1. В прямоугольном волноводе (см. рис. 3.7) могут распространяться волны электрического (Е ) и магнитного (H ) типов. Эти волны принято обозначать как волны Е mn и H mn . При этом величины m и n могут принимать любые положительные значения.

Отметим, что для волн класса H mn индекс m либо n может принимать значение нуль.

2. Критическая длина волны как для волн Е mn , так и для волн H mn , зависит от размеров поперечного сечения волновода, типа волны и может быть определена по формуле

, (3.8)

где a и b – размеры широкой и узкой стенок волновода.

3. Из формулы (3.8) следует, что в случае a > b величина l кр принимает наибольшее значение при m = 1, n = 0. Отсюда следует, что основным типом волны в прямоугольном волноводе является волна H 10 . При этом критическая длина волны H 10 равна удвоенному размеру широкой стенки волновода, т.е.

l кр = 2а . (3.9)

4. Векторы и волны H 10 в волноводе без потерь определяются следующими формулами:

, (3.10)

где Н 0 – любая постоянная, которая определяется мощностью источников, возбудивших волну,

. (3.12)

5. Из формул (3.10) и (3.11) видно, что в поперечном сечении волновода вектор направлен перпендикулярно широкой стенке волновода, вектор – параллельно. При этом амплитуда вектора меняется по закону . Она максимальна в точках посреди широкой стенки, и убывает до нуля при приближении к узким стенкам.

Поперечные составляющие векторов и имеют одинаковые фазы, а продольная составляющая вектора опережает их на 90 0 .

6. Подставим формулу (3.9) в соотношения (3.5), (3.6) и (3.7), тогда получим, что для основного типа волны прямоугольного волновода:

, , .

7. Коэффициент затухания волны Н 10 в стенках волновода можно рассчитать по формуле:

,

гдеR S – поверхностное сопротивление материала, из которого выполнен волновод, может быть определено по формуле:

.

8. Условие одноволнового режима в прямоугольном волноводе при а ³ 2b имеет вид

9. На поверхности стенок волновода протекают поверхностные токи, которые связаны с вектором магнитного поля следующей формулой:

где – орт внутренней нормали к стенкам волновода; – значение магнитного поля волны на поверхности стенок волновода.

На рис. 3.9. в качестве примера представлена структура токов (силовые линии вектора ) для волны Н 10 .

Рисунок 3.9 – Структура токов на стенках волновода для волны Н 10

Распределение тока по стенкам волновода важно знать как при конструировании самого волновода, так и при конструировании волноводных устройств. Большая плотность токов через ребро прямоугольного волновода требует хорошей проводимости этих участков. При создании на базе волноводов устройств различного назначения приходится прорезать в нем узкие щели. Щели не вызывают заметных потерь на излучение и не искажают структуру поля волны, если они расположены вдоль линий тока. Для волны Н 10 такими щелями являются поперечные щели на узких стенках и продольная щель, расположенная посредине широкой стенки волновода. На практике часто возникает задача создания излучающей щели, которая является элементом щелевой антенны или используется для ввода энергии в волновод. Излучающая щель хотя бы часть периода пересекается линиями тока.

10. Как отмечалось, в прямоугольном волноводе могут распространяться также высшие типы волн, которые могут быть использованы в тех или других волноводных устройствах. Структура поля высших типов волн имеет более сложный характер. В качестве примера на рис. 3.10 и рис. 3.11 представлены в поперечном сечении волновода структуры поля волн Н 11 и Е 11 .

3.5. Волны в круглом волноводе

Распространение волн в круглом волноводе удобно изучать в цилиндрической системе координат. В этой системе положение вектора в пространстве определяется координатами и соответствующими ортами . На рис. 3.12 представлено сечение круглого волновода радиуса .

Рассмотрим особенности распростране­ния волн в круглом волноводе.

1. В круглом волноводе, как и в прямо­угольном, могут распространяться волны электрического (Е mn ) и магнитного (Н mn ) типов. Для круглого волновода критические длины волн зависят от радиуса поперечного сечения волновода, типа волны и могут быть определены по следующим формулам:

где v mn – значение n -го корня функции Бесселя m -го порядка; – значение n -го корня производной функции Бесселя m -гo порядка, – радиус волновода.

Отметим также, что для круглого волновода индексам m и n , которые определяют тип волны, также можно придать четкий физический смысл. Именно, индекс n определяет число полуволн, укладывающихся от оси волновода до его стенки, а индекс m определяет периодичность поля по полярному углу j.

В табл. 3.1 приведены корни функций Бесселя и ее производной, а также критические частоты волн в круглом волноводе с воздушным заполнением.

Таблица 3.1 – Корни функций Бесселя и ее производной

2. Из табл. 3.1 и формул (3.13) видно, что критическая частота принимает наименьшее значение (l кр – наибольшее) при m = 1, n = 1. Отсюда следует, что основным типом волны в круглом волноводе является волна H 11 . При этом критическая длина волны H 11 определяется по формуле

3. Проекции векторов и волны Н 11 на орты цилиндричес­кой системы координат для случая волновода без потерь имеют вид

В соответствии с общепринятой классификацией типов колебаний волной типа H называется поперечно-электрическая волна, т.е. для таких колебаний продольная составляющая напряженности электрического поля E z = 0. Цифра 1 в записи H 10 означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют одну вариацию поля вдоль оси 0х . Цифра 0 означает, что все компоненты поля имеют постоянное распределение вдоль оси0y (0 вариаций).

Волна Н 10 называется основным типом колебаний для прямоугольного волновода. Это означает, что с помощью этого типа колебаний передаются сигналы с наибольшей длиной волны для фиксированных размеров поперечного сечения волновода а и b (a>b ). Наибольшая длина волны, которая может передаваться по волноводу, называется критической длиной волны λ кр. Для волны Н 10:

Приведем выражения, описывающие пространственную зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов электромагнитного поля для волны типа Н 10:

,

, (5.13)

.

Структура силовых линий векторов электромагнитного поля волны Н 10 приведена на рисунке 5.5 в 3-х проекциях.

Рисунок 5.5 – Прямоугольный волновод с волной H 10

На рисунке 5.6 приведены эпюры распределения компонентов поля в поперечном сечении волновода для волны Н 10 .

