В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение:

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:

При определении вероятности события, по ее классическому определению, требуется выполнение определенных условий. Эти условия заключаются в равновозможности и несовместности событий, входящих в полную группу событий, вероятность которых надо определить. На практике не всегда можно определить все возможные варианты исходов, а тем более обосновать их равновозможность. Поэтому при невозможности удовлетворения требованиям классического определения вероятности используют статистическую оценку вероятности события. При этом вводится понятие относительной частоты появления события А , равной отношению , где т - число испытаний, в которых произошло событие А; п - общее число испытаний.

Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события А будет сколь угодно мало отличать от вероятности события А: .

Это равенство справедливо при неизменности условий, при которых проводится эксперимент.

Справедливость теоремы Бернулли была доказана и в многочисленных опытах по сравнению вероятностей, вычисленных классическим и статистическим методами. Так, в опытах Пирсона, по определению вероятности выпадения «герба» при выполнении 12 000 бросков, статистическая вероятность была равна 0,5016, а при 24 000 бросков - 0,5005, что показывает приближение к значению вероятности 0,5 по мере увеличения числа опытов. Близость значений вероятности, определенных различными способами, указывают на объективность возможности наступления этого события.

4. Теорема сложения вероятностей

Зная вероятности одних событий, можно вычислить вероятности других, если они связаны между собой. Теорема сложения вероятностей позволяет определить вероятность появления одного из нескольких случайных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (2)

Доказательство. Пусть п - общее число равновозможных несовместных элементарных исходов; m 1 - число исходов благоприятствующих событию А; т 2 - число исходов, благоприятствующих событию В. Так как А и В несовместные события, то событию А+В будет благоприятствовать m 1 +m 2 исходов. Тогда, согласно классическому определению вероятности:

Расширяя это доказательство на п событий, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А 1 , А 2 ,..., А п равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р(А 1 + А 2 +…+А п) = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) (3)

Из этой теоремы можно вывести два следствия:

Следствие 1. Если события А 1 ,А 2 ,..., А п образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) = 1. (4)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Доказательство. Противоположные события несовместны и образуют полную группу, а сумма вероятностей таких событий равна 1.

Пример 3 .

Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.

Решение:

Событие А - выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А) = . Событие В - выпадение цифры 3, вероятность этого события Р(В) = . События несовместные, поэтому

Пример 4.

Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из них 20 комплектов мужской одежды, 6 - женской и 14 - детской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда окажется не женской.

Решение:

Событие А - одежда мужская, вероятность

Событие В – одежда женская,

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равно­возможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением
(1.2.1)
где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой . Для достоверного события , поэтому
(1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой . Для невозможного события , поэтому
(1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события выполняются неравенства , или , то
(1.2.4)
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
(1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).

Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из ко­торых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение . Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементар­ных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего 6 2 = 36 равновозможных элемен­тарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

Пример 4 . Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каж­дой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) озна­чает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию D благо­приятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то

Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
,
где А -событие "число с одинаковыми цифрами".

Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч ?

Решение . В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 со­гласных. Буквы ч в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч ". Число благоприятствующих элементарных исходов: -для события А, - для события В, - для события С. Поскольку n = 12 , то
, и .

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается чис­ло очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой А. Событюо А благопри­ятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6 2 =36. Значит, искомая вероятность

Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного со­бытия. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натураль­ное число, причем , откуда . Следовательно,
, где А - событие "страница" имеет порядковый номер, кратный 5".

Пример 10 . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитыва­ется сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?

Решение . Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В - 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6 2 = 36. Значит, и .

Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков - более вероятное собы­тие, чем получить в сумме 8 очков.

Задачи

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Како­ва вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a красных и b голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а голубых и b красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 оч­ков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?

Ответы

1. 1/3. 2 . b /(a +b ). 3 . 0,2. 4 . (b -1)/(a +b -1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; p 2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Вопросы

1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?

Вычисление вероятности сложных событий

Пусть имеется урна с десятью шарами, из которых 6 белых и 4 черных. Тогда возможны следующие события:

А – вынуть белый шар из урны

В – вынуть черный шар из урны

Событие А состоит из событий А 1 ,А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 . Событие В состоит из событий В 1 , В 2 , В 3 , В 4 . Тогда процент белых шаров в урне определиться как отношение , а процент черных шаров .

Определение: Вероятностью события А наз. число, равное отношению числа исходов m благоприятствующих наступлению события А к общему числу всех элементарных исходов n.

- формула классического способа подсчета вероятности

Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей

Определение: Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р п = п !

Определение: Размещения – комбинации из т п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

Пример 1. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

Решение . В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

Пример 2. В урне 10 шаров: 6белых и 4черных. Из нее вынимают два шара. Какова вероятность того что: а) 2белых; б) 2черных; в) 1белый,1черный

Решение:

а) пусть А – вынуты 2белых шара. Найдем общее число всех элементарных исходов n.

б) пусть В – вынуты 2 черных шара

в) пусть С – вынут 1белый и 1черный шар

-> Теория вероятностей. Случайное событие, его частота и вероятность

Случайное событие, его частота и вероятность

Задача 1
В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
Решение . Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае А достоверно.

Задача 2
В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Решение . Синий шаров в урне нет, т.е. m=0, a n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие А - невозможное.

Задача 3
В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Решение . Здесь m=4, n=12 и P(A)=4/12=1/3.

Задача 4
В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара - белые?
Решение . Здесь число всех случаев n=C 2 10 =(10·9)/(1·2)=45. Число же случаев, благоприятствующих событию А, определяется равенством m=C 2 6 т.е. m=(6·5)/(1·2)=15.
Итак, Р(А)=15/45=1/3.

Задача 5
В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета - выигрыш по 50 руб., на десять билетов - выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов - выигрыш по 10 руб., на 165 билетов - выигрыш по 5 руб., на 400 билетов - выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не меньше 10 руб.?
Решение . Здесь m=1+4+10+20=35, n=2000, т.е. Р(А)=m/n=35/2000=0,0175.