найдем угол на угольнике и приложим его так, чтобы точка была вершиной угла (Рис. 5).

Рис. 5. Точка - вершина угла

Теперь обводим стороны угла (Рис. 6).

Рис. 6. Стороны угла

То же самое мы делаем со вторым углом прямоугольника (Рис. 7).

Рис. 7. Стороны двух углов

Теперь мы возьмем линейку и с ее помощью отмерим отрезки данной длины. С помощью той же линейки мы начертим четвертую сторону (Рис. 8).

Рис. 8. Чертеж сторон фигуры

У нас получилась геометрическая фигура. Давайте ее назовем. Назовем каждую вершину нашего прямоугольника (Рис. 9).

Рис. 9. Обозначение вершин прямоугольника

Мы построили с помощью линейки и угольника прямоугольник АВСD.

На уроке мы узнали, как отличить прямоугольник от других четырехугольников. Так же мы узнали, как построить прямоугольник на листе бумаге, используя угольник и линейку.

Список литературы