Рисунок 5.6 – Распределение компонентов поля по осям волновода

В выражения для полей (5.13) входит продольное волновое число h (коэффициент фазы):

. (5.14)

Входящая в (5.14) λ в называется длиной волны в волноводе:

. (5.15)

Следует отметить, что при изменении длины волны генератора λ 0 длина волны в волноводе λ в изменяется непропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве называется дисперсионной характеристикой волновода.

На рисунке 5.7 дисперсионная характеристика волновода изображена графически. Область λ 0 < λ кр является областью прозрачности .

При λ 0 << λ кр, λ в » λ 0 . Если λ 0 ® λ кр, то λ в ® ∞. При переходе λ 0 за граничные значения λ 0 в волноводе существует не бегущая волна, а колебание, экспоненциально затухающее вдоль продольной оси 0z .

Рисунок 5.7 – Дисперсионная характеристика прямоугольного волновода

При уменьшенииλ 0 в волноводе могут распространяться высшие типы колебаний (высшие «моды»). Ближайшими к основному типу колебания Н 10 являются высшие типы колебаний Н 20 () и Н 01 ().

Если b < 0,5 а , то область, где распространяется только основной тип волны Н 10 , определяется соотношением . На практике рекомендуются следующие использования допустимой полосы длин волн:

, . (5.16)

В качестве средней длины волны рабочего диапазона рекомендуется величина:

. (5.17)

Токи на стенках волновода. Распространение электромагнитной волны внутри волновода сопровождается наведением поверхностных электрических токов на его стенках. Плотность поверхностного электрического тока на идеально проводящих стенках волновода находится, исходя из граничных условий:

, (5.18)

где – внешняя нормаль к стенке волновода,

– напряженность магнитного поля у стенки.

Поскольку картина распределения силовых линий вектора напряженности магнитного поля в волне рассматриваемого типа известна, построение линий тока на стенка волновода не представляет затруднений: эти линии образуют семейство кривых, ортогональных семейству силовых линий напряженности магнитного поля (см. рисунок 5.5).

Силовые линии напряженности электрического и магнитного полей, также как и линии поверхностных электрических токов на стенке перемещаются вдоль оси волновода с фазовой скоростью:

, (5.19)

где с – скорость света.

Со скоростью V ф распространяется фронт волны внутри волновода. Передача же сигнала по волноводу происходит с так называемой групповой скоростью:

(5.20)

Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой и скорости света.

Мощность, переносимая по прямоугольному волноводу волной H 10 . Как видно из формул (5.13), поперечные составляющие векторов поля E y и H х находятся в фазе, откуда следует, что вектор Пойнтинга является величиной действительной и направленной вдоль оси 0z:

Усредненная за период колебания мощность, переносимая вдоль оси волновода, определяется как интеграл от вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода:

(5.21)

Выражение (5.21) дает возможность определить предельно допустимую мощность, передаваемую по прямоугольному волноводу. Наибольшая амплитуда E макс не должна превосходить определенного уровня, выше которого наступает электрический пробой среды, заполняющей волновод. Для сухого атмосферного воздуха при нормальном давлении E макс.проб = 30кВ/см. Отмеченная величина является приближенной оценкой.

Выделим в формуле (5.21) сомножитель:

, (5.22)

характеризующий удельную мощность, переносимую через единичную площадку. Если положить, что на центральной частоте рабочего диапазона волновода λ 0 /2а = 0.7, и подставить в выражение (5.22) предельно допустимую напряженность электрического поля, то для волны H 10 получим:

P уд. доп = 420кВт/см 2 . (5.23)

При проектировании волноводных трактов с высоким уровнем мощности вследствие возможных отражений вводят почти трехкратный запас, снижая указанный уровень до 150кВт/см 2 .

Характеристическое сопротивление волновода. По физическому смыслу характеристическое сопротивление линии передачи – это отношение некоторой электрической характеристики волнового процесса к магнитной. В теории волноводов характеристическое сопротивление определяется как отношение модулей поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей:

(5.24)

Для волны H 10 , подставляя значения E y и H x из (5.13), получим:

, (5.25)

где Z 0 = 120π = 377Ом.

Волновое сопротивление Z в волноводов не может быть определено однозначно, как это было сделано в случае с линией с волной типа Т . В соответствии с законом Ома волновое сопротивление может быть определено тремя способами: через мощность и эквивалентное напряжение, через мощность и эквивалентный ток и через напряжение и ток.

В прямоугольном волноводе с волной H 10 соответствующие волновые сопротивления записываются следующим образом:

где задается формулой (5.24).

Затухание волны H 10 в волноводе обусловлено потерями энергии в металлических стенках волновода. Погонное затухание волновода с воздушным заполнением:

(5.26)

где – проводимость материалов стенок.

Анализ формулы (5.26) показывает, что потери возрастают, во-первых, при за счет увеличения скорости колебаний между боковыми стенками волновода, во-вторых, при укорочении за счет уменьшения скин-слоя и увеличения поверхностного сопротивления стенок волновода. Минимум затухания поля при соотношении сторон поперченного сечения 2:1 наблюдается при .

Круглые волноводы

Применяются во вращающихся соединениях, в устройствах для получения волн с вращающейся поляризацией и в некоторых других случаях. Вследствие того, что в круглых волноводах возможно изменение направления поляризации в местах неоднородностей, они редко применяются в качестве основных линий передачи.

В круглых волноводах чаще других используются волны типов H 11 , E 01 и H 01 . Структура поля этих волн в поперечном сечении линии показана на рисунке 5.8 .

Рисунок 5.8 – Типы волн в круглых волноводах

Волна типа H 11 является основным типом колебаний в круглом волноводе. Критическая длина волны . По своим свойствам волна H 11 похожа на волну H 10 в прямоугольном волноводе.

Волна типа E 01 является наинизсшей из осесимметричных волн и находит применение во вращающихся сочленениях. Критическая длина волны .

Для обеспечения возможности распространения волн типа E 01 и исключения волн высших типов необходимо выполнять условие , где – критическая длина волны ближайшего высшего типа H 21 . При выполнении этого условия кроме волны E 01 в волноводе может распространяться волна основного типа H 11 .

Определенные перспективы имеет передача электромагнитной энергии по круглому волноводу с помощью волны H 01 . Это обусловлено тем, что с повышением частоты затухание волны этого типа уменьшается. Критическая длина волны . Волна типа H 01 распространяется, а высшие типы волн исключаются, если выполняется условие . При этом в волноводе могут распространяться низшие типы волн H 11 , E 01 , H 21 , а так же волна типа E 11 . Таким образом, при использовании волны типа H 01 необходимо принимать специальные меры к чистоте возбуждения волны H 01 .

Полосковые линии

Полосковые линии получили в последние годы широкое применение в технике СВЧ. В этих линиях передачи токоведущие элементы выполнены в виде тонких металлических полосок или пленок, разделенных слоями диэлектрика – подложкой (относительная диэлектрическая проницаемость материала подложки ). Относительно высокая диэлектрическая проницаемость подложек позволяет заметно уменьшить поперечные размеры полосковых линий. Конструкции устройств СВЧ из полосковых линий выполняются с использованием современных тонкопленочных технологий и хорошо сопрягаются с печатными схемами низкочастотных узлов, устройств электроники и связи.

Вид поперечного сечения открытой полосковой линии и приблизительная структура поля показаны на рисунке 5.9, где b – ширина полоски, h – толщина подложки, – относительная диэлектрическая проницаемость материала подложки.

Рисунок 5.9 – Открытая полосковая линия. Волна квази-T

Строгий анализ электромагнитного поля полосковых линий показывает, что основной тип колебаний линии передачи является гибридным (). Однако при можно пренебречь продольными составляющими поля. Такая волна называется квази-Т волной .

Электромагнитные поля полосковой линии существуют и в подложке и над подложкой в свободном пространстве. Для определения скорости распространения волны в полосковой линии вводится понятие эффективной диэлектрической проницаемости:

(5.27)

Приближенное выражение для определения волнового сопротивления волны квази-Т в полосковой линии передачи:

(5.28)

Потери в полосковой линии складываются из потерь в металле, диэлектрике и потерь на излучение. Для защиты линий от внешних электромагнитных воздействий в конструкцию линий вводятся экраны или линия помещается в металлические кожухи. В таком коробе удобно поместить две или несколько параллельных линий, которые называются связанными. Такие конструкции используются для построения ответвителей мощности, частотных фильтров, делителей мощности и др.

Световоды

В световом диапазоне волн в качестве волноведущих устройств используются так называемые световоды, которые являются основой волоконно-оптических линий связи (ВОЛС). Световоды являются конструктивной модификацией диэлектрических волноводов. Волоконный световод состоит из диэлектрического сердечника и оболочки с диаметрами и и коэффициентами преломления и . При передачи волн по световодам используется явление полного внутреннего отражения на границе раздела диэлектриков с разными коэффициентами преломления (сердечник и оболочка). В качестве диэлектриков, из которых выполняются составные части линий, используются различные типы стекла, легированные германием, фосфором или бором. По световоду распространяются гибридные типы волн. Возможны несколько режимов работы линий.

Одномодовые режимы существуют в линии с = 3-5 мкм, = 50 мкм при мкм. На рисунке 5.10 показаны сечения световода и пути распространения волн.

Рисунок 5.10 – Простейший световод. Распространение волны внутри линии

Основным недостатком одномодовых световодов являются их малые поперечные размеры и заметная дисперсия электрических характеристик линии передачи. Одномодовые световоды используются для передачи большого объема информации на большие расстояния (несколько сотен километров).

Для передачи информации на расстояния в несколько десятков километров берутся многомодовые световоды с = 50 мкм и =120 мкм. Из-за значительных размеров (по сравнению с длиной волны) в световоде могут распространяться множество типов колебаний. Каждый из модов (типов колебаний) распространяется под определенным углом к границе раздела сердечник-оболочка.

Для сохранения достаточно больших диаметров сердечника и для уменьшения явления дисперсии используются так называемые градиентные волноводы с = 50 мкм, = 80 мкм. В таком световоде применяется сердечник, коэффициент преломления которого неоднородный и уменьшается по определенному закону от оси волновода к границе сердечник-оболочка. Наиболее часто на практике используются градиентные волокна с параболическим законом изменения коэффициента преломления.

Объемные резонаторы

В диапазоне СВЧ в качестве колебательных систем используются объемные резонаторы . Простейшим типом объемного резонатора является замкнутая металлическая полость. Чаще всего резонаторы – это отрезки коаксиальных или волноводных линий передачи, закороченных с двух сторон. Основными электрическими характеристиками являются резонансная частота и добротность Q . Для коаксиального резонатора с воздушным заполнением резонансная частота определяется из условия, что вдоль резонатора укладывается целое число полуволн:

Если для получения резонатора используется отрезок прямоугольного волновода с волной H 10 , то резонансная длина волны определяется формулой:

где а – размер широкой стенки волновода; l – длина резонатора.

Аналогично может быть определена резонансная длина (частота) резонатора, построенного на базе круглого волновода.

Реальные резонаторы имеют определенную амплитудно-частотную характеристику, из которой определяется так называемая добротность:

(5.29)

где – полоса пропускания характеристики по уровню 0.707 по полю, или 0.5 по мощности.

Добротность, определенная формулой (5.29), называется собственной добротностью . Подключение объемного резонатора к внешним устройствам через элементы связи приводят к снижению реальной добротности, которая называется нагруженной добротностью .

В качестве элементов связи с резонатором используются штыри и петли, которые вводятся в резонатор через малые отверстия в пучности напряженностей электрического или магнитного поля.

Контрольные вопросы:

1 Дать определение линии передачи.

2 Указать разницу между регулярной и нерегулярной линиями.

3 Выбрать признак классификации типов волн в линии передачи.

4 Конструктивные особенности линий, способных поддерживать волны типа T .

5 Физический смысл числовых индексов и буквенных обозначений типов колебаний в прямоугольных и круглых волноводах.

6 Назвать причины появления тепловых потерь в коаксиальной линии.

7 Пояснить необходимость экранирования линий передач.

8 Объяснить различия в определении характеристического и волнового сопротивлений.

9 Резонатор образован отрезком прямоугольного волновода и работает в режиме колебаний H 10 . Пояснить смысл буквенных и цифровых обозначений.

10 Сформулировать правило определения поверхностных токов на стенках волноводов. Привести пример.

Распространение электромагнитных волн в волноводах

Эффективная передача сигналов с помощью электромагнитных волн возможна с использованием так называемых направляющих структур. Простейшая направляющая структура – это двухпроводная линия, волновые процессы в которой были описаны в одном из предыдущих разделов. Особенностью волновых процессов в двухпроводной линии является излучение электромагнитной энергии в окружающее пространство, что часто является неприемлемым, особенно при использовании электромагнитных волн высокой частоты. В радиотехнике и технике СВЧ нашли широкое применение волноводы. Волновод представляет собой полую тонкостенную трубку с заданным поперечным сечением. Стенки волновода могут проводить электрический ток, форма и размеры поперечного сечения волновода могут изменяться вдоль оси волновода. Ось волновода может быть пространственной кривой. Основные задачи теории волноводов: какие волны могут распространяться в конкретном волноводе, каким образом возбуждаются электромагнитные волны в волноводе, каким образом происходят переходные процессы в волноводе. Основы теоретического описания распространения электромагнитных волн в волноводе были разработаны в пятидесятые - шестидесятые годы прошлого века, значительный вклад в развитие теории волноводов внесли российские учёные.

Полное описание волновых процессов в рассматриваемых устройствах требует привлечения методов математической физики, а выполнение конкретных расчётов в современных условиях немыслимо без привлечения вычислительной математики и компьютерных технологий. В настоящем пособии рассмотрена проблема определения типов гармонических электромагнитных волн в достаточно длинном прямолинейном волноводе произвольного поперечного сечения с бесконечно проводящими стенками. Для случая волновода с прямоугольным поперечным сечением и волновода с круглым поперечным сечением рассмотрение доведено до конкретных численных результатов, при этом читателю предоставляется возможность освоить логическую последовательность приёмов построения физико-математической модели явления и её анализа.

1. Бегущие гармонические электромагнитные волны в волноводе произвольного поперечного сечения.

Рассмотрим прямолинейный волновод, ось которого направлена вдоль координаты z декартовой системы координат, а поперечное сечение представляет собой односвязную область D(x,y), граница которой является простым достаточно гладким замкнутым контуром. Оговоримся, что будем рассматривать правую систему декартовых координат (x,y,z ). Предположим, что вектор напряжённости электрического поля и вектор напряжённости магнитного поля внутри волновода могут быть описаны зависимостями

, . (1)

Соотношения (1) описывают гармонические волны, бегущие в положительном направлении оси z , амплитуда которых зависит только от поперечных координат точки наблюдения. Величина является круговой частотой электромагнитной волны, а величина - продольным волновым числом, определяющим длину волны в продольном направлении. Заметим, что волны (1) не подпадают под определение «плоская волна», для которой требуется специфическая зависимость амплитуды зависимости (1) от поперечных координат. Заметим также, что ниже рассматриваем проблему «установившихся колебаний», т.е. физическую ситуацию, в которой зависимость исследуемых величин от времени предопределена – гармоническая форма колебаний задана для любого промежутка времени. Последнее значительно упрощает математическую теорию, поскольку позволяет рассматривать «задачу без начальных условий».

В рамках линейной электродинамики, если среда внутри волновода является однородной, изотропной и непроводящей (диэлектрик), процесс распространения электромагнитной волны вида (1) описывается системой уравнений

, . (3)

Система уравнений (2)-(3) является частым случаем системы уравнений Максвелла, при выводе уравнений (2)-(3) учтен гармонический характер волны. При вычислении результатов пространственных производных в системе уравнений (2)-(3) учтём известные тождества векторного анализа

, (5)

и то обстоятельство, что амплитуды искомых величин (1) зависят только от поперечных координат. В итоге получаем систему дифференциальных уравнений частных производных в координатной форме:

(6)

Система уравнений (6) является основой для рассмотрения частных случаев распространения электромагнитной волны в прямолинейном волноводе произвольного поперечного сечения.

Интересно отметить одну существенную особенность системы уравнений (6). Ось z по условию является направлением распространения электромагнитной волны. При рассмотрении электромагнитных волн в неограниченной среде мы неоднократно убеждались, что электромагнитная волна является поперечной волной. Но если в системе уравнений (6) положить и , то останется система уравнений

которая допускает только две возможности: или решение для амплитуд электромагнитного поля тривиально, или величина является отрицательной величиной, т.е. является мнимой величиной, а рассматриваемые нами электромагнитные волны перестают быть бегущими волнами. Обе эти возможности не удовлетворительны с физической точки зрения. Остаётся смириться с тем, что в волноводах с поперечным сечением конечных размеров могут существовать не поперечные волны.

Система уравнений (6) может быть «разбита» на две независимые системы, в одной из них выполнено условие , а во второй – наоборот . Рассмотрение частных случаев проще, чем рассмотрение явления в целом, общее решение представляет собой суперпозицию частных решений в силу линейности исходной теории.

1. Электромагнитная волна первого типа (волна Е-типа).

Рассмотрим физическую ситуацию, для которой выполнено условие . Система уравнений (6) приобретает при этом вид:

(7)

Из системы уравнений (7) следует уравнение Гельмгольца для амплитуды продольной компоненты напряжённости электромагнитной волны:

(8)

Параметр в уравнении (8) определён соотношениями (9):

. (9)

Величина n в определениях (9) является величиной показателя преломления, с – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме (бесконечное пространство), - модуль волнового вектора электромагнитной волны в вакууме. Как получено уравнение (8)? Второе уравнение системы (7) надо продифференцировать по переменной у , четвёртое уравнение системы (7) надо продифференцировать по переменной х и результаты сложить с учётом возможности исключения других амплитуд с использованием остальных уравнений системы (7). При этом используется условие обращения в нуль дивергенции напряжённости электрического поля и пятое уравнение системы (7). Привлекательность полученного результата состоит в том, что мы получили уравнение для одной искомой функции и это уравнение – уравнение канонической формы.

Легко проверить, что все остальные амплитуды явным образом выражаются через функцию :

(10)

Например, первое из соотношений (10) получается, если в четвёртое уравнение системы (7) подставить первое уравнение той же системы и воспользоваться определениями (9).

Все уравнения электродинамики удовлетворены, если функция удовлетворяет уравнению (8) и справедливы определения (9) и зависимости (10). Однако построение физико-математической модели нельзя считать законченным. Необходимо рассмотреть систему условий на границе раздела «диэлектрик - идеальный проводник», вытекающих из интегральной формы уравнений электродинамики.

На рис.1 показано поперечное сечение рассматриваемого волновода, ориентация составляющих вектора напряжённости электрического поля вдоль осей х и у, ось z направлена перпендикулярно плоскости рисунка и «на нас», направление единичного вектора внешней нормали к элементарному участку контура и положительное направление обхода контура – единичный вектор касательного направления . Пусть угол является углом между направлением нормали и

направлением оси х декартовой системы координат. На правой части рисунка показан вспомогательный контур, используемый ниже в теореме о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля при формулировке граничных условий на боковой поверхности волновода.

Поскольку материал стенки волновода считается бесконечно проводящим, напряжённость электрического поля в стенке волновода равна нулю. Для компонент вектора напряжённости электрического поля на границе со стенкой волновода потребуем выполнения условий:

Физически необходимость условия (12) становится очевидной, если принять во внимание соотношения (10). Математически условие (12) является следствием условия (11). Необходимое условие непрерывности касательных компонент вектора напряжённости электрического поля при переходе через границу раздела двух сред выполнено.

Условие непрерывности нормальных компонент вектора магнитной индукции должно быть выполнено с учётом обращения в нуль вектора магнитной индукции в материале стенки волновода: если вектор напряжённости электрического поля в стенке волновода равен нулю, то вектор магнитной индукции тоже равен нулю: напряжённости электрического и магнитного полей в электромагнитной волне линейно связаны друг с другом и эта связь является однородной. Вычислим нормальную к контуру компоненту напряжённости магнитного поля (напомним, что всюду): . (13)

Республика Казахстан

Алматинский институт Энергетики и Связи

Кафедра Радиотехники

Контрольная работа

По дисциплине: Теория передачи электромагнитных волн

Прямоугольный волновод

Выполнил: ст. гр. БРЭ-07-9

Джуматаев Е. Б.

Зачетная книжка № 073013

Принял: доцент Хорош А.Х.

Алматы 2009

Задание

1. Построить амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики отрезка волновода длиной L в заданном диапазоне длин волн.

2. Изобразить картину силовых линий электромагнитного поля всех типов волн, которые в этом диапазоне длин волн могут участвовать в переносе активной энергии. Построить зависимости их продольных составляющих от поперечных координат. Привести картины распределения плотности поверхностного тока, соответствующего распределению поля этих типов волн на стенках волновода.

3. Во сколько раз изменится длительность импульса прямоугольной формы на выходе волновода по сравнению со входом, если частота заполнения импульса равна центральной частоте рабочего диапазона волновода.

Исходные данные из таблиц 3-5:

Амплитуда поля

Длина отрезка L, м: 15

Материал стенок: медь

Тип волновода: □ (прямоугольный)

Характерные размеры волновода, мм: 28.5x12.6

Рабочий диапазон

Длительность импульса, нс: 1

Учитывать, что независимо от количества мод, участвующих в переносе энергии по волноводу, мощность генератора не меняется (можно принять равенство амплитуд всех мод).

Задание 1

Рис. 1. Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 2. Фазо-частотная характеристика

Задание 2

волновод электромагнитный поле импульс

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения.

При падение плоской волны с параллельной поляризацией на идеально проводящую плоскость, структуры полей электрического и магнитного векторов Магнитный вектор с единственной проекцией H y чисто поперечен, в то время как электрический вектор имеет и поперечную проекцию E x , и продольную проекцию E y . Неоднородные плоские волны такой структуры принято называть Е-волнами .(131 стр.)

При падении плоской волны с перпендикулярной поляризацией на идеально проводящую плоскость электрическое поле имеет единственную отличную от нуля проекцию

Характер зависимостей проекций векторов электромагнитного поля волн Е- и Н-типов вдоль продольной координаты z и поперечной координаты х совершенно различен: по оси z устанавливается бегущая, а по оси х - стоячая волна. Чтобы учесть эту особенность рассматриваемого волнового процесса, вводят два параметра: продольное волновое число (7.18-7.20)

и поперечное волновое число ,

такие, что

при любом угле падения

Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, когда

Из приведенных рассуждений следует, что в критическом режиме коэффициент фазы

Отсюда получается формула для вычисления критической длины волны (8.29)

Где, a и b – размеры волновода, числа т и п называют индексами волны данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн, возникающих внутри волновода вдоль координатных осей х и у соответственно. Поскольку индексы могут быть любыми, в прямоугольном металлическом волноводе возможно раздельное существование сколь угодно большого числа волн типа Е тп. Однако, волны типа E 0n и E m0 не существует. Для волн типа Н тп , также, справедлива формула (4).

Значит, для критической длины волны должно выполнятся следующее условие, при котором поле представляет собой распространяющуюся волну

Или, подставив значения рабочего диапазона и размеры волновода, получим

Условие выполняется, только при m=1 и n=0 (

Рис. 4. Структура силовых линий векторов электромагнитного поля типа H 10 в прямоугольном волноводе

Длину волны в волноводе можно найти преобразовав формулы (3) и (4):

Это равенство показывает, что при изменении длины волны генератора

Зависимость длины волны в волноводе от длины волны генератора показано на рис. 3.

9. Направляемые электромагнитные волны. Направляющие системы

Под направляющей системой понимают устройство, ограниченное в двух измерениях и осуществляющее передачу ЭМ энергии в третьем измерении. Волны, которые распространяются в таких направляющих системах получили название - направляемые электромагнитные волны. Такие направляющие системы называются волноводами.

9.1. Недостатки обычных линий передачи преимущества волноводов

Широкое развитие получили двухпроводные и коаксиальные линии еще в прошлом веке.

Недостатки: В 2-х проводных и коаксиальных линиях резко возрастает затухание энергии с ростом частоты. Факторы:

В двухпроводных линиях при 1 м и короче потери такие больше, что ее нецелесообразно применять; на ген = 3 м, затухание в коаксиальном кабеле в среднем 0,2 дБ/м ген = 10 см затухание 2 дБ/м, т.е. ничего не дойдет от передатчика к антенне.

Из двухпроводной линии можно сделать волновод, но так не делают на практике, только на бумаге, как в детском конструкторе. Входное сопротивление отрезка длиной имеет бесконечно большое значение:

Если подключить отрезок к линии, то он никак не повлияет, т.к. . И так сколько угодно можно подключить таких отрезков. Получили волновод.

Достоинства:

1. Трубка жесткая. Простая конструкция.
2. Фактор диэлектрических потерь исключается.
3. Фактор излучения - исключается.
4. Плотность токов значительно меньше, т.к. они распределены по всем стенкам.
5. Можно передать большие мощности.

Академик Капица подсчитал, что в трубе (круглой) диаметром 1 м. можно передать всю мощность Красноярской ГЭС.

9.1.1. Типы волноводов

Различают 2 типа:

Односвязные волноводы,
- двухсвязные волноводы.

Порядок связности определяется тем, что поле распределено в какой-то области и не с чем не связано.

Используются и сложные формы сечения.

Все это односвязные волноводы.

Волны могут распространятся вдоль диэлектрических стержней. Их называют диэлектрическими волноводами, а в оптике - световодами. Металла вообще нет.

К 2-х связным системам относится коаксиальный волновод. Поле определяется уже двумя проводниками.

9.2. Особенности направляемых ЭМВ

Рассмотрим идеально проводящую плоскость, на которую под некоторым углом падает плоская ЭМВ.

Выясним, как распределено ЭМП над плоскостью, если на нее падает ЭМВ. В т.1 поступает отраженная волна и додающая. В каждой точке над металлической плоскостью ЭМП определяется суперпозицией полей падающих и отраженных. Результат суперпозиции зависит от того, в каких фазах эти поля складываются. Там где фазы одинаковы, будет max, где в противофазе будет min. Из граничных условий. Касательная составляющая вектора Е должна обращаться в 0, поэтому вторую плоскость располагаем в нулях. Физическая основа передачи энергии по волноводам связана с многократным отражением ЭМВ от идеально проводящих стенок. В волноводах могут распространяться ЭМВ с различной структурой поля. Угол j зависит от частоты. С уменьшением частоты угол j уменьшается.

Из качественного рассмотрения. В волноводе существует минимальная частота (критическая f кр). Ниже этой критической частоты энергию по волноводу передавать нельзя f = f кр ( = 0) .

Пример: Если по трубе подать световые волны в критическом режиме, то в конце трубы будет темно. При f f кр энергия не передается.

Покажем, что V ф всегда > С.

Перемещение фронта одинаковых фаз не совпадает с осью волновода. Почему так происходит? Волна идет под углом многократно отражаясь.

Направление распространения волны из т. М 1 в т. М 2 показано. Волна распространяется со скоростью света. В т. М 1 был 0, через длину волны в т. М 2 тоже 0 (расстояние равное ). За это же самое время вдоль оси расстояние будет пройдено другое (фазовый фронт тот же). Чтобы в т. М 3 прийти с той же фазой волне надо двигаться с большей скоростью.

Вывод: в всегда > , V ф всегда > С.

При распространении ЭМВ всегда появляется продольная составляющая либо Е либо Н.

9.3. Волновые уравнения полей в волноводе произвольного сечения

Стенки трубы идеально проводящие. Среда с параметрами , неизменна. Генератор, источник сторонних полей далеко вынесен. Тогда в любой точке этого волновода справедливы уравнения Максвелла:

Под F понимаем любую проекцию (Е х Е я и т.д.).

Как можно решить такое уравнение? Много методов. Один из наиболее удобных - метод разделения переменных по Фурье. Идея метода Фурье заключается в том, что решение ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной из координат. Энергия в волноводе распространяется вдоль оси Z, это обстоятельство мы учтем, выделив функциональную зависимость от Z.

F (x,y,z) = f (x,y) Ф (z) (9.3.2.)

Поскольку решение записано в такой форме, оно должно удовлетворять уравнению.

Проверка:

Ф (z)()+ Ф (z)( ) + f (x,y) ()+ k 2 f (x,y) Ф (z) = 0

Разделим все члены уравнения на коэффициент при k 2

(f (x,y) Ф (z))

+ = - k 2

+ =-k 2 s (9.3.4.)

Индекс “S” означает, что поля изменяются только в поперечных координатах. Это поперечное волновое число.

2 - продольное волновое число

k 2 = k 2 s + 2 (9.3.5.)

для общего случая

Общее решение представляет собой два волновых процесса с амплитудами А и В и одинаковым распределением поля в поперечном сечении (f (x,y)) и распространяющихся в противоположных направлениях. Поскольку волновод бесконечно длинный, отраженной волны нет, В = 0. Нет физических условий для возникновения отраженной волны. Общая запись полей для произвольного сечения волновода:

Для конкретизации задаются , Е (х,у) Н (х,у)

В общем виде уравнения не решаются.

Установим связь между в свободном пространстве, в и кр.

В свободном пространстве волновое число:

k = (9.3.10.)

Продольное волновое число = (9.3.11.)

Поперечное волновое число k s = (9.3.12.)

k 2 = k s 2 + 2 () 2 = () 2 + () 2 (9.3.13.)

В = (9.3.14.)

если умножить на f правую и левую часть уравнения (9.3.14) получим:

V ф = в f = (9.3.15.)

9.4. Классификация ЭМВ

В основе классификации лежит критерий - наличие или отсутствие одной из продольных составляющих. Классификация волн позволяет упростить анализ волн в волноводе и записать все составляющие полей через одну составляющую. Установим связь между поперечными составляющими полей и продольными. Для этой цели спроектируем уравнения Максвелла на оси координат:

Проекции на оси х, у, z:

Начнем с уравнения (9.4.2.). Из поперечных составляющих имеем Е х и Н у. Эти же составляющие имеем в (9.4.6.). Из (9.4.2.) находим Н у и подставляем в уравнение (9.4.6.). В результате подстановки составляющие Е х, Е у, Н х, Н у будут выражены следующим образом:

Эти соотношения показывают, что отличные от 0 поперечные составляющие полей в волноводе имеют место, когда одна из продольных составляющих обращается в 0. Различают 4 класса полей.

Первый класс - Электрические волны.

Для этого класса Е z 0 , H z = 0 (Е - волны)

Второй класс - Магнитные волны.

Для этого класса H z 0 , E z = 0 (Н - волны)

Третий класс - Поперечные волны, Т - волны.

H z = 0 , E z = 0 (пример плоская ЭМВ)

Четвертый класс - Гибридные волны.

E z 0 , H z 0 (такие волны характерны для световода).

Конкретизируем связь поперечных и продольных составляющих для каждого класса.

9.4.1. Е - волны

Е z 0 , H z = 0

Смысл классификации:

Для расчета полей достаточно найти продольную составляющую.

9.4.2. Н - волны

E z = 0 , H z 0

= Z c H - называют характеристическим сопротивлением Н - волны.

Аналогично для волны типа Е:

= Z c E = - характеристическое сопротивление волны типа Е. (9.4.2.2.)

Что произойдет, если Е z = 0, H z = 0 ? “Т - волна”. Отличные от 0 поперечные составляющие могут существовать только в одном случае, когда k s = 0, тогда неопределенность (0/0) может дать при раскрытии конечное число.

k s = 0 кр = =

Волна “Т” существует в таких линиях передачи, в которых может поддерживаться устойчивое распределение электрических и магнитных полей в поперечном сечении волновода.

Пример: “Т” волна в коаксиальной линии

Коаксиальная линия обладает таким свойством. Существует “Т” волна. По такой линии можно передать и постоянный и переменный ток.

Если будет заряд, он создает поле, которое растекается по поверхности.

Убираем внутренний проводник. Пустая труба. Переменное электрическое поле будет порождать переменное магнитное поле. В поперечном сечении устойчивое распределение полей создать нельзя. В полых трубах волны “Т” распространяться не могут, а только Е, либо Н. В двух связных системах “Т” волны.

9.5. Прямоугольный волновод

Это металлическая труба прямоугольного сечения.

Задача: 1) найти распределение полей.
2) найти кр

Знаем, что все поля в волноводе можно рассчитать через продольную составляющую.

“Н” - волны в прямоугольном волноводе.

Требуется найти H z:

1) H z = ? 2) E x , E y , H x , H y - находим через H z все остальные. 3) конкретизация полей по выполнению граничных условий.

Составляющая Н z удовлетворяет волновому уравнению.

const разделения будем называть поперечными волновыми числами.

3) Запишем граничные условия для данной задачи.

а) E x = 0 при у = 0 ; y = b

б) Е у = 0 при х = 0 ; x = a

E x (A sin k x x + B cos k x x) k y (C cos k y y - D sin k y y) (9.5.11.)

Накладываем граничные условия:

const D нельзя приравнивать к 0, т.к. исчезнет поле H z , значит sin k y y = 0

k y b = n ; k y =

n = 0, 1, 2 . . . (9.5.13.)

3) E y таким же образом можно показать, что const А = 0 из условия

Е у = 0 при х = 0 (9.5.14.)

4) Е у = 0 при х = а

k x = (9.5.15.)

m = 0, 1, 2 . . .

H z (x,y) = H 0 cos () x cos () y . е j(w t-g z) ; H 0 = B D (9.5.16.)

В рамках задачи нельзя определить Н 0 , т.к. не задана мощность волны на входе. Окончательно другие составляющие полей.

Составляющие Н х, Н у, Е х, Е у умножаем на е j(w t-g z) (9.5.17.)

Соотношения (9.5.5.), (9.5.13.), (9.5.15.) позволяют определить кр.

Кр =; k s 2 = k x 2 + k y 2 = () 2 + () 2

Каждому набору значений индексов m и n соответствует свое распределение поля в волноводе, своя критическая длина волны Н mn . Минимальные значения индексов если m = 0, n = 0, но поля нет. Одновременно индексы не могут быть равны нулю, по частям возможно.

m = 0, 1, 2, 3 . . .

n = 0, 1, 2, 3 . . .

Индексы m и n определяет распределение поля по координатам х, у. С учетом периодичности функции cos, число m имеет смысл - количество полуволн, укладывающихся вдоль а, n - число полуволн, укладывающихся вдоль b. Условием распространения волны в волноводе, является ген < кр. В волноводе бесчисленное множество волн, но не все эти волны могут распространяться. Распространяются только те, которые удовлетворяют условию: ген < кр

В – длина волны в волноводе.

Кр зависит от размеров поперечного сечения а и b, и значения индексов m и n. Максимальная кр будет для индексов m = 1, n = 0, т.е. волны, у которой значения индексов минимальны.

a > b ; m = 1 , n = 0

Максимальной кр, обладает волна Н 10 * кр = 2а. У всех других волн критическая длина волны меньше, волну Н 10 называют основной волной в волноводе. Она наиболее часто используется.

Выделим ось, где откладываем .

Диаграмма спектра волн в прямоугольном волноводе.

Если ген > 2a, то волны не распространяются.

m = 1, n = 0 Н 10 кр = 2а

m = 2 , n = 0 H 20 , кр = а

m = 0 , n = 1 H 01 , кр = 2b

Стандартный волновод 2b < a для волны Н 10:

a ген 2a - одноволновый режим.

Диапазон использования одноволновой области 80 - 85 %. Не рекомендуется подходить к критическому режиму (справа и слева).

Предположим, имеем прямоугольный волновод, на входе этого волновода имеется генератор СВЧ диапазона и возбудитель волны.

Возбудитель может возбудить любую волну (Н 10 , Н 20 и т.д.). На выходе стоит похожее устройство, принимающее сигнал индикатора. Эксперимент заключается в следующем: генератор перестраивается в широком диапазоне частот.

Если ген > 2а, индикатор ничего не показывает, энергия не идет по волноводу.
ген 2а Н 10
ген < а Н 20 часть энергии идет на волне Н 20
(условно из 10 Вт генер. 8 Вт передается волной Н 20)
ген < 2b H 01

Специалисту нужно, чтобы была одна волна, для этого нужно уменьшать поперечное сечение волновода (частота генератора остается неизменной).

В реальных условиях нереально создать условия, когда волны существуют в волноводе независимо друг от друга. Многоволновое распространение нежелательно, т.к. информация из канала в канал передается. Стараются избежать взаимной связи между волнами и использовать одноволновый режим. Волна - mode - по английски. Говорят одномодовый, многомодовый.

9.5.1. Основная волна в прямоугольном волноводе. Преимущества волны Н 10

1. Имеет место максимальный диапазон одноволновой передачи.
2. При передаче энергии на волне Н 10 потери энергии волны минимальны.
3. Поперечные размеры волновода наименьшие при передаче волны типа Н 10 .

Выпишем составляющие волны Н 10

Восстановим из уравнений распределение силовых линий Е и Н поля для основной волны. Рассмотрим поперечное сечение волновода.

Электрическое поле волны Н 10 имеет одну составляющую Е у, она max в середине волновода.

Поле Е направлено от одной стенки к другой. Магнитное поле имеет 2 составляющие Н х и Н z .

У боковых стенок волновода Н Z максимальна. В силу непрерывности линий магнитного поля Н z замыкается через Н х (Н z переходит в Н х). Эта картинка перемещается в волноводе со скоростью:

9.5.2. Токи в стенках волновода

В силу закона электромагнитной индукции переменное магнитное поле вблизи проводников возбуждает электрический ток. Переменное магнитное

поле вблизи стенок будет создавать токи проводимости. Посмотрим как протекают токи? Знание токов позволяет решить 2 задачи:

1. Рассчитать потери в волноводе.
2. Определить как осуществить разрез стенок, чтобы из волновода извлечь энергию, либо наоборот, не нарушать распределения токов.

Установим связь между плотностью поверхностных токов и напряженностью магнитного поля. Разберем простейший случай.

Вблизи стенки волновода магнитное поле всегда имеет только касательную составляющую. Применим закон

полного тока к контуру, часть которого находится в металле, часть нет.

Определим по частям:

Предположим контур мал, Нt всегда перпендикулярна СВ, АD. Участок АВ находится в глубине металла. В силу поверхностного эффекта токи поверхностные быстро затухают. Значение магнитного поля на участке ВА очень мало. Этот интеграл обращается в 0.

Для малых АВСD

Плотность поверхностного тока числено равна касательной составляющей магнитного поля и они взаимно перпендикулярны.

Чтобы восстановить распределения токов надо воспользоваться разверткой.

Составляющая Н х порождает ток J z . В широкой стенке 2 тока, продольный J z , поперечный J y . В боковой стенке поперечные токи J y .

Н х J z , H z J x

Если щель в волноводе пересекает токи, то такая щель будет хорошо излучать, если щель вдоль токов, то она не излучает. Щели 1, 2 - не излучают; 3,4 - излучают.

9.5.3. Передача энергии по волноводу

Рассмотрим процесс передачи энергии на примере основной волны Н 10:

П z ср = Е х Н у * - Е у Н х * = - Е у Н х. Энергия, передаваемая вдоль волновода определяется только поперечными составляющими полей. (9.5.3.1.)

E y H x * =() 2 H 0 2 Z c H sin 2 () (9.5.3.)

Вычислим теперь среднюю мощность:

средняя мощность, передаваемая в волноводе. (9.5.3.3.)

Передаваемая мощность по волноводу зависит от амплитуды продольной составляющей магнитного поля Р ср Н 0 2 . Мы можем увеличить передаваемую мощность, увеличивая размеры волновода. Найдем Н 0:

H 0 = (9.5.3.4.)

Эта составляющая числено равна поперечному току в стенках волновода. Она возбуждает в стенках волновода ей ток.

Н 0 = | J x| = | J y |

E y = - () Z c H H 0 sin

E y0 = Z c H () . > (9.5.3.5.)

Напряженность электрического поля возрастает с ростом передаваемой по волноводу мощности.

Е проб max 30 для воздуха

a x b = 2,3 x 1,0 см Р ср max 1 Мвт

При проектировании различных устройств обязательно делают запас прочности:

Р раб = (0,2 ¸ 0,3) Р ср max

Один из путей повышения уровня передаваемой мощности связан с заполнением его средой, имеющей более высокое значение пробивного напряжения, чем у воздуха.

9.5.4. Потери энергии в волноводе

Можно выделить 3 основных фактора, которые несут ответственность за потери энергии:

1. Конечная проводимость стенок волновода. За счет этого часть токов в стенках волновода преобразуется в тепло, греет волновод (омические потери).
2. Несовершенство среды, которая заполняет волновод (диэлектрические потери).
3. Связан с нарушением однородности стенок. Из-за непрерывной эксплуатации или других факторов образуются какие-то щели и через них проходит излучение энергии.

Любая из этих причин приводит к тому, что - постоянная распространения величина комплексная, как и в случае плоских волн.

Фазовая постоянная

Коэффициент затухания.

Предположим, что имеется отрезок волновода.

На входе Р 0 , на выходе Р вых. Сколько теряется энергии?

В случае, когда параметр << 1, тогда:

Основным фактором потерь являются омические потери.

Нужно собрать все потери в стенках волновода:

R s - поверхностное сопротивление.

В области (1) потери большие, так как частота близка к критической. А дальше с ростом частоты растет поверхностное сопротивление металла, т.е. работает поверхностный эффект. Расчет по формуле (9.5.4.3.) дает чуть меньше коэффициент затухания, чем на самом деле. Поскольку мы не учитываем качество обработки поверхности. Для уменьшения потерь нужно высокое качество обработки и материал с максимально большой проводимостью. С этой целью используется покрытие стенок серебром. Реально достижимые потери (0,1 ¸ 0,01) дБ/м.

Волновод, заполненный диэлектриком

9.5.5. Е - волны в прямоугольном волноводе

Наряду с волнами Н - типа, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны Е- типа. Анализ волн проводится по той же схем, что и в случае Н - волн.

Е - волны Е z 0, H z = 0

Решается уравнение:

Результатом решения будет:

Запись удовлетворяет граничным условиям на стенках волновода.

m = 1, 2, 3 . . . m 0

n = 1, 2, 3 . . . n 0

Если одно из чисел m или n обращается в 0, то волны не будет.

Е e = 0 при х = 0, х = а, Е х = 0 при у = 0, у = b.

Каждому набору индексов m и n соответствует своя структура поля в поперечном сечении, каждая из волн имеет свою кр.

Кр = (9.5.5.3.)

Выражение (9.5.5.3.) совпадает с выражением (9.5.18) для Н - волн. Волны Н и Е с одинаковыми индексами m и n имеют одно значение кр и V ф. Пример: Н 11 , Е 11 - одинаковые кр, V ф. Волны, имеющие одинаковые V ф, кр, но различные структуры в поперечном сечении называются вырожденными.

У волны Е индексы m и n не равны 0. У “Н” один из индексов может быть равен нулю. Из “E” - волн самая простая Е 11 .

Магнитное поле для волн типа Е всегда в плоскости поперечного сечения волновода, т.к. линии Е всегда перпендикулярны Н.

Для волн “Е” характерно присутствие Е z вдоль оси Z. Волноводы с волной “Е” используются в ускорителях и в электровакуумных приборах (в тех случаях, где необходимо осуществить взаимодействие элементарных частиц с электромагнитным полем).

9.6. Круглые волноводы

Представляют собой металлическую трубу круглого сечения. Для изучения полей в каждой точке надо применить цилиндрическую систему координат.

Особенности: своеобразная запись граничных условий. Внутри поверхности, любая касательная составляющая

( = 0) электрических полей должна обращаться в 0. Требования для граничных условий.

1) = 0 при r = R.

2) = 0 при r = R.

9.6.1. Волны “Е” типа в круглом волноводе

Е z 0, H z = 0

Это уравнение должно решаться в цилиндрических координатах.

Решаем по м. Фурье с разделением переменных:

Результат разделения: n 2 = 2 – константы разделения